高中数学必修1教案14：函数的奇偶性

高中数学必修1教案14
课题：函数的奇偶性
课 型：新授课
教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。

教学重点：熟练判别函数的奇偶性。

教学难点：理解奇偶性。

教学过程：
一、复习准备：
1.提问：什么叫增函数、减函数？
2.指出f(x )＝2x 2－1的单调区间及单调性。

→变题：|2x 2－1|的单调区间
3.对于f(x )＝x 、f(x )＝x 2、f(x )＝x 3、f(x )＝x 4，分别比较f(x )与f(－x )。

二、讲授新课：
1.教学奇函数、偶函数的概念：
①给出两组图象：()f x x =、1()f x x
=
、3()f x x =；2()f x x =、()||f x x =. 发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征
② 定义偶函数：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even fun c tion ）.
③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（o dd fun c tion ）的定义.
（如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数。

④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性）
⑤ 练习：已知f(x )是偶函数，它在y 轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。

（假如f(x )是奇函数呢？）
1. 教学奇偶性判别：
例1．判断下列函数是否是偶函数． （1）2()[1,2]f x x x =∈- （2）32
()1
x x f x x -=-
例2．判断下列函数的奇偶性
（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21()f x x
=． （5） 2211(0)2()11(0)2
x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ （6）1122-+-=x x y
例3.已知函数)(x f 对任意R xy ∈,，总有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(<x f ，3
2)1(-=f 。

（1）求证：)(x f 在R 上是减函数，且是奇函数；
（2）求)(x f 在[]3,3-上的最大值和最小值。

（3）解关于x 的不等式3
2)1()23()12(-+>--+x f x f x f 。

4、教学奇偶性与单调性综合的问题：
①出示例：已知f(x )是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，问f(x )的(-∞,0)上的单调性。

②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。

（小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）
③变题：已知f(x )是偶函数，且在[a ,b ]上是减函数，试判断f(x )在[-b ,-a ]上的单调性，并给出证明。

三、巩固练习：
1、判别下列函数的奇偶性：
f(x )＝|x ＋1|+|x －1| 、f(x )＝23
x 、f(x )＝x ＋x 1、 f(x )＝21x
x +、f(x )＝x 2,x ∈[-2,3] 2.设f(x )＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。

3.已知f(x )是奇函数，g(x )是偶函数，且f(x )－g(x )＝
11+x ，求f(x )、g(x )。

4.已知函数f(x )，对任意实数x 、y ，都有f(x +y )＝f(x )＋f(y )，试判别f(x )的奇偶性。

(特值代入)
5.已知f(x )是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x )在[-7,-3]上是（ ）函数，且最 值是 。

四、小结
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
五、作业P39页A 组6、B 组3
后记：
补充材料
【例1】判别下列函数的奇偶性：
（1）31()f x x x =-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有
3311()()()()f x x x f x x x
-=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有
()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数. （3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.
【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1
f x
g x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，
∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.
则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩
. 两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1
g x x =-. 【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.
解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.
作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一
致，
∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.
点评：此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两
抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.
【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-， 所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.
【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.
解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减. 又 ∵ ()f x 是奇函数，
∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减.
又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =， 所以()f x 的图象在R 上递减.
∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-，
∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.
点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函
数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.
函数的奇偶性练习
※基础达标
1．函数(||1)y x x =- (|x |≤3)的奇偶性是（ ）.
A ．奇函数
B . 偶函数
C . 非奇非偶函数
D . 既奇又偶函数
2．（08年全国卷Ⅱ.理3文4）函数1()f x x x
=-的图像关于（ ）. A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y x =对称
3．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于（ ）.
A . (1)x x -+
B . (1)x x +
C . (1)x x -
D . (1)x x --
4．函数()11f x x x =+--，那么()f x 的奇偶性是（ ）.
A ．奇函数
B ．既不是奇函数也不是偶函数
C ．偶函数
D ．既是奇函数也是偶函数
5．若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）.
A . 增函数且最小值是－1
B . 增函数且最大值是－1
C . 减函数且最大值是－1
D . 减函数且最小值是－1
6．已知53()8f x x ax bx =++-，(2)10f -=，则(2)f = .
7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,)+∞是增函数，且(1)0f =，则(1)0f x +<的解集为 .
※能力提高
8．已知函数211()()12
f x x x =+-. （1）求函数()f x 的定义域； （2）判断函数()f x 的奇偶性并证明你的结论.
9．若对于一切实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+：
（1）求(0)f ，并证明()f x 为奇函数； （2）若(1)3f =，求(3)f -.
※探究创新
10．已知2
2()()1x f x x R x =∈+，讨论函数()f x 的性质，并作出图象.。