两点间的距离和中点坐标公式-
两点间的距离公式及中点公式
两点间的距离公式及中点公式在我们学习数学的旅程中，有两个非常实用的宝贝，那就是两点间的距离公式和中点公式。
这两个公式就像是我们探索数学世界的秘密武器，能帮助我们解决好多有趣又有点小挑战的问题。
先来说说两点间的距离公式。
想象一下，在一个大大的平面上，有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，就好像是两个小伙伴在操场上站着。
那怎么算出这两个小伙伴之间的距离呢？这时候两点间的距离公式就派上用场啦，它就像是一把神奇的尺子，能告诉我们答案。
公式是：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] 。
给大家举个例子吧。
有一次我去公园散步，看到两个花坛，一个在坐标（3，5）的位置，另一个在（7，9）的位置。
我就想啊，这两个花坛之间的距离到底是多少呢？我马上就想到了两点间的距离公式，把数字代进去，算出来距离是√[(7 - 3)² + (9 - 5)²] = √[4² + 4²] = √32 =4√2 。
哇，一下子就知道了它们之间的距离，感觉自己就像个数学小侦探，特有成就感！再来说说中点公式。
假如还是这两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，那它们连线的中点坐标是啥呢？中点公式告诉我们：中点坐标为（(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2）。
我想起有一次帮小朋友们分糖果。
有两个小朋友分别站在不同的位置，我想把糖果公平地放在他们中间的位置，让他们过来拿都差不多远。
这时候中点公式就帮了大忙，我算出了中点的位置，把糖果放在那里，两个小朋友都很开心，觉得特别公平。
在实际生活中，这两个公式的用处可多啦。
比如在建筑设计中，工程师要确定两个建筑物之间的距离和中间的位置；在地图导航里，计算两个地点之间的距离和中间的参考点。
所以啊，同学们可别小看这两个公式，它们虽然看起来简单，但是作用大大的。
只要我们认真掌握，就能在数学的世界里畅行无阻，解决更多的难题，发现更多的乐趣！总之，两点间的距离公式和中点公式是我们数学学习中的好帮手，让我们继续努力，用它们去探索更多未知的数学奥秘吧！。
两点之间的距离公式及中点坐标公式
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图：有序实数对 与点P对 如图：有序实数对（ x,y）与点 对 与点 这时（ 称为点P的坐标 应，这时 x,y）称为点 的坐标， 这时 称为点 的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标，y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2
初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标
初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标平面直角坐标系中，两点的距离和中点的坐标是初中数学中的基础知识。
通过学习和归纳，我们可以更好地理解和应用这些概念。
本文将对初中数学中关于平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标进行归纳总结。
1、两点间的距离在平面直角坐标系中，两点的距离可以通过勾股定理来求解。
设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则两点间的距离d可表示为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2、中点的坐标中点是指连接两点线段的中心点，也是线段的对称点。
我们可以通过平均两点的x坐标和y坐标来求解中点的坐标。
设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标M（x，y）可表示为：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2下面，结合具体的例子来说明两点的距离和中点的坐标的计算方法。
例子1：已知平面直角坐标系中点A（2，3）和点B（5，6），求两点间的距离和中点的坐标。
解：根据两点间的距离公式，可以得到两点A、B间的距离d：d = √((5-2)^2 + (6-3)^2)= √(9 + 9)= √18≈ 4.24根据中点的坐标公式，可以得到中点M的坐标：x = (2 + 5) / 2 = 3.5y = (3 + 6) / 2 = 4.5所以，点A和点B间的距离为4.24，中点的坐标为（3.5，4.5）。
例子2：已知平面直角坐标系中点C（-1，2）和点D（3，-4），求两点间的距离和中点的坐标。
解：根据两点间的距离公式，可以得到两点C、D间的距离d：d = √((3-(-1))^2 + (-4-2)^2)= √(16 + 36)= √52≈ 7.21根据中点的坐标公式，可以得到中点N的坐标：x = (-1 + 3) / 2 = 1y = (2 + (-4)) / 2 = -1所以，点C和点D间的距离为7.21，中点的坐标为（1，-1）。
两点距离公式中点公式
两点距离公式中点公式在数学的奇妙世界里，两点距离公式和中点公式就像是两个忠实的小伙伴，默默地为我们解决着各种问题。
先来说说两点距离公式吧。
假设我们有两个点，A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，那么这两点之间的距离 d 就可以通过公式d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂- y₁)²]来计算。
这个公式看起来有点复杂，其实理解起来并不难。
我记得有一次，我们班组织了一场校园寻宝活动。
老师在校园里藏了几个“宝贝”，然后给了我们几个点的坐标，让我们通过计算两点之间的距离来找到宝贝的位置。
我和同桌小明一组，拿到的第一个点是教室门口的 A(3, 5)，第二个点是操场边的大树 B(7, 9)。
我们赶紧拿出纸和笔，按照两点距离公式开始计算。
我负责计算横坐标的差值 (7 - 3)² = 16，小明负责计算纵坐标的差值 (9 - 5)² = 16，然后我俩一起把这两个差值相加，16 + 16 = 32，再对 32 开平方，得到√32 = 4√2。
算出距离后，我们一路小跑，按照这个距离去寻找，果然在差不多的位置发现了老师藏的第一个宝贝，是一本有趣的漫画书，可把我俩高兴坏了！再聊聊中点公式。
对于两点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，它们的中点坐标 M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。
这个公式在很多实际问题中都能派上用场。
有一次上美术课，老师让我们画一幅校园风景图。
我想画教学楼和校门口之间的那段路，但是不知道怎么确定路的中间位置。
这时候我就想到了中点公式。
教学楼的位置假设是 A(2, 6)，校门口是 B(8, 2)，那中点的横坐标就是 (2 + 8) / 2 = 5，纵坐标是 (6 + 2) / 2 = 4，所以路的中间位置大概就在(5, 4)这个点。
按照这个位置画出来，感觉整幅图的比例都协调多了。
在日常生活中，两点距离公式和中点公式的应用也不少呢。
8.1两点间距离公式及中点公式
间的距离公式：
P ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1P 2
2
2
学生练习
P65 练习 1题 2题
探究中点公式
向量P1P和向量PP2相 等，所以有：
P2(x2,,y2) P1(x1,,y1) P(x,y)
uuu r uuu r Q PP 1 ( x x1 , y y1 ), PP 2 ( x2 x, y2 y ) x x1 x2 x y y1 y2 y x1 x2 x , 2 解得 y y1 y2 . 2
2
二、
2
学生练习
P67 练习 1,2题
作业布置：
1、方案一书 68页 方案二书 64-65页 1、2、5 例2，例3
2、练习册8.1相应练习
教学目标：
1、理解并掌握平面上两点间距离公式的推导 2、掌握平面上两点间距离公式并会应用它解 决相关的问题 3、掌握线段的中点坐标公式，并会灵活运用
重点难点：
重点：平面上两点间的距离公式和中点坐标 公式的推导 难点：两个公式的灵活应用
教学过程
一、平面上两点间的距离
1、坐标轴上两点间的Байду номын сангаас离
平面上两点
二、平面上连结两点的线段的中点坐标公式
文字表述：中点的坐标等于左右端点 坐标的平均值。
例3
已知线段AB，它的中点坐标是（-1,2），端 点B的坐标是（-5,7），求端点A的坐标。 分析：设未知点的坐标。将未知转化为已知。
小结
一、
间的距离公式：
P ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1P 2
两点间距离公式与线段中点的坐标教案
两点间距离公式与线段中点的坐标教案一、教学目标1. 让学生理解两点间的距离公式，并能够运用该公式计算两点间的距离。
2. 让学生掌握线段中点的坐标公式，并能够运用该公式求解线段的中点坐标。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 两点间的距离公式：设两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则两点间的距离d可以表示为：d = √((x2 x1)²+ (y2 y1)²)。
2. 线段中点的坐标公式：设线段的两个端点为P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则线段的中点M的坐标为：M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)。
三、教学重点与难点1. 教学重点：两点间的距离公式和线段中点的坐标公式的理解和运用。
2. 教学难点：两点间的距离公式的推导和线段中点坐标公式的推导。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来发现和理解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式。
2. 利用几何图形和实际例子，帮助学生直观地理解和记忆公式。
3. 通过练习题和小组合作活动，巩固学生的理解和运用能力。
五、教学步骤1. 引入：通过提问方式引导学生回顾坐标系和点的坐标的基础知识。
2. 讲解两点间的距离公式：解释公式中各个变量的含义，并通过几何图形和实际例子来说明公式的推导过程。
3. 讲解线段中点的坐标公式：解释公式中各个变量的含义，并通过几何图形和实际例子来说明公式的推导过程。
4. 练习题：给出一些题目，让学生独立完成，巩固对公式的理解和运用能力。
5. 小组合作活动：让学生分组讨论和解决一些实际问题，如计算线段的长度和求线段的中点坐标等。
六、教学评估1. 课堂练习：通过实时解答学生提出的练习题，评估学生对两点间距离公式和线段中点坐标公式的理解和运用能力。
2. 小组讨论：观察学生在小组合作活动中的参与程度、思考过程和解决方案，评估学生的合作能力和问题解决能力。
§8.1两点间的距离公式和中点公式
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ， 分别过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，
两线交于点C，点C坐标为(x2, y1)， 则|AC|=|x2–x1|, |BC|=|y2–y1|, y B(x2, y2)
还能怎样 说明？
从而，AB两点间的距离为 A(x1 , y1) C ( x2 , y1 ) O x
两点间的中点公式
问 AP PB ？
y
AP ( x x1 , y y1 ), PB ( x2 x, y2 y), x1 x2 x x x1 x2 x 2 y y1 y2 y y y1 y2 B(x2, y2) 2
AB 5 , BC 5 2 , AC 29
平面上两点间的距离公式 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
x1 x2 y y2 ,y 1 2 2 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ， 点 P(x，y)是AB的中点， x
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
已知点A(1, 2)，B(3,5)，求线段AB的长度. 解：根据平面内两点间的距离公式，有
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
(3 1) 2 [5 (2)]2
53
若P(3,4), Q(2, 1)，求 PQ .
1 已知△ABC三个顶点分别为A( , 2)，B(3, 4)，C (2, 6)， 2 求BC 边上的中线AD的长.
解：设点BC边上的中点D坐标为( x, y)， 根据中点坐标公式
3 2 1 46 x , y 5, 2 2 2 1 所以线段AB的中点D的坐标为( ,5). 2 1 1 2 AD ( ) (5 2)2 10. 2 2
两点间距离公式中点公式
两点间距离公式中点公式点公式是指在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，求解两点之间的距离。
点公式的推导基于勾股定理。
假设平面直角坐标系中有两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们要求解两点之间的距离。
首先，我们可以通过斜边的坐标差值计算两条直角边的长度。
设直角边AC的长度为d₁，直角边BC的长度为d₂。
则有以下推导：d₁=，x₂-x₁d₂=，y₂-y₁接下来，我们可以运用勾股定理计算斜边的长度。
根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方和。
d=√(d₁²+d₂²)因此，两点之间的距离d等于直角边的长度的平方和的平方根。
综上所述，两点间距离的点公式可以表示为：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)其中，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别是两点的坐标，d表示两点之间的距离。
下面我们来举一个具体例子来演示点公式的应用。
例题：已知点A(3,4)和点B(7,8)，求解两点之间的距离。
解：根据点公式，我们可以直接套入坐标值进行计算。
d=√((7-3)²+(8-4)²)=√(4²+4²)=√(16+16)=√32=4√2因此，点A和点B之间的距离为4√2在实际应用中，点公式常被用于计算两点之间的距离。
例如在平面几何中，我们可以利用点公式计算线段的长度。
在地理学中，点公式可以用于测量地球上任意两点的距离。
此外，点公式还可以应用于图像处理、机器学习等领域。
总结起来，点公式是一种简便而常用的计算两点之间距离的方法。
通过套入已知点的坐标，我们可以精确地求解出两点之间的距离。
这使得点公式具有广泛的应用价值。
两点间的距离和中点坐标公式-
例2 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四 等分，试求出各分点的坐标．
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 设线段ST的中点 首先求出线段 ST Q的坐标为( xQ , yQ )，
的中点 Q 的坐标，然 则由 S（0 ， 2）、T（−6，−1）得
40.
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
1
平面内两点间的距离公式
理 论 升 华 整 体 建 构
2
2 2 | P P | ( x x ) ( y y ) 1 2 2 1 2 1 线段的中点坐标公式
x0
x1 x2 y y2 , y0 1 . 2 2
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
P1 P2 P2 P1
o
x
o
x
|P 1P 2 || x2 x1 |
|P 1P 2 || y2 y1 |
动脑思考 探索新知
y
B2（0,y2)
P2(x2，y2)
B1（0,y1) o
P1(x1，y1)
C x
A1（x1,0)
A2（x2,0)
我们将向量 PP 、P 之间的距离，记作 1 2 1 2 的模，叫做点 P
故 | AD | (1 1)2 (2 0)2 2 2, 即BC边上的中线AD的长度为 2 2．
8． 1
两点间的距离与线段中点的坐标
1．已知点 A(2,3) 和点 B (8, 3)，求线段AB中点的坐标．
运 用 知 识 强 化 练 习
5,0 .
2．已知ABC 的三个顶点为 A(2, 2)、B(4,6)、C (3, 2)， 求AB边上的中线CD的长度．
两点间距离公式与线段中点的坐标教案
两点间距离公式与线段中点的坐标教案一、教学目标：1. 理解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式。
2. 能够运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 两点间的距离公式：两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的距离d可以表示为：d = √[(x2 x1)²+ (y2 y1)²]2. 线段中点的坐标公式：线段AB的两个端点A(x1, y1)和B(x2, y2)的中点M的坐标可以表示为：M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)三、教学步骤：1. 导入：通过一个实际问题引入两点间的距离和线段中点的概念，例如：“在平面直角坐标系中，已知点A(2, 3)和点B(6, 7)，求点A和点B之间的距离以及线段AB的中点坐标。
”2. 讲解：讲解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式的推导过程，让学生理解其含义和应用。
3. 示例：给出一个示例，让学生根据公式计算两点间的距离和线段的中点坐标。
4. 练习：让学生独立完成一些相关的练习题，巩固所学知识。
四、作业布置：1. 请运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式，解决一些实际问题。
2. 预习下一节课的内容。
五、教学反思：通过本节课的教学，学生是否能够理解两点间的距离公式和线段中点的坐标公式，以及能否运用到实际问题中，是教学效果的重要评价标准。
教师应通过作业批改和课堂提问等方式，了解学生的掌握情况，及时进行教学调整。
六、教学活动：1. 小组合作：学生分组讨论，尝试运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式解决复杂问题，如：给定三个点A、B、C，证明三角形ABC是等腰三角形。
2. 游戏环节：设计一个坐标系寻宝游戏，让学生在游戏中运用所学知识，寻找隐藏的宝藏。
3. 课堂展示：邀请学生上台展示他们运用两点间的距离公式和线段中点的坐标公式解决实际问题的过程和结果。
平面直角坐标系公式
设A(x1,y1),B(x2,y2)两点的中点为M(x0,y0),则（1）中点坐标公式：x0=(x1+x2)/2；(y0=(y1+y2)/2（2）两点间距离公式：AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]（本质上就是勾股定理1.点到点距离公式：设A（a，b）B（c，d），则AB=√[(a-c)^2+(b-d)^22.点到线距离公式：设直线Ax+By+C=0（一般的解析式可以先化成这个），点A（x0，y0），则A到直线的距离长度=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)3.解析式y=kx+b中，k的实质是该直线与x轴正方向夹角的正切值，当这个角大于90度时，需要用到诱导公式tan（90+a）=-tan（a）4.设直线1为y=k1x+b1，直线2为y=k2x+b2，当k1k2=-1时，直线1垂直于直线25.直线y=kx+b的平行直线系为y=kx+m6.过定点（x0，y0）的直线系为（y-y0）=k（x-x0）7.已知抛物线y=ax^2+bx+c和平行于x轴的直线y=m，则抛物线在直线上截出的距离=√（b^2-4ac+4am）/|a|，这个公式一般用于求某些线段的最值，通常可以得到一个y=根式+km的函数，这个函数的最值我们还不会求，可以设这个根式为n，反解出m来，然后得到关于n的二次函数，求二次函数的最值和相应的n值，进而求出m的值即可，这种方法叫换元法，我自己发现的，不知道高中会不会用到我也是初三的，一般有用的就是这几个，并且除非逼不得已，不然尽量别用，因为一方面计算量大，另一方面即使算对了，老师也不一定看得懂，有可能会得0分也不好说。
部分压轴题中也会在平面直角坐标系中出现圆，下面的公式是关于圆的1.圆的标准方程（x-a）^2+(y-b）^2=r^2，其中，圆心是（a，b），半径是r2.圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中，圆心是（-D/2,-E/2)半径是1/2√（D^2+E^2-4F)3.过圆上定点的切线系方程，设P（x0，y0）是圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上的一个点，过这个点的切线为xx0+yy0+D[(x+x0)/2]+E[(y+y0）/2]+F=04.过圆外一点P(x0，y0）引圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的切线，切线长为√（x0^2+y0^2+Dx0+Ey0+F）5.判断直线与圆位置关系的方法：1.知道圆心和半径的情况下，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离，比较距离与半径，得出圆与直线的位置关系2.知道直线和圆的解析式的情况下，联立二式，组成一个二元二次方程组，消去一元，得到一个一元二次方程，算出判别式德塔，德塔大于0，证明方程有两个不等实数根，即直线与圆有两个不同交点，此时相交，相应的，德塔小于0，相离，德塔等于0，相切。
两点间距离公式及中点坐标公式
y
A (x，y)
y
o x A1 x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？
y
A
A
o
x
A
显然，当A点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。
Ax1, y1, Bx2, y2
一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 B(x2，y2)，利用上y述方法求点A和B的距离
B2
B(x2，y2)
2．
型
例
故 | AD | (11)2 (2 0)2 2 2,
题 即BC边上的中线AD的长度为2 2．
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
课堂练习 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
2、已知A（a，0）, B（0,10）两点 的距离等于17，求a的值。
P48练习8.1.2.
x x2 x1 y y2 y1
计算 d x2 y2
给出两点的距离 d
题型分类举例与练习
【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）
解： x1 2, x2 2, y1 4, y2 3
x x2 x1 2 2 4,
A(x1，y1) A2
o
A1
c
B1
x
d(A, B) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式 仍然成立。
给两点的坐标赋值：
x1 ?, y1 ?, x2 ?, y2 ?;
计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量， 即
两点间的距离和中点坐标公式
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例2 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四
等分，试求出各分点的坐标．
图8－2
首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标．
解 设线段ST的中点Q的坐标为
则由S（0，2）、T（−6，−1）得
巩固知识 典型例题
例1 求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离． 由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为 平面内两点间距离公式
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0) 求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= d(A,C)= d(C,B)=
即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ,求证
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系 ，依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为
x
y
A(0,0)
B(a,0)
C (b, c)
D (b-a, c)
O
所以
所以
5.1两点间的距离和 线段中点的坐标
BRAND PLANING
【学习目标】 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 【重点】 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 【难点】 两点间的距离公式的理解
目录
品牌介绍
01
产品展示
02
复习
数轴上两点的距离
所以A,B两点的距离为:
d(A,B)= X 2 – X 1
x
y
A(0,0)
B(a,0)
C (b, c)
D (b-a, c)
O
中点公式
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8．1
两点间的距离与线段中点的坐标
例3 已知 ABC 的三个顶点为 A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试
巩 固 知 识 典 型 例 题
求BC边上的中线AD的长度．
解 设BC的中点D坐标为D( xD , yD ) ，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
(2) 0 1 3 xD 1，yD 2． 2 2
例1
求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离．
解：由题意知，x1 3, y1 1, x2 2, y2 5,
由两点间的距离公பைடு நூலகம்得，A、B两点间的距离为
AB
x2 x1 y2 y1
2
2
2 (3)2 5 12
61
运 用 知 识 强 化 练 习
动 脑 思 考 探 索 新 知
P P2 ，则 1
| P P2 | P P2 P P2 P P2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 1 1 1 1
8．1
两点间的距离与线段中点的坐标
巩固知识 典型例题
| PP2 | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 1
40.
8．1
两点间的距离与线段中点的坐标
1
平面内两点间的距离公式
理 论 升 华 整 体 建 构
2
线段的中点坐标公式
| P P2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 1
x0
x1 x2 y y2 , y0 1 . 2 2
8．1
两点间的距离与线段中点的坐标
作业
故 | AD | (1 1) 2 (2 0) 2 2 2, 即BC边上的中线AD的长度为 2 2．
8．1
两点间的距离与线段中点的坐标
1．已知点 A(2,3) 和点 B(8, 3)，求线段AB中点的坐标．
运 用 知 识 强 化 练 习
5,0 .
2．已知ABC 的三个顶点为 A(2, 2)、B(4,6)、C (3, 2)， 求AB边上的中线CD的长度．
在平面直角坐标系内，描出点 A(11)、 B(3， ． ， 4)
并计算两点之间的距离．
5.
8．1
两点间的距离与线段中点的坐标
动脑思考 探索新知
一般地，设 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 为平面内任意两点， 1
则线段P P 中点P ( x0 , y0 ) 的坐标为 1 2 0
继 续 探 索 活 动 探 究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题8.1 A（4选做） 课外探究：寻找两个公式在学习生活中的应用
x1 x2 y1 y2 x0 , y0 . 2 2
例2 已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四 等分，试求出各分点的坐标．
巩 固 知 识 典 型 例 题
首先求出线段ST 的中点Q的坐标，然 则由S（0，2）、T（−6，−1）得 后再求SQ的中点P及 2 (1) 1 0 (6) xQ 3 yQ QT的中点R的坐标．
2
2
解 设线段ST的中点Q的坐标为 ( xQ , yQ )，
2
即
1 Q 3, ） （ 2
图8－2
（ 同理，求出线段SQ的中点P
3 5 9 1 , ） ，线段QT的中点 R , ）. （ 2 4 2 4 3 5 1 9 1 （ （ （ 故所求的分点分别为P , ）、Q 3, ）、R , ）. 2 4 2 2 4
【学习目标】 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 【重点】 两点间的距离公式与线段中点的坐标公式 的运用 【难点】 两点间的距离公式的理解
复习
1、在数轴上两点的距离公式
A(xA)
A
B（xB）
0 B
AB x B x A
2、两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y y
P1 P2 P2 P1
o
x
o
x
| P P2 || x2 x1 | 1
| P P2 || y2 y1 | 1
动脑思考 探索新知
y
B2（0,y2)
P2(x2，y2)
B1（0,y1) o
P1(x1，y1)
C x
A1（x1,0)
A2（x2,0)
我们将向量 P P2 的模，叫做点 P 、 P2 之间的距离，记作 1 1