2016年四川省高考文科数学试题及答案
2016年高考文数真题试卷(四川卷)
第1页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2016年高考文数真题试卷（四川卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)A={x|1≤x≤5}，Z 为整数集，则集合A∩Z 中元素的个数是（ ） A . 6 B . 5 C . 4 D . 32. （2016•四川）为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（ ）A . 向左平行移动 个单位长度B . 向右平行移动 个单位长度C . 向上平行移动 个单位长度D . 向下平行移动 个单位长度3. （2016•四川）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）答案第2页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 35B . 20C . 18D . 94. （2016•四川）已知正三角形ABC 的边长为2 ，平面ABC 内的动点P ，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（ ）A .B .C .D .5. （2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A . 2018年B . 2019年C . 2020年D . 2021年6. （2016•四川）设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x+y ＞2，则p 是q 的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件7. （2016•四川）抛物线y 2=4x 的焦点坐标是（ ）A . （0，2）B . （0，1）C . （2，0）D . （1，0）。
四川省高考数学试题及答案(文科)(精编版)汇编
绝密★启封前2016年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i2．设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．33．抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）4．为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度5．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．27．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．99．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．sin750°=．12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．13．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是．14．若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）=．15．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．19．（12分）已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n+1=qS n+1，其中q＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为e n，且e2=2，求e12+e22+…+e n2．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．2016年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．2．【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z={1，2，3，4，5}．∴集合A∩Z中元素的个数是5．故选：B．3．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），故选：D4．【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A5．【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．6．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选D．7．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．8．【解答】解：∵输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C9．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C，A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．故选：B．10．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=，故答案为：．12．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，∴棱锥的体积V=Sh==．故答案为：．13．【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n==12，log a b为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，∴log a b为整数的概率p=．故答案为：．14．【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（2）=f（0）=0，f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，故答案为：﹣2．15．【解答】解：①设A（0，1），则A的“伴随点”为A′（1，0），而A′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A，故①错误，②若点在单位圆上，则x2+y2=1，即P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（y，﹣x），满足y2+（﹣x）2=1，即P′也在单位圆上，故②正确，③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y），则Q（x，﹣y）的“伴随点”为Q′（﹣，），则Q′（﹣，）与P′（，）关于y轴对称，故③正确，④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，∴（﹣1，1）的“伴随点”为（，），即（，），（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（，﹣），即（，﹣），则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，故答案为：②③三、解答题（共6小题，满分75分）16．【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，解得x=0.038；∴中位数是2+0.06=2.038．17．【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴ME∥平面PAB．∵AD∥BC，BC=AE，∴ABCE是平行四边形，∴CE∥AB．∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB．∵ME∩CE=E，∴平面CME∥平面PAB，∵CM⊂平面CME，∴CM∥平面PAB；（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BD⊥平面PAB，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAB⊥平面PBD．18．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+= ，∴由正弦定理得：，∴= ，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA= ，= += =1，= ，tanB=4．19．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}的首项为1，即a1=1，又由S n+1=qS n+1，则S2=qa1+1，则a2=q，又有S3=qS2+1，则有a3=q2，若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），则可得q2=2q，（q＞0），解可得q=2，则有S n+1=2S n+1，①进而有S n=2S n﹣1+1，②①﹣②可得a n=2a n﹣1，则数列{a n}是以1为首项，公比为2的等比数列，则a n=1×2n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）根据题意，有S n+1=qS n+1，③同理可得S n=qS n﹣1+1，④③﹣④可得：a n=qa n﹣1，又由q＞0，则数列{a n}是以1为首项，公比为q的等比数列，则a n=1×q n﹣1=q n﹣1；若e 2=2，则e2==2，解可得a2=，则a2=q=，即q=，a n=1×q n﹣1=q n﹣1=（）n﹣1，则e n2=1+a n2=1+3n﹣1，故e12+e22+…+e n2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+．20．【解答】（Ⅰ）解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m2﹣2=0．∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，|AB|==．∴x0=﹣m，，即M（），则OM所在直线方程为y=﹣，联立，得或．∴C（﹣，），D（，﹣）．则︳MC︳•︳MD︳===．而︳MA︳•︳MB︳=（10﹣5m2）=．∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．21．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证，令h（x）=，则h′（x）=，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，∵t（1）=0，∴有t′（x）=2ax=≥0在（1，+∞）内恒成立，令φ（x）=，则φ′（x）=2a=，当x≥2时，φ′（x）＞0，令h（x）=，h′（x）=，函数在[1，2）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=﹣1．又2a≥1，e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，∴a≥．。
2016四川文高考数学试题
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川文)一、选择题1．设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝A ．0B ．2C ．2iD ．2＋2i2．设集合A ＝{x |1≤x ≤5}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是A ．6B ．5C ．4D ．33．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是A ．(0，2)B ．(0，1)C ．(2，0)D ．(1，0)4．为了得到函数y ＝sin(x ＋π3)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点 A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度 5．设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知a 函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝A ．－4B ．－2C ．4D ．27．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1．12＝0．05，lg1．3＝0．11，lg2＝0．30)A ．2018年B ． 2019年C ．2020年D ．2021年8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．35B ．20C ．18D ．99．已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP→|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是A ．434B ．494C ．37＋634D ．37＋233410．设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ＜1，ln x ，x ＞1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)二、 填空题11．sin 750°＝ ．12．已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是 ．侧视图俯视图13．从2、3、8、9任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率＝ ．14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f (－52)＋f (1)＝________．15．在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y x P x y x y -++y x 2＋y 2，当P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ．②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是 ．(写出所有真命题的序号)三、解答题16．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0．5)，[0．5，1)，…[4，4．5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(I)求直方图中的a 值；(II)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数．17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ． D CB A P(I)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由；(II)证明：平面P AB ⊥平面PBD ．18．(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b＝sin C c． (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *．(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n ．20．(本小题满分13分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ﹥b ﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P (3，12)在椭圆E 上． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：︳MA ︳·︳MB ︳＝︳MC ︳·︳MD ︳21．设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x－e 1－x ，其中a ∈R ，e ＝2．718…为自然对数的底数． ⑴．讨论f (x )的单调性；⑵．证明：当x ＞1时，g (x )＞0；⑶．确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立．2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)试题参考答案一、选择题1．C 2．B 解析：由题意，A ∩Z ＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素个数为5，故选B ．3．D 4． A 5．A 解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，故x ＋y ＞2，即p ⇒q ．而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．6．解析 f ′(x )＝3x 2－12，∴x <－2时，f ′(x )＞0，－2<x <2时，f ′(x )<0，x ＞2时，f ′(x )＞0，∴x ＝2是f (x )的极小值点．7．B 解析 设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金为y 万元，则y ＝130(1＋12%)n ．依题意130(1＋12%)n ＞200，得1．12n ＞2013．两边取对数，得n ·lg1．12＞lg 2－lg 1．3，∴n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元． 8．C 初始值n ＝3，x ＝2，v ＝1．程序框图运行过程如下：i ＝2 v ＝1×2＋2＝4i ＝1 v ＝4×2＋1＝9i ＝0 v ＝9×2＋0＝18i ＝－1不满足条件i ≥0，退出循环．输出v ＝18．9．B 解析：由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心，由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE |＋12＝72，则|BM →|2max ＝494，故选B 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3).则点P的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝⎛⎭⎫x 0－322＋⎝⎛⎭⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14，它表示以⎝⎛⎭⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝⎛⎭⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494. 10．A 解析：由图像易知P 1，P 2位于f (x )图像的两段上，不妨设P 1(x 1，－ln x 1)(0＜x 1＜1)，P 2(x 2，ln x 2)(x 2＞1)，则函数f (x )的图像在P 1处的切线l 1的方程为y ＋ln x 1＝－1x 1(x －x 1)，即y ＝－x x 1＋1－ln x 1．①则函数f (x )的图像在P 2处的切线l 2的方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝x x 2－1＋ln x 2．②由l 1⊥l 2，得－1x 1×1x 2＝－1，故x 1x 2＝1．由切线方程可求得A (0，1－ln x 1)，B (0，ln x 2－1)，由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P ＝2－ln x 1－ln x 21x 1＋1x 2＝2x 1＋x 2．故S △P AB ＝12×(1－ln x 1－ln x 2＋1)×2x 1＋x 2＝2x 1＋x 2＝2x 1＋1x 1．又x 1∈(0，1)，故x 1＋1x 1＞2，故0＜2x 1＋1x 1＜1，即0＜S △P AB ＜1． 二、填空题11．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12． 12．3313．解析：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则(a ，b )的所有可能结果为(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，8)，(3，9)，(8，9)，(3，2)，(8，2)，(9，2)，(8，3)，(9，3)，(9，8)，共12种取法，其中log a b 为整数的有(2，8)，(3，9)两种，故P ＝212＝16． 14．因为f (x )是周期为2的奇函数，故f (1)＝f (－1)＝－f (1)，即f (1)＝0，又f (－52)＝f (－12)＝－f (12)＝－412＝－2，从而f (－52)＋f (1)＝－2． 15．②③三、解答题16．(Ⅰ)由频率分布直方图，可知：月用水量在[0，0．5]的频率为0．08×0．5＝0．04．同理，在[0．5，1)，(1．5，2]，[2，2．5)，[3，3．5)，[3．5，4)，[4，4．5)等组的频率分别为0．08，0．21，0．25，0．06，0．04，0．02．由1－(0．04＋0．08＋0．21＋．025＋0．06＋0．04＋0．02)＝0．5×a ＋0．5×a ，解得a ＝0．30．(Ⅱ)由(Ⅰ)，100位居民月均水量不低于3吨的频率为0．06＋0．04＋0．02＝0．12．由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0．13＝36000．(Ⅲ)设中位数为x 吨．因前5组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．21＋0．25＝0．73＞0．5，而前4组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．21＝0．48＜0．5，故2≤x ＜2．5．由0．50×(x－2)＝0．5－0．48，解得x ＝2．04．故可估计居民月均用水量的中位数为2．04吨．17．D CB A P(I)取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：因AD ∥BC ，BC ＝12AD ，故BC ∥AM ，且BC ＝AM ．故四边形AMCB 是平行四边形，从而CM‖∥AB ．又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ，故CM ∥平面P AB ．(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(II)由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因AD ∥BC ，BC ＝12AD ，故直线AB 与CD 相交，故P A ⊥平面ABCD ．从而P A ⊥BD ．因AD ∥BC ，BC ＝12AD ，故BC ∥MD ，且BC ＝MD ．故四边形BCDM 是平行四边形．故BM ＝CD ＝12AD ，故BD ⊥AB ．又AB ∩AP ＝A ，故BD ⊥平面P AB ．又BD ⊂平面PBD ，故平面P AB⊥平面PBD ．18．1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k ＞0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ．代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．故sin A sin B ＝sin C ．(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．故sin A ＝1－cos 2A ＝45．由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，故45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，即sin B ＝4cos B ．故tan B ＝sin B cos B＝4． 19．解析：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1．又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立，故，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．从而a n ＝q n －1．由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，故a 3＝2a 2，故q ＝2．故a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，a n ＝q n －1，故双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1)．由e 2＝1＋q 2＝2解得q ＝3，故e 21＋e 22＋…＋e 2n ＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)]＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n －1)． 20．(I)由已知，a ＝2b ．又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ﹥b ﹥0)过点P (3，12)，故34b 2＋14b2＝1，解得，b 2＝1．故椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1． (II)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 得，x 2＋2mx ＋2(m 2－1)＝0①，方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)，由Δ＞0，即2－m 2＞0，解得，－2＜m ＜2．由①得，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2(m 2－1)．故M 点坐标为(－m ，m 2)，直线OM 方程为y ＝－12x ，由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得C (－2，22)，D (2，－22)．故|MC |·|MD |＝52(2－m )·52(2＋m )＝54(2－m 2)．又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4×2(m 2－1)]＝54(2－m 2)．故|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |．21．【解】⑴．f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a ＞0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a ．此时，当x ∈(0，12a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(12a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．；⑵．令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1．当x ＞1时，s ′(x )＞0，故e x －1＞x ，则g (x )＝1x－e 1－x ＞0； 证明 令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1．当x ＞1时，s ′(x )＞0，所以s (x )＞s (1)，即e x －1＞x ，从而g (x )＝1x －e e x ＝e （e x －1－x ）x e x＞0． ⑶．由⑵，当x ＞1时，g (x )＞0．当a ≤0，x ＞1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x ＜0．故当f (x )＞g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a ＞0．当0＜a ＜12时，12a ＞1．由(1)有f (12a )＜f (1)＝0，而g (12a)＞0，故此时f (x )＞g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x ＞1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x ＞x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2＞x 2－2x ＋1x 2＞0．故h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．又h (1)＝0，故当x ＞1时，h (x )＝f (x )－g (x )＞0，即f (x )＞g (x )恒成立．综上，a ∈[12，＋∞)． 2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川理)一、选择题1．设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则A ∩Z 中元素的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 43．为了得到函数y ＝sin (2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向左平行移动π6个单位长度 D ．向右平行移动π6个单位长度 4．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．725．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1．12≈0．05，lg 1．3≈0．11，lg2≈0．30)A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为( )A ．9B ．18C ．20D ．357．设p ：实数x ，y 满足(x –1)2＋(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．33B ．23C ．22D ．1 9．设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ＜1，ln x ，x ＞1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)10．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A ．434B ．494C ．37＋634D ．37＋2334二、填空题11．cos 2π8–sin 2π8＝ ． 12．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ．13．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f (－52)＋f (1)＝ ．15．在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y x P x y x y -++； 当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是_____________(写出所有真命题的序列)．三、解答题16．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0．5)，[0．5，1)，…，[4，4．5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．a 0.520.400.160.120.080.04 4.543.532.521.510.5月均用水量（吨）组距频率(I)求直方图中a 的值；(II)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (III)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc ． (I )证明：sin A sin B ＝sin C ； (II)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°．EDCBPA(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值．19．已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *．(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n 3n －1．20．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l :y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T ． (I)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(II)设O 是坐标原点，直线l ’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得∣PT ∣2＝λ∣PA ∣·∣PB ∣，并求λ的值．21．设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2．718…为自然对数的底数)．2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)(理)答案一、选择题1．C 2．A 3．D 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，所以只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点向右平行移动π6个单位长度即可，故选D ．4．解析：第一步，先排个位，有C 13种选择；第二步，排前4位，有A 44种选择．由分步乘法计数原理，知有C 13·A 44＝72(个)．5．B 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1．12，所以a n ＝130×1．12n －1．由130×1．12n －1＞200，两边同时取对数，得n －1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3．8，则n ＞4．8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B ．6．B 7．A 解析：p 表示以点(1，1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．8．解析 如图，由题可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0＞0时，k OM ＞0，要求k OM 最大值，不妨设y 0＞0．则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝⎛⎭⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立．故选C ．9．A 解析：由图像易知P 1，P 2位于f (x )图像的两段上，不妨设P 1(x 1，－ln x 1)(0＜x 1＜1)，P 2(x 2，ln x 2)(x 2＞1)，则函数f (x )的图像在P 1处的切线l 1的方程为y ＋ln x 1＝－1x 1(x －x 1)，即y ＝－xx 1＋1－ln x1．①则函数f (x )的图像在P 2处的切线l 2的方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝xx 2－1＋ln x 2．②由l 1⊥l 2，得－1x 1×1x 2＝－1，故x 1x 2＝1．由切线方程可求得A (0，1－ln x 1)，B (0，ln x 2－1)，由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P ＝2－ln x 1－ln x 21x 1＋1x 2＝2x 1＋x 2．故S △P AB ＝12×(1－ln x 1－ln x 2＋1)×2x 1＋x 2＝2x 1＋x 2＝2x 1＋1x 1．又x 1∈(0，1)，故x 1＋1x 1＞2，故0＜2x 1＋1x 1＜1，即0＜S △P AB ＜1． 10．B 解析：由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心，由DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →|max ＝|BE |＋12＝72，则|BM →|2max＝494，故选B建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3).则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝⎛⎭⎫x 0－322＋⎝⎛⎭⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14，它表示以⎝⎛⎭⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝⎛⎭⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494. 二、填空题11．解析：由题可知，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22．12．解析 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P ＝1－12×12＝34，依题意X ～B ⎝⎛⎭⎫2，34，则E (X )＝2×34＝32． 解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝116，P (X ＝1)＝C 12×14×34＝38，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫342＝916．所以在2次试验中成功次数X 的分布列为X 0 1 2 P11638916则在2次试验中成功次数X 的均值为E (X )＝0×116＋1×38＋2×916＝32．法二：此试验满足二项分布，其中p ＝34，故在2次试验中成功次数X 的均值为E (X )＝np ＝2×34＝32． 13．【解】由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h ＝1，则体积V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫12×23×1×1＝33． 14．解析：因为f (x )为奇函数，周期为2，所以f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0．因为f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2．所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2． 15．②③ 三、解答题16．(Ⅰ)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0．5)中的频率为0．08×0．5＝0．04，同理，在[0．5，1)，[1．5，2)，[2，2．5)，[3，3．5)，[3．5，4)，[4，4．5)中的频率分别为0．08，0．20，0．26，0．06，0．04，0．02．由0．04＋0．08＋0．5×a ＋0．20＋0．26＋0．5×a ＋0．06＋0．04＋0．02＝1，解得a ＝0．30．(Ⅱ)由(Ⅰ)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0．06＋0．04＋0．02＝0．12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0．12＝36 000．(Ⅲ)因为前6组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．20＋0．26＋0．15＝0．88＞0．85，而前5组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．20＋0．26＝0．73＜0．85，故2．5≤x ＜3．由0．3×(x －2．5)＝0．85－0．73，解得x ＝2．9．故估计月用水量标准为2．9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．17．(Ⅰ)根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k ＞0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ．代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝s in(π–C )＝sin C ，故sin A sin B ＝sin C ． (Ⅱ)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．故sin A ＝1－cos 2A ＝45．由(Ⅰ)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，故45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin Bcos B ＝4． 18．(1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面P AB )，点M 即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC ∥ED ，且BC ＝ED ．所以四边形BCDE 是平行四边形．从而CM ∥EB ．又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ．所以CM ∥平面PBE ． (说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)法一 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ．从而CD ⊥PD ．所以∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角．所以∠PDA ＝45°．设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2．过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH ．易知P A ⊥平面ABCD ，从而P A ⊥CE ．又P A ∩AH ＝A ，于是CE ⊥平面P AH ．又CE ⊂平面PCE ，所以平面PCE ⊥平面P AH ．过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE ．所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角．在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1，所以AH ＝22．在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322．所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13．法二 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ．于是CD ⊥PD ．从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角，所以∠PDA ＝45°．由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD ．设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2．作Ay ⊥平面P AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，C (2，1，0)，E (1，0，0)．所以PE →＝(1，0，－2)，EC →＝(1，1，0)，AP →＝(0，0，2)．设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2，1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋（－2）2＋12＝13．所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13． 19．(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1．又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．从而a n ＝q n －1．由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，得2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0，由已知，q ＞0，故q ＝2．所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可知，a n ＝qn －1．所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）．由e 2＝1＋q 2＝53得q ＝43．因为1＋q 2(k －1)＞q 2(k －1)，所以1＋q 2（k －1）＞q k －1(k ∈N *)．于是e 1＋e 2＋…＋e n ＞1＋q ＋…＋qn －1＝q n －1q －1，故e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n3n －1． 20．(I)由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为222212x y b b +=．有方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得3x 2－12x＋(18－2b 2)＝0①．方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0得，b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，故椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1．点T 坐标为(2，1)．(II)由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，联立y ＝－x ＋3得，P 点坐标为 (2－2m 3，1＋2m3)，|PT |2＝89m 2．设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝12x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得，3x 2＋4mx＋(4m 2－12)＝0②．方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ＞0，解得－322＜m ＜322．由②得，x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝43(m 2－3)．故|PA |＝52|2－2m 3－x 1|，同理|PB |＝52|2－2m3－x 2|，故∣PA ∣·∣PB ∣＝54|(2－2m 3)2－(2－2m 3)( x 1＋x 2)＋x 1x 2|＝109m 2．故存在常数λ＝45，使得∣PT ∣2＝λ∣PA ∣·∣PB ∣．21．【解】⑴．f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a ＞0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a ．此时，当x ∈(0，12a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(12a，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；⑵．令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x ．则s ′(x )＝e x －1－1．而当x ＞1时，s ′(x )＞0，故s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又s (1)＝0，有s (x )＞0，从而当x ＞1时，g (x )＞0．当a ≤0，x ＞1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x ＜0．故当 f (x )＞g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a ＞0．当0＜a ＜12时，12a ＞1．由(1)有f (12a )＜f (1)＝0，而g (12a)＞0，故此时f (x )＞g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x ＞1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x ＞x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2＞x 2－2x ＋1x 2＞0．故h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．又h (1)＝0，故当x ＞1时，h (x )＝f (x )－g (x )＞0，即f (x )＞g (x )恒成立． 综上，a ∈[12，＋∞)．2016年普通高等学校招生全国考试(上海文)一、填空题1．设x ∈R ，则不等式|x －3|＜1的解集为_______． 2．设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______． 3．已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是_____．4．某次体检，5位同学的身高(单位：米)分别为1．72，1．78，1．80，1．69，1．76，则这组数据的中位数是______(米)．5．若函数f (x )＝4sin x ＋a sin x 的最大值为5，则常数a ＝______．6．已知点(3，9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝______． 7．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为_______．8．方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0，2π]上的解为_____．9．在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____． 10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____．11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．12．如图，已知点O (0，0)，A (1．0)，B (0，−1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则OP →·BA →的取值范围是 ．13．设a ＞0，b ＞0．若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是 ．14．无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和．若对任意n ∈N *，S n ∈{2，3}，则k 的最大值为 ．二、选择题15．设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 16．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是( )A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 117．设a ∈R ，b ∈[0，2π]．若对任意实数x 都有sin(3x －π3)＝sin(ax ＋b )，则满足条件的有序实数对(a ，b )的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．418．设f (x )、g (x )、h(x )是定义域为R 的三个函数．对于命题：①若f (x )＋g (x )、f (x )＋h (x )、g (x ) h (x )均是增函数，则f (x )、g (x )、h(x )均是增函数；②若f (x )＋g (x )、f (x )＋h (x )、g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )、g (x )、h(x ) 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题 三、解答题19．将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC ︵长为5π6，A 1B 1︵长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小．20．有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1，0)，如图(1)求菜地内的分界线C 的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为83．设M是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于S 1面积的“经验值”．21．双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，ΔF 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝ 3 若l 的斜率存在，且AB ＝4，求l 的斜率．22．对于无穷数列{a n }与{b n }，记A ＝{x |x ＝a ，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝b n ，n ∈N *}，若同时满足条件：①．{a n }，{b n }均单调递增；②．A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *，则称{a n }与{b n }是无穷互补数列．(1)若a n ＝2n －1，b n ＝4n －2，判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列，并说明理由； (2)若a n ＝2n且{a n }与{b n }是无穷互补数列，求数列{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列，{a n }为等差数列且a 16＝36，求{a n }与{b n }得通项公式．23．已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2(1x ＋a )．(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围； (3)设a ＞0，若对任意t ∈[12，1]，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．参考答案1． (2，4) 2． －33．解析：由两平行线间的距离公式得d ＝|－1－1|22＋12＝255．4．1．76 5．±3 6．log 2(x －1)7．解析：由不等式组画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x －2y ，当直线y ＝12x －12z 经过点P (0，1)时，z 取得最大值，且最大值为－2．8．解析：由3sin x ＝1＋cos 2x ，得3sin x ＝2－2sin 2x ，故2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sinx ＝－2(舍去)，故原方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6．9．解析：由题意得2n ＝256，故n ＝8，则二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ⎝⎛⎭⎫－2x r＝(－2)r C r 8x 83－43r ，令83－43r ＝0，得r ＝2，故常数项为T 3＝(－2)2C 28＝112．12 10．解析：利用余弦定理可求得最大边所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，故此角的正弦值为32，设外接圆半径为R ，则由正弦定理得2R ＝732，故R ＝733．11．解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P ＝C 24C 24C 24＝16.12．[－1，2]13．解析：将方程组中的第一个方程化为y ＝1－ax ，代入第二个方程整理得(1－ab )x ＝1－b ，由方程组无解得1－ab ＝0且1－b ≠0，故ab ＝1且b ≠1．由基本不等式得a ＋b ＞2ab ＝2，故a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．14．解析：由S n ∈{2,3}，得a 1＝S 1∈{2,3}．将数列写出至最多项，其中有相同项的情况舍去，共有如下几种情况：①a 1＝2，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝－1； ②a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1； ③a 1＝2，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝0； ④a 1＝3，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝1； ⑤a 1＝3，a 2＝－1，a 3＝0，a 4＝1； ⑥a 1＝3，a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝0. 最多项均只能写到第4项，即k max ＝4.15．A 解析：由a ＞1可得a 2＞1，由a 2＞1可得a ＞1或a <－1．故“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件．16．D 17．B 18．D19．解：(1)由题意可知，圆柱的母线长l ＝1，底面半径r ＝1．圆柱的体积V ＝πr 2l ＝π×12×1＝π，圆柱的侧面积S ＝2πrl ＝2π×1×1＝2π． (2)设过点B 1的母线与下底面交于点B ，则O 1B 1∥OB ，故∠COB 或其补角为O 1B 1与OC 所成的角．由A 1B 1︵长为π3，可知∠AOB ＝∠A 1O 1B 1＝π3，由AC ︵长为5π6，可知∠AOC ＝5π6，∠COB ＝∠AOC －∠AOB＝π2，故异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小为π2．20．解：(1)因C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，故C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分，其方程为y 2＝4x (0＜y ＜2)．(2)依题意，点M 的坐标为(14，1)．所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为|52－83|＝16，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为|114－83|＝112，故五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”．21(1)设A (x A ，y A )．由题意，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y A 2＝b 2(c 2－1)＝b 4，因ΔF 1AB 是等边三角形，故2c ＝3| y A |，即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2．故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ．(2)由已知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0．因l 与双曲线交于两点，故k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)＞0．由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，故AB ＝6(k 2＋1)/|k 2－3|＝4，解得k 2＝35，故l 的斜率为±155．22．解：(1)因4∉A ，4∉B ，故4∉A ∪B ，从而{a n }与{b n }不是无穷互补数列．(2)因a 4＝16，故b 16＝16＋4＝20．数列{b n }的前16项的和为(1＋2＋…＋20)－(2＋22＋23＋24) ＝180．(3)设{a n }的公差为d ，d ∈N *，则a 16＝a 1＋15d ＝36．由a 1＝36－15d ≥1，得d ＝1或2．若d ＝1，则a 1＝21，a n ＝n ＋20，与“{a n }与{b n }是无穷互补数列”矛盾；若d ＝2，则a 1＝6，a n ＝2n ＋4，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．综上，a n ＝2n ＋4，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩． 23．已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2(1x ＋a )．(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围； (3)设a ＞0，若对任意t ∈[12，1]，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解：(1)由log 2(1x ＋5)＞0，得1x ＋5＞1，解得x ∈(－∞，－14)∪(0，＋∞)．(2)由原方程可得1x ＋a ＝(a －4)x ＋2a －5，即(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0．①当a ＝4时，x ＝－1，经检验，满足题意． ②当a ＝3时，x 1＝x 2＝－1，经检验，满足题意．③当a ≠3且a ≠4时，x 1＝1a －4，x 2＝－1，x 1≠x 2．若x 1是原方程的解，则1x 1＋a ＞0，即a ＞2；若x 2是原方程的解，则1x 2＋a ＞0，即a ＞1．由题意知x 1，x 2只有一个为方程的解，故⎩⎨⎧a >2，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >1，于是满足题意的a ∈(1，2]． 综上，a 的取值范围为(1，2]∪{3，4}．(3)易知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2(1t ＋a )－log 2(11＋t ＋a )≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈[12，1]恒成立．因a ＞0，故函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间[12，1]上单调递增，当t ＝12时，y 有最小值34a－12．由34a －12≥0，得a ≥23． 故a 的取值范围为[23，＋∞)．2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海理)一、填空题1．设x ∈R ，则不等式|x －3|＜1的解集为___________．2．设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则I m z ＝____________． 3．已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离____________．4．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1．72，1．78，1．75，1．80，1．69，1．77则这组数据的中位数是_________(米)5．已知点(3，9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝___________． 6．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan 23，则该正四棱柱的高等于____________．7．方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0，2π]上的解为________．8．在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2xn 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．9．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_________．10．设a ＞0，b ＞0．若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是____________．11．无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和．若对任意n ∈N *，S n ∈{2，3}，则k 的最大值为________．12．在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则BP →·BA →的取值范围是________．13．设a ，b ∈R ，c ∈[0，2π)，若对任意实数x 都有2sin(3x －π3)＝a sin(bx ＋c )，则满足条件的有序实数组(a ，b ，c )的组数为．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1(1，0)．任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是． 二、选择题(5×4=20)15．设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 16．下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A ．ρ＝6＋5cos θ B ．ρ＝6＋5sin θ C ．ρ＝6－5cos θ D ．ρ＝6－5sin θ17．已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S S n n =∞→lim ．下列条件中，使得2S n ＜S (n ∈N *)恒成立的是( )A ．a 1＞0，0．6＜q ＜0．7B ．a 1＜0，－0．7＜q ＜－0．6C ．a 1＞0，0．7＜q ＜0．8D ．a 1＜0，－0．8＜q ＜－0．718．设f (x )、g (x )、h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①．若f (x )＋g (x )、f (x )＋h (x )、g (x )＋h (x )均为增函数，则f (x )、g (x )、h (x )中至少有一个增函数；②．若f (x )＋g (x )、f (x )＋h (x )、g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )、g (x )、h (x )均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题 三、解答题(74分)19．将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC ︵长为2π3，A 1B 1︵长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．(1)求三棱锥C －O 1A 1B 1的体积；(2)求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．20、(本题满分14)有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬。
2016年四川省高考数学文科试题含答案(Word版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年四川省高考数学文科试题有答案(Word版)AKMwKl
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度 5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年高考文科数学四川卷-答案
{1,2,3,4,5}Z A Z中元素的个数为A=A=的元素一一列举出来即可【提示】把集合{【考点】集合中交集的运算D|||DB|||2DA DC ===，，以||1AP =，得13133,222x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++== ⎪ ⎪ ，∴，∴2(||4x BM +=∴4()()2max||44BM =2DA DB DC ===，因此采用解析法，即建立直角坐标系，写出点2(x BM =10.【答案】121P x x x =+【提示】先设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点AB AP A=，⊂平面PBD【提示】（Ⅰ）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；（Ⅱ），先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到222(1)(11)(1)[1]n n e q q -++=++++++2(1)2[1]1n n q qn q -=++++=+-1)555(2)(2)(2224MC MD m m =-++=1212144MA MB AB =5=MA MB MC MD .（Ⅱ）设交点坐标为1122(,),(,x y x y MA MB 用1x ，【答案】（Ⅰ）【提示】（Ⅰ）对()f x 求导，再对a 进行讨论，判断函数的单调性； （Ⅱ）利用导数判断函数的单调性，从而证明结论；（Ⅲ）构造函数()()()(1)h x f x g x x =-≥，利用导数判断函数()h x 的单调性，从而求解a 的值. 【考点】导数的性质与应用.。
2016年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2016年四川省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设i为虚数单位,则复数(1＋i)2＝( )A.0B.2C.2iD.2＋2i2.(5分)设集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.6B.5C.4D.33.(5分)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)4.(5分)为了得到函数y＝sin(x＋)的图象,只需把函数y＝sinx的图象上所有的点( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度5.(5分)设p：实数x,y满足x＞1且y＞1,q：实数x,y满足x＋y＞2,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点,则a＝( )A.－4B.－2C.4D.27.(5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12＝0.05,lg1.3＝0.11,lg2＝0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年8.(5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )A.35B.20C.18D.99.(5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||＝1,＝,则||2的最大值是( )A. B. C. D.10.(5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)＝图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,＋∞)D.(1,＋∞)二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)sin750°＝.12.(5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.13.(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f(x)＝4x,则f(－)＋f(2)＝.15.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(,),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.三、解答题(共6小题,满分75分)16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a的值；(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；(Ⅲ)估计居民月均水量的中位数.17.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝AD.(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由；(II)证明：平面PAB⊥平面PBD.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且＋＝.(Ⅰ)证明：sinAsinB＝sinC；(Ⅱ)若b2＋c2－a2＝bc,求tanB.19.(12分)已知数列{an }的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn＋1＝qSn＋1,其中q＞0,n∈N＋(Ⅰ)若a2,a3,a2＋a3成等差数列,求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设双曲线x2－＝1的离心率为en ,且e2＝2,求e12＋e22＋…＋en2.20.(13分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E上.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明：︳MA︳•︳MB︳＝︳MC︳•︳MD︳21.(14分)设函数f(x)＝ax2－a－ln x,g(x)＝－,其中a∈R,e＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x＞1时,g(x)＞0；(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)＞g(x)在区间(1,＋∞)内恒成立.2016年四川省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设i为虚数单位,则复数(1＋i)2＝( )A.0B.2C.2iD.2＋2i【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：(1＋i)2＝1＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i,故选：C.【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.(5分)设集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.6B.5C.4D.3【分析】利用交集的运算性质即可得出.【解答】解：∵集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z＝{1,2,3,4,5}.∴集合A∩Z中元素的个数是5.故选：B.【点评】本题考查了集合的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质,可得答案.【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0),故选：D.【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)为了得到函数y＝sin(x＋)的图象,只需把函数y＝sinx的图象上所有的点( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则,结合平移前后函数的解析式,可得答案. 【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y＝sinx,平移后函数解析式为：y＝sin(x＋),可得平移量为向左平行移动个单位长度,故选：A.【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则,熟练掌握图象平移“左加右减“的原则,是解答的关键.5.(5分)设p：实数x,y满足x＞1且y＞1,q：实数x,y满足x＋y＞2,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由x＞1且y＞1,可得：x＋y＞2,反之不成立,例如取x＝3,y＝.【解答】解：由x＞1且y＞1,可得：x＋y＞2,反之不成立：例如取x＝3,y＝.∴p是q的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.(5分)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点,则a＝( )A.－4B.－2C.4D.2【分析】可求导数得到f′(x)＝3x2－12,可通过判断导数符号从而得出f(x)的极小值点,从而得出a的值.【解答】解：f′(x)＝3x2－12；∴x＜－2时,f′(x)＞0,－2＜x＜2时,f′(x)＜0,x＞2时,f′(x)＞0；∴x＝2是f(x)的极小值点；又a为f(x)的极小值点；∴a＝2.故选：D.【点评】考查函数极小值点的定义,以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程,要熟悉二次函数的图象.7.(5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12＝0.05,lg1.3＝0.11,lg2＝0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年【分析】设第n年开始超过200万元,可得130×(1＋12%)n－2015＞200,两边取对数即可得出. 【解答】解：设第n年开始超过200万元,则130×(1＋12%)n－2015＞200,化为：(n－2015)lg1.12＞lg2－lg1.3,n－2015＞＝3.8.取n＝2019.因此开始超过200万元的年份是2019年.故选：B.【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )A.35B.20C.18D.9【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值,模拟程序的运行过程,可得答案.【解答】解：∵输入的x＝2,n＝3,故v＝1,i＝2,满足进行循环的条件,v＝4,i＝1,满足进行循环的条件,v＝9,i＝0,满足进行循环的条件,v＝18,i＝－1不满足进行循环的条件,故输出的v值为：故选：C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答.9.(5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||＝1,＝,则||2的最大值是( )A. B. C. D.【分析】如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C.A.点P的轨迹方程为：＝1,令x＝＋cosθ,y＝3＋sinθ,θ∈[0,2π).又＝,可得M,代入||2＝＋3sin,即可得出.【解答】解：如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C.A.∵M满足||＝1,∴点P的轨迹方程为：＝1,令x＝＋cosθ,y＝3＋sinθ,θ∈[0,2π).又＝,则M,∴||2＝＋＝＋3sin≤.∴||2的最大值是.也可以以点A为坐标原点建立坐标系.解法二：取AC中点N,MN＝,从而M轨迹为以N为圆心,为半径的圆,B,N,M三点共线时,BM为最大值.所以BM最大值为3＋＝.故选：B.【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)＝图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,＋∞)D.(1,＋∞)【分析】设出点P1,P2的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线l1与l2的斜率,由两直线垂直求得P1,P2的横坐标的乘积为1,再分别写出两直线的点斜式方程,求得A,B两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得P的横坐标,然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围.【解答】解：设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(0＜x1＜1＜x2),当0＜x＜1时,f′(x)＝,当x＞1时,f′(x)＝,∴l1的斜率,l2的斜率,∵l1与l2垂直,且x2＞x1＞0,∴,即x1x2＝1.直线l1：,l2：.取x＝0分别得到A(0,1－lnx1),B(0,－1＋lnx2),|AB|＝|1－lnx1－(－1＋lnx2)|＝|2－(lnx1＋lnx2)|＝|2－lnx1x2|＝2.联立两直线方程可得交点P的横坐标为x＝,∴|AB|•|xP|＝＝.∵函数y＝x＋在(0,1)上为减函数,且0＜x1＜1,∴,则,∴.∴△PAB的面积的取值范围是(0,1).故选：A.【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,训练了利用基本不等式求函数的最值,考查了数学转化思想方法,属中档题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)sin750°＝.【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案.【解答】解：sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝,故答案为：.【点评】本题考查运用诱导公式化简求值,着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值,属于基础题.12.(5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.【分析】几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,棱锥的高为1,代入体积公式计算即可.【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,底面积S＝＝,棱锥的高为h＝1,∴棱锥的体积V＝Sh＝＝.故答案为：.【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算,是基础题.b为整数的概率是.13.(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数满足的基本事件个【分析】由已知条件先求出基本事件总数,再利用列举法求出logab为整数的概率.数,由此能求出loga【解答】解：从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,基本事件总数n＝＝12,logb为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9),共2个,ab为整数的概率p＝.∴loga故答案为：.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.14.(5分)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f(x)＝4x,则f(－)＋f(2)＝－2 .【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可.【解答】解：∵函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f(x)＝4x,∴f(2)＝f(0)＝0,f(－)＝f(－＋2)＝f(－)＝－f()＝－＝－＝－2,则f(－)＋f(2)＝－2＋0＝－2,故答案为：－2.【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键.15.(5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P′(,),当P是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′的“伴随点”是点A.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x轴对称,则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是②③.【分析】根据“伴随点”的定义,分别进行判断即可,对应不成立的命题,利用特殊值法进行排除即可.【解答】解：①设A(0,1),则A的“伴随点”为A′(1,0),而A′(1,0)的“伴随点”为(0,－1),不是A,故①错误,②若点在单位圆上,则x2＋y2＝1,即P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P(y,－x),满足y2＋(－x)2＝1,即P′也在单位圆上,故②正确,③若两点关于x轴对称,设P(x,y),对称点为Q(x,－y),则Q(x,－y)的“伴随点”为Q′(－,),则Q′(－,)与P′(,)关于y轴对称,故③正确,④∵(－1,1),(0,1),(1,1)三点在直线y＝1上,∴(－1,1)的“伴随点”为(,),即(,),(0,1)的“伴随点”为(1,0),(1,1的“伴随点”为(,－),即(,－),则(,),(1,0),(,－)三点不在同一直线上,故④错误,故答案为：②③【点评】本题主要考查命题的真假判断,正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键.考查学生的推理能力.三、解答题(共6小题,满分75分)16.(12分)我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a的值；(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；(Ⅲ)估计居民月均水量的中位数.【分析】(I)先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率,再根据直方图的总频率为1求出a的值；(II)根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率,结合样本容量为30万,进而得解.(Ⅲ)根据频率分布直方图,求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值.【解答】解：(I)∵1＝(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5,整理可得：2＝1.4＋2a,∴解得：a＝0.3.(II)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12,又样本容量为30万,则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12＝3.6万.(Ⅲ)根据频率分布直方图,得；0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.30×0.5＋0.42×0.5＝0.48＜0.5,0.48＋0.5×0.52＝0.74＞0.5,∴中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数x,令0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.30×0.5＋0.42×0.5＋0.52×x＝0.5,解得x＝0.04；∴中位数是2＋0.04＝2.04.【点评】本题用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积＝组距×,各个矩形面积之和等于1,能根据直方图求众数和中位数,属于常规题型.17.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝AD.(I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由；(II)证明：平面PAB⊥平面PBD.【分析】(I)M为PD的中点,直线CM∥平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA,证明平面CME∥平面PAB,即可证明直线CM∥平面PAB；(II)证明：BD⊥平面PAB,即可证明平面PAB⊥平面PBD.【解答】证明：(I)M为PD的中点,直线CM∥平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME∥PA,∵ME⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴ME∥平面PAB.∵AD∥BC,BC＝AE,∴ABCE是平行四边形,∴CE∥AB.∵CE⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CE∥平面PAB.∵ME∩CE＝E,∴平面CME∥平面PAB,∵CM⊂平面CME,∴CM∥平面PAB若M为AD的中点,连接CM,由四边形ABCD中,AD∥BC,∠ADC＝∠PAB＝90°,BC＝CD＝AD.可得四边形ABCM为平行四边形,即有CM∥AB,CM⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴CM∥平面PAB；(II)∵PA⊥CD,∠PAB＝90°,AB与CD相交,∴PA⊥平面ABCD,∵BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD,由(I)及BC＝CD＝AD,可得∠BAD＝∠BDA＝45°,∴∠ABD＝90°,∴BD⊥AB,∵PA∩AB＝A,∴BD⊥平面PAB,∵BD⊂平面PBD,∴平面PAB⊥平面PBD.【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且＋＝.(Ⅰ)证明：sinAsinB＝sinC；(Ⅱ)若b2＋c2－a2＝bc,求tanB.【分析】(Ⅰ)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理,利用正弦定理,即可证明. (Ⅱ)由余弦定理求出A的余弦函数值,利用(Ⅰ)的条件,求解B的正切函数值即可.【解答】(Ⅰ)证明：在△ABC中,∵＋＝,∴由正弦定理得：,∴＝,∵sin(A＋B)＝sinC.∴整理可得：sinAsinB＝sinC,(Ⅱ)解：b2＋c2－a2＝bc,由余弦定理可得cosA＝.sinA＝,＝＋＝＝1,＝,tanB＝4.【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形内角和定理,三角形面积公式的应用,考查了转化思想,属于中档题.19.(12分)已知数列{an }的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn＋1＝qSn＋1,其中q＞0,n∈N＋(Ⅰ)若a2,a3,a2＋a3成等差数列,求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设双曲线x2－＝1的离心率为en ,且e2＝2,求e12＋e22＋…＋en2.【分析】(Ⅰ)根据题意,由数列的递推公式可得a2与a3的值,又由a2,a3,a2＋a3成等差数列,可得2a3＝a2＋(a2＋a3),代入a2与a3的值可得q2＝2q,解可得q的值,进而可得Sn＋1＝2Sn＋1,进而可得Sn ＝2Sn－1＋1,将两式相减可得an＝2an－1,即可得数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答案；(Ⅱ)根据题意Sn＋1＝qSn＋1,同理有Sn＝qSn－1＋1,将两式相减可得an＝qan－1,分析可得an＝q n－1；又由双曲线x2－＝1的离心率为en ,且e2＝2,分析可得e2＝＝2,解可得a2的值,由an＝q n－1可得q的值,进而可得数列{an}的通项公式,再次由双曲线的几何性质可得en 2＝1＋an2＝1＋3n－1,运用分组求和法计算可得答案.【解答】解：(Ⅰ)根据题意,数列{a n }的首项为1,即a 1＝1, 又由S n ＋1＝qS n ＋1,则S 2＝qa 1＋1,则a 2＝q, 又有S 3＝qS 2＋1,则有a 3＝q 2,若a 2,a 3,a 2＋a 3成等差数列,即2a 3＝a 2＋(a 2＋a 3), 则可得q 2＝2q,(q ＞0), 解可得q ＝2,则有S n ＋1＝2S n ＋1,① 进而有S n ＝2S n －1＋1,② ①－②可得a n ＝2a n －1,则数列{a n }是以1为首项,公比为2的等比数列, 则a n ＝1×2n －1＝2n －1；(Ⅱ)根据题意,有S n ＋1＝qS n ＋1,③ 同理可得S n ＝qS n －1＋1,④ ③－④可得：a n ＝qa n －1, 又由q ＞0,则数列{a n }是以1为首项,公比为q 的等比数列,则a n ＝1×q n －1＝q n －1； 若e 2＝2,则e 2＝＝2,解可得a 2＝, 则a 2＝q ＝,即q ＝, a n ＝1×q n －1＝q n －1＝()n －1, 则e n 2＝1＋a n 2＝1＋3n －1,故e 12＋e 22＋…＋e n 2＝n ＋(1＋3＋32＋…＋3n －1)＝n ＋.【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和,涉及双曲线的简单几何性质,注意题目中q ＞0这一条件.20.(13分)已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(,)在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A,B,线段AB 的中点为M,直线OM 与椭圆E 交于C,D,证明：︳MA ︳•︳MB ︳＝︳MC ︳•︳MD ︳【分析】(Ⅰ)由题意可得a ＝2b,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合隐含条件求得a,b 得答案；(Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出弦长及AB 中点坐标,得到OM 所在直线方程,再与椭圆方程联立,求出C,D 的坐标,把︳MA ︳•︳MB ︳化为(|AB|)2,再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案.【解答】(Ⅰ)解：如图,由题意可得,解得a2＝4,b2＝1,∴椭圆E的方程为；(Ⅱ)证明：设AB所在直线方程为y＝,联立,得x2＋2mx＋2m2－2＝0.∴△＝4m2－4(2m2－2)＝8－4m2＞0,即.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则,|AB|＝＝.∴x＝－m,,即M(),则OM所在直线方程为y＝－,联立,得或.∴C(－,),D(,－).则︳MC︳•︳MD︳＝＝＝.而︳MA︳•︳MB︳＝(10－5m2)＝.∴︳MA︳•︳MB︳＝︳MC︳•︳MD︳.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,训练了弦长公式的应用,考查数学转化思想方法,训练了计算能力,是中档题.21.(14分)设函数f(x)＝ax2－a－ln x,g(x)＝－,其中a∈R,e＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x＞1时,g(x)＞0；(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)＞g(x)在区间(1,＋∞)内恒成立.【分析】(Ⅰ)求导数,分类讨论,即可讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)要证g(x)＞0(x＞1),即－＞0,即证,也就是证；(Ⅲ)由f(x)＞g(x),得,设t(x)＝,由题意知,t(x)＞0在(1,＋∞)内恒成立,再构造函数,求导数,即可确定a的取值范围.【解答】(Ⅰ)解：由f(x)＝ax2－a－lnx,得f′(x)＝2ax－＝(x＞0),当a≤0时,f′(x)＜0在(0,＋∞)成立,则f(x)为(0,＋∞)上的减函数；当a＞0时,由f′(x)＝0,得x＝＝,∴当x∈(0,)时,f′(x)＜0,当x∈(,＋∞)时,f′(x)＞0,则f(x)在(0,)上为减函数,在(,＋∞)上为增函数；综上,当a≤0时,f(x)为(0,＋∞)上的减函数,当a＞0时,f(x)在(0,)上为减函数,在(,＋∞)上为增函数；(Ⅱ)证明：要证g(x)＞0(x＞1),即－＞0,即证,也就是证,令h(x)＝,则h′(x)＝,＝h(1)＝e,∴h(x)在(1,＋∞)上单调递增,则h(x)min即当x＞1时,h(x)＞e,∴当x＞1时,g(x)＞0；(Ⅲ)解：由f(x)＞g(x),得,设t(x)＝,由题意知,t(x)＞0在(1,＋∞)内恒成立,∵t(1)＝0,∴有t′(x)＝2ax＝≥0在(1,＋∞)内恒成立,令φ(x)＝,则φ′(x)＝2a＝,当x≥2时,φ′(x)＞0,令h(x)＝,h′(x)＝,函数在[1,2)上单调递增,∴h(x)＝h(1)＝－1.mine1－x＞0,∴1＜x＜2,φ′(x)＞0,综上所述,x＞1,φ′(x)＞0,φ(x)在区间(1,＋∞)单调递增,∴t′(x)＞t′(1)≥0,即t(x)在区间(1,＋∞)单调递增,由2a－1≥0,∴a≥.【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,不等式的证明,考查恒成立成立问题,正确构造函数,求导数是关键.。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)答案
2 x1 1 x12 2 x1 1 x12 1 P , ln x . ∵ x 1 ，∴ S y y x 1，∴0 S△PAB 1 . 1 1 △PAB A B P 2 1 x12 2 1 x12 1 x12 1 x1
2
5 f 2
1 f 2 2
1 f f 2
1 2 4 2 ，所以 2
1
5 f f (2) 2 . 2
【提示】利用周期性 f ( x) f ( x T ) ，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间，再利 用奇偶性转化到已知区间上，由函数式求值即可. 【考点】函数的奇偶性，函数的周期性. 15.【答案】②③
2
49 4
2/9
【提示】首先对条件进行化简变形，得出 ADC ADB BDC 120 ，且 DA DB DC 2 ，因此
采用解析法，即建立直角坐标系，写出点 A，B，C，D 的坐标，同时动点 P 的轨迹是圆，则 2 ( x 1) 2 ( y 3 3) 2 ，因此可用圆的性质得出最值. BM 4 【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题. 10.【答案】A
【提示】先设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点 A， B 的 坐标，由两直线相交得出 P 点坐标，从而求得面积，把面积用 x1 表示后，可得面积的取值范围. 【考点】导数的几何意义，两直线的垂直关系，直线方程的应用，三角形面积的取值范围.
第 Ⅱ卷
二、填空题 11.【答案】
y ln x1
1 1 1 ( x x1 ) ，切线 l2 的方程为 y ln x2 ( x x2 ) ，即 y ln x1 x1 x . 分别令 x 0 得 x1 x2 x1
高考四川文科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，文1，5分】设i 为虚数单位，则复数()21i +=（ ）（A ）{}13x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x << 【答案】C【解析】试题分析：由题意，22(1i)12i i 2i +=++=，故选C ．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （2）【2016年四川，文2，5分】设集合{}15A x x =≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 【答案】B【解析】由题意，{}1,2,3,4,5A Z =，故其中的元素个数为5，故选B ．【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2016年四川，文3，5分】抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）（A ）()0,2 （B ）()0,1 （C ）()2,0（D ）()1,0【答案】D【解析】由题意，24y x =的焦点坐标为()1,0，故选D ．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．（4）【2016年四川，文4，5分】为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）（A ）向左平行移动3π个单位长度 （B ）向右平行移动3π个单位长度 （C ）向上平行移动3π个单位长度（D ）向下平行移动3π个单位长度【答案】A【解析】由题意，为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，只需把函数sin y x =的图像上所有点向左移3π个单位，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键． （5）【2016年四川，文5，5分】设:p 实数x ，y 满足1x >且1y >，:q 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意，1x >且1y >，则2x y +>，而当2x y +>时不能得出，1x >且1y >．故p 是q 的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （6）【2016年四川卷，文6，5分】已知a 函数()312f x x x =-的极小值点，则a =（ ）（A ）4-（B ）2- （C ）4 （D ）2【答案】D 【解析】()()()2312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D ．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象． （7）【2016年四川，文7，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
2016年普通高等学校招生全国统一考试四川卷文科数学(2016年四川省高考文科数学)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)1.设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．0 B ．2 C ．2i D ．2＋2i 答案C 由题意，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，故选C ．2.设集合A ＝{x|1≤x ≤5}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案B 由题意，A ∩Z ＝{1，2，3，4，5} ，故其中的元素个数为5，选B ． 3.抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(0，1) C ．(2，0) D ．(1，0)答案D 由题意，y 2＝4x 的焦点坐标 为(1，0)，故选D ．4.为了得到函数y ＝sin (x ＋π3)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度答案A 由题意，为得到函数y ＝sin (x ＋π3)，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平行移动 π3个单位长度，故选A ．5.设p ：实数x ，y 满足x>1且y>1，q ：实数x ，y 满足x ＋y>2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 由题意，x>1且y>1，则x ＋y>2，而当x ＋y>2 时不能得出x>1且y>1 .故p 是q 的充分不必要条件，选A ． 6.已知a 为函数f (x )＝x 3﹣12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．﹣4 B ．﹣2 C ．4 D ．2答案D f'(x )＝3x 2﹣12＝3(x ＋2)(x ﹣2)，令f'(x )＝0，得x ＝﹣2或x ＝2，易得f (x )在(﹣2，2)上单调递减，在(﹣∞，﹣2)，(2，＋∞) 上单调递增 ，故f (x )极小值为f (2)，由已知得a ＝2，故选D ．7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年答案B设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n>200，∴1.12n>200130.两边取常用对数得n lg1.12>lg200130，∴n>lg2﹣lg1.3lg1.12≈0.30﹣0.110.05＝3.8，∴n≥4，故选B．8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为()A．35B．20C．18D．9答案C程序运行如下n＝3，x＝2→v＝1，i＝2≥0→v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0→v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0→v＝9×2＋0＝18，i＝﹣1<0，结束循环，输出v＝18，故选C．9.已知正三角形ABC的边长为2√3，平面ABC内的动点P，M满足|xx⃗⃗⃗⃗ |＝1，xx⃗⃗⃗⃗ ＝xx⃗⃗⃗⃗ ，则|xx⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是()A．434B．494C．37＋6√34D．37＋2√334答案B设△ABC的外心为D，则|xx⃗⃗⃗⃗ |＝|xx⃗⃗⃗⃗ |＝|xx⃗⃗⃗⃗ |＝2.以D为原点，直线DA为x轴，过D点的DA的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(2，0)，B(﹣1，﹣√3)，C(﹣1，√3).设P(x，y)，由已知|xx⃗⃗⃗⃗ |＝1，得(x﹣2)2＋y2＝1，∵xx⃗⃗⃗⃗ ＝xx⃗⃗⃗⃗ ，∴M(x﹣12，x＋√32).∴xx⃗⃗⃗⃗ ＝(x ＋12，x ＋3√32). ∴xx ⃗⃗⃗⃗ 2＝(x ＋1)2＋(x ＋3√3)24，它表示圆(x ﹣2)2＋y 2＝1上点(x ，y )与点(﹣1，﹣3√3)距离平方的14， ∴(|xx ⃗⃗⃗⃗ |2)max ＝14(√32＋(0＋3√3)2＋1)2＝494，故选B ． 10.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝{﹣ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(0，＋∞) D ．(1，＋∞)答案A 由题意得P 1，P 2分别位于两段函数的图象上.设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，﹣ln x 2)(不妨设x 1>1，0<x 2<1)，则由导数的几何意义 易得切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝1x 1，k 2＝﹣1x 2.由已知得k 1k 2＝﹣1，所以x 1x 2＝1.所以x 2＝1x 1.所以切线l 1的方程为y ﹣ln x 1＝1x 1(x ﹣x 1)，切线l 2的方程为y ＋ln x 2＝﹣1x 2(x ﹣x 2)，即y ﹣ln x 1＝﹣x 1(x ﹣1x1).分别令x ＝0得A (0，﹣1＋ln x 1)，B (0，1＋ln x 1). 又l 1与l 2的交点为P (2x 11＋x 12，ln x 1＋1﹣x 121＋x 12).∵x 1>1，∴S △P AB ＝12|y A ﹣y B |·|x P |＝2x 11＋x 12<1＋x 121＋x 12＝1.∴0<S △P AB <1，故选A ．11.sin750°＝__________.答案12解析由三角函数诱导公式 sin750°＝sin(720°＋30°)＝sin30°＝12. 12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________.答案√33解析由三视图 可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为S ＝12×2√3×1＝√3，高为1，所以该几何体的体积为V ＝13Sh ＝13×√3×1＝√33.13.从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是__________. 答案16解析从2，3，8，9中任取两个数记为a ，b ，作为对数的底数与真数，共有3×4＝12 个不同的基本事件，其中为整数的只有log 28，log 39两个 基本事件，所以其概率P ＝212＝16.14.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f (x )＝4x ，则f (﹣52)＋f (2)＝__________. 答案﹣2解析因为函数f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数 ，所以f (0)＝0，f (2)＝f (0＋2)＝f (0)＝0，f (﹣1)＋f (1)＝0，f (﹣1)＝f (﹣1＋2)＝f (1).所以f (1)＝0，f (﹣52)＝f (﹣12﹣2)＝f (﹣12)＝﹣f (12)＝﹣412＝﹣2，所以f (﹣52)＋f (2)＝﹣2.15.在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P'(xx 2＋x2，﹣x x 2＋x 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A'，则点A'的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是__________(写出所有真命题的序号) 答案②③解析对于①，若令P (1，1)，则其伴随点 为P'(12，﹣12)，而P'(12，﹣12)的伴随点为(﹣1，﹣1)，而不是P ，故①错误；对于②，令单位圆上点的坐标为P (cos x ，sin x )，其伴随点为P'(sin x ，﹣cos x )仍在单位圆 上，所以②正确；③设A (x ，y )与B (x ，﹣y )为关于x 轴对称的两点，则A 的“伴随点”为A'(xx 2＋x2，﹣x x 2＋x 2)，B点的伴随点为B'(﹣xx 2＋x2，﹣x x 2＋x 2)，A'与B'关于y 轴对称，故③正确；对于④，取直线l ：y ＝1.设其“伴随曲线”为C ，其上任一点M (x ，y )，与其对应的直线l 上的点为N (t ，1). 则由定义可知{x ＝1x 2＋1，x ＝﹣xx 2＋1，①②①2＋②2得x 2＋y 2＝1＋(﹣x )2(x 2＋1)2＝11＋x 2＝x ，整理得x 2＋y 2﹣x ＝0，显然不是一条直线.故④错误.所以正确的序号为②③. 16.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数.解(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1﹣(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.由0.50×(x﹣2)＝0.5﹣0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠P AB＝90°，BC＝CD＝1AD．2(1)在平面P AD内找一点M，使得直线CM∥平面P AB，并说明理由；(2)证明：平面P AB⊥平面PBD．解(1)取棱AD的中点M(M∈平面P AD)，点M即为所求的一个点.理由如下：AD，因为AD∥BC，BC＝12所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB．又AB⊂平面P AB，CM⊄平面P AB，所以CM∥平面P AB．(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)由已知，P A⊥AB，P A⊥CD，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交.所以P A ⊥平面ABCD ．从而P A ⊥BD ． 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ． 所以四边形BCDM 是平行四边形. 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB ．又AB ∩AP ＝A ， 所以BD ⊥平面P AB ．又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD ． 18.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos x x ＋cos x x ＝sin xx. (1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2﹣a 2＝65bc ，求tan B ．解(1)根据正弦定理，可设xsin x ＝xsin x ＝xsin x ＝k (k>0).则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ． 代入cos x x ＋cos x x ＝sin x x 中，有cos x x sin x ＋cos x x sin x ＝sin xx sin x， 变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π﹣C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C ． (2)由已知，b 2＋c 2﹣a 2＝65bc ， 根据余弦定理，有cos A ＝x 2＋x 2﹣x 22xx ＝35.所以sin A ＝√1﹣cos 2x ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ， 故tan B ＝sin x cos x ＝4.19.已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q>0，n ∈N *. (1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2﹣x 2x x2＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求x 12＋x 22＋…＋x x 2.解(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立.所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列.从而a n ＝q n ﹣1.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3.所以a 3＝2a 2，故q ＝2.所以a n ＝2n ﹣1(n ∈N *).(2)由(1)可知，a n ＝q n ﹣1.所以双曲线x 2﹣x 2x x2＝1的离心率e n ＝√1＋x x 2＝√1＋x2(x ﹣1). 由e 2＝√1＋x 2＝2，解得q ＝√3.所以x 12＋x 22＋…＋x x 2＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n ﹣1)] ＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n ﹣1)]＝n ＋x 2x ﹣1x 2﹣1＝n ＋12(3n ﹣1).20.已知椭圆E ：x 2x 2＋x 2x2＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P (√3，12)在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|. 解(1)由已知，a ＝2B ．又椭圆x 2x 2＋x 2x 2＝1(a>b>0)过点P (√3，12)，故34x 2＋14x2＝1，解得b 2＝1. 所以椭圆E的方程是x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组{x 24＋x 2＝1，x ＝12x ＋x ，得x 2＋2mx ＋2m 2﹣2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4(2﹣m 2).由Δ>0，即2﹣m 2>0，解得﹣√2<m<√2. 由①得x 1＋x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝2m 2﹣2.所以M 点坐标为(﹣x ，x 2)，直线OM 方程为y ＝﹣12x.由方程组{x 24＋x 2＝1，x ＝﹣12x ，得C (﹣√2，√22)，D (√2，﹣√22).所以|MC|·|MD|＝√52(﹣m ＋√2)·√52(√2＋m )＝54(2﹣m 2).又|MA|·|MB|＝14|AB|2＝14[(x 1﹣x 2)2＋(y 1﹣y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2﹣4x 1x 2]＝516[4m 2﹣4(2m 2﹣2)]＝ 54(2﹣m 2). 所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.21.设函数f (x )＝ax 2﹣a ﹣ln x ，g (x )＝1x −ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立.解(1)f'(x)＝2ax﹣1x ＝2xx2﹣1x(x>0).当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a>0时，由f'(x)＝0有x＝1√2x.当x∈(01√2x )时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1√2x∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.(2)令s(x)＝e x﹣1﹣x，则s'(x)＝e x﹣1﹣1.当x>1时，s'(x)>0，所以e x﹣1>x，从而g(x)＝1x −1e x﹣1>0.(3)由(2)，当x>1时，g(x)>0.当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2﹣1)﹣ln x<0.故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.当0<a<12时，√2x>1.由(1)有f(1√2x )<f(1)＝0，而g(1√2x)>0，所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立.当a≥12时，令h(x)＝f(x)﹣g(x)(x≥1).当x>1时，h'(x)＝2ax﹣1x ＋1x2﹣e1﹣x>x﹣1x＋1x2−1x＝x3﹣2x＋1x2>x2﹣2x＋1x2>0.因此，h(x)在区间(1，＋∞)单调递增.又因为h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)﹣g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立.综上，a∈[12，＋∞).。
2016年高考文科数学四川卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共33页）数学试卷 第2页（共33页） 数学试卷 第3页（共33页）绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学(文史类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 为虚数单位，则复数21i =+（） ( )A ．0B ．2C ．2iD ．2+2i2. 设集合{|15}A x x =≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3 3. 抛物线24y x =的焦点坐标是( )A ．0,2（）B ．0,1（）C ．2,0（）D ．1,0（）4. 为了得到函数3y sin x π=+（）的图像，只需把函数y sinx =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C ．向上平行移动个单位长度D ．向下平行移动个单位长度5. 设p ：实数x y ，满足1x ＞且1y ＞，q ：实数x y ，满足2x y +＞，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知a 为函数312f x x x =-（）的极小值点，则a =( )A ．4-B ．2-C ．4D ．27. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据： 1.120.05lg ≈， 1.30.11lg ≈，20.30lg ≈）( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提到的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为( )A ．35B ．20C ．18D ．99. 已知正三角形ABC的边长为平面ABC 内的动点P ,M 满足||1AP =，PM =MC ,则2||BM 的最大值是( )A ．434B ．49C D10.设直线1l ，2l 分别是函数l n 01l n 1x x f x x x -⎧=⎨⎩，＜＜，（），＞，图像上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于A ，B ，则PAB △的面积的取值范围是( )A ．0,1（）B ．0,2（）C ．0+∞（，）D ．1+∞（，）姓名________________ 准考证号_____________----------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题--------------------无--------------------效-----------数学试卷 第4页（共33页）数学试卷 第5页（共33页） 数学试卷 第6页（共33页）第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 750sin ︒= .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13. 从2389,,,中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则 log a b 为整数的概率是 .14. 若函数f x （）是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜1x ＜时，4xf x =（），则522f f -+（）（）= . 15. 在平面直角坐标系中，当Px y （，）不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222'(,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是A '，则点A '的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市 为了制定合理的节水方案，对居民用 水情况进行了调查.通过抽样，获得了 某年100位居民每人的月均用水量 （单位：吨）.将数据按照[0，0.5）， [0.5,1)，…[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.17. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，ADBC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，BC =12CD AD =.（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM 平面PAB ，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB ⊥平面PBD .18. （本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin +=A B Ca b c. （Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；（Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q ＞,*n ∈N .（Ⅰ）若2a ，3a ，23a a +成等差数列，且数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋯+.20. （本小题满分13）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=＞＞的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ，)在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|| |||| ||MA MB MC MD =.21. （本小题满分14分）设函数2ln f x ax a x =--（），1=x eg x x e-（），其中a ∈R ，e =2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f x （）的单调性； （Ⅱ）证明：当1x ＞时，0gx （）＞； （Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f x g x （）＞（）在区间1+∞（，）内恒成立.{1,2,3,4,5}Z A Z中元素的个数为A=A=的元素一一列举出来即可【提示】把集合{【考点】集合中交集的运算3 / 11数学试卷 第10页（共33页）数学试卷 第11页（共33页）数学试卷 第12页（共33页）|||DB|||2DA DC ===，，以3).设(,)P x y ，由已知||1AP =，得131,x y x PM MC M BM ⎛⎫⎛-++== ⎪ ，∴，∴22(1)(||x y BM ++=∴()2max||44BM=2DA DB DC===，因此的轨迹是圆，则2(xBM=【考点】平面向量的计算121B Pxxx=+【提示】先设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点5 / 11数学试卷第16页（共33页）数学试卷第17页（共33页）数学试卷第18页（共33页）7 / 11数学试卷 第23页（共33页） 数学试卷 第24页（共33页）ABAP A =，PBD ⊂平面【提示】（Ⅰ）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；9 / 11222(1)(11)(1)[1]n n e q q -++=++++++222(1)1]n n q q--++数学试卷 第28页（共33页）数学试卷 第29页（共33页）数学试卷第30页（共33页）555(2)(2)(2224MC MD m m =-++=222121211[()()]44MA MB AB x x y y ==-+-=24(2m m -=MA MB MC MD .【提示】（Ⅰ）利用点在椭圆上，列出方程，解出(,),(,x y x y MA MB 用1x ，【考点】直线与圆锥曲线的交线11 / 11。
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2016年高考四川文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网 (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足，则的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= 图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 11、0750sin = 。
12、已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 。
学科&网13、从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则b log a为整数的概率= 。
14、若函数f （x ）是定义R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f （x ）=x 4，则f （25-）+f（2）= 。
15、在平面直角坐标系中，当P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P （22y x y+，22y x -x +），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上。
③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线。
其中的真命题是 。
16、（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。
（I ）求直方图中的a 值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数。
17、（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=½AD 。
（I ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；学科&网 （II ）证明：平面PAB ⊥平面PBD 。
18、（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cCb B a A sin cos cos =+。
（I ）证明：sinAsinB=sinC ； （II ）若bc a c b 56222=-+，求tanB 。
19、（本小题满分12分）已知数列{a n }的首项为1， S n 为数列{a n }的前n 项和，S n+1=S n +1，其中q ﹥0，n ∈N +(Ⅰ)若a 2，a 3，a 2+ a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设双曲线x 2﹣у2a n2 =1的离心率为e n ，且e 2=2，求e 12+ e 22+…+e n 2，20、（本小题满分13分）已知椭圆E ：x 2a 2 +у2b 2 =1(a ﹥b ﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P( 3 ，12 )在椭圆E 上。
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：︳MA ︳·︳MB ︳=︳MC ︳·︳MD ︳ 21、（本小题满分14分）设函数f(x)=ax 2－a －lnx ，g(x)=1x －e e x ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题1.C2.B3.D4. A5.A6.D7.B8.C9.B 10.A二、填空题11.1212.3313.1614.-2 15.②③三、解答题16.（本小题满分12分）（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000. （Ⅲ）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.17.（本小题满分12分）（I）取棱AD的中点M(M∈平面P AD)，点M即为所求的一个点.理由如下：因为AD‖BC,BC =12AD ，所以BC‖AM , 且BC =AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM‖AB . 又AB ⊂ 平面P AB ,CM ⊄ 平面P AB , 所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ,则所找的点可以是直线MN 上任意一点) （II ）由已知，P A ⊥AB , P A ⊥ CD , 因为AD ∥BC,BC =12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以P A ⊥平面ABCD . 从而P A ⊥ BD . 因为AD ∥BC,BC =12AD ， 所以BC ∥MD,且BC =MD. 所以四边形BCDM 是平行四边形. 所以BM =CD =12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP =A,所以BD ⊥平面P AB . 又BD ⊂ 平面PBD, 所以平面P AB ⊥平面PBD .18.（本小题满分12分） （Ⅰ）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===> 则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C . 代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有 cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k A+=，可变形得sin A sin B =sin A cos B =sin (A +B ).在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin (A +B )=sin (π–C )=sin C ， 所以sin A sin B =sin C .（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 2223cos 25b c a A bc +-==.所以sin A45=. 由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ， 所以45sin B =45cos B +35sin B ， 故tan B =sin cos BB=4. 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.由2323+a a a a ，，成等差数列，可得32232=a a a a ++，所以32=2,a a ，故=2q . 所以1*2()n n a n -=?N .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e =由22e =解得q =所以，22222(1)12222(1)2(11)(1+)[1]1[1]11(31).2n n n n ne e e q q q n q q n q n --++鬃?=+++鬃?+-=+++鬃?=+-=+-，20.（本小题满分13分） （I ）由已知，a =2b .又椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点1)2P ，故2213414b b+=，解得21b =.所以椭圆E 的方程是2214x y +=. （II ）设直线l 的方程为1(0)2y x m m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ， 由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 得222220x mx m ++-=，①方程①的判别式为24(2)m ∆=-，由∆>0，即220m ->，解得m <<由①得212122,22x x m x x m +=-=-. 所以M 点坐标为(,)2m m -，直线OM 方程为12y x =-， 由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得(22C D -.所以25)(2)4MC MD m m m ⋅=-+=-. 又222212121212115[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+- 22255[44(22)](2)164m m m =--=-. 所以=MA MB MC MD ⋅⋅.21.（本小题满分14分）（I ）2121'()20).ax f x ax x x x-=-=>( 0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减. 0a >当时，由'()f x =0，有x =当x∈（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增. （II ）令()s x =1ex x --，则'()s x =1e 1x --.当1x >时，'()s x >0，所以1ex x ->，从而()g x =111ex x -->0.（iii ）由（II ），当1x >时，()g x >0.当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<. 故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当102a <<>1. 由（I ）有(1)0f f <=,从而0g >， 所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立. 当12a ≥时，令()h x =()f x -()g x (1x ≥). 当1x >时，'()h x =122111112e xax x x x x x x--+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>. 因此()h x 在区间1+)∞（，单调递增.又因为(1)h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x >0，即()f x >()g x 恒成立. 综上，a ∈1+)2∞[，.。