数学分析-Taylor公式与科学计算.ppt

(a b)2 4109 109
109 109
x1
2
,
109 109
x2
2
0
b没起作用， “大数吃小数”!
精确解为: x1 109 , x2 1
数值运算误差的初步分析
例2 : 设 g( x) 107 (1 cos x), 计算g(20 ), 要求保留四位. 解 : 方法1 : g( x) 2 107 sin x 2
Taylor公式：微分学顶峰
lim f ( x) A f ( x) A o(1)
函数用常数（极限代替），误差是无穷小．
f ( x) Ax x0 B O( x x0 ), f ( x)在x x0可微
函数用一次多项式逼近，产生的误差是高阶无穷小．
f ( x)
n k0
f kx0 x
算效果最佳 (2) 取得比 h=0.2 小时计算的
效果越来越差
实验结果与数学分析 结论完全不一致！
透过现象看本质！
h 2 1 0.2 0.1 0.02 0.01 0.002 0.001 0.0002
逼近值 0.3360 0.3564 0.3535 0.3530 0.3550 0.3500 0.3500 0.3000 0.3000
2
3!
f '(x) f (x h) f (x h) f '''(x)h2 f (4)(x)h4 ........... o(h2n)
2h
3!
5!
Taylor公式解决问题
G(h) f ( x h) f ( x h) 2h
f '( x) G(h)
f ''' ( x)h2
f (4) ( x)h4 ........... o(h2n )
h0
h
计算机实现导数的计算
计算机无法 实现无限次计算
解决问题办法是近似计算， 有限次逼近无限次运算
f '(x)
f (xh) f (x) h
f '(x)
f (xh/2) f (xh/2) h
数值计算精度分析
计算精度分析
f '(x)
f ( xh) f ( x) h
h越小，近似计 算的精度越高
f ( x )hf ' ( x )h2 f '' ( x )/ 2o(h2 ) f ( x ) h
G(h)
,
f
'
x G2
o(h3 )
希望
Taylor公式解决问题
将上述方法推广到一般情况
G1(h) G(h)
Gm1
h
Gm
h
/
2 4m
1 4m
Gm
h
数学归纳法，善于归纳一般结论
Taylor公式与导数计算
计算过程分析
k!
x0 k
o(x
x0 n )
f (x)用n次多项式代替,产生误差(o x
x0 n )
应用举例：用多项式逼近函数
三角函数表哪里来？ Ｔaylor 公式
sin x x x 3 x5 x7 (1)n1 x 2n1 o( x 2n )
3! 5! 7!
(2n 1)!
cos x 1 x 2 x4 x6 (1)n x 2n o( x 2n1 )
3!
5!
f '( x) G(h / 2)
f ''' ( x)h2
f (4) ( x)h4
........... o(h2n )
2(3!)
2(5!)
看到
1
f
'(x)
G(h /
2) 4 1 41
G(h)
c4h4
...............
o(h2n )
解决 问题
1
G2
G(h /
2) 4 1 41
逼近误差 -0.012447 -0.002847 0.000053 0.000553 -0.001447 0.003553 0.003553 0.053553 -0.146447
数值运算误差的初步分析
n
定义：假设 x• 10m1 j10 j , m 为整数， j 1
如果 x x• 110mn1 则称 x • 有n位有效数字。 2
2
g(20 ) 2 107 0.01752 6125
方法2 : g(20 ) 107 1 cos 20 107 1 0.994 6000
方法ห้องสมุดไป่ตู้和方法２哪个更精确？
数值运算误差的初步分析
假如cos x有四位有效数字,1 cos 20 0.0006 两个相近的数相减有效数字会严重损失！
寻求补救办法！
Taylor公式解决问题
由 Taylor公式
f (x h) f (x) f '(x)h h2 f ''(x) h3 f (3)(x) ........... o(hn)
2
3!
f (x h) f (x) f '(x)h h2 f ''(x) h3 f (3)(x) ........... o(hn)
例1： 的近似值 3.1416 具有5位有效数字
结论：有效数字是从第一位不等于0的数算起！
数值运算误差的初步分析
例1 x2 (a b)x 109 0, a 109 , b 1
求两个实根，保留小数点后面８位．
解 : x1,2 (a b)
(a b)2 4109 2
(a b) 109 1 0.1 1010 0.0000000001 1010 109
Taylor公式与科学计算
------从导数的数值计算谈起
Taylor公式与科学计算
1. Taylor公式微积分顶峰 2. 计算机如何实现导数的计算 3. 数值计算精度分析 4. 计算机实现导数计算存在的问题 5. Taylor公式解决问题 6. 李查逊外推（Richardson） 7. Lagrange插值基本思想和方法 8.样条函数插值的基本思想和方法
2! 4! 6!
(2n)!
应用举例１：用多项式逼近函数
应用举例：用多项式逼近函数
y x
y sin x
y
yx
x3
x3!
x3 3!
应用举例：用多项式逼近函数
y x
y x x3 x5 3! 5!
y sin x y x x3
3!
导数的数学定义与数值计算
导数的数学定义
lim f (xh) f (x)
f '( x) o(1)
f '(x)
f ( xh/ 2) f ( xh/ 2) h
f '( x) o(h)
无穷小阶描述数学问 题重要工具，不需要 精确数学表达式，仅 需要对整体有个估计
计算实例
计算实例与存在的问题
f (x) x x 2
注意到一个现象： (1) 从表中看出 h=0.2时候计