因式分解之十字相乘法教案

十字相乘法教学设计教师王洪学生姓名上课日期

学科数学年级教材版本

类型知识讲解□：考题讲解□:本人课时统计第（ 1 ）课时共（ 1 ）课时

学案主题复习

课时数量

（全程或具体时间）

第（ 1 ）课时授课时段

教学目标

教学内容

复习十字相乘法个性化学习问题解决十字相乘法的应用

教学重点、

难点

如何进行系数的分解

考点分析

十字相乘法主要是在解题过程中的一个重要的方法

教学过程

学生活动

教师活

动分解因式之十字相乘法

我们知道()()2

2356

x x x x

++=++，反过来，就得到二次三项式256

x x

++的因式

分解形式，即()()

25623

x x x x

++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且

这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，()()()

2

x a x b x a b x ab

++=+++，反过来，就得到()()()

2

x a b x ab x a x b

+++=++

这就是说，对于二次三项式2x px q

++，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的

积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即

()()()

22

x px q x a b x ab x a x b

++=+++=++。运用这个公式，可以把某些二次项系数

为1的二次三项式分解因式。

例1 把232

x x

++分解因式。

分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，

要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。

解：因为2=1×2，并且1+2=3，所以()()

23212

x x x x

++=++

例2把276

x x

-+分解因式。

分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而6=1×6=(-1)×(-6)=2

×3=(-2)×(-3)，要使它们的代数和等于-7，只需取-1，-6即可。

解：因为6=(-1)×(-6)，并且(-1)+(-6)=-7，所以

()()()()

27616 16x x x x x x -+=+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--

例3 把2

421x x --分解因式。

分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21可以分解成-21=(-1)

×21=1×(-21)=(-3)×7=3×(-7)，其中只需取3与-7，其和3+(-7)等于一次项的系数-4。

()()()()

2 421 37 37x x x x x x --=++-⎡⎤⎣⎦=+-解： 例4 把2

215x x +-分解因式。

解：因为-15=(-3)×5，并且(-3)+5=2，所以

()()()()

2 215

=3535x x x x x x +-+-+⎡⎤⎣⎦=-+

通过例1︿4可以看出，把2x px q ++分解因式时：

如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。

如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p 。 例5 把下列各式分解因式：

(1) 42

68x x ++ (2) ()()2

43a b a b +-++

()()()()()()

422

222

222(1)68 68

=24 24x x x

x x x x x ++=++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦

=++解： ()()()()()()

2

(2)43

=13 13a b a b a b a b a b a b +-+++-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-+-

例6 把2

2

32x xy y -+分解因式。

分析：把2232x xy y -+看成x 的二次三项式，这时，常数项是2

2y ，一次项系数是-3y ，把2

2y 分解成-y 与-2y 的积，(-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。

()()

222232 =32 =2x xy y x yx y x y x y -+-+--解： 我们知道，()()223531110x x x x ++=++。反过来就得到2

31110x x ++的因式分解

的形式，即()()231110235x x x x ++=++。

我们发现，二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成

1 2 3 5

后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。

由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2

ax bx c ++进行因式分解。

我们知道，()()

()11222

12122112212122112

a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++

反过来，就得到

()()()

2121221121122 a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++

我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2

c 排列如下：

1a 1c 2a 2c

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ，如果它们正好等于2

ax bx c ++的一次项系数b ，那么2

ax bx c ++就可以分解成

()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于上图的上一行，2a ，2c 位于下一行。

像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三项式2

31110x x ++中，二次项的系数3可以分解成1与3，或者-1与-3的积，常数项10可以分解成1与10，或者-1与-10，或者2与5，或者-2与-5的积，其中只要选取十字

1 2 3 5

相乘就可以了。

例7 把下列各式分解因式：