2020年秋苏科版八年级上册第二章《轴对称图形》期中难题训练(三)

2020苏科版八上第二章《轴对称图形》期中难题训练（三）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于点H，且BH=AC，则∠ABC等于()A. 45∘B. 120∘C. 45∘或135∘D. 45∘或120∘2.如图，△ABC中，∠ABC=45∘,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F,DH⊥BC于H，交BE于G，BF；下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12④AE=BG.其中正确的是()A. ①②B. ①③C. ①②③④D. ①②③3.如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP//AR；④△BRP≌△QSP.正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两EF的长为半径画弧，两弧相边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于12交于点M，作射线BM，交AC于点D.若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC 的面积为()A. 25B. 30C. 35D. 405.如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=1(AB+AD)；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE−S△BCE=S△ADC.其2中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，∠AOB=45∘，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为_____________．A. 6B. 8C. 12D. 187.如图，在RtΔABC中，∠A=90∘，以ΔABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ΔABC的其他边上，则可以画出的不同等腰三角形的个数最多为()个A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题8.已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为______ 度．9.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，…，若∠A=70°，则∠A n−1A n B n−1的度数为______.(用含n的代数式表示)10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是____°．11.如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P=2cm/s，V Q=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= ______s时，△BPQ为直角三角形．12.如图，已知：∠MON=30∘，点A1、A2、A3⋯在射线ON上，点B1、B2、B3⋯在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，若OA1=1，则三角形A3B3A4的周长为．13.如图，已知钝角三角形ABC的面积为20，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为____．14.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°.按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D.则∠ADC 大于12的度数为________．15.从等腰三角形的某一个顶点出发作一条直线，如果这条直线恰好能把这个三角形分成两个较小的等腰三角形，我们称这个等腰三角形为和美等腰三角形。

请你写出和美等腰三角形所有的顶角度数．三、解答题16.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD，求证：(1)△BEF为等腰直角三角形；(2)∠ADC=∠BDG．17.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．(1)求线段BC的长；(2)连结OA，求线段OA的长；(3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE.则线段DE 和BF在数量和位置上有什么关系？请说明理由．19.在等腰直角三角形AOB中，已知AO⊥OB，点P、D分别在AB、OB上．(1)∠A=∠B=______；(2)如图1中，若PO=PD，∠OPD=45°，证明△BOP是等腰三角形；(3)如图2中，若AB=10，点P在AB上移动，且满足PO=PD，DE⊥AB于点E，试问：此时PE的长度是否变化？若变化，说明理由；若不变，求出PE的长．20.已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE=AB，AF=AC，连接EF，∠EAF+∠BAC= 180°(1)如图1，若∠ABE=63°，∠BAC=45°，求∠FAC的度数；(2)如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；(3)如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G为线段EF的中点，且∠BAE=70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．答案和解析1.C解：分为两种情况：①如图1，∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDH=90°，∠BEC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠HBD=90°，∴∠CAD=∠HBD，在△HBD和△CAD中{∠HBD=∠CAD∠BDH=∠ADC=90°BH=AC，∴△HBD≌△CAD(AAS)，∴BD=AD，∵∠ADB=90°，∴∠ABC=∠BAD=45°，②如图2，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠HDB=∠AEH=90°，∴∠H+∠HAE=∠C+∠HAE=90°，∴∠H=∠C，∵在△HBD和△CAD中，{∠HDB=∠ADC ∠H=∠CBH=AC，∴△HBD≌△CAD(AAS)，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°−45°=135°；2.D解：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD=CD，故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF=90°−∠BFD，∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴△DFB≌△DAC，∴BF=AC；DF=AD．∵CD=CF+DF，∴AD+CF=BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC，∴CE=AE=12AC．又由①，知BF=AC，∴CE=12AC=12BF，故③正确；连接CG，∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC，∴BG=CG在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE<CG．∵CE=AE，∴AE<BG，故④错误．3.D解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴CS=BR，∴AS=AR，故②正确；∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ//AR，故③正确；由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，4.B解：由题意可得：BD是∠ABC的角平分线，∵∠ABC=2∠A，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠ABC=60°，∠A=30°，∴∠CBD=∠DBA=30°，∴AB=2BC，设点D到AB边的距离为h，∴CD=ℎ，∵S△BDC=12BC·CD=10，∴S△ABD=12AB·ℎ=12×2BC·CD=BC·CD=20，∴S△ABC=S△BDC+S△ABD=30．5.D解：①在AE取点F，使EF=BE．∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，∴AB=AD+2BE=AF+2BE，∴AD=AF，∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，∴AE=1(AB+AD)，故①正确；2②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF(SAS)，∴∠ADC=∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360−(∠ADC+∠B)=180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE−S△BCE=S△ACE−S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE−S△BCE=S△ADC，故④正确．6.B解：连结OP，∵点P关于OA的对称点为P 1，关于OB的对称点为P2，，∴OP 1=OP，OP2=OP，，；∴OP1=OP2，，∴△OP1P2是等腰直角三角形，，∴当OP最小时，最小．当OP是点O到直线MN的垂线段时最小，则由，即1×6×OP=12，解得OP=4，2．7.D8.50或80解：如图所示，△ABC中，AB=AC．有两种情况：①顶角∠A=50°；②当底角是50°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°−50°−50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．9.70°2n−1解：∵在△ABA 1中，∠A =70°，AB =A 1B ，∴∠BA 1A =70°，∵A 1A 2=A 1B 1，∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角，∴∠B 1A 2A 1=∠BA 1A 2=35°； 同理可得，∠B 2A 3A 2=17.5°，∠B 3A 4A 3=12×17.5°=35°4， ∴∠A n−1A n B n−1=70°2n−1．10.110或70解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°−20°=70°．11.32或125解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC =6cm ，∠A =∠B =∠C =60°，当∠PQB =90°时，∠BPQ =30°，∴BP =2BQ ．∵BP =6−2t ，BQ =t ，∴6−2t =2t ，解得t =32；当∠QPB =90°时，∠PQB =30°，∴BQ =2PB ，∴t =2(6−2t)，解得t =125； 即当32或125秒时，△BPQ 是直角三角形．12.12解：如图：∵ΔA 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON =30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON =∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵ΔA 2B 2A 3、ΔA 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1//A 2B 2//A 3B 3，B 1A 2//B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4，∴等边三角形ΔA 3B 3A 4的边长为4，∴周长=4×3=12，13.4解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为15，AB=10，×10⋅CE=20，∴12∴CE=4．即CM+MN的最小值为4．14.65°解：解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF=AE；∴△AEF是等腰三角形；EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；又∵分别以点E、F为圆心，大于12∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°(直角三角形中的两个锐角互余)；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°(直角三角形中的两个锐角互余)；15.36∘，90∘，108∘，180∘7解：(1)如图，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，求∠BAC的度数．∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∵∠CDA=2∠B，∴∠CAB=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180∘，∴5∠B=180∘，∴∠B=36∘，∴∠BAC=108∘．(2)如图，△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD，求∠BAC的度数．∵AB=AC，AD=BD=CD，∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB∴∠BAC=2∠B∵∠BAC+∠B+∠C=180∘，∴4∠B=180∘，∴∠B=45∘，∴∠BAC=90∘．(3)如图，△ABC中，AB=AC，BD=AD=BC，求∠BAC的度数．∵AB=AC，BD=AD=BC，∴∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C∵∠BDC=2∠A，∴∠C=2∠A=∠ABC，∵∠A+∠ABC+∠C=180∘，∴5∠A=180∘，∴∠A=36∘．(4)如图，△ABC中，AB=AC，BD=AD，CD=BC，求∠BAC的度数．假设∠A=x∘，AD=BD，∴∠DBA=x∘，∵AB=AC，)°，∴∠C=(180−x2∵CD=BC，∴∠BDC=2x∘=∠DBC=(180−x−x)°，2解得：x=180．7∴∠A=180∘．716.证明：(1)如图1，连接DE，∵点E与点C关于直线AD对称，∴AD垂直平分EC，∴CF=EF，CD=DE，∵D为BC的中点，∴CD=ED=BD，∴∠CEB=90°，即△BEF是直角三角形，∵AD垂直平分CE，∴∠AFC=∠BEC=∠ACD=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°，∠ECB+∠ACF=90°，∴∠CAF=∠ECB，在△CAF和△BCE中，{∠AFC=∠CEB ∠CAF=∠ECB AC=BC，∴△CAF≌△ECB，∴CF=BE，∵EF=CF，∴EF=BE，∴△BEF是等腰直角三角形；(2)如图2，作BM⊥BC交CE的延长线于M，则∠ACD=∠CBM=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=∠CAB=45°，∴∠MBG=∠DBG=45°，在△ACD和△CBM中{∠CAD=∠BCM AC=BC∠ACD=∠CBM∴△ACD≌△CBM(ASA)，∴∠ADC=∠M，CD=BM，∵CD=BD，∴BD=BM，在△DBG和△MBG中{BG=BG∠DBG=∠MBG BD=BM∴△DBG≌△MBG(SAS)，∴∠M=∠BDG，∵∠ADC=∠M，∴∠ADC=∠BDG．17.解：(1)∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA=DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA=EC，BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm；(2)∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA=OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA=OC，∵OB+OC+BC=16cm，∴OA=OB=OC=5cm；(3)∵∠BAC=120°，∴∠ABC+∠ACB=60°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，∴∠DAE=∠BAC−∠BAD−∠EAC=60°．18.解：DE=BF，DE⊥BF.理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G．∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=22.5°．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=22.5°，∴∠ABC=67.5°，∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC=DC．在△ECD和△FCB中，{CE=CF∠DCE=∠BCF CD=CB，∴Rt△ECD≌Rt△FCB(SAS)，∴DE=BF，∠CED=∠CFB．∵∠CFB+∠CBF=90°，∴∠CED+∠CBF=90°，∴∠EGB=90°，即DE⊥BF．19.45°解：(1)在等腰直角三角形AOB中，∠AOB=90°∴∠A=∠B=45°(2)证明：∵PO=PD，∠OPD=45°，=67.5°，∴∠POD=∠PDO=180°−∠OPD2由(1)知：∠B=45°，∴∠OPB=180°−∠POB−∠B=67.5°，∴∠POD=∠OPB，∴BP=BO，即△BOP是等腰三角形；(2)PE的值不变，证明如下：如图2，过点O作OC⊥AB于C，∵∠AOB=90°，AO=BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∠COB=∠B=45°，点C为AB的中点，AB=5，∴OC=12∵PO=PD，∴∠POD=∠PDO，又∵∠POD=∠COD+∠POC=45°+∠POC，∠PDO=∠B+∠DPE=45°+∠DPE，∴∠POC=∠DPE，在△POC和△DPE中，{∠PCO =∠DEP =90°∠POC =∠DPE OP =PD，∴△POC≌△DPE(AAS)，∴OC =PE =5，∴PE 的值不变，为5．20. (1)解：∵AE =AB ，∴∠AEB =∠ABE =63°，∴∠EAB =54°，∵∠BAC =45°，∠EAF +∠BAC =180°，∴∠EAB +2∠BAC +∠FAC =180°，∴54°+2×45°+∠FAC =180°，∴∠FAC =36°；(2)EF =2AD ；理由如下：延长AD 至H ，使DH =AD ，连接BH ，如图1所示：∵AD 为△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△BDH 和△CDA 中，{BD =CD∠BDH =∠CDA DH =AD，∴△BDH≌△CDA(SAS)，∴HB =AC =AF ，∠BHD =∠CAD ，∴AC//BH ，∴∠ABH +∠BAC =180°，∵∠EAF +∠BAC =180°，∴∠EAF =∠ABH ，在△ABH 和△EAF 中，{AE =AB∠EAF =∠ABH AF =BH，∴△ABH≌△EAF(SAS)，∴EF =AH =2AD ；(3)∠ACB −12∠CAF =55°；理由如下：由(2)得，AD =12EF ，又点G 为EF 中点，∴EG =AD ，由(2)△ABH≌△EAF ，∴∠AEG =∠BAD ，在△EAG 和△ABD 中，{AE =AB∠AEG =∠BAD EG =AD，∴△EAG≌△ABD(SAS)，∴∠EAG =∠ABC =70°，∵∠EAF +∠BAC =180°，∴∠EAB +2∠BAC +∠CAF =180°，即：70°+2∠BAC +∠CAF =180°，∴∠BAC +12∠CAF =55°，∴∠BAC =55°−12∠CAF ， ∵∠ABC +∠ACB +∠BAC =180°，∴∠BAC =180°−∠ABC −∠ACB =180°−70°−∠ACB =110°−∠ACB ， ∴55°−12∠CAF =110°−∠ACB ， ∴∠ACB −12∠CAF =55°．。