三角函数化简求值证明技巧

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(完整版)三角函数化简求值证明技巧

第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。

【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。

练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。

2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。

【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。

练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。

这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。

“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。

【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。

这往往用到倍、半角公式。

三角函数的化简与证明

三角函数的化简与证明三角函数是数学中的重要概念之一，它在解析几何、物理学、工程学等领域中有广泛应用。

在使用三角函数时，我们经常面临的一个问题就是如何将复杂的三角函数化简为简单形式，或者证明两个三角函数之间的等式。

本文将探讨三角函数的化简和证明方法。

一、三角函数的化简1. 三角恒等式三角恒等式是三角函数化简的基础。

它是一种等式关系，使得两个或多个三角函数能够互相转化。

下面是一些常见的三角恒等式：- 余弦函数的平方加正弦函数的平方等于1：$cos^2θ + sin^2θ = 1$- 2倍角公式：$cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ$- 倍角公式：$sin(2θ) = 2sinθcosθ$- 三角和差公式等通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数化简为简单的形式，便于计算和理解。

2. 其他化简方法除了三角恒等式，还有一些其他的化简方法。

例如，使用欧拉公式，将三角函数转化为复指数函数进行化简。

这个方法可以将三角函数的复杂计算转化为简单的指数函数计算，能够提高计算效率。

在实际问题中，我们还可以利用对称性、周期性等性质进行化简。

这需要根据具体问题进行分析和推导，找到合适的化简方法。

二、三角函数的证明1. 等式的证明证明三角函数之间的等式是数学中的重要问题。

通过证明三角函数之间的等式，可以建立它们之间的联系，拓宽我们对三角函数的理解。

在证明三角函数等式时，我们可以运用三角恒等式、代数运算、数学归纳法等方法。

具体的证明过程需要根据问题的要求和条件进行推导。

2. 不等式的证明除了等式的证明，我们还经常需要证明三角函数之间的不等式。

三角函数的不等式证明在数学分析和优化等领域中有广泛应用。

在证明三角函数不等式时，我们可以使用极限、导数、积分和数学归纳法等方法。

通过分析三角函数的性质和变化趋势，找到合适的不等式证明方法。

需要注意的是，在证明过程中，要严谨而准确地推导，避免出现漏洞和错误，确保证明的有效性和可靠性。

1分钟学会-诱导公式化简求值问题【三角函数】

1分钟学会-诱导公式化简求值问题【三角函数】要解决诱导公式化简求值问题，我们需要熟练掌握三角函数的基本性质和诱导公式。

三角函数分为正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。

诱导公式是指把角度推导至一定范围内的公式，如将三角函数的角度推导至0-90度范围内，以此进行计算简化。

在解决诱导公式化简求值问题的过程中，需要注意以下几个步骤：1. 确定所给的三角函数公式及其角度范围。

2. 将所给的角度表示成诱导公式中的角度形式。

3. 按照诱导公式进行化简，得到最简形式。

4. 根据所求解的范围，代入得到三角函数的精确值或近似值。

例如，我们要对三角函数$sin(105^{\circ})$进行化简求值。

由于$105^{\circ}$超出了0-90度的范围，因此需要使用诱导公式进行化简。

我们有以下步骤：1. 由于$sin(180^{\circ}-x)=sin(x)$，因此可以将$sin(105^{\circ})$表示为$sin(180^{\circ}-105^{\circ})=sin(75^{\circ})$。

2. 根据诱导公式$sin(A\pm B)=sinAcosB\pm cosAsinB$，将$sin(75^{\circ})$化简为$sin(45^{\circ}+30^{\circ})=sin45^{\circ}cos30^{\circ}+cos45^{\ circ}sin30^{\circ}$。

3. 代入$sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$和$sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，得到$sin(105^{\circ})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

最后，需要注意在求值时，应根据题目要求选择精确值或近似值，并保留正确的有效位数。

掌握诱导公式化简求值问题，对于解决三角函数相关计算问题具有重要意义。

三角函数中的化简求值模型

三角函数中的化简求值模型【问题背景】三角函数的化简求值几乎是高考的必考内容之一，化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于某种要求的应用．一般从函数名、角、运算三方面进行差异分析，遵循化繁为简、清除差异的原则，常用的方法技巧有：切割化弦，降幂，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名，高次化低次等.【解决方法】【典例1】（2024高三下·全国·专题练习）已知角α，β的顶点均为坐标原点，始边均与x 轴的非负半轴重合，终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，则tan 2αβ+=．【答案】3-【分析】利用三角函数的定义求得tan 2α=，1tan 2β=-，可求得()tan αβ+，再利用二倍角的正切公式解得tan2αβ+，进而确定2αβ+的范围，求得tan2αβ+的值.【套用模型】第一步：因为角α，β的终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，所以tan 2α=，1tan 2β=-，（提示：若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()(),0x y x ≠，则tan y xα=），第二步：因此()tan tan 3tan 1tan tan 4αβαβαβ++==-，又()22tan32tan 41tan 2αβαβαβ++==+-，所以tan32αβ+=-或1tan23αβ+=．第三步：因为角α的终边过点()1,2A ，因此112,242k k ππαππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，1k ∈Z ，因为角β的终边()2,1B -，因此2232,24k k πβπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，2k ∈Z ，所以3,224k k αβππππ+⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以tan 32αβ+=-．【典例2】（2024·山西晋城·二模）已知tan 2tan αβ=，1sin()4αβ+=，则)in(s βα-=．【答案】112-【分析】由tan 2tan αβ=切化弦可得sin cos 2cos sin αβαβ=，结合两角和差公式分析求解.【套用模型】第一步：因为tan 2tan αβ=，即sin 2sin cos cos αβαβ=，可得sin cos 2cos sin αβαβ=，第二步：又因为()1sin sin cos cos sin 3cos sin 4αβαβαβαβ+=+==，可得1cos sin 12αβ=，第三步：所以()sin cos sin sin cos cos sin 112βααβαβαβ-=-=-=-.故答案为：112-.【典例3】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，tan A ，tan B 是方程2670x x -+=的两个根，则C 的值是．【答案】4π/45︒【分析】根据根与系数的关系及两角和的正切公式求得()tan A B +，再利用诱导公式求解.【套用模型】第一步：由题意，tan tan 6A B +=，tan tan 7A B ⋅=，第二步：所以tan tan 6tan ()11tan tan 17A B A B A B ++===--⋅-，第三步：在ABC 中，()()tan tan πtan 1C A B A B =-+=-+=⎡⎤⎣⎦，由0πC <<，可知π4C =.故答案为：π4（2024·全国·二模）1．已知6cos tan 7sin ααα=-，则cos2α=.（2024·云南昆明·一模）2．已知cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α=．（2024·宁夏银川·一模）3．已知3cos si 2n x x +=，则sin 2πcos 4xx =⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2024·青海·模拟预测）4．若3π4αβ+=，tan 2α=，则tan β=．（2024·山东·二模）5．在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点()2，则πsin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）6．已知tan α，tan β是方程2530x x +-=的两个根，则()()22cos sin αβαβ+=-．（2024·广西·二模）7．已知2sin sin2αα=，则πtan 4α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（2024·全国·模拟预测）8．已知点()()()cos ,sin A βαβα--与点5π5πcos ,sin 1212B ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于原点对称，则sin cos αα+=．（2024·全国·模拟预测）9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+.（2024·陕西安康·模拟预测）10．若()2tan 2024π3α-=，则2sin cos 2cos cos2αααα-=.（2024·山西朔州·一模）11．若πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2ππ1tan cos 362αα⎛⎫⎛⎫-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2024·全国·模拟预测）12．在平面直角坐标系中，若角π3α-的顶点为原点，始边为x 轴非负半轴，终边经过点()3,4P --，则πtan 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭.（2024·陕西安康·模拟预测）13．已知π,,π2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin2sin 21cos21sin αβαβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=+，则tan tan21tan tan 2βαβα+=-．（2024·河北沧州·模拟预测）14．已知1cos sin 63παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·上海嘉定·二模）15．已知()22sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小值为．（2024·吉林长春·模拟预测）16．已知tan 3,2sin cos 1tan 2ααββ==，则()2tan αβ+=.（2024·全国·模拟预测）17．已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2A =则a b 的取值范围是.（2024·全国·模拟预测）18．已知,αβ为锐角，满足()1sin sin ,cos 69αβαβ+=+=-，则sin2αβ+=，()cos αβ-=．（2024·全国·模拟预测）19．已知πtan ,74x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为第二象限角，则10πsin 21x ⎛⎫+=⎪⎝⎭．（2024·上海·一模）20．已知ABC 中，,,A B C 为其三个内角，且tan ,tan ,tan A B C 都是整数，则tan tan tan A B C ++=．三角函数中的化简求值模型解析：1．725##0.28【分析】切化弦，然后整理可得sin α，再利用倍角公式计算即可.【详解】6cos sin tan 7sin cos ααααα==-，得()()226co 7sin s 61n s s n i i αααα==--，解得3sin 5α=或sin 2α=-（舍）所以2237cos212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：725.2．-【分析】根据同角三角函数关系式求出sin α，tan α，再利用二倍角正切公式求解.【详解】由cos απ0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3α∴，sin tan cos ααα∴==，22tan tan 21tan 1ααα∴==---.故答案为：-3．73-【分析】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.【详解】sin 2πcos 4x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭2273133⎡⎤⎛+-⎢⎥=-=- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故答案为：73-..4．3【分析】由已知条件可得3π4βα=-，根据两角和的正切公式化简即可求解.【详解】因为3π4αβ+=，所以3π4βα=-，所以3πtan tan 3π4tan tan 3π41tan tan 4αβαα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅ ⎪⎝⎭，又因为tan 2α=，3πtan 14⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以上式可化为：12tan 312β--==-.故答案为：35．14-##【分析】先利用角α的终边所经过的点求出sin ,cos αα，再求πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点()2，所以sin 7α=，cos 7α==-；πππsin sin cos cos sin 33314ααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：6．1637【分析】利用韦达定理可得tan tan 5αβ+=-，tan tan 3αβ=-，再利用两角和差公式和三角函数的商数关系求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程2530x x +-=的两个根，所以tan tan 5αβ+=-，tan tan 3αβ=-，则cos cos 0αβ≠，所以()()2222cos cos cos sin sin 1tan tan sin sin cos cos sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβ+⎛⎫⎛⎫--=== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2161637tan tan 4tan tan αβαβ=+-．故答案为：16377．1或3-【分析】由已知可得sin 0α=或sin 2cos αα=，从而可求出πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由2sin sin2αα=可得2sin 2sin cos ααα=，所以sin 0α=或sin 2cos αα=，即tan 0α=或tan 2α=，当tan 0α=时，πtan 1tan 141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭当tan 2α=时，πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故答案为：1或3-.8．22【分析】根据题意，列出方程组，求得7π2π,Z 12k k αββ-=+-∈，得到7π2π,Z 12k k α=+∈，结合πsin cos 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】因为点()()()cos ,sin A βαβα--与点5π5πcos ,sin 1212B ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于原点对称，所以()()5πcos cos 125πsin sin 12βαββαβ⎧⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()5πcos cos π125πsin sin π12αββαββ⎧⎡⎤⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩，所以7π2π,Z 12k k αββ-=+-∈，解得7π2π,Z 12k k α=+∈，所以π7ππ5π2sin cos 412462ααα⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：22.9．2023【分析】将已知条件切化弦，然后结合两角和的正弦公式、正余弦定理，将等量关系转化为2a ，2b ，2c 间的关系，则问题可解.【详解】2tan tan 2211cos cos tan (tan tan )tan tan tan tan sin sin A BB AC A B C C B A B A ==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin sin 2sin sin 2sin sin tan (sin cos cos sin )tan sin()tan sin A B A B A B C A B A B C A B C C ===++222sin sin cos 2cos sin A B C ab CC c ==，由余弦定理有：222222cos ab C a b c c c +-=，又2222024a b c +=，所以原式22220242023c c c -==.故答案为：202310．3215-【分析】利用诱导公式求出tan α，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为()2tan 2024π3α-=，所以2tan 3α=-，所以2sin cos 2cos cos 2αααα-222sin cos 2cos cos sin ααααα=--2tan 121tan αα=--221323215213-=-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：3215-11．8310-+【分析】根据同角三角函数关系求出2π1cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用正切差角公式得到πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而求出答案.【详解】由题意得ππsin 2cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又22ππsin cos 166αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2π1cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππtan tan 2πππtan tan 8666ππ31tan tan 666αααα⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--==- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+- ⎪⎝⎭2ππ111tan cos 8362283510αα⎛⎫⎛⎫-+--=-++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：8310-+12．247-【分析】先利用三角函数的定义得到πtan 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得πtan 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由三角函数的定义，得π4tan 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππtan 2tan 2πtan2333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π82tan 243316π711tan 93αα⎛⎫- ⎪⎝⎭===-⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故答案为：247-13．1【分析】利用二倍角公式，同角关系，两角和与差的正切公式变形求解．【详解】由πsin2sin 21cos21sin αβαβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=+得1cos2cos sin 21sin αβαβ-=+，22222cos sin 2sin 222sin cos cos sin 2sin cos 2222ββαββββαα-=++,所以cossinsin 22cos cos sin 22ββαββα-=+，即π1tantantan π242tan tan()π421tan 1tan tan242βββαββ--==-++，又π,,π2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ42βα=-+，即5π24βα+=，所以tan tan5π2tan()tan 1241tan tan 2βαβαβα+=+==-．故答案为：1.14．79-【分析】根据题意，由余弦的和差角公式展开可得π1 cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由二倍角公式，即可得到结果.【详解】因为π1cos sin 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得ππ1cos cos sin sin sin 663ααα+-=，11sin 23αα-=，所以π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππ17cos 22cos 1213699αα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：79-15．【分析】令πsin cos )4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，令πsin cos 4t x x x =+=+，由π02x <<，得ππ3π444x <+<，所以2πsin()124x <+≤，则1t <≤由sin cos t x x =+，得22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=，则原函数可化为22244()1112ttg t t t t t ===---，又函数1,y t y t ==-在上单调递增，所以1y t t =-在上单调递增，故当t 时，1y t t =-取得最大值22，此时()g t取得最小值故答案为：16．2511##3211【分析】根据同角三角函数关系，结合已知条件求得cos sin αβ，以及()sin αβ+，()2sin αβ+，()2cos αβ+，再求结果即可.【详解】由tan 3tan 2αβ=可得：sin cos 3cos sin 2αβαβ=，又2sin cos 1αβ=，即1sin cos 2αβ=，则1cos sin 3αβ=，故()115sin sin cos cos sin 236αβαβαβ+=+=+=，()225sin 36αβ+=，则()()2211cos 1sin 36αβαβ+=-+=，故()()()22225sin 2536tan 11cos 1136αβαβαβ++===+.故答案为：2511.17．【分析】由二倍角公式可得cos 2c bA b-=，利用正弦定理边化角，结合和差公式整理可得()sin sin B A B =-，可得2A B =，根据三角形ABC 为锐角三角形求出角B 的范围，然后利用正弦定理和二倍角公式可得2cos aB b=，可得范围.【详解】因为sin2A 23sin 24A b c b -=，所以2cos 12sin 22A c b A b -=-=，由正弦定理得sin sin cos 2sin C B A B -=，即2sin cos sin sin B A C B =-，所以()2sin cos sin sin B A A B B =+-，所以sin cos cos sin sin A B A B B -=，即()sin sin B A B =-，所以B A B =-或πB A B +-=（舍去），因为三角形ABC 为锐角三角形，所以π20,2A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，又π3,π2A B B ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 22B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.因为sin sin22cos sin sin a A B B b B B ===，所以a b 的取值范围为.故答案为：18．14##0.25【分析】由,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出sin 2αβ+；再用余弦的二倍角公式求出()cos αβ-.【详解】因为,2222αβαβαβαβαβ+-+-=+=-，所以sin sin sin 22αβαβαβ+-⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭sin 2sin cos 2222αβαβαβαβ+-+-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，又sin sin αβ+=sin cos 2212αβαβ+-=，因为,αβ为锐角，所以2αβ+为锐角，又()21cos 12sin 29αβαβ++=-=-，所以sin 2αβ+=又52sin cos 2212αβαβ+-=，所以cos 2αβ-=，所以()2101cos 2cos 1212164αβαβ--=-=⨯-=．故答案为：3；14.19【分析】由π2tan 74x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭及同角三角函数的基本关系可求得ππsin ,cos 77x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据10πππ2173x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭并结合两角和的正弦公式即可得解．【详解】 π2tan 74x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2πsin cos 747x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222ππππsin cos cos 7777x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦29πcos 187x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，x 为第二象限角，∴πcos 7x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1sin 73x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，10πππππππsin sin sin cos cos sin 21737373x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122312632326-=⨯-=．20．6【分析】不妨令A B C ≤≤，利用正切函数的单调性，结合已知求出tan A ，再利用和角的正切公式分析求解即得.【详解】在ABC 中，不妨令A B C ≤≤，显然A 为锐角，而tan A 是整数，若πtan 2tan 3A =>=，又函数tan y x =在π(0,2上单调递增，则π3A >，此时3πABC A ++≥>与πA B C ++=矛盾，因此tan 1A =，π3π,44A B C =+=，tan tan tan()11tan tan B C B C B C++==--，整理得(tan 1)(tan 1)2B C --=，又tan ,tan B C 都是整数，且tan tan B C ≤，因此tan 2,tan 3B C ==，所以tan tan tan 6A B C ++=.故答案为：6。

三角函数化简求值的技巧

三角函数化简与求值常用技巧
三角函数化简与求值常用技巧
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决.
一、三角变换,角为先锋三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.
【例 1】已知α、 β为锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
【变式演练】已知 sin
x－π
4
＝3,则
sin
2x 的值为(
)
5
A．－ 7 25
B. 7 25
C. 9 25
D.16 25
【解析】法一、sin 2x＝cos(2x－ π )＝1－2sin2(x－ π )＝1－2×(3)2＝ 7 ,选 B.
2
4
5 25
法二、依题意得 2(sin x－cos x)＝3,1(sin x－cos x)2＝ 9 ,1－sin 2x＝18,sin 2x＝ 7 ,选
C、
9 13
D、
13 9
【例
1】已知α、 β为锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
C、
9 13
D、
13 9
【分析】依题意,可求得 tan α＝

三角函数化简与求值，4种突破口，展现恒等变换常用技巧

三角函数化简与求值，4种突破口，展现恒等变换常用技巧
利用三角公式进行化简与求值时要注意三看:一看角，即看式子里面各角之间的联系。

二看函数名称，即看是同名还是异名，是"弦"还是"切"。

三看式子的结构特征，即看式子是积与商的形式还是和与差的形式等。

从角入手，化复角为单角
从形入手，利用配方法，先对二次项配方
从名入手，化异名为同名
从幂入手，利用降幂公式先降次
选择不同的突破口，就有不同的解法，正可谓是"条条大路通罗马"！本题展现了三角函数恒丰变换中的几种常用技巧，是一个典型的范例！
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运用积化和差与和差化积公式观察三角函数化简求值的一般规律

运用积化和差与和差化积公式观察三角函数化简求值的一般规律山东胡彬三角函数的化简求值中有许多问题是带有规律性的.课标教材中引入了三角函数的积化和差与和差化积公式后,这些规律性的结论都可以通过积化和差与和差化积公式加以揭示、证明.并且在具体解答三角函数的化简求值题的过程中,如果能加以应用是可以起到事半功倍的作用的.下面展示几个在三角函数化简求值题中经常见到或经常用到例子,以帮助同学们把握其中的规律,从而再次遇到该类问题时能够快速有效地解决问题.1.规律一.:()()4330cos sin 30cos sin 22=++++οοαααα. 观察以下各等式：2020003sin 30cos 60sin 30cos604++= 2020003sin 20cos 50sin 20cos504++= 2020003sin 15cos 45sin15cos 454++=，分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

猜想:()()4330cos sin 30cos 2=++++οοαααs 证明以上结论:左()()οο30cos sin 2602cos 122cos 1+++++-=αααα ()()οοο30cos sin 30sin 302sin 1+++-=ααα ()()[]οοο30sin 302sin 21302sin 211-+++-=αα ==-=43411右 2.规律二:032cos cos 32cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-πααπα. 观察以下各等式：0190cos 70cos 50cos =++οοο0170cos 50cos 70cos =++οοο0160cos 40cos 80cos =++οοο分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

猜想:032cos cos 32cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-πααπα 证明以上结论:左=απαπαcos 32cos 32cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛- απαcos 32coscos 2+= ααcos cos +-= =0=右实战演练:化简:()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3sin 3sin sin 222ππA A A 解:原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-322cos 1322cos 12cos 121ππA A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++322cos 322cos 2cos 321ππA A A =23 3.规律三:αααα3sin 41)60sin()60sin(sin =+-οο 观察以下各等式： οοοο30sin 4170sin 50sin 10sin = οοοο60sin 4180sin 40sin 20sin = οοοο120sin 41100sin 20sin 40sin = 分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

高中数学三角函数式的化简与求值

三角函数三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则 x =4π，故f -－1(1)= 4π. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( ) A.21 B.－2C.34 D.21或－2 二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) .6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0.tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2. 答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=53. 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案：6556 三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解 π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y M t t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当第四章三角函数§4-1 任意角的三角函数一、选择题：1．使得函数有意义的角在（）（Ａ）第一，四象限（Ｂ）第一，三象限（Ｃ）第一、二象限（Ｄ）第二、四象限２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ）。

第讲三角函数的求值化简与证明

本题是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝ 2cosisn2xx＋－2ππ4＋1. (1)求 f(x)的定义域； (2)若角 α 在第一象限且 cosα＝35，求 f(α)．
∴3<2sinx＋π6＋4≤6.即函数f(x)的值域为(3,6]．
易错、易混、易漏 11．三角函数中的二次函数问题，忽视了自变量范围的研究例题：已知函数 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5，x∈0，2π.
(1)求 sinx＋cosx 的取值范围； (2)求函数3
C．0
D．1
－1 5．sin17°cos47°－sin73°cos43°＝_____2__.
考点1 三角函数式的化简
例1：(2011年北京)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1. (1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．解析：(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1
1．转化思想是本节三角变换的基本思想，包括角的变换、函数名的变换、和积变换、次数变换等．三角公式中次数和角的关系：次降角升；次升角降．常用的升次公式有：1＋sin2α ＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α.
＝212cos50°－co2s35s0i°n50°sin70°
＝2sin30°cos50°－cocso5s03°0°sin50°sin70°
＝－2sicno2s05°0s°in70°＝－2sicno2s05°0c°os20°

三角函数的化简详解

【例4】在△ABC 中,若sin 22A +sin 22B +sin 22C =cos 22B,求证:t a n312tan 2=∙C A .已知α+β=3π,且α、β满足关系式:3(t a n α·t a n β+a )+t a n α=0,则t a n β= ( ) A. 3(1+a ) B.3(1－a ) C.33(1+a ) D. 33(1－a )三角函数的化简1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

一、化简【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。

三角函数的化简详解.docx

A B C B【例4] 在中，若sin2_2 +sin2y +sin2y =cos2_2 ,tan—• tan —=-.2 2 3B 满足关系式：V3 (tan a • t^n B +a) +tan a =0,则tan B 二c- f(1+a)D- T(1~a) A. V3 (1+a) B. V3 (1 —爲)三角函数的化简1、三角函数式的化简：(1)常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。

(2)化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如& =(© + "丿—0,2Q =(Q +"丿+ (©-0丿等，把所求角用含己知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察, 发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

一、化简［例求值.2sin2(P + cosl0o + tan20。

sin 10°esc 40° + cot 80°2 cos 40° + cosl 0°(1 + tan60°tanl 0°) Jl + cosl0°【例2】（三兄弟）已知s 阮普，"罟,求畔翥卫的值【变式】（05天津）已知sin （&） =晋,COS 2*£,【例3］（最值辅助角）已知函数A^）=2asin 2T —273 asinxcosA+a+b —1,（弘b 为常数，a<0）,它的定义域为［0,兰］,值域为［ — 3,1］,试求禺b 的值。

三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题

浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。

分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（）。

三角函数的化简与求值

1．三角恒等变换的两原则（1）化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式。

（2）消除异差：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构式等方面的差异。

2．三角函数式的化简（1）化简要求①三角函数名称尽量少；②次数尽量低；③能求值的尽量求值； ④尽量使分母不含三角函数；⑤使被开方数不含三角函数．（2）化简思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用，另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法 (3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，和差化积，积化和差等。

3．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪些证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。

(2)证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始．通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。

1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）；（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）(2)三角函数名互化(切化弦)，如（1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。

三角函数的化简求值

三角函数的化简求值一.主要公式:1．诱导公式：=-)sin(απ =-)c o s (απ =+)s i n (απ=+)cos(απ =-)s i n (α =-)cos(α=-)2sin(απ =-)2c o s (απ =+)2sin(απ =+)2c o s (απ2．和、差角公式： =+)sin(βα =-)s i n (βα ； =+)cos(βα =-)c o s (βα ； =+)tan(βα =-)t a n (βα ； 3．二倍角公式：=α2sin =α2c o s = = =α2tan ； 4．降幂公式： =2sin 2α=2c o s2α=2t a n2α；5．半角公式sin 2α= c o s 2α= t a n 2α= ；6．升幂公式：=+αcos 1 ，=-αcos 1 ；=+αsin 1 ，=-αsin 1 。

7．万能公式：=αsin =αcos =αtan ； 8．三角形ABC 中的相关公式：=+)sin(B A =+)cos(B A =+)t a n (B A =+2sinBA =+2cosB A =+2tan B A ； 9．常用公式结论：=+ααcot tan =ααcos sin =-α2sin 1 =+α2sin 1 =+βαtan tan =-βαt a n t a n ；sin 3α= cos3α= 1tan 1tan αα+=-10．辅助角公式：=+ααcos sin = =+ααcos 3sin ==+x b x a cos sin = 。

二、例题分析:例1已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值.例2.已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan的值.(（Ⅱ）求β. ( π3β=)例3．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值；（Ⅱ）求xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.例 4.是否存在锐角,αβ，使得①223παβ+=；②22tantan αβ=同时成立？若存在，求出,αβ；若不存在，说明理由。

三角函数化简与求值的常用技巧

三角函数化简与求值的常用技巧文/寇友松一、角度变换这类问题的特点很明显，通常我们只需要把题设中的角度进行适当的和差运算，便可与所求式中的角度建立起等式关系，进而利用两角和与差的三角展开式求得结果.常见的角度变换有：ββαα-+=)(，)]()[(21βαβαα-++=，)()2(βαβαα---=，)()(2βαβαα-++=，)()(2βαβαβ--+=，)2()2(2βαβαβα---=+等.高考预测题1 已知135)sin(=-βα，135)sin(-=+βα，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-ππβα,2，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+ππβα2,23，求α2sin 和β2cos 的值.解析联系已知条件中的角度与所求关系式中的角度间的关系，容易观察出)()(2βαβαα-++=， )()(2βαβαβ--+=，从而可利用两角和与差的正弦展开式和余弦展开式进行求解. 135)sin(=-βα，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-ππβα,2，∴1312)cos(-=-βα. 又135)sin(-=+βα，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+ππβα2,23，∴1312)cos(=+βα. ∴)]()sin[(2sin βαβαα-++=)sin()cos()cos()sin(βαβαβαβα-++-+= =1351312)1312(135⨯+-⨯-169120=. 同理得12cos -=β.二、切、割化弦当已知式子中出现切、割、弦的混合结构式时，化切、割为两弦是常用的三角函数求值技巧.高考预测题2 求212cos 412csc }312tan 3(2--︒︒︒的值. 解析原式=)112cos 2(212sin 1)312cos 12sin 3(2--︒︒︒︒︒︒︒︒︒-=24cos 212cos 12sin 12cos 312sin 3=︒︒︒︒-24cos 24sin 12cos 312sin 3︒︒︒-=48sin 21)6012sin(32 34-=.三、公式的活用与变形学生对三角函数公式的应用不仅要会正用，还要善于活用和变形应用，只有这样，才能达到熟练掌握公式的目的. 如βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+常变形为以下三种形式： (1);)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα++=- (2));tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+(3).tan tan )tan()tan(tan tan βαβαβαβα--+=+高考预测题3 .50tan 70tan 350tan 70tan ︒︒︒︒-+= .解析将两角和的正切公式变形得，);50tan 70tan 1)(5070tan(50tan 70tan ︒︒︒︒︒︒-+=+故原式︒︒︒︒︒--=50tan 70tan 3)50tan 70tan 1(120tan ︒︒︒︒-+-=50tan 70tan 350tan 70tan 33 .3-=高考预测题4 .80cos 40cos 20cos ︒︒︒⋅⋅= .解析观察到式中的倍角关系，可考虑借助二倍角的正弦公式的变形式来求解. 故︒︒︒⋅⋅80cos 40cos 20cos ︒︒︒︒=20sin 280cos 40cos 40sin ︒︒︒=20sin 480cos 80sin ︒︒=20sin 8160sin .81= 小结：通过对倍角公式的变形应用，我们可以得到如下结论：);(2cos 22sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin *1221N n n n n n ∈=⋅⋅⋅⋯⋅⋅---ααααααα).(2sin 22sin cos 2cos 2cos 2cos 2cos *1221N n n n n n ∈=⋅⋅⋅⋯⋅⋅---ααααααα四、对偶法在三角学中，如果把某个三角式中的角的弦值化成同角互余(名)的弦值，则该式叫做原式的对偶式.在解决有关问题时，如果能灵活地运用对偶的数学思想，合理地构造对偶式，并能与原式进行和、差、积的运算，就能使问题巧妙地得到解决.高考预测题5 157cos 156cos 155cos 154cos 153cos 152cos 15cos πππππππ= . 解析整体看待上式，然后构造出它的对偶式，从而使原问题化难为易.设=A ,157cos 156cos 155cos 154cos 153cos 152cos15cos πππππππ =B ,157sin 156sin 155sin 154sin 153sin 152sin 15sin πππππππ由倍角公式可得，=⋅B A 12811514sin 1512sin 1510sin 158sin 156sin 154sin 152sin πππππππ 1281=157sin 156sin 155sin 154sin 153sin 152sin 15sin πππππππ.1281B = 显然,0≠B 由,1281B AB =得，.1281=A 故157cos 156cos 155cos 154cos 153cos 152cos 15cos πππππππ.1281= 五、齐次式高考预测题6 已知,21tan =α (1)求ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-的值； (2)求αααα22cos 5cos sin 3sin 2+-的值.解析关于正弦、余弦的齐次式和齐次分式，如,cos sin θθb a y +=+=θ2sin a y θθcos sin b ,cos 2θc +θθθθθθθθ2222221121cos cos sin sin cos cos sin sin c b a c b a y ++++=等，可将其转化为关于θtan 的表达式，进而求值. (1) ,21tan =α∴,0cos ≠α 将ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-的分子和分母同时除以αcos 得，ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-=.021352214tan 352tan 4=⨯+-⨯=+-αα (2)αααα22cos 5cos sin 3sin 2+-αααααα2222cos sin cos 5cos sin 3sin 2++-=1tan 5tan 3tan 222++-=ααα.516= 六、正、余弦定理法高考预测题7 ︒︒︒︒++105cos 45sin 3105cos 45sin 22= . 解析因为上述表达式的结构特点与余弦定理的表达式很相似，所以可考虑构造特定的ABC ∆，然后借助正、余弦定理来求解.由正、余弦定理得，.sin cos sin sin 2sin sin 222C C B A B A =-+于是原式=︒︒︒︒-+15sin 45sin 315sin 45sin 22.令,120,15,45︒︒︒===C B A 则有原式=︒︒︒︒︒⨯-+120cos 15sin 45sin 215sin 45sin 222︒=120sin 2.43=七、和差代换高考预测题8 ︒︒︒︒++50cos 20sin 50cos 20sin 22= .解析本题除了可以利用正、余弦定理法求解外，还可以适当地引入参量，然后借助和差代换的方法达到求解的目的.设.50cos ,20sin b a b a -=+=︒︒于是)50cos 20(sin 21︒︒+=a =)40sin 20(sin 21︒︒+.10cos 21︒= )50cos 20(sin 21︒︒-=b )40sin 20(sin 21︒︒-=.10sin 23︒-= 故原式)(()()(22b a b a b a b a -+++-++=223b a +=︒︒+=10sin 4310cos 4322.43=。

三角函数化简求值常用技巧

三角函数化简求值常用技巧三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。

掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍。

这也是解决三解函数问题的前提和出发点。

一、切割化弦例1、已知 )2(cot tan22≥=+m m x x ，求xx 4cos 14cos 3-+的值。

解： 24cos 14cos 34cos 1)4cos 3(24cos 12cos 444cos 1)2cos 1(484cos 12sin 48)4cos 1(812sin 2112sin 412sin 2112sin 41cos sin 2)cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin 2cot tan 2222222222222244222222m x x m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+∴=-+=-+=---=--=--=-=-+=+=+∴=+Θ 点评：由已知式与待求式的差异知，若选择“从已知到未知”，必定要“切切割化弦”；利用降幂公式实现已知与未知的统一。

二、统一配凑例2、已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值. 解：注意到2α= (α－β)+(α+β)，于是可用配凑法求解。

∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=点评：本题以凑角的形式来实现未知与已知的统一，这是三角函数化简求值的常用技巧之一。

三、异角化同例3、已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:22=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解Θ 点评：本题求解关键是将如何将已知条件中的角与目标关系式中的角统一起来。

三角函数的化简与推导

三角函数的化简与推导三角函数是数学中常见的函数类型，广泛应用于几何、物理等领域。

在解题过程中，为了简化计算和推导，需要进行三角函数的化简和推导。

本文将介绍常用的三角函数化简和推导方法。

一、三角函数的基本关系三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）以及它们的倒数函数。

它们之间存在一些基本关系：1. 正切函数与正弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ2. 余切函数与余弦函数的关系：cotθ = cosθ / sinθ3. 正弦函数和余弦函数的平方和恒等于1：sin^2θ + cos^2θ = 1这是三角恒等式中的一个，由于其重要性，被称为“勾股定理”。

二、三角函数化简的常用方法1. 和差化积：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这些公式可用于将和差形式的三角函数化为乘积形式，从而简化计算。

2. 二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = 2cos^2θ - 1这些公式可将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数，方便推导和计算。

3. 半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]这些公式可将一个角的三角函数表示为半角的三角函数，常用于解题和化简。

三、三角函数的推导方法三角函数的导数是求解各种问题中常见的步骤。

下面列出几个常用的三角函数导数公式：1. 正弦函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)2. 余弦函数的导数：d/dx(cos(x)) = -sin(x)3. 正切函数的导数：d/dx(tan(x)) = sec^2(x)4. 余切函数的导数：d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)这些公式可以用于求解函数的导数，对于复杂的函数关系，可以通过链式法则以及基本的三角函数导数公式来推导导数。

三角函数化简的方法技巧

三角函数化简的方法技巧三角函数是数学中常见的函数，它们在许多领域中都有广泛的应用。

化简三角函数是数学中的重要技巧，它可以简化复杂的表达式，使计算更加简单和直观。

以下是一些常用的三角函数化简方法和技巧。

1. 基本公式使用三角函数的基本公式是化简的基础。

例如，正弦函数的基本公式是：$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$这个公式可以用来化简包含正弦函数的表达式。

根据需要，还可以使用余弦函数、正切函数和余切函数的基本公式。

2. 和差化积公式和差化积公式是一种常见的化简方法。

对于两个角度$\alpha$ 和 $\beta$，我们有以下的和差化积公式：$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$这些公式可以用来化简包含和差角的三角函数表达式，并将它们转化为乘积形式。

3. 二倍角公式二倍角公式是化简三角函数的另一种常用方法。

对于角度$\theta$，我们有以下的二倍角公式：$$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$$$\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$这些公式可以用来将包含二倍角的三角函数表达式转化为简单的乘积形式。

4. 三倍角公式类似于二倍角公式，三倍角公式也是化简三角函数的方法之一。

对于角度 $\theta$，我们有以下的三倍角公式：$$\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$$$\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$这些公式可以用来将包含三倍角的三角函数表达式转化为简单的表达形式。

高一数学。三角函数化简和求值超难方法汇总

高一数学。

三角函数化简和求值超难方法汇总第九讲三角函数式的恒等变形1.基本知识与基本方法1.1 基本知识介绍①两角和与差的基本关系式：cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $$sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $$tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\a lpha\tan\beta}$$②和差化积与积化和差公式：sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\co s\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\c os\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\al pha-\beta)\right)$$cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right)$$cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\ alpha-\beta)\right)$$sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right)$$③倍角公式：sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$④半角公式：sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$tan\frac{\alpha}{2}=\pm\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\fra c{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$$⑤辅助角公式：如果$a,b$是实数且$a^2+b^2\neq0$，则：a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)$$其中$\phi$满足：sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$1.2 基本方法介绍①变角思想：在三角化简、求值中，往往出现较多相异的角，可根据角与角之间的关系，通过配凑，整体把握公式，消去差异，达到统一角的目的，使问题求解。