三角函数化简求值证明技巧

第三讲

一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧

1、网络

2、三角函数变换的方法总结

（1）变换函数名

对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。

【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。

练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。

2）变换角的形式

对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。

【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。练习已知，求的值

【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α

＋β）＝

提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）

（3）以式代值

利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：

（4）和积互化

积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。

【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x

（5）添补法

与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形。

【例6】求证：＝

（6）代数方法

三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形，从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式等方法。

【例7】锐角α、β满足条件，则下列结论中正确的是（）

A.α+β≠

B. α+β＜

C. α+β＞

D. α+β＝

（7）数形结合

有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，数形渗透，两者交融，则可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想。

【例9】已知：，，求的值。

5. 非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究

非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类求值问题，由于涉及到的三角公式及其变形灵活多样，因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这类问题的重点，现在我们通过一个题目的解法探寻，体会非特殊角三角函数的求法。

【题目】求的值。

练习

1 若，则的值为（）

A. B.

C. D.

2 函数的值域是（）

A. B. C. D.

3. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（）

A. B. C. D.

4. 等于（）

A. －1

B. 1

C. 2

D. －2

二、辅助角公式及其应用 辅助角公式

对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =

++++a b x a a b

x b a b

222

2

2

2

(sin cos )·

·

。

1 求周期

例1 求函数y x x x =+-+244

32cos()cos()sin π

π

的最小正周期。

2. 求最值

例2. 已知函数f(x)=cos 4

x-2sinxcosx-sin 4

x 。若x ∈[,

]02

π

，求f(x)的最大值和最小值。

3求值域

例4. 求函数f x k x k x x ()cos(

)cos()sin()=+++--++61326132233

2πππ

(,)x R k Z ∈∈的值域。

4 图象对称问题

例6. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-

π

8

对称，那么a=( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1

5. 图象变换 例7 已知函数。

R x ,1x cos x sin 2

3

cos 21y 2∈++=

该函数的图象可由y x x R =∈sin ()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 6. 求值

例8. 已知函数f(x)=x sin 32-+sinxcosx 。设α∈（0，π），f(2

α

)=2341-，求sin α的值。

7. 求系数 例9. 若函数f(x)=

)2x

cos(2x sin a )

x 2

sin(4x 2cos 1-π-+π+的最大值为2，试确定常数a 的值。

8. 解三角不等式

例10. 已知函数f(x)=sin 2

x+sin2x ，x ]2,0[π∈，求使f(x)为正值的x 的集合。