第二章信号及其描述

第二章 信号及其描述第一节 信号分类与描述一、信号的概念信号是信息的载体，是包含和传递信息的一种物理量，是客观事物存在状态或属性的反映，即包含着反映被测物理系统的状态或特性的某些有用的信息，它是我们认识客观事物的内在规律、研究事物之间的相互关系、预测未来发展的依据。

例如，回转机械由于动不平衡而产生振动，那么振动信号中就包含了该回转机械动不平衡的信息，因此它就成为研究回转机械动不平衡的信息载体和依据。

二、信号的分类（一）确定性信号和非确定性信号 (随机信号)按信号的运动规律和有无确定性可分为确定性信号和非确定性信号 (随机信号) 两大类。

1．确定性信号若信号随时间有规律变化，可用数学关系式或图表来确切地描述其相互关系，即可确定其任何时刻的量值，这种信号称之为确定性信号。

确定性信号又可分为周期信号和非周期信号。

①周期信号 周期信号是按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号，可表达为)()(0nT t x t x += （⋅⋅⋅=,3,2,1n ） （2-1） 式中 0T ——周期（s ）。

周期信号又可分为简谐信号和复合周期信号：⊙简谐信号 即简单周期信号或正弦信号，只有一个谐波。

例如，集中参数的单自由度振动系统(图2-1)作无阻尼自由振动时，其位移)(t x 就是一个简谐信号，它可用下式来确定质量块的瞬时位置，即)cos()(00ϕ+⋅=t x t x mk（2-2）式中 x 0——初始幅值；0ϕ——初始相位角；k ——弹簧刚度； m ——质量；图2-1 单自由度振动系统t ——时间。

⊙复合周期信号 由多个谐波构成的周期性复合函数，用傅立叶展开后其相邻谐波的频率比n n ωω/1+为整数倍。

②非周期信号 常称为瞬变信号，能用确定的数学关系表达，但其值不具有周期重复特性的信号称为非周期信号。

如指数信号、阶跃信号等都是非周期信号。

非周期信号又可分为准周期信号和瞬变信号：⊙准周期信号 由有限个周期信号合成的确定性信号，但周期分量之间没有公倍关系，即没有公共周期，因而无法按某一确定的时间间隔周而复始重复出现。

这种信号往往出现于通信、振动等系统之中，其特点为各谐波的频率比为无理数。

例如：t t x 003sin 2sin ωω+= 就是准周期信号。

工程实际中，由不同独立振动激励的系统的输出信号，往往属于这一类。

⊙瞬变信号 在一定时间区域内存在，或随时间t 增大而衰减至零。

如机械脉冲信号、阶跃信号和指数衰减信号等(见图 2..5)。

图2-1所示的振动系统，若加阻尼装置后，其质点位移x (t )可用下式表示)sin()(000ϕω+=-t e x t x at (2-3)其图形如图2.4所示，它是一种非周期信号，随时间的无限增加而衰减至零。

常见的非周期信号如图2.5所示。

简单周期信号复杂周期信号2．非确定性信号（随机信号）非确定性信号也称随机信号，是一种不能用确切的数学关系来描述的信号，所描述的物理现象是一种随机过程。

它随时间的变化是随机的，没有确定的规律，每一次观测的结果都不相同，无法用数学关系式或图表描述其关系，更不能准确预测其未来的瞬时值，只能用概率统计的方法来描述。

如列车、汽车运行时的振动情况。

对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作)(t x i ， 如图2.6所示。

在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，计 作{})(t x ，即{}{}⋅⋅⋅⋅⋅⋅=),(),(),()(21t x t x t x t x i (2-4)随机信号的各种统计值(均值、方差、均方值和均方根值等)是按集合平均来计算的。

集合平均的计算不是沿某个样本的时间轴进行平均而是在集合中的某时刻轧i t 对所有样本函数的观测值取平均。

为了与集合平均相区别，称按单个样本的时间历程进行平均的计算为时间平均。

非确定性信号可分为平稳随机信号和非平稳随机信号。

①平稳随机信号 所谓平稳随机信号是指其统计特征参数不随时间而变化的随机信号，其概率密度函数为正态分布。

平稳随机信号又可分为各态历经信号和非各态历经信号。

在平稳随机信号中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该随机过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机信号称为各态历经（遍历性）的随机信号。

否则，即为 非各态历经信号。

②非平稳随机信号 所谓非平稳随机信号是指其统计特征参数随时间而变化的随机信号。

在随机信号中，凡不属于平稳随机信号范围的，都可归为非平稳随机信号类型。

工程上所遇到的很多随机信号具有各态历经性，有的虽然不具备严格的各态历经性，但也可简化为各态历经随机信号来处理。

事实上，一般的随机信号需要足够多的样本(理论上应为无穷多个)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难的，有时是做不到的。

因此实际中，常把随机信号按各态历经过程来处理。

本教材中对随机信号的讨论仅限于各态历经随机过程的范围。

根据信号的上述特性，信号分类归纳如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧非各态历经信号各态犁历经信号平稳随机信号非平稳随机信号随机信号瞬变信号准周期信号非周期信号复合周期信号简谐信号周期信号确定性信号动态信号静态信号信号（二）连续信号和离散信号（1）连续信号 若信号在时域的表达式中的自变量)(t x i 取值是连续的，称为连续（，模拟）信号。

（2）离散信号 若信号在时域的表达式中的自变量)(t x i 取离散值，称为离散信号。

若信号数学表达式的独立变量和信号的幅值都是离散的，则称其为数字信号。

（三）能量信号与功率信号1．能量信号在非电量测量中，常把被测信号转换为电压和电流信号来处理。

显然，电压信号 x (t )加到电阻R 上，其瞬时功率R t x t P /)()(2=当R =1时，)()(2t x t P =瞬时功率对时间的积分就是信号在该积分时间内的能量。

依此，当不考虑信号的实际量纲，而把信号)(t x 的平方)(2t x 及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。

当)(t x 满足⎰∞∞-∞<dt t x )(2 (2-5)则认为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称为能量信号。

如矩形脉冲信号、指数衰减信号等。

2．功率信号若信号在区间),(∞-∞的能量是无限的，即⎰∞∞-∞→dt t x )(2 (2-6)但在有限区间),(21t t 的平均功率是有限的，即⎰∞<-21)(1212t t dt t x t t (2-7) 这种信号称为功率有限信号或功率信号。

图2-1所示的单自由度振动系统，其位移信号就是能量无限的正弦信号，但在一定时间区间内其功率是有限的，因此，该位移信号为功率信号。

如果该系统加上阻尼装置，其振动能量随时间而衰减，如图2-4所示，这时的位移信号就变成能量有限信号了。

但是必须注意，信号的功率和能量，未必具有真实功率和真实能量的量纲。

一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有无限大能量。

三、信号的描述（）信号的描述方法主要有时域描述、频域描述和幅值域描述。

我们直接观测或记录的信号一般为随时间变化的物理量，是以时间作为独立变量，称为信号的时域描述。

信号包含着丰富的信息。

信号的时域描述只能反映信号的幅值随时间变化的特征，不能明确揭示信号的频率组成及对应不同频率的幅值大小。

为了提取某种有用信息，如为了研究信号的频率结构和各频率成分的幅值大小、相位关系，需要对信号进行频谱分析。

把时域信号通过积分变换转换成频域信号，此即信号的频域描述。

图2-5所示为周期方波的时域波形和频域描述。

对信号进行必要的分析和处理，是为了解决不同问题的需要，使所需的信号特征更为突出。

时域描述信号形象、直观，而频域描述信号则更为简练。

同一信号无论选用哪种描述方法都含有同样的信息，两种描述方法可互相转换但并没有增加新的信息。

第二节 周期信号与离散频谱一、 周期信号的傅里叶三角函数展开式设 周期信号可表为下列关系式：()()nT t x t x += (2-8) 式中 n=0, ±1， ±2， ……； T —周期。

在有限区间上，任何信号只要满足狄里赫来条件，均可展成傅里叶级数的三角函数形式：图2—5所示为周期方波的时域波形和频域描述图2-6 周期矩形脉冲信()()∑∞=++=1000sin cos n n n t n b n a a t x ωω （2-9）式中()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===⎰⎰⎰---tdt n t x T b tdt n t x T a dt t x Ta T T n T T n T T 022022220sin )(2cos )(21ωω （2-10）0a 是信号的常值分量，即均值；n a 是信号的余弦分量幅值；n b 是信号的正弦分量幅值；T 是信号的周期；0ω是信号的圆频率。

T 与0ω关系是0ω=2л/T 。

将式(2-9)中同频项合并，可以改写成()()∑∞=++=100sin n n n t n A a t x ϕω （2-11)式中 22nn n b a A +=；nnn b a tg 1-=ϕ。

由此可见，周期信号是由一个或几个、以至无穷多个不同频率的谐波迭加而成。

以圆频率为横坐标，幅值n A 或相角n ϕ为纵坐标所作的图称为频谱图。

n A -n 0ω图叫幅频谱，n ϕ-n 0ω图叫相频图 。

因为n 是整数，相邻谱线频率的间隔ω∆=(n 0ω-(n-1)0ω)=10ω=π2，即各频率成分都是0ω的整数倍,因而谱线是离散的。

我们把0ω称为基频，而把几次倍频成分()n n t n A ϕω+0sin 称为几次谐波。

每一根谱线对应其中一种谐波，频谱就是构成信号的各频率分量的集合，它表征信号的频率结构。

傅里叶三角函数展开时，周期信号的频谱，其频率范围是从0～+∞，所以其频谱是单边谱。

例1：求图2—6中周期矩形脉冲信号的频谱。

解：x （t ）可表示为⎪⎩⎪⎨⎧-+<≤++<≤+-=2)1(222)(ττττT k t kT kT t kT H t x 式中，k=0，±1，±2，…… 由式（2—9）得：常值分量 ()⎰⎰=•==--TH dt H Tdt t x Ta TTτττ2222011余弦分量幅值：()T n n H T n T T n H t n d t n T n H t n d t n T n H tdt n H T tdtn t x Ta T T TTn πτππτπωωωωωωωωτττsin222sin 2)2(2)()cos(22)()cos(2cos 2cos 2020022022022=••=••====⎰⎰⎰⎰---正弦分量幅值 ()⎰==-0sin 2022tdt t x Tb T T n ω因此 ()()∑∞=++=100sin n n nt n Aa t x ϕω这里 Tπω20=2/02/00sin 2012220πϕπϕϕπτπτ-=<=>±∞====+=+==-n n n n nn n n n n n a a a tg Tn n H a a b a A TH a 图2-7所示为21=Tτ时信号的频谱图图2—7 2/1=T τ 时周期矩形脉冲的频谱图2—5所示为5/1=T τ时信号的频谱图图2—8 5/1=T τ时周期矩形脉冲的频谱由周期信号的傅里叶三角函数展开式，上述分析我们得出如下结论：①周期信号各谐波频率必定是基波频率的整数倍，不存在非整数倍的频率分量 ②频谱是离散的；③由幅频谱线看出谐波幅值总的趋势是随谐波次数增高而减小； ④相频谱表明各谐波之间有严格的相位关系。