河海大学弹性力学徐芝纶版第三章

(a)
⑵ S = S上 应力边界条件,
l x m yx s fx,
m y l xy
s
fy.
(b)
⑶ 多连体中的位移单值条件。 (c)
第三章 平面问题的直角坐标解答
对于单连体，(c)通常是自然满足
的。只须满足(a),(b)。
4Φ 0 a
由 Φ求应力的公式是
σ
x
2Φ y 2
f
x
x,
l x m yx
按 求Φ解， 应Φ满足相容方程及 应力边界条件。
s 上s的
求解步骤：
⑴ 由逆解法得出，可取 Φ，ay3且满足
⑵ 求应力
4Φ0.
σx 6ay,
σ y xy 0.
(a)
第三章 平面问题的直角坐标解答
边界条件
⑶ 检验应力边界条件，原则是:
a.先校核主要边界（大边界），必须精 确满足应力边界条件。
b.后校核次要边界（小边界），若不能 精确满足应力边界条件，则应用圣维南原 理，用积分的应力边界条件代替。
第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答 第二节 矩形梁的纯弯曲 第三节 位移分量的求出 第四节 简支梁受均布荷载 第五节 楔形体受重力和液体压力 例题
第三章 平面问题的直角坐标解答
按Φ 求解
§3－1 逆解法和半逆解法 多项式解法
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出
各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy )s,
(e)
f y (mσ y lτ xy )s.
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解 答，就是上述 和Φ应力。
逆解法没有针对性，但可以积累基 本解答。
第三章 平面问题的直角坐标解答
s
fx,
m y l xy s fy.b
σ
y
2Φ x2
f
y
y,
(d)
τ
xy
2Φ xy
.
第三章 平面问题的直角坐标解答
4Φ 0 a
l x m yx
s
fx,
逆解法
2 .逆解法 (Inverse methomd y)─l─xy s先 fy满.b足(a),再
满足(b)。步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ的解0 Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy;
y
x
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
3.半逆解法(Semi-inverse method)
步骤： ⑴ 假设应力的函数形式（根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
σ
x
2Φ y 2
f
x
x,
σ
y
2Φ x2
f
y
y,
τ
xy
2Φ xy
第三章 平面问题的直角坐标解答
Mo
主要边界 yh/2, y
主要边界
h/2 h/2
M
x
l
(σ y ) yh/2 0,
( xy )yh/2 0 .
(b)
从式(a)可见，边界条件(b)均满足。
次要边界 x=0, l,
( xy )x0,l 0,
满足。 (c)
第三章 平面问题的直角坐标解答
次要边界 x=0, l, M o
σ x 的边界条件无法 y
.
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）。
如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
思考题
1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条 件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条 件的？
逆解法
例2 一次式 Φ ax 对by应 c于无体力，
无面力，无应力状态。故应力函数加减
一次式，不影响应力。
例3 二次式 Φ ax2 bxycy2，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a
y
b
xo
b
x
o
x
b
yb
2c
2c
y
第三章 平面问题的直角坐标解答
作业
对于图示1/4圆薄板，试考察应力函数 x2 能y满2 足 相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出边界 面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示）
σ
x
2Φ y 2
12hF3xy,
σ
y
2Φ x 2
0,
xy
百度文库
2Φ xy
3F 2h
(14
y2 h2
).
第三章 平面问题的直角坐标解答
h/2
h/2
x
y
l
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的
面力。
在主要边界（大边界）y h / 2上，
σ y 0, yx 0.
因此，在 y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 fx fy 0.
逆解法
例1
设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
察应力函数 Φ F xy(3h2 4y2 )能解决什么
2h3
样的受力问题？
o
h/2
h/2
x
l y
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。
1. 将 Φ代入相容方程，可见 4Φ 0 是
满足的。Φ 有可能成为该问题的解。
2. 由 Φ求出应力分量
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l的次 要边界（小边 界）上，
y
h/2
h/2
x
l
x 0(负x面),
f x (σ x )x0 0,
fy
( xy )x0
3F 2h
(1 4
y2 h2 );
x l(正x面),
fx
(σ x )xl
12Fl h3
y,
fy
( xy ) xl
3F 2h
(1 4
否
求出应力
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-2 矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单 宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 (Pure bending)问题。
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
4Φ 0
本题是平面应力问题,且为单连体，若
2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法解题的基本步骤
给定满足相
容方程的
求出应力 分量
求出边界上的 面力（合力）
能解决什 么问题
半逆解法解题的基本步骤
假设应力的 函数形式
应力函数的 函数形式
满足相容方程，得应 力函数的具体表达式
得到问题的 是 正确答案
单连体
是否满足 边界条件
y2 h2
).
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0,l 小边界上的面力 fx , f y 如下图
中(a) 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。
(a)
M=Fl
F
F
(b)
第三章 平面问题的直角坐标解答
由此，可得出结论：上述应力函数可以解 决悬臂梁在 x = 0 处受集中力F作用的问题。
F
第三章 平面问题的直角坐标解答