一类数项级数和的表示
数项级数的基本概念及性质
称为级数的部分和.
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5
则称无穷级数收敛，
并称 S 为级数的和， 记作：S un
n 1
则称无穷级数发散。
即：常数项级数收敛(发散) lim S n 存在(不存在)
n
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
即
Sn S
误差为 Rn
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设三角形 周长为 P1 3 , 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P1 , 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
播放
依次类推
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9
结束
第 n 次分叉：
4 n 1 周长为: Pn ( ) P1 3 n 1, 2,
n n n
a lim s n n 1 q
收敛
lim q n lim sn 当 q 1时 , n
机动
发散
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17
结束
当 q 1时 ,
sn na
发散
发散
aq 3 aq
2
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
a 1 q , n 综上所述 aq n 0 发散 ,
q 1 q 1
a aq
aq 2
右图给出了几何级数的一个 几何解释:
S a 由三角形的相似 a a aq a S 1 q
a
aq
aq
S
a
a
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18
结束
例 4： 以德国数学家 Cantor 命名的 Cantor 集是这样
项级数的概念
项级数的概念项级数是数学中的一个概念，指的是一个无穷序列的和。
在项级数中，每一项都是具有固定模式的数列中的某一项，而项级数的和就是这些数列中所有的项的总和。
项级数可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1, a2, a3, ... 是一个数列的项，n 是一项的位置。
举个例子，如果项级数为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，那么a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，... ，n 表示数列中项的编号。
项级数可以分为两类：收敛项级数和发散项级数。
当项级数的和存在且有限时，我们称其为收敛项级数；当项级数的和不存在或为无穷大时，我们称其为发散项级数。
对于收敛项级数，我们常常使用极限的概念来表示。
如果项级数S具有有限的和S，则对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，Sn - S < ε。
其中，Sn 表示项级数的前n项和。
为了更好地理解项级数的概念，我们可以看一些经典的例子。
1. 等差数列：1, 2, 3, 4, ...这是一个常见的等差数列，每一项与前一项之差都相等。
项级数可以表示为：1 + 2 + 3 + 4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
2. 等比数列：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个等比数列，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
3. 调和级数：1, 1/2, 1/3, 1/4, ...这是一个调和级数，每一项是倒数数列。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ，它是一个发散项级数，和无穷大。
4. 幂级数：1, 1/2, 1/4, 1/8, ...这是一个幂级数，每一项都是前一项的1/2倍。
项级数可以表示为：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ，它是一个收敛项级数，和为2。
级数和的定义
级数和的定义级数是数学中重要的概念，它描述了无限个数的和。
在实际问题中，级数经常用于物理、工程、经济等领域的建模和计算。
本文将介绍级数和的定义以及与之相关的概念和定理。
首先，我们来定义级数。
级数是由无穷个数的和所组成的表达式，通常表示为∑(n=1 to ∞) a_n ，其中a_n是数列的第n个元素。
例如，∑(n=1 to ∞) 1/n 就是一个级数，每一项都是数列1/1, 1/2, 1/3, ...中的元素。
接下来，我们将介绍级数和的计算方法。
对于某个级数∑(n=1 to ∞) a_n，存在以下三种情况：1. 收敛：如果级数的和存在有限的极限L，则称该级数收敛，记为∑(n=1 to ∞) a_n = L。
在计算级数和时，我们通常使用部分和的概念。
级数的第n个部分和记为S_n，它表示级数前n 个数的和。
当n趋向于无穷大时，如果S_n趋向于一个有限的值L，则级数收敛，并且∑(n=1 to ∞) a_n = L。
2. 发散：如果级数的和不存在有限的极限，则称该级数发散。
这意味着无论我们取的n多大，级数的部分和都没有一个有限的极限值。
3. 不收敛也不发散：有些级数既不收敛也不发散。
这些级数没有定义一个有限的极限值，同时也没有无限地趋向于正无穷或负无穷。
这种情况下，级数的和是没有定义的。
在计算级数和时，有一些常用的方法和技巧，例如：1. 等比级数求和公式：对于等比数列 a, ar, ar^2, ar^3, ... ，如果0 < r < 1，则等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n = a / (1 - r)。
例如，∑(n=0 to ∞) (1/2)^n = 1 / (1 - 1/2) = 2。
2. 绝对收敛与条件收敛：对于级数来说，我们可以讨论其所有项的绝对值之和，即∑(n=1 to ∞) |a_n|。
如果这个绝对值级数收敛，则称原级数绝对收敛。
如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。
数项级数的定义
数项级数的定义一、数项级数的概念数项级数是指由一系列数项按照一定规律相加而得到的一种数列。
数项级数一般表示为 S =a 1+a 2+a 3+...+a n +...，其中 a n 是数项。
二、数项级数的和数项级数的和指的是将数项按照一定次序相加的结果。
如果数项级数的和存在有限值，我们称该数项级数是收敛的，收敛的和就是该级数的和；如果数项级数的和不存在有限值，我们称该数项级数是发散的。
三、数项级数的收敛条件数项级数的收敛与数项的值有关，有以下几种常见的收敛条件：1. 绝对收敛如果数项级数的各个数项 a n （n ≥1）的绝对值组成的级数 ∑|a n |∞n=1 收敛，则称原数项级数 ∑a n ∞n=1 是绝对收敛的。
2. 条件收敛如果数项级数 ∑a n ∞n=1 收敛，但 ∑|a n |∞n=1 发散，则称原数项级数是条件收敛的。
3. 收敛性与发散性对于一般的数项级数，没有绝对收敛或条件收敛的情况，称该数项级数是发散的。
四、数项级数的性质数项级数具有以下一些基本的性质：若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 都收敛，则级数 ∑(a n +b n )∞n=1 也收敛，并且有∑(a n +b n )∞n=1=∑a n ∞n=1+∑b n ∞n=1。
2. 常数倍数性若级数 ∑a n ∞n=1 收敛，则级数 ∑(ka n )∞n=1 也收敛，并且有 ∑(ka n )∞n=1=k ∑a n ∞n=1（k 为常数）。
3. 递推式若级数 ∑a n ∞n=1 的部分和数列 {S n } 满足递推式 S n =S n−1+a n （n ≥2）并且lim n→∞S n 存在，则级数 ∑a n ∞n=1 收敛且 lim n→∞S n =∑a n ∞n=1。
4. 比较性若级数 ∑a n ∞n=1 和 ∑b n ∞n=1 满足 |a n |≤|b n |（n ≥1），且 ∑b n ∞n=1 收敛，则∑a n ∞n=1 绝对收敛。
一类数项级数的多种求和方法解析
2.2 代数方程法[4]
∞
移 通过积化和差公式建立幂级数 (qx)nsinna 的代数方 n=1
程袁进而求得其和.
∞
移 令 s(x)= (qx)nsinna袁 n=1
∞
移 则 cosa窑s(x)= (qx)nsinna窑cosa n=1
∞
移 = 1 (qx)n[sin(n+1)a+sin(n- 1)a] 2 n=1
第 31 卷 第 8 期渊 下冤 2015 年 8 月
赤 峰 学 院 学 报渊 自 然 科 学 版 冤 Journal of Chifeng University渊 Natural Science Edition冤
Vol. 31 No.8 Aug. 2015
一类数项级数的多种求和方法解析
苏涵
渊安徽财经大学 统计与应用数学学院袁 安徽 蚌埠 233030冤
∞
∞
则移rn=移qncosna+i移qnsinna
n=1 n=1
n=1
=
qcosa- q2 1+q2- 2qcosa
+i
qsina 1+q2- 2qcosa
袁因而有
∞
移qncosna=
n=1
qcosa- q2 1+q2- 2qcosa
袁
∞
移qnsinna=
n=1
qsina 1+q2- 2qcosa
.
2 n=1
2 n=2
∞
移 = 1 (n- 1)(qx)nsin(n+1)a+ 1 qx2s'(x)曰
2 n=1
2
∞
移 cosa[xs'(x)- s(x)]+ 1 2(qx)nsin(n+1)a 2 n=1
数学分析数项级数
傅里叶级数在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。通过傅里叶变换，可 以将信号从时域转换到频域，从而更好地理解和处理信号。
泰勒级数
01
泰勒级数的定义
泰勒级数是无穷级数，用于逼近一个 函数。泰勒级数展开式由多项式和无 穷小量组成，可以用来近似表示任意 函数。
02
泰勒级数的性质
数学分析数项级数
目录
• 数项级数的基本概念 • 数项级数的性质 • 数项级数的求和法 • 数项级数的应用 • 数项级数的扩展
01
数项级数的基本概念
级数的定义
定义
级数是无穷数列的和，表示为Σ，其 中每一项都是正项或负项。
特点
级数中的每一项都是无穷小量，但整 个级数的和可能是有限的或无限的。
级数的分类
泰勒级数具有收敛性、唯一性和可微 性等重要性质。这些性质使得泰勒级 数成为分析函数的有力工具。
03
泰勒级数的应用
泰勒级数在数学分析、物理和工程等 领域有着广泛的应用。通过泰勒展开 ，可以更好地理解和分析函数的性质 ，如求函数的极限、证明不等式等。
感谢您的观看
THANKS
有穷级数
所有项的和是有限的，例如1+2+3+...+100。
无穷级数
所有项的和是无限的，例如1+1/2+1/3+...。
级数的收敛与发散
收敛
级数的和是有限的，即级数 收敛。
发散
级数的和是无限的，即级数 发散。
判定方法
通过比较测试、柯西收敛准 则等判定级数的收敛与发散 。
02
数项级数的性质
收敛级数的性质
数项级数的扩展
幂级数
一类特殊级数的和函数
一
记 （ 一 ０ １ … ， 一 １ ，， ｋ ）为 ｋ次单 位根 ， 则
寻
证 明
一ｉ １
ｋ １ －
（ １ 一 ）
Ｈ ０ — ． Ｔ ） １， ：
一
２ ｋ Ｚ ！ ｏ时 ， 理 １即 为引理 ２ ： 定 ．
摘 要 用 次 位 及 正 性 到 数互 １：和 数它 利 微 方 理 来 级 的 利 单 根 其 交 得 级 薹＼ 函 ．与 用 分 程 论 求 数 和 ｎ ●的 ｕ 。 ，
有 很 大 区别 ． 为 应 用 ． 到 了一 些 特 殊 级 数 的 和 ． 作 得 关 键 词 单 位 根 ｝ 交 性 ； 分 方 程 正 微 中 图分 类 号 ０１３ ７
１ｋＩ ｒ － ｒ
暑
＝ ０
宠， ＝
！
一
５ Ｃ ｈ
薹赢 一 。 ÷ｅ 叫ｅｔ２ｚ （＋１ －－ ） －ｅ 一 ｏＪ ￣
＝ 丽 ！ 尼 ・
０
定 理 １ 设 ｋ∈ ｚ ，ｌ ｚ， ∈ ０≤ Ｚ ｋ一 １ ≤ ，并
÷ｅ 。 （＋２ ＋ ｅ
一
３ 应 用
例１求 数霎 级 。
ｏ（ ｎ）１ ２
一
及 。 的 ． 蠢 和
Ｙ（） 一 Ｙ．
则
＝
于 是
。 。
一 一
， 一 二 ｏ “ 蔷 一・ ｝
～
ｈ
ｌ － － １
注 引理 １ 的结 论实 质上 是 Ａｂ ｌ 特 征的正交 ｅ群
一 ’
∑ （ ｋ
０ ｎ）！
＝ ∑Ｃ ｅ ， ｊ
性 的特 例
．
其 中 （ 一 ０ １ … ， １ ， ， ｋ一 ）为 ｋ次单 位根 引 ．
级数和的定义
级数和的定义级数是数学中一个重要的概念，是由一系列数通过相继相加而得到的结果。
级数和的定义可以通过以下参考内容来解释。
1. 级数的符号表示：级数可以用符号∑来表示，例如∑aₙ，其中aₙ表示级数的每一项，n表示从1开始的自然数。
2. 级数的部分和：级数的部分和是指从第一项开始相加到第n项的和，可以表示为Sₙ= a₁+ a₂+ ... + aₙ，其中n是自然数。
3. 部分和的性质：部分和具有可加性和可乘性的性质。
对于级数∑aₙ，它的部分和满足以下性质：Sₙ + Sₙ = Sₙ₊ₙ，其中n和m都是自然数。
这意味着级数的部分和具有可加性。
此外，如果级数的部分和满足limₙ→∞Sₙ存在，则称级数收敛，否则称级数发散。
4. Cauchy收敛准则：Cauchy收敛准则是判断级数是否收敛的重要方法之一。
根据该准则，对于给定的任意正数ε，如果存在一个正整数N，使得对于所有n>N和m>N，都有|Sₙ -Sₙ|<ε，那么级数收敛。
5. 绝对收敛和条件收敛：当级数∑|aₙ|收敛时，称级数∑aₙ绝对收敛。
当级数∑aₙ收敛而∑|aₙ|发散时，称级数∑aₙ条件收敛。
6. 级数和的计算方法：常见的计算级数和的方法包括等差数列求和公式、等比数列求和公式、幂级数求和等。
此外，还可以使用求和运算的性质，如可交换性、可分解性、区间延拓等，来计算级数和。
7. 收敛级数的性质：对于收敛级数∑aₙ和∑bₙ，它们的常见性质包括有限项相互抵消后的级数仍然收敛、级数每一项小于等于对应部分和、级数的部分和有界等。
这些性质对于分析级数的收敛性和计算级数和都具有重要意义。
8. 应用领域：级数的概念和性质在数学中有广泛的应用，包括在数学分析、微积分、数论、概率论、物理学等领域。
级数的研究不仅有助于深化数学理论，也有助于解决实际问题。
9. 级数的发散性：与收敛级数相对应的是发散级数，即级数的部分和无限增加或无法找到一个极限值。
常见的发散级数包括调和级数、几何级数等，在研究级数的收敛性时需要特别注意发散级数的性质。
1数项级数的基本概念及性质
∞
( k ≠ 0).且
∑ kun = k ∑ un n =1 n =1
性质 2:若级数 ∑ un , ∑ vn 收敛,则级数
n =1 n=1 ∞ ∞
∞
∑ (u
n =1
∞
n
± vn )也
收敛收敛,且
∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑ vn n =1 n =1 n =1
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即: 常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在)
n→ ∞
当级数收敛时, 称差值
rn = s sn = un+1 + un+ 2 +
为级数的余项. 显然 lim rn = 0
n→ ∞
即
sn ≈ s
误差为 rn
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级数与数列有着密切的关系:
n 给定级数 ∑ un ,就有部分和数列 sn = ∑ ui ; i =1 n =1 给定数列{sn },就有以{sn }为部分和数列的级数:
sn = na → ∞
发散 发散
当 q = 1 时 , 级数变为 a a + a a +
∴ lim s n 不存在
n→ ∞
综上所述
a 当 q < 1 时 , 收敛 , 其和为 n 1 q ∑ aq n= 0 当 q ≥ 1 时 , 发散
∞
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例 4:
判别无穷级数
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧: 利用 "拆项相消" 求和
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1 例2. 判别级数 ∑ ln ( 1 2 ) 的敛散性 . n n= 2 解: n2 1 1 ∵ ln ( 1 2 ) = ln 2 = ln( n + 1) + ln( n 1) 2 ln n n n n 1 ∴ sn = ∑ ln ( 1 2 ) k k =2 = [ln 3 + ln 1 2 ln 2] + [ln 4 + ln 2 2 ln 3] + [ln 5 +
数项级数的定义
数项级数的定义数项级数的定义数项级数是由一系列有限或无限个数项所组成的一种特殊的数列。
这些数项可以是实数、复数或其他类型的数字。
在这个级数中，每个数字都被称为一个“项”，而这些项被按照一定的顺序排列在一起，形成了一个整体。
1. 数项级数的基本概念1.1 级数和部分和对于一个由n个项组成的级数，我们可以将它表示为S_n，其中S_n 表示前n个项之和。
当n趋近于无穷大时，我们可以得到该级数的总和S。
1.2 收敛与发散如果一个级数在某种意义下能够收敛于某个值S，则我们称该级数是收敛的。
反之，如果该级别不能收敛，则我们称它是发散的。
2. 数学公式表示对于一个由n个项组成的级别，我们可以用以下公式来表示它：∑ a_n = a_1 + a_2 + … + a_n其中a_n代表第n个项。
3. 级别收敛与发散判断方法3.1 正项级别判定法则正向级别指所有a_n都为正实数组成的级别。
如果正向序列满足以下条件，则该序列是收敛的：a_n ≤ a_(n+1) (n≥N)3.2 比值判别法对于一个级数∑ a_n，如果存在一个正整数q，使得：|a_(n+1) / a_n| ≤ q (n≥N)则该级数是收敛的。
3.3 积分判别法对于一个级别∑ a_n，如果存在一个连续的正函数f(x)，满足以下条件，则该级数是收敛的：∫ f(x)dx 从N到无穷大收敛4. 常见级数之和4.1 等比级数求和公式对于形如∑ ar^n的等比级数，我们可以用以下公式来求和：S = a / (1-r)其中a为首项，r为公比。
4.2 调和级数求和公式调和级数指形如∑ 1/n的级别。
这个序列是发散的，但它可以用以下公式来近似计算：S_n = ln(n) + γ + ε_n其中γ为欧拉常数（约为0.577），ε_n是一个趋近于零的误差项。
5. 应用领域在实际生活中，级别经常被用于描述各种数量关系。
例如，在金融领域中，人们经常使用复利计算来计算投资回报率。
这种计算方法就涉及到等比级数。
数项级数和的几种求法
分 析该 级 数 的 项 部 分 和 ＋ ＋ 丢 ＋ ． － ． ＋ 翌 中 的 各 项 分 母
例５求级 数∑（ 一 １ ） ‘ 上的 和
ｎ ＝１ ｎ
成等 比数列 ， 分子成等差数列 ， 把 它的各 项同乘 ２ ， 然后错位相减就 可 分析 这是典 型的交错级数 ． 此题 中的和式并非是 ｎ个连续 正整 以求得其和． 数的倒 数之 和 ， 但是可 以转化为奇数项之和（ 第一部分 ） 减去偶数项 的
ｎ ：１ ｎ ：ｉ １
求 数 项 级 数∑ 的 和 比 判 别 数 项 级 数∑ 的 敛 散 性 更 不 容 易。 在多
＝ Ｊ １
年的 教 学 实 践中 笔 者 探 索出 以 下 几 种 常 用的 数 项级 数∑ 求 和的 方
ｌ
于 是 （ １ ） 址ｆ 。 告： ＿ ｌ ｎ （ １ ～ ） ， ｓ ） ： （ １ 一 ） ．
．
．
。
２
Ｚ
两 式 相 减 得ｓ ＝ １ ＋ ２ × （ ＋ ＋ 与 ＋ ＿ ， ． 、 一 Ｌ ＝ ３ 一 掣 ．
己 三 ｚ ｚ 三
所 以 ｌ ｉ ｍ （ ｝ ＋ ＋ 丢 十 ． ＿ － ＋ 呈 士） ＝ ： ｌ ｉ ｍ ５ ’ ＝ ３ ．
”， ’ ＝】 ，
子。 在 数 学 分 析 的 教 材 中 对 于 数 项 级 数∑ 敛 散性 的 判 别 有 系 统的
研究 ． 而对于其和的求法没有 给出系统 的研 究． 对于学生来说 ． 有时候
处 的 函 数 值 ｝ ） ．
解 令ｓ ） ＝ ∑ ． ∈ （ 一 ｌ ， １ ） ， 则ｓ ） ： ∑ ’ ： 一 ∈ （ 一 ｌ ， １ ） ．
例 ｌ 求级数
数项级数和的几种典型求法
级数 和傅里 叶级数 的和函数在某点的 函数值来求数项级数和 的方法 、 利用基本初等 函数 的泰勒级数 公式求数项 级
数 和 的方 法 ．
关 键 词 数 项 级 数 ； 阿贝尔变换 ； 傅 立 叶级 数 ； 泰 勒 级 数
中 图 分 类 号 Ｏ１ ７ ３ ． １ 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ３ ４ — ０ ３
～－ 一 一 １ Ｉ （ １ ＋ 甜 ） （ １ ＋ ） ｌ Ｉ ≤ ｋ ＋ １ ‘ ～ － Ｕ ｎ ＿ １ ｌ ，
故 由 引 理 １知 ｛ ）收 敛 ． 不妨设
ｌ ｉ ｍｕ 一 ，
张智 倍 （ １ ９ ８ ７－ －） ， 女， 黑龙江双城人 ， 硕士 ， 讲师 ， 从 事 偏 微
的级数 应 用 阿贝尔 变换 来求 和．
例 １ 已 知 ．
ｌ ｚ 井 １ 一 １ ≤ ｒ ｌ 一 １ １ （ 一 １ ， ２ ， …） ， 则｛ ｚ ｝ 是 收敛 的 ， 即压缩 列 为收敛 列．
例 ２ 设 Ｍ ≥ ０， 且
“ 计 ｌ 一 （ 愚 ＞ １， ｎ 一 １， ２， … ），
ｎ ～ 一
数 项级 数 的关 系 ， 构造 相 应 的幂 级 数 以 及傅 里 叶级
数， 通 过 函数项 级数 的和 函数 在某 点 的值 来求 得数
ｌ ｉ ａＳ ｒ 一
…
项 级 数 的和 ； 以及 利 用 基本 初 等 函数 的泰 勒 级 数求
数项 级数 的和． 在 初等 数 学 中 ， 根 据 级 数 通项 的特 点 求级 数 部 分 和 的常见 方法 有等 差求 和 、 等 比求 和 、 错位 相减 求 和、 列 位相 消求 和 、 叠加法 求 和 以及 利 用 自然 数 的幂
数学物理基本方法4.1数项级数、幂级数
幂级数在物理学中的应用
弹性力学
幂级数在弹性力学中用于 描述弹性体的应力和应变 关系。
热力学
热力学中的理想气体状态 方程就是通过幂级数来表 达的。
电磁学
在电磁学中，幂级数用于 描述电磁波的传播和电磁 场的分布。
数项级数与幂级数在金融领域的应用
复利计算
通过使用幂级数和数项级数，可以更精确地计算 复利，这对于金融投资和保险非常重要。
定义
数项级数与幂级数的乘法运算是 将两个级数的对应项相乘，得到
一个新的级数。
规则
乘法运算有特定的规则，如合并 同类项、调整系数等，需要细心
操作避免出错。
应用
数项级数与幂级数的乘法运算在 数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如求解物理问题、研究复
合材料的性质等。
Part
05
数项级数与幂级数的应用实例
数学物理基本方法 4.1数项级数、幂级 数
• 数项级数简介 • 幂级数简介 • 数项级数与幂级数的联系与区别 • 数项级数与幂级数的运算方法 • 数项级数与幂级数的应用实例
目录
Part
01
数项级数简介
数项级数的定义
01
数项级数是无穷序列的和，表示为 $sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中 $a_n$是序列中的第$n$项。
的时间序列数据。
Part
03
数项级数与幂级数的联系与区 别
数项级数与幂级数的共同点
01
两者都是无穷序列
数项级数和幂级数都是无穷序列，可以表示为无限多个项的和或乘积。
02
两者都有收敛和发散的概念
数项级数和幂级数都有收敛和发散的概念，收敛的级数或幂级数具有确
定的极限值，而发散的级数或幂级数则没有确定的极限值。
数项级数求和方法探讨
数项级数求和方法探讨级数是数学中的一类概念，也是非常重要的一个数学概念。
在数学领域，“级数”是指由有限个或无限个项组成的数列，其中每一项与它的前驱项之间存在一定的规律。
数学家研究级数涉及到级数的性质和求和规律，而级数的求和是数学家研究级数中最有挑战性的内容。
首先我们来看一下有关数项级数求和的一些基础知识。
数项级数求和一般指求出某一特定级数的和，其中每一项乘以它前驱项的规律是已知的。
通常，对于一个有限个项的级数来说，利用普通的等差或等比数列求和公式就可以得到将它们相加的总和。
其次，我们来讨论如何求解无限项级数的和。
由于无限项级数的每一项永远不会终止，因此无法直接使用简单的求和公式来求解。
但是数学家们通过针对不同类型的级数研究，推导出了一些求和公式。
比如，如果某个级数是以某一常数a开始，以某一公差d依次减少的等差级数，那么，级数的前n项的和可以表示为Sn=n/2（2a+(n-1)d）。
而如果某个级数是以某一常数a开始，以某一公比q依次减少的等比级数，那么，级数的前n项的和可以表示为Sn=a（1-q^n）/(1-q)。
此外，数学家们还研究出了一个称为收敛性条件的概念，用来检测无限级数是否收敛，即是否存在无限级数的和。
如果某个无限项级数满足收敛性条件，那么它就可以求出精确的和。
比如，如果一个无限项级数的项满足|an+1|<|an|（n∈N），那么就满足收敛性条件，即级数和存在。
最后，介绍一些数项级数求和的应用。
数项级数的求和应用广泛，比如在金融学中，数项级数求和可以用来测算未来某一特定时期内的不同类型的金钱流，从而计算出未来的资金收入总和。
此外，它还可以用来估算未来某一特定时期内的各类货物的价格，或者某一特定时期内某一特定物质的消耗总量等。
综上所述，数项级数求和是数学中一个十分有挑战性的内容，而且应用十分广泛。
如果能掌握数项级数求和的方法，将会对数学的学习和研究有很大的帮助。
结语以上就是关于数项级数求和方法的探讨，希望能给读者带来一些帮助。
级数和的定义
级数和的定义什么是级数？在数学中，我们经常会遇到一类特殊的数列，被称为级数。
级数是由一个无穷序列的项相加而得到的无穷和。
具体来说，如果给定一个数列 {a₁, a₂, a₃, …}，那么这个数列的级数可以表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + …其中 S 表示级数的和。
级数和的定义对于一个给定的级数 {a₁, a₂, a₃, …}，我们可以通过求前 n 项的和来逐渐逼近它的和。
也就是说，我们可以定义一个序列 {S₁, S₂, S₃, …} 来表示前 n 项的和：S₁ = a₁ S₂ = a₁ + a₂ S₃ = a₁ + a₂ + a₃ …这个序列被称为部分和序列。
那么，当 n 趋向于无穷大时，部分和序列 {S₁, S₂, S₃, …} 的极限值是否存在呢？如果存在，并且极限值有限，则我们称该级数收敛，并将其极限值作为级数的和。
否则，如果部分和序列没有极限或者极限值为无穷大，则该级数发散。
因此，根据上述定义，级数的和可以表示为：S = lim(n→∞) Sₙ级数和的性质1.如果级数 {a₁, a₂, a₃, …} 收敛，则其任意子序列也收敛，并且极限值相同。
2.如果级数 {a₁, a₂, a₃, …} 发散，则其任意子序列也发散。
3.如果级数 {a₁, a₂, a₃, …} 和 {b₁, b₂, b₃, …} 都收敛，则它们的和{a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃, …} 也收敛，并且有以下性质：–S(a + b) = Sa + Sb，其中 Sa 和 Sb 分别表示级数 {a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃, …} 的和。
–S(ka) = kSa，其中 k 是常数。
4.如果级数 {a₁, a₂, a₃,…} 收敛，则其任意有限项的改变不会影响级数的收敛性。
需要注意的是，对于发散的级数，我们无法定义它们的和。
因此，在研究级数时，我们主要关注的是收敛性以及求出收敛级数的和。
级数和计算方法对于某些特殊类型的级数，我们可以使用一些方法来计算它们的和。
级数求和的常用方法
级数求和的常用方法级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数，研究函数的性质以及进行函数值计算的一种工具,无穷级数的和是级数研究中的一项重要内容,级数求和方法在各高等数学教材中都有介绍，本文主要归纳出几种常用的级数求和方法，给初学者提供学习上的帮助.1数项级数求和的常用方法1.1 拆项法这是一种简单、常用的方法，适用于一些简单的级数求和问题,其基本思想是将级数∑∞=1n na的通项n a 分解为：n n n b b a -=+1，代入级数的部分和∑==nk kn as 1，相邻两项相消，则有11b b s n n -=+，若∞→n lim b b n =+1，则∑∞=1n n a ∞→=n lim n s =1b b -.例1 求级数∑∞=+-1)15)(45(1n n n 的和)5](1[P .解 ∑=+-=nk n k k s 1)15)(45(1=)151451(511+--∑=k k n k =)1511(51+-n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim )1511(51+-n =51例2 求级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和)5](1[P . 解 ∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=++=nk n k n k k k k k k k s 11)2)(1(1)1(121)2)(1(1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-)2)(1(12121n n 所以 ∞→n lim ∞→=n n s lim41)2)(1(12121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-n n 由以上两个例题可知，在遇到级数通项的分母是两个或三个因式的乘积而分子是一个常数时，就可以将分母适当的拆解，化成两项的差，从而用拆项法求级数的和.1.2 利用代入法求和在求数项级数的和时，有时可先转化为相应的幂级数，利用函数的幂级数展开式以及傅立叶级数展开式，把收敛区间内相应的数代入展开式中，从而求出数项级数的和.例如，常用∑∞==0!n nxn x e)(+∞<<-∞x ，∑∞=-=02)!2()1(cos n nnn x x )(+∞<<-∞x ，∑∞=--=+11)1()1ln(n n n n x x )11(≤<-x 等来求级数的和.例3 求级数1112)2)(1()1(+∞=+++-∑n n n n n n的和.解 考虑幂级数111)2)(1()1(+∞=+++-∑n n n x n n n其收敛半径为1，所以当21=x 时级数收敛，设其和函数为)(x f ，下面在)1,0(内求)(x f ， 由于1122)2)(1(+-+=++n n n n n所以 ∑∑∞=+++∞=++--+-=1111111)1(22)1()(n n n n n n n x n x x f ∑∑∞=∞=++++-++-=111211)1(2)1(2n n n n n n n x n x x x x x x x x -++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=)1ln(2)1ln(222)1ln(21-+⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 令 21=x 便得，223ln 52)2)(1()1()21(111-=⋅++-=∑∞=++n n n n n n f 以上计算比较巧妙地运用了函数)1ln(x +的幂级数展开式.例4 求级数∑∞=-12)12(1n n 的和.解 将函数x 在[]ππ,-上展成傅立叶级数得：∑∞=---=12)12()12cos(42n n xn x ππ， []ππ,-∈x 令 π=x ，则8)12(1212π=-∑∞-n n 在学习级数这一部分内容时，熟练掌握住特殊函数的幂级数展开式和傅立叶级数的展开式是很有必要的，它对于特殊的级数求和很有帮助.1.3 方程式法利用方程式法求和的关键是构造出关于n s 的方程式，解出n s 的具体的表达式，从而求出∞→n lim n s =s .例5 求级数∑∞=-113n n n的和.解 设 ∑=-=nk k n ks 113（1）则 ∑==nk k n ks 1331 （2）(1)-（2）得：n s 32=∑-=+11311n k k -n n 3=n n3211-+ =n n323- 所以 13249-⋅-=n n ns 所以49lim 311==∞→∞=-∑n n n n s n由以上例题可知当级数通项的分母是等比序列而分子是等差序列的关系时，常常通过构造出ns 的方程式，使得问题迎刃而解.1.4 利用欧拉常数法极限∞→n lim ⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n k n k 1ln 1的值称为欧拉常数，设为)57721.0( =c c ，则有：∑=nk k 11=n c n ε++ln 其中∞→n lim 0=n ε,利用上式，可求某些数项级数的和. 例6 求级数∑∞=+1)12(1n n n 的和. 解 =n s ∑=+nk k k 1)12(1=∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nk k k 11221=∑=nk k11-⎪⎭⎫⎝⎛++++12151312n =∑=nk k 11⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-n n n 2141211212221312112=∑=n k k 112-21221221++-∑=n kn k =()()21222ln 2ln 22++-++-++n n c n c n n εε =122222ln 222+--+-n n n εε 所以2ln 22lim )12(11-==+∞→∞=∑n n n s n n 把一些级数的部分和转换成含有欧拉常数的表达式，利用已知的欧拉常数进行求解. 1.5 利用子序列的极限[2](440)P我们知道，若2{}n s 与21{}n s +有相同的极限s ，则lim n x s s →∞=.因此对于级数1nn a∞=∑，若通项n a 0→（当n →∞），则部分和的子序列2{}n s 收敛于s ,意味着21{}n s +也收敛于s ，从而1n n a ∞=∑=s .我们把2{}n s 与21{}n s +成为互补子序列.这个道理可推广到一般：若1nn a∞=∑的通项n a 0→（n →∞），{}n s 的子序列1{}pn n s s ∞=→(p 是某个正整数)，则1n n a ∞=∑=s .这种方法称为子序列方法.例7 求级数 11111111111(1)()()2345627893++-+++-+++-+⋅⋅⋅的和. 解 此级数通项趋于零，因此只要求3n s 的极限，注意公式111123n+++⋅⋅⋅+=ln n c n ε++,其中c 为欧拉常数，0n ε→（当n →∞）因此 对原级数31111111123323n s n n=+++⋅⋅⋅+----⋅⋅⋅-=3ln 3ln ln 3n n n n εε-+-→（当n →∞） 所以 原级数的和为 ln3s =例8 将级数 111112345-+-+-的各项重新安排，使先依次出现p 个正项，再出现q 个负项，然后如此交替，试求新级数的和.解 因为通项趋于零，根据上述子序列求和法，对新级数我们只要求子序列()1{}p q n n s ∞+=的极限，新级数前()p q n +项的和()111111132124221p q n s p q p +=++⋅⋅⋅+----+-+111123412224p p q q +++--+-++11142n 212n 23q p p p p -⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+++----（）（）112n 12(22)p nq q +-----112(24)2nq q nq -⋅⋅⋅--- 11111113521242np nq=+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-- =111111111111()23452242242np np nq+++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅- 111111111(1)(1)222222np np nq=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+即 ()211ln(2)[ln()][ln()]22p q n np np nq s c np c np c nq εεε+=++-++-++→1ln 2ln 2pq+ （当n →∞）所以 所求级数的和为 1ln 2ln 2p q+当级数的某个子序列的极限能够适当的凑成欧拉常数且其通项趋与零时，常利用子序列的极限求解.1.6 利用级数的绝对收敛法若级数∑∞=1n nu是绝对收敛的级数，则当其中的项交换顺序时，级数的和不变.例9 求级数 ∑∞=+-0)!12()1(n n n n的和.解 已知 ∑∞=+-0)!12()1(n n n n绝对收敛因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-!31!2121!31⎪⎭⎫⎝⎛-=!51!4121!52 ……⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-)!12(1)!2(12)1()!12()1(n n n n nn……两边相加即得：∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++-++-=+-0)!12()1()!2()1(!51!41!31!2121)!12()1(n nn n n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=∑∑∞=∞=00)!12()1()!2()1(21n n n n n n()1sin 1cos 21-=绝对收敛的交错级数求和时，一般常用级数的绝对收敛法求和.2函数项级数求和的常用方法2.1 逐项积分与逐项微分法在函数项级数一致收敛的条件下，如果欲求和的级数与一个已知和式的级数之间恰好存在微分(或积分)的关系，先对此级数逐项微分（或积分）后求和，然后再反过来求一次积分（或微分），便可得到此级数的和函数.例10 求级数∑∞=-112n n x n的和.解 因为 ∞→n lim nn a a 1+=∞→n lim 22)1(n n +=1， 所以1=R 当 x =1时，因为 ∞→2n ，故 当=x ±1时，级数发散所以 级数的收敛域为)1,1(-,当 )1,1(-∈x 时，令 )(x f =∑∞=-112n n x n逐项积分，得dt t f x⎰)(=dt tn n x n ∑⎰∞=-112=∑∞=1n n nx =2)1(x x- 所以当<x 1时，=∑∞=-112n n x n'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2)1()(x x x f 3)1(1x x-+=例11 求级数nn x n n 20!)12(∑∞=+的和. 解 因为 ∞→n limnn a a 1+=∞→n lim )12)(1(32+++n n n =0 故级数的收敛域为（+∞∞-,），当()+∞∞-∈,x 时， 令)(x f =nn x n n 20!)12(∑∞=+ 则 ∑∞=--+=112)!1()12(2)('n n x n n x f =[]1)1(21)!1(3)1(22+-∞=∑-+-n n x n n =24)(2x xe x xf +解一阶线性微分方程 -)('x f 24)(2x xe x xf = 有 )(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e xe e xdx x xdx2224)2(22c x e x += 因为 1)0(=f ， 代入上式得 1=c所以 当()+∞∞-∈,x 时，)12()(22+=x e x f x逐项积分与逐项微分法适用于求某些函数项级数的和函数，前提是函数项级数必须在所讨论的区间上一致收敛.2.2 三角级数求和法)442](3[P为了求级数nx un ncos 0∑∞=及nx u n n sin 0∑∞=的和，常把它视为复数域内幂级数n n n z u ∑∞=0（其中ix e z =）的实部和虚部.例12 求级数∑∞=0!cos n n nx的和. 解 令 ixe z = 考虑级数∑∞==0!n z ne n z 则 ∑∞==0!n nn z ∑∞=0!cos n n nx ∑∞=+0!sin n n nxi [])sin(sin )cos(sin cos sin cos x i x e e e x x i x z +==+故按实部和虚部对应相等的关系，即得∑∞=0!cos n n nx =)cos(sin cos x ex()∞<x 例13 求级数∑∞=1sin n n nx的和)472(]3[P . 解 令z=ixe ，则 ∑∞=-=111ln n n z nz ，而 xx iarctgx x i x z cos 1sin )cos 22ln(21)sin cos 1ln(11ln-+--=---=- )74](4[P =-xxiarctg x cos 1sin 2sin2ln -+ 则 ∑∑∑∞=∞=∞=+=111sin cos n n n n n nx i n nx n z故按实部和虚部对应相等的关系，即得∑∞=1sin n n nx ==-x x arctg cos 1sin )2(x ctg arctg =2x-π ()π20<<x在级数的通项含有正弦和余弦函数时，一般常应用三角级数求和法.以上介绍的级数求和的几种常用方法，对于解决此类问题会起到一定的指导作用.但是单纯地掌握几种方法还是远远不够的，关键是善于发现问题的特点，从而采取正确的方法解决问题.。
数项级数求和
数项级数求和
数项级数求和是数学中讨论的一个热门话题。
在实际的应用中，它可以帮助人们求解许多数学问题。
例如，用数项级数求解一元二次方程，求极限，计算力学中的无穷小和等等。
本文将介绍数项级数概念，并讨论数项级数求和的重要应用以及计算方法。
什么是数项级数？它可以表示为S=a1+a2+a3+... + an，其中an 的值是一组由递增序列的项a1，a2，a3，…，an组成的等差数列。
如果系数a1，a2，a3，…，an均为常数，则这个数列称为常系数数项级数，如果系数a1，a2，a3，…，an均以相同的比例系数递增，则这个数列称为等比数项级数。
数项级数求和是一个重要的数学应用，它有助于求解许多数学问题。
例如，当忽略极其复杂的数学运算时，用数项级数来解决一元二次方程，就如同用极限的方法一样，可以得到正确的结果。
另外，在物理学中，很多力学问题可以用数项级数解决，比如求一个质点在周期力学中某一时刻的运动轨迹、求动力学中的无穷小速度损失等。
关于数项级数求和的计算方法，可以分为化简和逐项或总和的求解方法。
化简法是指从数项级数式出发，利用算术运算和极限的概念，将数学问题转化为简单的式子来计算求和；逐项或总和求解法则是指正常的计算，从a1开始计算，一步一步累加，直到最终的结果。
本文对数项级数进行了详细介绍，介绍了它的定义，并讨论了数项级数求和的应用以及计算方法。
数项级数求和有着重要的应用，而它的求解也是一个有趣的问题。
虽然数项级数求和的求解不容易，但
是通过不断学习和总结，可以帮助咱们更好地理解数学问题，解决实际问题。
利用概率方法计算一类常数项级数的和
） ｌ 。以 ： 一 所在
则放一只无 标 志 的同 型 号球 于 袋 中， 对 袋 中 球作 再 有放 回的摸 球 两次 ． 如果 摸 出的两 球都 是 有 “ ”字 奖
的球， 可获奖 ； 则， 放一 只 无标 志的球 于 袋 中． 则 否 又
系列 不 同 摸 球 中不 中奖 的 概 率 分 别 为 ： （ ） Ｐ Ａ ）
按照 ｋ Ｉ 、的不 同值 ， 别构 造 不 同 的随 机试 验 ， 分 用类 似 的概 率 方法 可求 出给定 的常数项级 数 之和 。 参 考文献 ：
概率 的方法 可求 得 常数项 级数 ：
Ｍ］ ● （ １ ＋ ｍ １扣 ＋ ２ ））…一１ ［］ 复旦 大 学数 学 系 概 率论 与 数 理 统计 ［ 上 ＋ （ １（ １ １ 未一 ＋ 一 １ １去 １ ） （ １ ＋ ＋ 海 ： 海科 学 出版社 出版 ，９ １ 上 １６ ． ［］ 同济 大 学数 学教研 室 ． ２ 高等 数学 ［ ． Ｍ］ 北京 ： 高 去（ ）一 １ １ ＋一吉 ． ． 不仅 如 此 ， 用 以上 类 似 方 法 可求 得 以下 两 常 利
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考 虑摸奖试 验 ： 一袋 中放 有三 只 同型号 的球 ． 设
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级数和的定义
级数和的定义级数是数学中一个重要的概念，它表示无穷多个数的和。
级数的和通常使用求和符号∑来表示，该符号由德国数学家Gauss于18世纪首次引入。
级数和的定义涉及到两个关键方面：级数序列和部分和。
1. 级数序列：级数是由一个序列组成的，该序列中的每个元素被称为级数的项。
级数序列一般用{an}来表示，其中an表示序列的第n个项。
以级数序列{an}为例，其前几项的表示形式为：a1，a2，a3，…，an，…2. 部分和：级数的部分和是指从级数的第一项开始，逐项累加至第n项的和。
用Sn表示级数的第n个部分和，即Sn=a1+a2+...+an。
根据上述两个概念，可以给出级数和的定义。
设{an}是一个级数序列，其级数的和定义为部分和序列{Sn}的极限值，即当n趋向于无穷大时的极限值。
若该极限值存在，则称级数收敛，否则称级数发散。
级数的和记作∑an。
级数和的存在性和收敛性与级数序列{an}的性质密切相关。
根据级数的性质，可以推导出一些判定级数收敛性的定理，例如：1. 比较判别法：若存在一个已知的收敛级数∑bn和一个正数M，使得对于所有n，有|an| ≤ M|bn|，则级数∑an也收敛。
2. 比值判别法：若存在一个正数M，使得当n足够大时，有|an+1/an| ≤ M，则级数∑an收敛。
3. 正项级数判别法：若级数的所有项都是非负数，并且部分和序列{Sn}有一个有界的上界，则级数收敛。
这些定理为判定级数的收敛性提供了有力的工具。
通过应用这些定理，可以求解一些特殊形式的级数，并找到它们的和。
总结起来，级数和的定义是基于级数序列和部分和的概念的。
级数序列是由无穷多个项组成的序列，而级数的部分和是指级数的前n项的累加和。
级数的和定义为部分和序列的极限值。
级数的收敛性与级数序列的性质密切相关，可以应用一些定理进行判定。
级数的和的求解在数学中有着重要的应用，例如在数学分析、概率统计等领域中都会涉及到级数和的计算。
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高 等教 学研 究
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警＋∑（ ｏｘ ｎ ） ｃｎ＋６ｉｘ 一 ｓ ｓｎ
第１ ４卷 第 ３ 期
２ｌ ０ １年 ５月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ ＣＯＬＬＥ Ｅ Ｎ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭＡＴＩ Ｓ Ｃ
Ｖｏ ． ４， ． Ｉ １ Ｎｏ ３
Ｍａ ｖ。２Ｏ１ ｌ
一
类 数 项 级数 和 的表 示
李 乐
（ 安 电子 科 技 大 学 应用 数 学 系 ．陕 西 西 安 ７ ０ ２ ） 西 １ １ ６
摘 要 求 Ｈ 函 数 ， ）＝ 的 Ｆ ｕｉ 系 数 并 将 其 代 人 Ｐ ｒｅａ等 式 ， 而 利 用 第 二 数 学 归 纳 法 可 证 明 ： ｉ ， （ ｏｒ ｒ ｅ ａｓｖｌ 继
数 项 级 数 Ｉ ７ｋ ￣ ２ 的 形 式 ， 中对 于 任 意 确 定 的 值 ， 为 一 常 数 ． 明 过 程 同 时 给 出 了 求 其 以 证
表 达式 的存在 性． 引理 ｌ Ｆ ｕｉｒ （ ｏ ｒ 级数 收敛 定理 ）２ ｅ Ｌ 若 以 ２ 为 ７ ｒ
扎一 ｄ 已一 死 ｚ ７ ｎ ， Ｊ 弋
６ 一 ０．
周期 的 函数 ，（ ）在［ ， ］上按 段 光滑 ， 在每一 ｚ 一丌 ７ ｒ 则 点 ∈ ［ ，］ 函数 ， ） Ｆ ｕ ｉｒ 数收 敛 于函 一丌 丌 ， （ 的 ｏｒ 级 ｅ 数在点 ｚ的左 、 右极 限的算 术平 均值 ， 即
・
解 ｄ ｋ的 方 法 ．
。
关键 词 一 致 收 敛 性 ； ａｓｖ ｌ 式 ；ｏ ｒ ｒ Ｐ ｒｅａ 等 Ｆ ｕｉ 系数 ｅ
中 圈 分类 号 Ｏ１ ３ ７ 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ３０ ４ — ２ ０ ８ １ ９ （ ０ １ ０ — ０ ７０