湖南大学材料力学-第三章：圆轴扭转I 截面几何性质

y A
T
B
C
z
材料力学
(2) 因为等直圆轴，且各截面 T 相 等，因此，轴内最大剪应力即 为任意截面最外缘的剪应力。
max A 71.4Mpa
材料力学
(3)
TL GI p
14103 1 2 1 . 78 10 (弧度) 4 9 100 8010 1012 32
材料力学
几何关系 将圆轴看成由无数个同心薄壁圆筒组成，然后， 再想象从圆轴的dx微段中，取出一半径为 厚度 为d 的薄壁圆筒 1
B
2
o o
max
A
1
A B
d 2
d

B
B
d
d
dx
dx
BB d d tg dx dx dx
材料力学
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式中
3.扭矩图
T1 M B 3.82kN m
T2 M B M C 7.64kN m
T3 M D 5.09kN m
mB T (kN· m) 3.82
1
mC 2
mA 3 +
mD 5.09
－ 7.64
材料力学
若将力偶用矢量表示，则与杆的拉、 压内力计算完全类似。
T dA r
A
由于，为常数，且t<< R0
上式中的r可用R0代，于是
2 T R0 dA R0 2R0t 2R0 t A
T
T 2 2R0 t
材料力学
2.剪应力互等定理
材料单元体
Y 0
三棱边为微元长度 y
1dzdy 2 dzdy

=G G ——剪切弹性模量
材料力学


G与同量纲 G、E、 均为反映材料性质的
材料常数对各向同性材料
列关系：
E G 2(1 )
这三个
量中，只有两个独立，它们满足下
材料力学
四、圆轴扭转时应力与变形 1.横截面上的应力
思路：观察变形，提出变形假设，导出应
变与变形的关系(几何关系)。利用材
材料力学
正 m T
T
(a) (b) T
m
m
T m
负
材料力学
无论 保 留左 段 还是 右
段，得到的扭矩大小 、符
m
m
号均相同，同时，若给出
某截面扭矩的大小和符号 ，
m
T
x
则无论保留左段还是右段 ，
都能方便地画出该截面的
T
m
扭矩 (大小、转向)。
材料力学
例3－1 已知A轮为主动轮，B、C、D
为从动轮。PA 400kw ， PB P kw ， C 120
材料力学
T B B Ip
14103 3 50 10 1004 1012 32
71.4MPa
材料力学
T C C Ip
14103 3 25 10 1004 1012 32
35.7 MPa
材料力学
截面扭矩为正号扭矩，由静力等效 的关系知：在整体图中从右往左看，剪 应力方向为A水平向左，B铅垂向下， C竖直向上。
料本身的性质应力-应变关系(称为物 理关系 ) ，由应变规律得到应力分布 规律。利用应力 - 内力关系 ( 静力关 系 ) ，可得到用内力表示的应力公式。
材料力学
考察变形
m0

m0
① 各圆周线形状、大小、相邻两圆周线的间 距不变。 ② 各纵向线近似于直线，只是倾斜了一个相 同的角度。 轴表面变形前的矩形格，变形后成了平行 四边形格。
2 2d

d 4
32
wt
Ip
d
4
32 d r 16 2
d
3
d
d
o
材料力学
(2) 空心圆轴
I p 2d
2 D 2 d 2

32
(D4 d 4 )


32
D 4 (1 4 )
d 令 D
I p D 3 wt (1 4 ) D 16 2
1 2
组成一力偶 1dzdydx
2 dy
dz
z
4
1
x
dx
3
平衡，可推测上、下两个面中必有剪应3, 4
材料力学
x 0
3dzdx 4dzdx 0
y
3 4
2 dy
dz
z
组成一力偶 3dzdx dy
4
1
x
由平衡知
dx
1dzdydx 3dzdxdy
材料力学
五、圆轴扭转时的强度及刚度计算
1.强度条件
等直圆轴在扭转时，杆内各点均处于纯 剪切状态，其强度条件是最大工作剪应力 不大于材料的许用剪应力。
即 max []
Tmax 等直圆轴强度条件为 Wt
材料力学
根据上式可进行三种不同情况的强度计算 ① 校核强度 ② 设计截面 ③ 计算许可荷载
材料力学
2.扭转内力、扭矩、扭矩图
截面法： 切 抛 代 平 扭 转 内 力通 常 用 T 表 示，称为扭矩。 由 mx 0
T m 0
m
m
m
T
x
T m
材料力学
若保留右段，则有 T m 即 T与T 大小相等，转向相反 (作用力反作用力)
m
m
m
T
m
x
T
材料力学
为了表达方便，按变形特点规定符号 符号规定：按右手螺旋法将扭矩T表为矢量， 若该矢量方向与截面外法线方向 一致为正，反之为负。
② 各纵向线倾斜相同角度，各矩 形变成平行四边形。
材料力学
分析变形现象 ① 由圆周线的大小、形状不变，纵向线发 生倾斜的变形现象，我们知道，薄壁圆 筒横截面绕轴线转动了一个角度。 ② 圆周线的间距不变，杆子既不伸长，也 不缩短，由此推得横截面上无正应力。
材料力学
③ 表面纵向线倾斜，表面所有的矩形格子都变 成平行四边形，而每个直角都改变了相同的 角度，这种直角的改变量称为剪应变。这种 剪应变是由剪应力引起的，因此在横截面的 圆周上各点的剪应力是相等的， 又由于t<<R0,所以我们又可 假设剪应力沿厚度方向均布。
(2) 杆内最大剪应力 max
(3) 两端截面之间相对扭转角 y m0 B A m0 z
C
材料力学
解：(1) 由截面法，易求得轴任意截面的扭 矩均为T=m0
T A A Ip
14103 3 50 10 1004 1012 32
71.4 106 pa 71.4MPa
材料力学
m n 2 P 1000 60
1000 60 P P m 9550 ( N m) n 2 n
P 9.55 (kN m) n
材料力学
若功率单位为马力时，经过单位换算可得到
P m 7 (kN m) n
外力偶的转动方向： 主动轮为动力轮，其上外力偶的转向与 轴转动方向相同；从动轮为阻力轮，其上的 外力偶的转动方向与轴转动方向相反。

a dA
o dA b


T dA
A
d d G dA G A dx dx
2 A

A
2 dA
I p dA —— 极惯性矩
材料力学
d T G Ip dx
d T dx GI p d T G dx I p
材料力学
2.求扭矩 作轴的受力图，利用截面法可求出扭矩
mB mB mB T1 mC T2 T3 mD mC mA mD
T1 M B 3.82KN m
T2 M B M C 7.64KN m
T3 M D 5.09KN m
此时，T的符号具有双重意义。
材料力学
mB
mC T1 mC
mA
mD
mB
mB
T2
T3 mD
材料力学
三、薄壁圆筒的扭转应力
为了解决圆轴的扭转应力计算，我 们先讨论比较简单的薄壁圆筒的扭转问题。
t R0
R0 (t ) 10
t
R0
材料力学
1.薄壁圆筒的应力公式
观察变形
t
R0
m0

m0
材料力学
变形现象
① 各圆周线形状、大小、间距不变。
圆轴扭转
材料力学
一、概述
实例： ① 方向盘的操纵杆 ② 传动轴 ③ 钻头、钻杆
材料力学
受力特点：在垂直于杆轴线的平面内 作用有力偶。 变形特点：任意两个横截面都绕杆轴 线作相对转动。 以扭转变形为主的杆称为轴。 材料力学只研究圆轴扭转问题。
材料力学
二、扭转内力、扭矩、扭矩图、及外 力偶的计算 1.外力偶的计算
作用在轴上的外力偶往往不是直 接给出的，而是给出轴所传递的功率 和轴的转速，因而需要换算。
材料力学
设输送的功率N为P kw 化标准单位 一分钟内作功
传动轴转速为n转/分
1kw = 1000 N· m/s
W = N· t = P×1000×60
(N· m)
这功是由外力偶作用在轴上来实现的，假 定外力偶为m，则一分钟内外力偶作功为： W = m × = m × n × 2π
材料力学
从变形的可能性出发 假设：杆横截面像刚性平面一样绕轴线转动。 (刚性平面假设) 此假设只适用于等直圆杆，假设的合理 性被实验结果和弹性理论所证实。
材料力学
设想，从轴上取出微段dx
m
1
1 2 m
y
o
z x
1
max
2
A o
1 2 x dx l
1
dx
A
d 2
截面 2-2 相对于截 1-1 将有一个相对的扭转角 d ，根据刚性平面假设，截面 2-2 上的任意一半 径OA转动到0A’ ，且保持直线。如将圆轴看成由 无数个同心薄壁圆筒组成的，则在这一微段中， 组成圆轴的所有薄壁圆筒的扭转角均相等。
PD 160kw ，轴的转速为300转/分，
试求1-1，2-2，3-3截面的扭矩。
B
1
C
2
A
3
D
1
2
3
材料力学
解：1. 求外力偶
400 m A 9.55 12.73kN m 300 120 mB mC 9.55 3.82 kN m 300 160 mD 9.55 5.09 kN m 300
D d
o
d

材料力学
3.圆轴扭转的变形计算：
d T 单位长度扭转角： dx GI p
(3-16)
相距dx的两横截面的扭转角
d T dx dx dx GI p T d dx GI p
材料力学
相距L的两横截面的扭转角为
d
L L 0
T dx GI p

L
0
Tdx GI p ( x)
材料力学
例 3 － 2 实心圆轴的直径 D=100mm ，长 l=1m ，两端受外力偶矩 m0=14kN· m 作用，如 图所示。设材料的剪切弹性模量G=80GPa。 y m0 B A m0 z
C
材料力学
试求： (1) 杆内图示截面上A、B、C三点处的剪应力 数值及方向；

材料力学
薄壁圆筒的横截面上各点 的剪应力均相等。
T
材料力学
薄壁圆筒的横截面上各点的剪应力均相等。
④ 剪应变是两截面的错动，发生在垂直半径 的平面内，所以剪应力的方向垂直于半径。
结论：
薄壁圆筒在受扭转变形时，
横截面上将产生剪应力，它
的方向沿圆周切线方向，且
T
在整个横截面的大小相等。
材料力学
应力公式推导：由截面法，我们知道横截面上 的分布内力系的合力为扭矩 T ， 于是由静力等效关系有：
材料力学
在给定的横截面上，最外缘剪应力最大
max
wt
T T r Ip wt
Ip r
—— 抗扭截面模量
材料力学
2.Ip ， wt的计算
(1) 实心圆轴 取距离圆心为，厚度为d的环形面积为dA 于是， dA 2d
I p dA
2 A d /2 0
3
1 3
材料力学
剪应力互等定理：两个互相垂直平面上的剪 应力大小相等，方向为同 时指向(或同时背离) 两个 面的交线。
纯剪切 —— 如图，各个侧 面均无正应力， 只在两对相互 垂直的平面上 有剪应力。




材料力学
材料力学
3.剪切胡克定律
实验表明：当剪应力不超过材料的弹性极限 时，剪应力与剪应变成正比：
若在L长度内，T、G、I p为常数， 则上式可写成：

L 0
T T dx GI p GI p

L
0
TL dx GI p
材料力学
GIp —— 抗扭刚度
对比
轴向拉压
圆轴扭转
NL l EA
TL GI p
公式形式相似，适用条件相同。
材料力学
TL GI p

Ti Li i GI pi
d dx
为相对扭转角沿杆长度的变化率，记为
d dx
物理关系
根据剪切胡克定律
d G G dx
上式表明：横截面上的剪应力随着到圆心的距离 按直线规律变化，在同一半径为的圆周上，各 点的剪应力均相等。
材料力学
d ? dx
静力关系
横截面上剪应力的合成结果 就是该横截面上的扭矩。