一类数项级数和的表示

摘 要 求 Ｈ 函 数 ， ）＝ 的 Ｆ ｕｉ 系 数 并 将 其 代 人 Ｐ ｒｅａ等 式 ， 而 利 用 第 二 数 学 归 纳 法 可 证 明 ： ｉ ， （ ｏｒ ｒ ｅ ａｓｖｌ 继
数 项 级 数 Ｉ ７ｋ ￣ ２ 的 形 式 ， 中对 于 任 意 确 定 的 值 ， 为 一 常 数 ． 明 过 程 同 时 给 出 了 求 其 以 证
１
、
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一
２
则 当 志＝ Ｋ 一 ２ 时 ， ｍ 由此前 论述 ， 有
如 求数 级数∑ — 和的 何 项 表达式是 一个比
较经 典 的 问 题 ， 经 引 起 过 不 少 人 的 兴 趣 ．ａｏ 曾 Ｊｃｂ Ｂ ｒ ｏ ｌ 也 曾对此 问题 情 有 独 钟 ， 过 当 ｋ＝ １时 ｅｎ ｕｌ ｉ 不
的情 况就 已经让 他一 筹 莫 展 了 ， 最终 也 未 能解 决 他
・
解 ｄ ｋ的 方 法 ．
。
关键 词 一 致 收 敛 性 ； ａｓｖ ｌ 式 ；ｏ ｒ ｒ Ｐ ｒｅａ 等 Ｆ ｕｉ 系数 ｅ
中 圈 分类 号 Ｏ１ ３ ７ 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ３０ ４ — ２ ０ ８ １ ９ （ ０ １ ０ — ０ ７０
表 达式 的存在 性． 引理 ｌ Ｆ ｕｉｒ （ ｏ ｒ 级数 收敛 定理 ）２ ｅ Ｌ 若 以 ２ 为 ７ ｒ
扎一 ｄ 已一 死 ｚ ７ ｎ ， Ｊ 弋
６ 一 ０．
周期 的 函数 ，（ ）在［ ， ］上按 段 光滑 ， 在每一 ｚ 一丌 ７ ｒ 则 点 ∈ ［ ，］ 函数 ， ） Ｆ ｕ ｉｒ 数收 敛 于函 一丌 丌 ， （ 的 ｏｒ 级 ｅ 数在点 ｚ的左 、 右极 限的算 术平 均值 ， 即
当 ｋ一 ２ ｍ＋ １时 ， （ ）的 Ｆ ｕｉｒ －ｚ 厂 ｏ ｒ 系数 ｅ
“ ：＝０， ａ¨ ＝ ０， ０ ＝
６：Ｂ ｒｚ ； ｎ ｚ ２ 一 ｚ ｓ ｘ 一 卅 ｉｄ 肿 ｎ
一一 一 ｓｏ 一 ｃ ｒｒ一 ——— 一 ｏ 一
警＋∑（ ｏｘ ｎ ） ｃｎ＋６ｉｘ 一 ｓ ｓｎ
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当 ｋ一 ２时 ， 有
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收 稿 日期 ｔ０ ９ ０ ２ ｌ 改 日期 ｌ０ １— ０ ０ — ７— ６ 修 ２ １ ２ ４— ０ ． ７ 作 者 简 介 ： 乐 （ ９２－）男 ． 徽 砀 山 人 ． 学 专 业 ２ ０ 李 １９ － ． 安 数 ０ ８级 本 科 在
渎 ． ｍａ ；ｌ ｉ ｌｅｉ ＠ ｌ ６ ｃｒ． Ｅ ｉ ｌｅ ｌ ｉ ｌｅ ｇ ．ｏ ｌ ｉｌｅ ｌ ｌ ｎ
詈 ｎ 一
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将 其 代 入 Ｐ ｒｅ ａ 等 式 得 ａｓ ｖ ｌ
４ ８
高 等教 学研 究
２１ ０ １年 ５月
一
：
从 而当 （，） （ ， ， ≠ ）时 有 ∑
１ ｒ
此 问题． 直到他 去世 后 ， 学 家 Ｅ ｌ 才 在 他 的研究 数 ｕｅ ｒ 基础 上解 决 了此 问题 ， 并得 出了与 和 Ｂ ｒｏ ｌ 数 ｅｎ ｕｌ ｉ
相联 系 的精美结 果Ⅲ ：
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一
ｎ—Ｊ Ｈ ２ Ⅲ＝ — ｌ
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丌 Ｊ 一
ｃｓｘ ｘ＝ ｏｎ ｄ
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Ｂ２ ＾× （ １ 卜 × （ ７ 。 一 ） ２ｒ ）
２ ２ －１ ｍ（ｍ ）
刍
一——
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其 中 Ｂ＾为 Ｂ ｒ ｏ ｌ 数． ２ ｅｎ ｕｌ ｉ
２ ］） ㈨ （ ２１ ！１ ｎ － ） （ 上 ｉ！ ＿喜 ￣ ＋， ２ ｍ
ｎ。 ＝
本 将 用 一 方 证 级 ∑去 和 文利另种法 明 数 的
第１ ４卷 第 ３ 期
２ｌ ０ １年 ５月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ ＣＯＬＬＥ Ｅ Ｎ ＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭＡＴＩ Ｓ Ｃ
Ｖｏ ． ４， ． Ｉ １ Ｎｏ ３
Ｍａ ｖ。２Ｏ１ ｌ
一
类 数 项 级数 和 的表 示
李 乐
（ 安 电子 科 技 大 学 应用 数 学 系 ．陕 西 西 安 ７ ０ ２ ） 西 １ １ ６
其中 ｄ 为一 常数 ．
证 明 不妨设
厂ｚ （ ）一 Ｘ ， ｚ∈ ［ 丌 丌 ， 一 ， ］
其 中 为正整 数 ． 显然 － ｚ 厂 ）满 足 Ｆ ｕｉｒ （ ｏ ｒ 级数 收敛 ｅ 定理， 以 厂ｚ 所 （ ）也满 足 Ｐ ｒｅ ａ 等 式． ａｓ ｖ ｌ 当 ｋ＝ ２ 时 ， （ ）的 Ｆ ｕ ｉ 系数 ＝ ｍ ＝ －ｚ 厂 ｏｒ ｒ ｅ
兰± ± 兰 ２ ！ 二Ｑ
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２ ２ ＋１ ｍ（ｍ ）
●Ｂ２ ＝ … 一 ２． ］２ Ｊ￣１一 ＝
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引理 ２
若 ． ｚ 在 ［ 丌 丌 足 Ｆ ｕｉｒ 厂 ） 一 ，］满 （ ｏ ｒ 级 ｅ
枷＋卜 喜 】 Ｄ （ ！ ＿
于是， 一 ｌ 有 当是 时，
ｃ ＝ ０， ＝ 。 ｚ ＝ ｏ， ； ６ ＝ ＝
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所以， 定理 在 ｋ一 １ ２时成 立． ，
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以下假 设对 于任 意 ｋ＜ Ｋ 时定 理成 立 ， 记 并
＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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（ ｍ ＋ １ （ ｍ ＋ １ ４ ）２ ）
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一 （ ｍ ２ １ ！ ｃ 一 ， ， ， ） ２ ｉ ＋ ） ｌ２ … ，
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数 收敛定 理 ， 厂 ｚ 则 （ ）也满 足 Ｐ ｒｅ ａ 等式 ： ａｓｖ ｌ
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定理 １ 对 于任 意 给定 正整 数 ｋ 级 数 ，
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将 其代 人 Ｐ ｒｅ ａ 等 式得 ａｓｖ ｌ