第四章李雅普诺夫稳定性理论

对概念的几点说明：
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
第二节 李雅普诺夫间接法
思想：李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 或者说系统极点来判断系统稳定性。
一、线性定常系统的稳定性
线性定常系统的稳定性判别定理：
(1)李氏稳定 A的约当标准形J中，实部为0的特征 值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均 有负实部。 (2)渐近稳定 A的特征值均具有负实部。
，其中P为实对
称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，但
V(x)并不一定都是简单的二次型。
(4) V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的 稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。
(5) 由于V(x)构造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用 于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，如 高阶非线性系统或时变系统。
A奇异：
b. 非线性系统 例：
令
2. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。
说明： (1) 系统不一定都存在平衡点； (2) 但系统也可能有多个平衡点； (3) 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当
的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）； (4) 稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对
(3)不稳定 A的特征值中至少有一个有正实部。
说明：
(1)劳斯判据依然适用。 (2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。
解释： 例1：
李氏稳定 不稳定 李氏稳定
李氏稳定 不稳定
例2：
求A的特征值： 得A特征值：
不稳定
二、非线性系统的稳定性 非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判
例：
二、二次型
例：
V(x)的定号性完全由P来确定。
希尔维斯 特判据
P的正负判定：通过P的主子式的正负来主子式都大于0 ∴P是正定的 ∴V(x)正定
例： 例：
不定 负定
Lyapunov直接法通过构造能量函数来判断，建 立在用能量分析稳定性的基础上。
例： 如图所示机械系统：弹簧K，阻尼器B，质量M 用V(x)表示系统的能量：
定理4-4： 说明：
例：线性定 常系统
解：
判稳定性 。
顺序主子式
说明：线性定常系统用李氏方程判稳定性并不一 定方便，但提供了一种思维方式。
例：如图所示控制系统，欲使系统渐稳，试确定增益 K取值范围。
解：写出状态方程：
设R＝0(不影响稳定性)
∴ V(x)随时间减小，从而运动的轨迹也将随时间增 大而趋于坐标原点。
∴ 坐标原点是渐近稳定。
定理4-2：
对李氏函数的讨论：
(1) V(x)是一正定标量函数，且对x具有一阶连续偏导。
(2) 对于一给定系统，若V(x)可找到，那么通常是非唯一的 ，但这并不影响结论的一致性。
(3) V(x)的最简单形式是二次型函数
无摩擦， 等幅振荡
定义4-3(渐近稳定)
几何意义
物理意义
球受外力离开 平衡点,存在摩 擦力时,小球最 终静止在A点 。
定义4-4(大范围渐近稳定)
必要条件：只有 一个平衡点。
定义4-5(不稳定)
对概念的几点说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值 应均有负实部。
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个 状态空间中只有一个平衡点。
(6) 只有V(x)可判稳定性时，才称其为李氏函数。
例： 解：
判稳定性 。
显然是正定的,且 有连续一阶偏导
例：
判稳定性。
状态与平衡 点的距离
始终位于圆上
例：
判稳定性。
(*)
解：
(1) (2)
代入方程(*)中
(3)
由上例可以看出：关键是寻找合适的李氏函数。
例：
判稳定性。
解：
说明：系统的稳定域在单位圆内。
例： 解：
判稳定性。
二、克拉索夫斯基方法(构造李氏函数的方法) 定理4-3：
进一步：
证明：
说明: (1)这种方法并不适用于所有系统;
例： 解：
判稳定性。
例：线性定常系统 解：
判稳定性。
三、李雅普诺夫方程 线性定常系统判别稳定性的充要条件。
P应为正定实对称矩阵 则
任意确定一正定矩 阵Q，则可求出P
断时，应在平衡点处先线性化。
高阶导数项
判别定理：
说明： (2)并不是对所有的非线性系统都可用间接法判别;
例： 和
两个负实根，渐近稳定
有一个正实根，不稳定 例：
所以，系统在 处不稳定 实部为0，不能由A来判断稳定性
第三节 李雅普诺夫直接法
李氏直接法通过找一个能量函数V(x)来判断系统 的稳定性。如果V(x)能量减小，系统可能稳定； V(x)增大，则系统不稳定。但并不是所有的系统都 可以找到能量函数。 一、函数的定号性
第四章李雅普诺夫稳定 性理论
2020年4月23日星期四
本章内容： 1 稳定性基本概念 2 李雅普诺夫意义下的稳定性 3 李雅普诺夫第一法 4 李雅普诺夫第二法
5 线性定常系统渐近稳定性判别法
第一节 李雅普诺夫稳定性定义
一、稳定性基本概念
1. 平衡状态：
a. 线性系统
系统的平衡状态
A非奇异：
解唯一,平衡点只有 一个
多平衡点问题需针对各状态讨论。
二、李雅普诺夫意义下的稳定性
定义4-2：
说明： (1) 考虑的是平衡状态的邻域 (2) 利用2范数定义该邻域，实质为一超球体 (3) 若状态空间为2维的，则平衡状态的邻域为以该状态 为圆心，半径为H的圆
二、李雅普诺夫意义下的稳定性
定义4-2（续）
几何意义：
实际上，工程中的李氏稳 定是临界不稳定