【全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文作品学习借鉴】艾滋病疗法的评价及疗效的预测2
1.艾滋病疗法的评价及疗效的预测(统计分析)2006B
艾滋病疗法的评价及疗效预测中国地质大学（武汉）谭毅罗文行敖争光指导教师韩世勤全国一等奖摘要：CD4细胞数和HIV病毒载量是反映人体感染HIV病毒之后病程状况的重要指标，尤其是CD4具有重要意义。
本文分析了ACTG公布的两组数据，提出建立统计分析模型，结合多项式曲线拟合和统计的方法求解问题。
利用相关软件（Matlab，Spss，Excel）和自编程序对所给数据进行了大量的统计处理：分组、求均值、消除初值差异、剔除残缺数据和错误数据、加权平均、插值、等效转换等。
用线性回归分析了CD4与HIV的关系为负相关，相关性较好，二者作多项式曲线拟合相关性更高。
以CD4/HIV比值作为反映患者病情的指标与时间t作2阶多项式曲线拟合，得到2次回归方程。
该方程对时间求导得CD4/HIV比值的随时间变化率。
变化率的正负反映患者病情走势。
当处于曲线极大值点时，导数为0，且随时间越过该点导数由正变负，反映患者病情由好变坏，继续服药则药物副作用明显，应立即终止治疗。
根据这一思想可以确定各种疗法的最佳治疗终止时间。
由卫生部发布的免疫学指标：患者经治疗3个月后CD4+T淋巴细胞计数与治疗前相比增加30%即提示治疗有效；和CD4值总体走势（由末值减去初值判断）计算各种疗法有效率，结合最佳终止时间的长短可以评价疗法的优劣。
患者年龄反映了体质的强弱，与其免疫能力关系密切。
按年龄段对每种疗法的患者相关数据分组，利用以上标准计算疗法有效人数和有效率。
将各年龄段某疗法有效人数与该疗法总的有效人数之比作为各年龄段对该疗法的权重（vi），然后对各测试时间点不同年龄段CD4值求加权平均值。
经Newton插值后将CD4与时间t作多项式曲线拟合，得到统计意义上适用于所有年龄段人群的CD4值随时间t的变化趋势。
由回归方程求导并取0值，可以确定最佳医疗终止时间。
当考虑医疗费用时，须在疗效最好和费用最低之间确定一平衡点，使得总体最优。
本文结果：1）最佳治疗终止之间为34.5周；2）疗法优-次序：4-2-3-1;疗法4最佳治疗终止时间为42.816周；3）考虑医疗费用时各疗法优-劣次序：3-2-1-4。
论文：第一组
艾滋病疗法的评价及疗效的预测程文龙、宣树人、赵云青摘要本文主要是研究一个关于艾滋病用药控制、评价和预测的问题。
人类免疫系统的CD4细胞和艾滋病毒HIV 是用以衡量艾滋病人治愈情况的重要指标，它们对不同药物、不同用药量（用药时间）的反应情况是不同的。
本文基于对此的研究，找出计算最佳治疗终止时间，用药方案的方法。
在解决第一个问题时，对附件1数据观测、分析发现被测试CD4的病人多集中在第0、4、8、24、40、48周。
这些检测时间应该是CD4浓度变化的显著点。
其余周次CD4浓度的检测样本小，然后采用就近原则分别归到第0、4、8、24、40、48周，并求其平均值做为各周数据。
最后，借助Matlab 软件，拟合出CD4、HIV 及CD4与HIV 之间随时间他（周次）变化的函数关系.2()0.1138 6.426398.5148f t t t =-++；2()0.00280.1475 4.3494h t t t =-+2()()0.0539 3.07624.5048()f t p t t t h t ==-++ 病人经过28周左右的治疗的状况达到最好，如果继续用药，HIV 虽然可以维持在较低的水平，但CD4将逐渐减少，为了防止并发症的出现，可以考虑适当的调整方案。
在解决问题二时，由于附件一的数据是大约每隔8周测试的CD4浓度所得，故以每八个周次为一单位时段、采用就近原则对数据进行处理，得到四种疗法中CD4的变化曲线图，有图形分析得出第4种疗法疗效最好，第3种次之，第1、2种较差。
第2小问中用灰色预测系统模型求解,较好的解决了由于数据不足，用数理统计方法误差较大的局限性，所以灰色预测系统模型比较适合此类需要预测较多数据的问题，且绝对误差较小。
故利用灰色模型中的GM(1，1)模型对第四种疗法的疗效进行预测与分析。
从而最终得出最佳停药时间为第16周。
在解决问题三时，由于4种疗法是每隔8周测试一次，而4种疗法的用药均为日用药量，并且各种疗法费用不同。
2006年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛终稿
4 y CD j
x
i 1
n
CD 4 ji
nj
y HIV j
x
i 1
n
HIV ji
nj
（1）
4 其中：y CD 表示第 j 周服药后统计总体 CD4 的平均含量，y HIV 表示第 j 周服药后统 j j 4 x HIV 计总体 HIV 的平均含量， 表示第 j 周第 i 个样本的 CD4 的含量， x CD ji 表示第 j 周第 i 个 ji
二． 符号约定
4 y CD ：表示第 j 周服药后统计总体 CD4 的平均含量； j
y HIV ：表示第 j 周服药后统计总体 HIV 的平均含量； j
4 x CD ：表示第 j 周第 i 个样本的 CD4 的含量； ji
x HIV ：表示第 j 周第 i 个样本的 HIV 的含量； ji
xi
：神经网络的网络的输入（i=1,2,3） ；
四． 模型的建立和求解
4.1 HIV 作用机理和控制机理 艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症” ，英文简称 AIDS，它是由艾滋病毒 （医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称 HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫 系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。 人类天生具有免疫功能，当细菌、病毒等侵入人体时，在免疫功能正常运作下，就 算生病了也能治愈。 然而， HIV 所攻击的正是人体免疫系统的中枢细胞——T4 淋巴细胞， 致使人体丧失抵抗能力，不能与那些对生命有威胁的病菌战斗，从而使人体发生多种极 为少见的、不可治愈的感染和肿瘤。值得一提的是，HIV 本身并不会引发疾病，而是当 免疫系统被 HIV 破坏后，人体由于失去抵抗能力而感染其他的疾病导致死亡！ HIV 进入人体， 病毒表面的 gp120 与 CD4+T 细胞的受体结合， 在 gp41 的协助下发生 细胞膜的融合，进入细胞浆。HIV 在细胞内大量复制而导致细胞溶解或破裂。 CD4+T 淋巴细胞受损的方式[1]： 1.病毒直接损伤； 2.非感染细胞受累； 3.HIV 感染干细胞； 4.免疫损伤。 艾滋病毒 HIV 侵入人体后寄生在人体免疫系统中 T 细胞内， 并与宿主细胞的遗传物 质 DNA 整合一体进行复制。HIV 病毒随宿主细胞的 DNA 复制而复制，从而破坏和毁灭免 疫细胞，并释放出更多的病毒粒子感染更多的人体细胞。就这样，病毒一代代地繁殖， 免疫细胞不断受到破坏，最终导致全身免疫能力的完全丧失，感染各种病毒并发生恶性 肿瘤而死亡[2]。 然而一旦 HIV 病毒进入人体，免疫系统就试图清除它。CD4+ T 细胞会得到病毒入侵 的报告，CD4 是一种依附于‘1 细胞表面的蛋白质的制造者，字母‘1'是指在细胞离开 骨髓后使细胞成熟的胸腺组织。CD4+T 细胞的表面有一种蛋白质，它能够与外界物质比 如 HIV 结合在一起。因此当 CD4+T 细胞进行复制来抵抗病原体时，他们也产生了更多的 病毒。 4.2 问题一的基于函数拟合和神经网络预测以及浓度差值导数评判模型的建立与求解 4．2．1 数据的预处理 通过附件一给出的数据我们可以观察到，数据中有一部分治疗者的数据是缺失的， 我们在这里将其理解为：如果病人的病情出现比较大的恶化，则治疗测试者选择放弃继 续治疗，这样就不存在接下来的测试数据；而对于缺失某一项数据（比如一组测试中只 存在 CD4 的数目，而缺失了 HIV 数目）的数据，我们将其视为测试的失误，即此次测试 视为无效测试，这样的测试我们进行删除，这样就得到了一个新的测试表，我们将其定 义为有效测试表。 由于一种治疗方法的治疗效果的评判一般是以一定时间内的 CD4 和 HIV 的变化量来 度量的。但是由于测试者的测试时间不是进行统一的，而是具有一定的随机性，这样我 们就对治疗测试的数据进行了如下的处理：
艾滋病疗法的评价及疗效的预测4 数学建模全国赛优秀论文
艾滋病疗法的评价及疗效的预测(轩辕杨杰整理)摘要艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力.对于问题1，我们通过对题中所给的附件1里的数据进行分类排序分析.对CD4和HIV的数据按照时间（周）从小到大进行排序，生成有较强规律性的数据序列，对于每个时间点CD4的数据，我们分别求其平均值，并对于人数较多的时间对应的CD4的值，从中挑出来，作成表格和图形，找出其极大值、极小值和稳定值的一组数据，运用灰色预测模型进行假设，建立相应的微分方程模型进行预测，运用Matlab软件计算我们需要的数据，从而找出极大值、极小值和稳定值出现的时间点（周）.对应于HIV，我们做同样的分析.最后我们综合分析得到结论：病人在测试用药的40周后的第28周停止用药最好.对于问题2，我们对题中附件2里的数据先按疗法分为4类，再分别将每一类疗法的数据按年龄排序，分为3个阶段，挑选出对我们有价值的数据，求其平均值，并对于人数较多的时间对应的CD4的值，从中挑出来作成表格和图形，对这些阶段的数据进行分析，我们得出第4种疗法最优.然后对疗法4的所有数据（不分年龄）进行总体分析，再运用灰色模型，建立相应的微分方程模型进行预测，运用Matlab软件计算我们需要的数据，从而找出极大值、极小值和稳定值出现的时间点（周）.最终我们得到如下结论：病人在第52周时停止用药最好.对于问题3，治疗费用的多少直接影响到病人对疗法的选择，我们运用层次分析法，第一步构建层次分析模型；第二步求本层次要素相对于上一层次要素的权重；第三步运用和法求判断矩阵的特征向量；第四步计算最大特征值，对判断矩阵进行一致性检验；第五步综合计算结果，最终得到结论：接受疗法1是病人最满意的疗法.关键词:灰色预测模型层次分析法 HIV的浓度 CD4的值残差检验一、问题重述艾滋病是由艾滋病毒引起的.这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命.人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV 的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速增加，导致AIDS发作.艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力.迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高.许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法.现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据.我们要解决的问题是：1、利用题中所给附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）.2、利用题中所给附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.3、艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元.如果病人需要考虑4种疗法的费用，对2中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变.二、问题分析问题1是依据同时服用zidovudine，lamivudine和indinavir这3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量），预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.我们运用灰色预测模型GM（1，1）模型来进行假设，需要对数据进行分析，通过灰色模型和相应的计算来预测未来时间里CD4和HIV的浓度及相关数据.灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况.问题2是将1300多名病人分为4组，每组按4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试一次CD4的浓度.最后评价4种疗法的优劣，并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.我们运用灰色预测模型，来预测4种疗法的治疗效果，即我们要通过数据找到规律，通过相应的计算（运用EXCEL 软件）来预测未来时间里4种疗法在不同年龄段CD4的浓度及相关数据，找到哪一种疗法疗效较好，与问题1的方法相同，运用灰色模型预测出继续治疗的效果.问题3中病人需要考虑4种疗法的费用，第1种疗法病人第一个月需花费48美元，第2个月需花费25.5美元，以后两种疗法交替进行，每两个月需花费73.5美元；第2种疗法病人每月需花费103.5美元，每两月需花费207美元；第3种疗法病人每月需花费73.5美元，每两月需花费147美元；第4种疗法病人每月需花费109.5美元，每两月需花费219美元；因个人经济状况的不同，这4种疗法费用的多少可能会影响到病人选择哪一种疗法，对于此问题，我们需要将这4种疗法预测的治疗效果和其所需费用综合考虑，运用层次分析法进行分析，决定采取何种疗法.三、模型假设1、对于题中附件1里的数据我们假设如下：将其按测试的时间排序，其中在同一时间段测试结果数量少于30个的数据，我们忽略不计（例如，对于第六周测试时只有11个人，我们将把这十一个数据忽略）；2、假设题中附件2里同一时间里的数据过少时，我们在计算时也将这些数据忽略不计；3、假设影响病人治疗的只有费用和疗效两个因素，不考虑其它因素；四、符号定义及说明1、(0)X 为原始序列2、(1)X 为生成累加序列3、Φ为相对残差序列4、Φ为平均相对残差5、a 称为发展系数6、u 称为灰色作用量7、ˆα为待估参数向量 8、()0∆为绝对残差序列9、CD4（Date ）为测试CD4的时刻（周） 10、Log(CD4 count+1) 为测得的CD4浓度 11、max λ为最大特征值12、CI 为检验判断矩阵一致性的指标 13、CR 为一致性比例 14、RI 为修正系数15、i A 和j A 为本层次的要素i A 和j A （i,j=1,2…,n ） 16、k C 为上一层次要素五、模型的建立与求解1、问题1：首先，我们通过对题中所给的附件1里的数据进行分类排序分析.对CD4和HIV的数据按照时间（周）从小到大进行排序，生成有较强规律性的数据序列，对于每个时间点CD4和HIV的数据，我们分别求其平均值，并对于人数较多的时间及对应的CD4和HIV的值，从中挑出来，作成表格和图形：图1（CD4浓度随时间的变化图形）图2（HIV浓度随时间的变化图形）对于这两个图，我们取它们的异常值，然后利用灰色模型预测下一个异常值出现的时间。
全国数学建模竞赛艾滋问题研究
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本题是一个根据ACTG所公布的数据对艾滋病的疗法进行评价，并对其疗效进行预测的问题。
在解决过程中，我们建立了四个数学模型，并给出了具体的数值结果。
针对问题一，我们建立了两个数学模型，从附件一中筛选了部分数据，从不同的角度解决了问题。
模型一运用了二元线性回归预测方法以最小二乘法为工具得到了二元经验线性回归方程及相应数值结果。
模型二为带有权重系数的Hammerstein模型，可视为模型一的推广。
在一般情况下，它是一个非线性的模型，因而我们用最速下降法给出了回归方程系数的数值解法。
问题二的解答利用了模型一、二中的相关结论，建立了一个多目标决策的数学模型。
该模型中，我们运用层次分析法得到了各评价因子的权重系数，并由此得出疗法的综合评价指数。
从附件二中筛选了部分数据，根据病情及年龄将其分为九类，对每一类患者选择了较优的疗法，并确定了最佳治疗终止时间。
在问题三的解决过程中，我们考虑了疗效和费用两因素，建立了模糊切比雪夫多目标决策模型，利用该模型我们得到了问题二的重新评价和预测结果。
问题一、二、三的具体数值结果如下：问题一：轻症患者最佳治疗终止时间为第76周，中症患者为第65周，重症患者为第54周。
问题二：对第1类病人第一种疗法的疗效较好，其最佳治疗终止时间为第78 周；对第3类病人第二种疗法较为有效，其最佳治疗终止时间为第20周；对第2类病人第三种疗法的治疗效果较好，其最佳治疗终止时间为第41周；对第48类病人第四种疗法较为有效，最佳治疗终止时间分别为第34,29,40,24,25周。
问题三：问题二中需要调整疗法的有:第3、第7、第8类病人，他们均可选用第三种疗法。
关键词：最小二乘法模糊切比雪夫多目标决策层次分析法一、问题的重述与分析1、问题的重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。
2006年全国数学建模B题题目及优秀论文赏析
为了叙述的方便，我们把题目中所用的变量用下列参数来代替： Y1 ：问题一中的 CD4 细胞计数；（个/ul）
Y2 ：问题一中的 HIV 浓度：（单位不详） X ：问题一中的周次数： Z1 ：问题二中的按疗法一治疗的患者的 CD4 细胞计数；（个/ul）
Z 2 ：问题二中的按疗法二治疗的患者的 CD4 细胞计数；（个/ul）
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据。 ACTG320（见附件 1）是同时服用 zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和 indinavir（茚地那韦） 3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度（每毫升血液里的数量）。 193A（见附件 2）是将 1300 多名病人随机地分为 4 组，每组按下述 4 种疗法中的一种 服药，大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度（这组数据缺 HIV 浓度，它的测试成本很高）。4 种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或 400mg didanosine（去羟基苷），这两种药 按月轮换使用；600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine，再加 400 mg nevirapine （奈韦拉平）。
继续使用的疗效。由于这些数据是在随机分组的人群中获得的，所以我们假设这
些样本是独立的，这样我们就可以采用统计学中的多个独立样本的非参数检验
法，利用SPSS11.5软件中的多个独立样本比较秩和检验功能完成，运用
Kruskal-Wallis H Test和中位数检验法在统计学意义上给出每种疗法的相对疗
2006建模B题
它描述了人口的演变过 程。
时间序列分析(预测与控制） 时间序列是按照时间顺序取得的一系列观察值,时间序列典型 本质是相邻观察值的依赖性,这种依赖特征具有很大的实际意 义,时间序列分析所论及的就是对这种依赖性进行分析的技巧.
时刻 t 的人口总数记为N ( t ),最大年龄记为rn ,理论推导设 rn ,人口密度函数定义为 F p( r , t ) r p( r , t )dt表示时刻t 年龄在区间 r , r dr ]内的人数. [
由人口调查资料得到初 始密度函数 p( r ,0 ) p0 ( r ), 单位时间出生的婴儿数 为 p(0 , t ) f ( t（婴儿出生率） ( t )则对预测和控制人口起 ) ,f 着重要作用 ( r , t )为时刻 , t 年龄 r 的人的死亡率
注1 建立几个模型相互比较 验证者为优 、 . 注 2 不能只有模型 不做统计分析 对模型结果进行统计分 , 考虑与 , ; 析 数据拟合程度 注意去除异常数据者较 , 优
注 3 注意到有一些数据是当 出现CD4下降、HIV 上升就及时结束 的, 并做出适当考虑者较优 .
注4 注意到题目中 艾滋病治疗的目的是尽 " 量减少人体内 HIV的 数量,同时产生更多的 4 , 至少要有效地降低 4减少的速 CD CD 度" , 并对结果做出适当考虑 者较优.
若一个时间序列的未来值只能用概率分布加以描述则称之为非确定性的.通常关
心的正是这种统计时间序列.
设T 是一无限实数集 ,称依赖于参数 t T的一族(无限多个)随机变量为随机过程. 记为 X ( t )| t T ,常把 t 视为时间,称随机变量 X ( t )为 t 时刻过程的状态.
2006B艾滋病疗法的评价及疗效的预测及评阅要点
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”，英文简称HIV）引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV 的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS 疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。
ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine （拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。
193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。
4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。
艾滋病疗法的评价及疗效的预1
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文通过对美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据，分析各治疗方法的疗效，并结合药品价格最终得到一个较优的艾滋病治疗方法。
针对问题一，我们对每个病人的CD4和HIV浓度的数据分别用拉格朗日插值，得到每个病人在第0、5、10、15、20、30、40周的数据，对每个病人在同一时刻的数据作分析得到CD4和HIV浓度的典型值，由各时刻的典型值进行曲线拟和，综合CD4和HIV浓度的曲线分析治疗效果。
针对问题二，我们采用两种方案：方案一和第一问类似，仍然利用拉格朗日插值计算病人在第0、8、16、24、32、40周CD4和HIV浓度的典型值，然后求解等时间间隔序列的灰色预测模型；方案二考虑CD4浓度的增长率，两种方案分析结果一致。
针对问题三，我们在第二问的基础上结合药品价格，并从CD4周单位增长率所消耗的费用入手得到一个性价比较高的治疗方法。
关键字：拉格朗日插值曲线拟和灰色预测增长率分析一、问题的重述与分析1.问题重述：艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。
19308-数学建模-B甲1901
同样有 wi,ni −1
>
w 且 w i,ni −2
i,ni −1
+ wi,ni −2
= 1 。这反映了一个客观实际，即最近一次检
测结果在对缺失数据的处理中的作用要大于次近次的检测结果，并且这种作用的 相对明显程度取决于三次检测时间的相对时间间隔。
（1）艾滋病治疗的目的是尽量减少人体内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4， 至少要有效地降低 CD4 减少的速度，以提高人体免疫能力。但目前 AIDS 疗法不 仅对人体有副作用，而且成本也很高。
（2）美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据，附件 1： ACTG320 是同时服用 zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和 indinavir（茚 地那韦）3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度（每毫升血 液里的数量）；附件 2： 193A 是将 1300 多名病人随机地分为 4 组，每组按下述 4 种疗法中的一种服药，大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度（这组数据缺 HIV 浓度， 它的测试成本很高）。4 种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或 400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine 加 2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine；600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine，再加 400 mg nevirapine（奈韦拉平）。
这种影响会越小，为处理方便我们只取其后的两组数据进行处理。首端数据 ci1 按
不同权重由 ci2 , ci3 增补为：
艾滋病疗法的评价及疗效的预测(潘晓青 呙永熠 翟朋)
★★★此文荣获2006年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛重庆市一等奖★★★艾滋病疗法的评价及疗效的预测潘晓青呙永熠翟朋摘要：艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
从数据附件1中约40多期测试中抽出样本数大于30的样本，对其共13期的平均测试值数据进行最小二乘法拟合，拟合曲线采用3次多项式，探求了全体病人的CD4、HIV 和CD4/HIV的变化规律。
其全体病人平均CD4值随时间变化的方程为：0.0047t3-0.389t2+10.4594t+93.6575.由于个体治疗差异的客观存在，我们认为评价继续治疗效果应该是单独预测每个病人的继续治疗效果，然后顺便评估该治疗方案对全体病人的继续治疗效果。
对每个病人而言，对附件一中提供的多期CD4和HIV测试值进行最小二乘法拟合，拟合曲线采用3次多项式，利用拟合后的3次多项式预测继续治疗后下一期（8周后）的CD4和HIV，再求出继续治疗期（八周）CD4和HIV的平均变化速度。
根据CDC于 2002年制定的《艾滋病诊断与治疗指导方案》试行版，制定继续治疗效果的评价准则。
以病人HIV值、CD4的浓度值和CD4浓度变化的平均速度，对于第一问中的疗法，将病人的继续治疗效果分为优秀、差和继续治疗观察三个等级，其中优秀的占20.1%，差的占36.7%，继续治疗观察的占43.2%。
总的来说，此种疗法继续治疗效果不佳。
人体免疫力随着年龄呈马鞍型变化且是不稳定的。
用正态分布（μ=28.5，σ=30）模拟人体免疫力随着年龄变化的概率，计算病人的免疫力因子。
利用免疫力因子修改继续治疗效果的评价准则。
用新的继续治疗效果评价准则，求出四种疗法的疗法继续治疗4，2，1；对保守型者，四种疗法最后的从优到劣的顺序为3，4，1，2。
疗效和费用一般是互相矛盾，将疗效和费用作为两个因素，采用多因素，层次分析法，针对更看中疗效，不重视费用的患者，四种疗法从优到劣的顺序为：3，2，4，1；针对更看中花费的患者，四种疗法最后的从优到劣的顺序为：1，3，2，4。
数学建模山大推荐国家队试卷2006艾滋病疗法的评价及疗效的预测
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘 要本文所要讨论问题的关键在于对所提供的统计数据的分类处理。
根据对CD4和HIV 在不同病重程度的人体内浓度的变化规律，使用神经网络模型中的径向基函数网络方法分别进行曲线拟合并近似预测，确定了继续治疗的效果，并应用模糊综合评价方法对不同疗法进行了近似预测。
对问题1，根据CD4细胞和HIV 病毒的浓度把病人按造病情不同分成4类。
先对病情相似的病人在不同时间段内的统计数据进行平均化处理，把处理结果看作是此类病人体内浓度变化的一般规律，然后对处理结果利用神经网络模型中的径向基函数网络方法进行曲线拟合，得出细胞和病毒浓度的近似变化规律，并做出对继续治疗效果的预测：B 类与D 类的继续治疗效果很好，推荐继续治疗；A 类较好，但应提前终止治疗；C 类较差，应提前终止治疗。
对问题2 ,为判定疗法的优劣，按疗法不同，病人共分为四类1E , 2E , 3E , 4E ，分别对应第1，2，3，4种疗法。
我们先忽略病人的初始病情的不同，由主成分分析法确定了三个影响疗法优劣的指标：CD4的产生量，CD4速度减小的程度a ，CD4浓度在人体内的稳定程度S(因为我们总希望CD4浓度在人体内越稳定越好)。
最后我们使用模糊综合评价模型，采用模糊评价的方法得到模糊评价矩阵P1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12.017.031.040.053.026.015.006.044.030.016.010.0,并根据主成分分析法和艾滋病的治疗目的确定出三个指标的权系数向量 τ =(0.5 0.4 0.1）,从而最终确定第4种方法最优，但继续治疗效果并不很好，应提前终止治疗。
对问题3，我们利用第2问已得结果，考虑到价格因素对不同收入水平的病人选择治疗方案的影响，仍然利用模糊综合方法评价模型，计算出价格的归一化向量η=（0.46，0.16, 0.23，0.15）,得到疗效和价格的模糊评价矩阵P2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15.023.016.046.0444.0271.0171.0114.0 ,进一步设出根据收入水平不同分成的四组的疗效和价格的权系数向量，得最终结果：高收入人群和中高收入人群趋于选择疗效好的治疗方法，适于选择第四种疗法；低收入人群和中低收入人群趋于选择低价位疗法，适于选择第一种疗法，但由于继续治疗效果不佳，我们建议提前终止治疗。
艾滋病疗法的评价及疗效的预测-数学建模2006年获全国一等奖论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：B甲1304所属学校（请填写完整的全名）：山东理工大学参赛队员(打印并签名) ：1.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：丁树江日期：2006 年 9月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文利用美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的ACTG320和193A数据，在合理的假设基础上，通过线性插值拟合均匀的模拟出每个被调查者每周身体中CD4细胞计数和HIV浓度，对所有的被调查者每周的CD4细胞计数和HIV浓度求平均值，这样可以得到一个关于该疗法的从时间序列角度来说较为完全的数据。
用SPSS模拟出最优曲线，得出该疗法对人体CD4细胞计数影响近似为三次曲线，而对人体HIV浓度的影响在四十周以前与四十周以后可以分别用S曲线和三次曲线较好的模拟，从而可以更好的预测未来疗效。
由于现行实验室艾滋病入选标准为CD4细胞计数，所以我们根据CD4细胞计数的拟合曲线，参考HIV 拟合曲线，得出应该在二十七周左右终止该疗法。
针对问题二中被随机分组的1300多名被调查者分别服用不同的药物组合的跟随检测数据，沿用问题一的数据处理方法，用均匀插值填充从第零周到最后一周的数据，得到四种疗法被调查者每周的CD4细胞计数时间序列数据，计算出使用各种疗法的所有被调查者在每个周次的CD4细胞计数的均值，合出较优的针对经过用SPSS多次模拟，拟每种疗法的模型，继而可用此模型分别预测每种疗法继续使用的疗效。
爱滋病疗法的评价及疗效的预测
CD4COUNT
1000
800
600
400
200
Observ ed Linear Quadratic
0
-200 -10 0 10 20 30 40 50 60
Cubic
CD4DATE
由实际问题的背景及统计结果得出总体 CD4 的预测模型为： CD4=-0.1014 t 2 +6.2132 t +100.522 极值点：t=31 得到治疗终止时间为 t=37(周) 对于问题二： 首先，我们对原始大量数据用 SPSS 软件进行统计分析，得出艾滋病患者的 CD4 含 量与年龄无关，具体情况见下表
CD4COUNT
由图可知 CD4 与 HIV 有负相关关系，且此关系当 CD4 的值大于 100 以后更加明显。 所以我们的评价模型可以以 CD4 的值作为主要评价指标，
3
由此将 CD4 与时间作为疗效评价的标准。 又对这种方案总的最佳停药时间与回归模 型进行筛选，由软件分析,可知用二次函数建立模型最优 参照文献 [1] 依据疗效分为三类： 1，CD4 细胞计数上升〉51%，为疗效显效； 2，CD4 细胞计数升高 11%—50%，为有效； 3，CD4 细胞计数上述<10%为无效. 所以我们将病人分为三类。将每一类的数据进行回归分析，得到三个二次回归方程 Count（CD4）= b0 t 2 + b1 t+ b2 其中第一类的（ b0 b1 b2 ）=（-0.1239 7.7905 90.1614） 极值点 t=7.7905/0.2478=31.43，疗效显著率为 68%。 其中第二类的（ b0 b1 b2 ）=（-0.1062 5.1960 139.4102） 极值点 t=5.1960/0.2124=24.46，疗效有效率为 16%。 其中第三类的（ b0 b1 b2 ）=（-0.0235 0.6840 110.1638） 极值点 t=0.6840/0.047=14.55，疗效无效率为 16%。 说明这个治疗方法的总有效率为 84%。 而且得出前两种类型的主要判别依据是大约第 8 周的 CD4 的数据,此时的 CD4 数量 高,HIV 的数量低,则到 24 周左右达到最优治疗效果。到 31 周后治疗效果逐步降低。 通过 MATLAB 软件，求得三类病人的二次回归模型曲线，见下图。
艾滋病疗法评价及疗效预测
在此，我们也约定文中所用符号如下：
f0(t)：采用“周次段”方法的 CD4 与时间 的函数关系；
g0(t)：采用“周次段”方法的 HIV 与时间 的函数关系；
h(t)：采用“周次段”方法的 CD4/HIV 与 时间的函数关系；
f(t)：采用“逐次修正”方法的 CD4 与时间 的函数关系；
g(t)：采用“逐次修正”方法的 HIV 与时 间的函数关系；
HIV)引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使 人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害 人的生命。人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 的入侵中起着重要作用，当 CD4 被 HIV 感 染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV 将迅速 增加，导致 AIDS 发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少要有 效地降低 CD4 减少的速度，以提高人体免疫能 力。
Fi(t)：四种治疗方法的 log(CD4+1) 与时间 的函数关系式，i = 1, 2, 3, 4。
2
3 问题分析与求解的基本思路
我们的目标有三个：预测继续治疗的效 果，或者确定最佳治疗终止时间；对 4 种疗法 进行评价并预测；结合 4 种疗法的费用，进行 评价并预测。
(1) 因为艾滋病治疗的目的，是尽量减少人 体内 HIV 的数量，同时产生更多的 CD4，至少 要有效地降低 CD4 减少的速度。
图 2(b)
进一步考察表 2 的数据，我们发现第 6 个周 次段中，测试 CD4 的患者数目急剧减少，而测 得的 CD4 平均浓度却突然变低。
按照医学常理分析，应该是疗效好的患者 因 CD4 的含量很高，艾滋病症状不明显或已经 消失，已经不必进行检测，而继续检测者则是 治疗效果不好者，CD4 含量产生了突变。
五组答案
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文全面讨论了艾滋病疗法的有效性及疗效的预测性问题。
我们根据第0周病人体内的CD4浓度(单位：个/ml)将病人分为重度病人 CD4<200，中度病人200<CD4<500，和轻度病人CD4>500三组。
在问题一中，对每组病人的测量时间依照就近原则进行了处理，剔除了无效数据，将前三个检测时间调整为第0，4，8周，然后对每组病人的CD4（或HIV）值取平均值作为原始数据.考虑到数据贫乏，我们首先用灰色GM (1,1)模型处理数据，预测一个疗程内药物的疗效，对疗效好的病人预测最佳治疗时间；然后建立了灰色Logistic模型，并对两种模型的预测结果进行对比；最后用MATLAB 仿真模拟出各组病人的疗效好坏比例，对治疗效果给出了比较全面的评价,得出结论。
在问题二中，对每组病人的测量时间依照就近原则进行了处理，剔除了无效数据，将前三个检测时间调整为第0，8，16周。
利用MATLAB软件包分别对四种疗法的疗效作了统计模拟，得出如下结论。
在问题三中，我们用效益型和成本型定量指标对四种疗法进行评价，建立如下方程：E(t)=α（C(t)和m(t)所占的权值分别α,1-α）在α=0.3的情况下得出了第三种疗法的满意度最大。
关键词：灰色模型，预测，MATLAB仿真模拟一问题的重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病是由艾滋病毒（英文简称HIV）引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
【全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文作品学习借鉴】艾滋病疗法的评价及疗效的预测2
学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学年级： 2 0 0 5 级姓名：程为民学号： 222005*********艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文通过对大量艾滋病患者用药情况调查数据的分析处理，建立了数据的统计分析及推断模型，对不同数据按照实际情况进行合理分类。
根据建立的模型比较艾滋病各种不同疗法的优劣，并通过多项式拟合的方法做出药物治疗的拟合曲线以预测其治疗的最佳终止时间以及疗效。
最后综合病人自身经济条件，利用图像选择出一种疗效佳、成本又低的疗法，实际可行性很高！接着还对模型的稳定性、误差作了深入的分析，评价，并且做出细致的灵敏度分析，还有对模型优缺点的分析讨论也十分客观、实际，据此做出的改进使模型的预测、评价结果更准确，更科学！本文还适当利用图形进行比较，增强问题分析解说的力度和真实准确性！关键词多项式拟合统计分析分类处理一问题的提出当前人类社会最严重的瘟疫之一（艾滋病）。
全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（英文简称HIV）引起的。
破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
如何有效防治及治疗艾滋病已经成为社会关注的焦点。
首先让我们了解一下治疗机理：人类免疫系统的CD4细胞担任着“门卫”的工作。
在抵御HIV的入侵中有重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，CD4数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS 发作。
因此艾滋病的治疗方向：是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
人类很需要寻找一个疗效佳、成本低的AIDS疗法。
在寻找疗法的过程中，我们需要根据收集到的数据统计分析来预测继续治疗的效果及确定最佳治疗终止时间。
2006全国大学生数学建模竞赛题目(B题)
2006全国大学生数学建模竞赛题目-----------------------------------------------------------B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。
ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir （茚地那韦）3种药物的 300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。
193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。
4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine 或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine 加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。
艾滋病疗法的评价及疗效的预测5
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：重庆大学参赛队员(打印并签名) ：1. 曾爱凤2. 杨源飞3. 刘耀中指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：龚劬日期： 2006 年9 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病疗法的评价及疗效的预测【摘要】本问题要求我们利用艾滋病服药治疗期间测试所得的数据预测继续治疗的效果并评价各种疗法的优劣。
对三个问题我们都运用回归分析方法和方差分析方法来建立统计模型。
就问题一，首先对所有数据进行处理，建立了一元多项式回归模型，将多项式回归模型转化为多元线性回归模型运用Matlab软件求解，通过最小二乘法参数估计和统计检验，得到关于与测试时刻的比较准确的函数关系及其回归曲线，由此预测出药物治疗的效果，最终得出在药物治疗的第25.0000周停止用药最为合适的结论。
然后提出分类的思想，即按不同病人在服药前期的CD4浓度大小不同将数据分成三组，对每组数据同样按前面的思路建立回归模型并求解，确定最佳治疗终止时间依次为第25.1295周，第24.0000周，第25.0000周。
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学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学年级： 2 0 0 5 级姓名：程为民学号： 222005*********艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文通过对大量艾滋病患者用药情况调查数据的分析处理，建立了数据的统计分析及推断模型，对不同数据按照实际情况进行合理分类。
根据建立的模型比较艾滋病各种不同疗法的优劣，并通过多项式拟合的方法做出药物治疗的拟合曲线以预测其治疗的最佳终止时间以及疗效。
最后综合病人自身经济条件，利用图像选择出一种疗效佳、成本又低的疗法，实际可行性很高！接着还对模型的稳定性、误差作了深入的分析，评价，并且做出细致的灵敏度分析，还有对模型优缺点的分析讨论也十分客观、实际，据此做出的改进使模型的预测、评价结果更准确，更科学！本文还适当利用图形进行比较，增强问题分析解说的力度和真实准确性！关键词多项式拟合统计分析分类处理一问题的提出当前人类社会最严重的瘟疫之一（艾滋病）。
全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（英文简称HIV）引起的。
破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
如何有效防治及治疗艾滋病已经成为社会关注的焦点。
首先让我们了解一下治疗机理：人类免疫系统的CD4细胞担任着“门卫”的工作。
在抵御HIV的入侵中有重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，CD4数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS 发作。
因此艾滋病的治疗方向：是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
人类很需要寻找一个疗效佳、成本低的AIDS疗法。
在寻找疗法的过程中，我们需要根据收集到的数据统计分析来预测继续治疗的效果及确定最佳治疗终止时间。
并对目前常用的几种疗法进行比较分析、评价优劣，并得出成本与疗效兼优的疗法。
二问题分析该问题是一个通过实验数据，预测AIDS疗法治疗效果和寻找最佳治疗终止时间的问题。
在对数据进行分析后，考虑到数据量大，我们决定采用平均值为基本数据进行拟合。
对附件一的数据进行处理：去除其中的不完全数据，计算出在各周CD4和HIV浓度的平均增量，从而得到两组数据，进而用Matlab软件进行多项式拟合处理，根据得到的拟合曲线进行预测和分析，继而确定最佳治疗终止时间。
对附件二的数据进行处理：有些病人的测量只有初始数据，因而看不出疗效，对于这类数据我们予以排除，这样可以避免造成较大的误差。
然后再对四种疗法分别按照不同年龄段（30岁以下，30—40，40岁以上）进行分类统计处理，计算出各组病人在各测试周体内CD4的平均增量，得到12组数据，对其按年龄段分为三组，运用Matlab 软件进行多项式拟合处理，根据得到的拟合曲线比较各种疗法疗效的优劣，并对较优的疗法预测继续治疗的效果，确定最佳治疗终止时间。
最后结合各种疗法的价格对这四种疗法进行综合评估。
三模型基本假设及说明1.我们假设采集的数据科学合理，有代表性，不受地域等因素影响或者说这种影响所造成的误差可以忽略不计！2．数据处理时，排除掉了极个别的不完全数据，由于原始数据的随机性，因此并不影响用于计算的数据的合理性。
3．在预测药物疗效的过程中，只以CD4或HIV的浓度为标准，而不考虑其它因素的影响。
4．在比较四种疗法，评价优劣，对附件二进行数据处理时，将第8n周及其前后相差一周左右所测得的数据统一看作是在第8n周测得的。
（n=0、1、2、3、4）5．附件二中，同一年龄段病人的身体素质视为在同一水平线。
6.考虑药品价格时，不考虑由于不同地区的运输而造成的价格差异和改变。
7.治疗过程中，不考虑病人因别的原因服用其它药物是否会影响测试结果。
四模型的建立及求解问题一：将附表1中的不全数据去除，统计出在0周和3周都有数据的病人，用这些病人在第3周的CD4的平均值减去在第0周的值，得出CD4平均增量Z3，用其在第0周的HIV平均值减去在第3周的平均值，得出HIV的平均减少量J3。
再统计出在第0周和第4周都有数据的病人，用这些病人在第4周的CD4的平均值减去其在第0周的平均值，得出平均增量Z4，用其在第0周HIV的平均值减去在第4周的平均值，得到HIV 平均减少量J4…这样重复下去,便得到两组数据:Z3，Z4，Z5…Z42和J3，J4，J5…J42.(若某组病人数量少于10人，则不记这组数据)考虑到CD4的关系，故做出如下处理：将每个CD4增量平均值分别除以其增量平均值的最大值，记为A，（用同样的方法处理HIV240.9099560.7394472510.648989260.557650.433756380.8311550.633697390.8960781400.9561380.871737410.7229140.77328再以这两组数据的代号的数字为自变量，以这两组数据为函数值进行多项式拟合。
以下为所编程序：x=[3 4 5 7 8 9 22 23 24 25 26 38 39 40 41];y1=[0.764202 0.738579 0.777001 0.799129 0.851462 0.909801 0.724744 0.9056 0.909956 1 0.5765 0.831155 0.896078 0.956133 0.722914];y2=[0.331772 0.381651 0.355296 0.498546 0.526409 0.585966 0.636766 0.851339 0.739447 0.648989 0.433756 0.633697 1 0.871737 0.77328];q5=polyfit(x,y2,5),p5=polyfit(x,y1,5);disp('5次拟合'),poly2str(q5,'x')poly2str(p5,'x');xx=3:0.1:47;y25=polyval(q5,xx),y15=polyval(p5,xx);plot(x,y1,'r-*',x,y2,'g-*',xx,y25,'k-.',xx,y15);运行此程序所得图像如下：图1-1图1-2说明：红色实线表示CD4原始数据连线图象，蓝色实线表示其5次拟合曲线；绿色实线表示HIV原始数据连线图象，黑色虚线表示其5次拟合曲线。
分析：由图像1-1易知两条拟合曲线呈正相关，可以看出在约40周以后，CD4的增加量减小，且减小速度越来越快；同时HIV的减少量越来越少，且减小速度越来越快。
由图1-2看出：在40周以后图像不再有上升趋势。
所以40周以后药物疗效逐渐变差甚至完全失去疗效。
由此可以确定最佳治疗终止时间为40周左右。
问题二：将附表二中，数据少与三组的病人的数据删除。
将余下的数据按疗法分为4组。
再将每组中的数据按年龄段进行分组（30岁以下，30岁到40岁，40岁以上）。
对每组中的数据进行如下处理：找出在第0周和在第7—9周都有数据的病人，用这些病人在第7—9周CD4数据的平均值减去其在第0周的平均值，得出数据ZZkmn(ZZ仅为代号；k为周数代号：0代表第0周，1代表在第7--9周，2代表第15--17周，3代表在第23--25周，4代表在第31--33周，5代表在第38周以上；m为疗法代号：1代表疗法1，2代表疗法2，3代表疗法3，4代表疗法4；n为年龄段代号：1代表30岁以下，2代表30岁到40岁，3代表40岁以上的)。
再找出在第0周和第15—17周都有数据的病人，在第0周和第23--25周都有数据的病人，在第0周和第31—33周都有数据的病人，第0周和第38周以上都有数据的病人，并分别进行和上边相同的处理。
这样便得出12组数据。
以数据代号中的k为自变量，数据为函数值进行拟合。
（每类中的四组数据的图画在同一个图中以便于比较，令ZZ0mn=0）年龄在30时间（周）CD4增量疗法1疗法2疗法3疗法4000008-0.20502-0.114920.081880.330174 16-0.37448-0.1332-0.02540.469919 24-0.37879-0.17657-0.294950.233975 32-0.38001-0.41425-0.220340.382776 40-0.92773-0.346620.116718-0.06997表2-1多项式拟合程序如下：x=[0 8 16 24 32 40];y130=[0 -0.205019512 -0.374481818 -0.378794286 -0.380005882 -0.92773];y230=[0 -0.114917241 -0.133197436 -0.176572414 -0.414245161 -0.346622222]; y330=[0 0.08188 -0.025397059 -0.294948387 -0.22034 0.116718182];y430=[0 0.33017381 0.469918919 0.233975 0.382776471 -0.06997273];p130=polyfit(x,y130,5),p230=polyfit(x,y230,2),p330=polyfit(x,y330,5),p430=p olyfit(x,y430,5),poly2str(p130,'x');poly2str(p230,'x');poly2str(p330,'x');poly2str(p430,'x');x7=-1:0.1:45;y1309=polyval(p130,x7);y2309=polyval(p230,x7);y3309=polyval(p330,x7);y4309= polyval(p430,x7);plot(x,y130,'r-*',x7,y1309),title('130');hold on;plot(x,y230,'k-o',x7,y2309);plot(x,y330,'m-*',x7,y3309);plot(x,y430,'g-pentagram',x7,y4309);grid;hold off运行上述程序得到图像如下所示：图2-1年龄在30—时间（周）CD4增量疗法1疗法2疗法3疗法4000008-0.10580.0955270.1149860.3459716-0.20003-0.21152-0.051580.28085424-0.40605-0.46709-0.18437-0.0052332-0.59008-0.53904-0.33374-0.0262940-0.56704-0.52004-0.28951-0.31184多项式拟合程序如下：x=[0 8 16 24 32 40];y130=[0 -0.105802885 -0.20002844 -0.406052632 -0.590084211-0.567043478]y230=[0 0.095526667 -0.211523846 -0.467094737 -0.539043011-0.520044737];y330=[0 0.114986087 -0.051575969 -0.184373626 -0.333741414-0.28950625];y430=[0 0.345970175 0.280854237 -0.005233735 -0.026286139 -0.311835714]; p130=polyfit(x,y130,1),p230=polyfit(x,y230,4),p330=polyfit(x,y330,5),p430=p olyfit(x,y430,4),poly2str(p130,'x');poly2str(p230,'x');poly2str(p330,'x');poly2str(p430,'x');x7=-1:0.1:43;y1309=polyval(p130,x7);y2309=polyval(p230,x7);y3309=polyval(p330,x7);y4309= polyval(p430,x7);plot(x,y130,'r-*',x7,y1309),title('130');hold on;plot(x,y230,'k-o',x7,y2309);plot(x,y330,'m-*',x7,y3309);plot(x,y430,'g-pentagram',x7,y4309);grid;hold off运行以上程序得到以下图像：图2-2年龄在40时间（周）CD4增量疗法1疗法2疗法3疗法4000008-0.13858-0.051670.2782970.37575516-0.14856-0.032650.0437190.28116424-0.35231-0.39014-0.045670.20845932-0.40341-0.14213-0.09280.00179140-0.71451-0.609590.0443940.004556编写多项式拟合程序如下：x=[0 8 16 24 32 40];y130=[0 -0.138581928 -0.148564368 -0.352313846 -0.40341-0.714508696]y230=[0 -0.051674324 -0.032647436 -0.390135938 -0.14212623-0.609588];y330=[0 0.278297368 0.043719355 -0.045668852 -0.092798592 0.04439375]; y430=[0 0.375754762 0.281163636 0.20845942 0.001790789 0.00455625]; p130=polyfit(x,y130,4),p230=polyfit(x,y230,4),p330=polyfit(x,y330,4),p430=p olyfit(x,y430,4),disp('4次拟合'),poly2str(p130,'x');poly2str(p230,'x');poly2str(p330,'x');poly2str(p430,'x');x7=-1:0.1:48;y1309=polyval(p130,x7);y2309=polyval(p230,x7);y3309=polyval(p330,x7);y4309= polyval(p430,x7);plot(x,y130,'r-*',x7,y1309),title('130');hold on;plot(x,y230,'k-o',x7,y2309);plot(x,y330,'m-*',x7,y3309);plot(x,y430,'g-pentagram',x7,y4309);grid;hold off运行以上程序得到图像如下：图2-3分析说明：在不同年龄病人的身体素质不同，因而我们先按年龄段对病人分组。