几类分数阶偏微分方程数值方法研究
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几类分数阶偏微分方程数值方法研究
杨继业 摘要 分数阶微分方程较传统的整数阶微分方程由于其中含有非局部性的分数阶 微分算子, 特别适合于描述一些带有记忆性或遗传性的现象, 在物理学、 流变学、 水力学、金融等领域有着广泛的应用. 分数阶微分方程的解析解通常很难求得, 并且能求出的解析解大多含有无穷级数, 或者用没有显示表达式的 Green 函数 表达, 这给计算带来很大不便. 因此分数阶微分方程的数值求解越来越多地受到 人们的重视 . 本文重点讨论几类分数阶偏微分方程的数值求解 , 并进行理论分 析. 第一章引言部分介绍分数阶微积分的发展和应用以及分数阶微分方程的数 值求解研究现状. 第二章我们介绍了分数阶微积分的基础知识, 包括几类分数阶微积分算子 的定义及其相互关系, 讨论了分数阶微分算子的积分变换及性质. 第三章中我们对一维分数阶扩散波动方程基于Lubich 的分数阶线性多步法 构造了一个时间 阶的离散差分格式, 并用能量方法分析了格式的收敛性和稳 定性 ( 1 ห้องสมุดไป่ตู้.71832 ) . 这一格式在 靠近2 的时候在时间方向可达到二阶精度, 但收敛性和稳定性有待于进一步分析. 第四章中我们对二维分数阶扩散波动方程构造了一个有限差分/MLS 无网 格方法. 首先将原微分方程转换为等价的积分微分方程, 然后将时间方向的积分 用 Lubich 的一阶线性多步法进行离散 , 空间方向用 MLS 无网格方法进行离散 . 就时间方向的半离散格式, 分析了收敛性和稳定性. 在第五章中我们对二维空间时间分数阶Bloch-Torrey 方程提出了一个有限 差分-有限元格式, 构造了二维分数阶导数空间并分析了其性质. 将时间方向的 Caputo导数用 2 阶差分格式离散, 空间方向的 Riesz 导数用有限元离散. 分 别证明了时间半离散格式和全离散格式的收敛性和稳定性.
杨继业 摘要 分数阶微分方程较传统的整数阶微分方程由于其中含有非局部性的分数阶 微分算子, 特别适合于描述一些带有记忆性或遗传性的现象, 在物理学、 流变学、 水力学、金融等领域有着广泛的应用. 分数阶微分方程的解析解通常很难求得, 并且能求出的解析解大多含有无穷级数, 或者用没有显示表达式的 Green 函数 表达, 这给计算带来很大不便. 因此分数阶微分方程的数值求解越来越多地受到 人们的重视 . 本文重点讨论几类分数阶偏微分方程的数值求解 , 并进行理论分 析. 第一章引言部分介绍分数阶微积分的发展和应用以及分数阶微分方程的数 值求解研究现状. 第二章我们介绍了分数阶微积分的基础知识, 包括几类分数阶微积分算子 的定义及其相互关系, 讨论了分数阶微分算子的积分变换及性质. 第三章中我们对一维分数阶扩散波动方程基于Lubich 的分数阶线性多步法 构造了一个时间 阶的离散差分格式, 并用能量方法分析了格式的收敛性和稳 定性 ( 1 ห้องสมุดไป่ตู้.71832 ) . 这一格式在 靠近2 的时候在时间方向可达到二阶精度, 但收敛性和稳定性有待于进一步分析. 第四章中我们对二维分数阶扩散波动方程构造了一个有限差分/MLS 无网 格方法. 首先将原微分方程转换为等价的积分微分方程, 然后将时间方向的积分 用 Lubich 的一阶线性多步法进行离散 , 空间方向用 MLS 无网格方法进行离散 . 就时间方向的半离散格式, 分析了收敛性和稳定性. 在第五章中我们对二维空间时间分数阶Bloch-Torrey 方程提出了一个有限 差分-有限元格式, 构造了二维分数阶导数空间并分析了其性质. 将时间方向的 Caputo导数用 2 阶差分格式离散, 空间方向的 Riesz 导数用有限元离散. 分 别证明了时间半离散格式和全离散格式的收敛性和稳定性.