多自由度系统振动(b)讲解

k12 2m12 k22 2m22

k1n 2m1n
k2n 2m2n 0


kn1 2mn1 kn2 2mn2 knn 2mnn
2n a1 2(n1) an1 2 an 0
解出 n 个值，按升序排列为：
自由振动： FMX X 0
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I)φ 0
φ [1 2 n ]T
？ 特征值 1/2
解释：
(K 2M)φ 0
Kφ 2Mφ
1
2
Iφ
K 1Mφ
2019年6月2日
1/2
(FM 1 I )φ 0 2

k12 2m12 k22 2m22

k1n 2m1n
k2n 2m2n 0


kn1 2mn1 kn2 2mn2 knn 2mnn
2019年6月2日 8
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
k11 2m11 k21 2m21
特征值 1/2
特征方程： FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0 i 1/ i2
2019年6月2日 11
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0
M


0
m
0

0 0 m
3k k 0
固有振动方程： MX KX 0
（自由振动方程）
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时 间变化的规律都相同的运动
运动规律的时间函数
X φ f (t) f (t) R1
常数列向量 代表着振动的形状
X 2019年6月2日 [x1 x2 xn ]T φ [1 2 n ]T 5
) )



0 0
kn1

i2mn1
kn2 i2mn2

knn
i2mnn

n(i
)

0
2019年6月2日
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
(K nn
ni2
M )φ(i n
)

0
φ(i) [1(i)
1 2


0
3k m 2 3
K 2M 0 1 1 2 3 3 4
3

1
0
1
2
1
0 1
1

2


0
3 3
m2
k
2019年6月2日 1 k / m 2 1.32 k / m 3 2 k / m

(i n
)
]T
n 个方程 奇次方程组
当 i 不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有φ(i)的某个元
素（例如
(i n
)）的项全部移到等号右端
(k11
i2m11)1(i)
n -1个方程
(k 1,n 1i2
频率方程 或特征多项式
0 12


2 2
n2
i ：第 i 阶固有频率 1 ：基频
固2有019频年6率月2仅日 取决于系统本身的刚度、质量等物理参数 9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率
位移方程： FMX X FP(t) X Rn F K 1 柔度矩阵
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
MX KX 0
X φf (t)
X Rn φ Rn
代入，并左乘 φT ： φT Mφ f (t ) φT Kφ f (t ) 0
M 正定，K 正定或半正定
对于非零列向量φ：

f(t) f (t)
φT Kφ φT Mφ


(常数
)
X Rn M 正定，K 正定
主振动： X φasin( t )
0 φ [1 2 n ]T
将常数 a 并入φ 中 X φsin( t )
(K 2M)φ 0
φ有非零解的充分必要条件： K 2M 0 特征方程
k11 2m11 k21 2m21
17
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
3

1
0
1
2
1
0 1
1

2


0
3 3
1 1 2 3 3 4
以 1 1 为例进行说明
将 1 1 代入，有： 2 1 0 1
1
3

1
0
1
2
1
0 1
1

2

Fra Baidu bibliotek
0
3 3
m2
k
2019年6月2日1 k / m
2 1.732 k / m
3 2 k / m
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的模态（主振型）
机械振动理论
多自由度系统振动
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
2019年6月2日 1
机械振动理论
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率 • 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法 • 模态截断法
m1,n1
) (i) n1

非奇次方程组
(k1n
i2m1n )n(i)
(kn1,1
i2mn1,1)1(i)

(kn1,n1
m ) 2
(i)
i n1,n1 n1

(kn1,n
i2mn1,n )n(i)
若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用
令


2

0
0
φT Mφ 0
t 的函数 与t 无关
φT Kφ 0
正定系统：
φT Mφ 0 φT Kφ 0
0
φT Kφ φT Mφ

0
半正定系统： φT Mφ 0 φT Kφ 0
0
2019年6月2日
6
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动

f(t) f (t)
正定系统： MX KX 0
X Rn
主振动： X φa sin( t )
0 φ Rn
特征值问题： (K 2M)φ 0
振动的形状
特征值（固有频率） φ 特征向量（模态）
n 自由度系统： i
一一对应
φ( i )
i 1~ n
i、φ(i) 代入： (K i2 M)φ(i) 0

(kn1,n1
m ) 2
(i)
i n1,n1 n1

(kn1,n

m 2 i n1,n
)n(i)
为使计算简单，令：
(i) n
1
φ(i)

(i) 1
(i) 2
(i) n1
1T
2019年6月2日 16
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有φ(i) 的某个元
素（例如
(i n
)）的项全部移到等号右端
kk2111

i2m11 i2m21

k12 i2m12 k22 i2m22


k1n k2n
i2m1n i2m2n


12((ii
一个不独立
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有φ(i)的某个元
素（例如
(i n
)）的项全部移到等号右端
(k11

i2 m11 )1(i )

(k
m 2
1,n1 i 1,n1
) (i) n1


(k1n

i2m1n
)n(i)
(kn1,1
i2mn1,1)1(i)
2019年6月2日 2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MX KX P(t)
X Rn
固有振动方程： MX KX 0
（自由振动方程）
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动， 即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的 规律都相同的运动
1
1 2


0
0 1 2 3
3 0.52
整理
1 2 0.52 0
方程组中有一式不独立
21 2 0 1 2 3 0 2 23 0
21 2 0
与第一个方程相同
例如，将第三个方程去掉
K k
2k

k

0 k 3k
x1
x2
2k m
k
k
m
x3
2k m
3k m 2

k
0
(K 2M)φ 0
k
2k m 2
k
0 k

1 2


0
3k m 2 3
K 2M 0
1 1 2 3 3 4
211
2 2
0
3
2 1 21 3 0
1 1
2019年6月2日 若令 3 1
1 1 2 2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
(K i2 M)φ(i) 0
φ(i) [1(i)

(i n
)
]T
(k11
例：三自由度系统
m 0 0
M


0
m
0

0 0 m
3k k 0
K k
2k

k

0 k 3k
x1
x2
2k m
k
k
m
x3
2k m
(K 2M)φ 0
3k m 2

k
0
k
2k m 2
k
0 k

(i) n
表示
的
(i 1
)，2(i
)，
， (i) n1
否则应把含φ(i) 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组
2019年6月2日
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
(K i2 M)φ(i) 0
φ(i) [1(i)

(i n
)
]T
当i 不是特征多项式的重根时，上式的 n 个方程中有且只有
（2）半正定系统 0 可能出现形如 X φa sin( t )的同步运动
也可能出现形如 X φ(at b) 的同步运动（不发生弹性变形 ）
2019年6月2日 MX KX 0
X φf (t)
7
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
正定系统： MX KX 0
φT Kφ φT Mφ

2
f(t) 2 f (t) 0
a、b、 为常数
（1）正定系统 0
f (t) a sin(t ), 0

f
(t)

at

b,
0
主振动
只可能出现形如 X φa sin( t )的同步运动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率
位移方程： FMX X FP(t) 自由振动： FMX X 0
X Rn F K 1 柔度矩阵
主振动： X φsin( t ) φ [1 2 n ]T
代入，得： (FM I)φ 0
2019年6月2日
φ( i )

1(i
)


R
n1
n(i)
第i 阶模态 特征值问题
13
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
(K i2 M)φ(i) 0
φ(i) [1(i)

(i n
)
]T
nn nn
n 个方程 奇次方程组
当 i 不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立
2019年6月2日 3
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
三自由度系统
振动形式1
振动形式2
振动形式3
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时
间变20化19年的6月规2日律都相同的运动
4
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MX KX P(t) X Rn