高中数学必修1教案14：函数的奇偶性

高中数学必修1教案14

课题：函数的奇偶性

课 型：新授课

教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。 教学重点：熟练判别函数的奇偶性。

教学难点：理解奇偶性。

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：什么叫增函数、减函数？

2.指出f(x )＝2x 2－1的单调区间及单调性。 →变题：|2x 2－1|的单调区间

3.对于f(x )＝x 、f(x )＝x 2、f(x )＝x 3、f(x )＝x 4，分别比较f(x )与f(－x )。

二、讲授新课：

1.教学奇函数、偶函数的概念：

①给出两组图象：()f x x =、1()f x x

=

、3()f x x =；2()f x x =、()||f x x =. 发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征

② 定义偶函数：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even fun c tion ）.

③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（o dd fun c tion ）的定义.

（如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数。

④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性）

⑤ 练习：已知f(x )是偶函数，它在y 轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。 （假如f(x )是奇函数呢？）

1. 教学奇偶性判别：

例1．判断下列函数是否是偶函数． （1）2()[1,2]f x x x =∈- （2）32

()1

x x f x x -=-

例2．判断下列函数的奇偶性

（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21()f x x

=． （5） 2211(0)2()11(0)2

x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ （6）1122-+-=x x y

例3.已知函数)(x f 对任意R xy ∈,，总有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(

2)1(-=f 。 （1）求证：)(x f 在R 上是减函数，且是奇函数；

（2）求)(x f 在[]3,3-上的最大值和最小值。

（3）解关于x 的不等式3

2)1()23()12(-+>--+x f x f x f 。

4、教学奇偶性与单调性综合的问题：

①出示例：已知f(x )是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，问f(x )的(-∞,0)上的单调性。

②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。 （小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）

③变题：已知f(x )是偶函数，且在[a ,b ]上是减函数，试判断f(x )在[-b ,-a ]上的单调性，并给出证明。

三、巩固练习：

1、判别下列函数的奇偶性：

f(x )＝|x ＋1|+|x －1| 、f(x )＝23

x 、f(x )＝x ＋x 1、 f(x )＝21x

x +、f(x )＝x 2,x ∈[-2,3] 2.设f(x )＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。 3.已知f(x )是奇函数，g(x )是偶函数，且f(x )－g(x )＝

11+x ，求f(x )、g(x )。 4.已知函数f(x )，对任意实数x 、y ，都有f(x +y )＝f(x )＋f(y )，试判别f(x )的奇偶性。(特值代入)

5.已知f(x )是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x )在[-7,-3]上是（ ）函数，且最 值是 。

四、小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

五、作业P39页A 组6、B 组3

后记：

补充材料

【例1】判别下列函数的奇偶性：

（1）31()f x x x =-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有

3311()()()()f x x x f x x x

-=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有

()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数. （3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.

【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1

f x

g x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，

∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.

则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩

. 两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1

g x x =-. 【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.

解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.

作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一

致，

∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.

点评：此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两

抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.

【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-， 所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.

【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.

解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减. 又 ∵ ()f x 是奇函数，

∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减.

又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =， 所以()f x 的图象在R 上递减.

∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-，

∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.

点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函