关于卡尔曼滤波器的一个简单介绍

关于卡尔曼滤波器的一个简单介绍

在实际生产过程中，我们经常需要使用某种仪器测量某一物理参数。比如，用一台仪器测量大气中一氧化碳的浓度。由于测量误差永远存在，使得这样两个问题非常突出，首先，是否存在某个计算方法，能够从含有误差的测量结果中获得比较接近真实值的结果；其次，如何证明这样的结果是最优的，也就是说有没有这样一种数学方法，经过其进行处理后得到的测量结果是最接近真实值的。

为了消除测量误差，人们首先想到的方法是取平均值。通过对于同一物理量的多次测量，抵消可能存在的测量误差，从而得到真实值。但是，通过生产实践，人们很快发现这样的测量方法并不是最优的。如果参与平均值计算的数据量太小，就达不到抵消测量误差的目的，如果参与计算的数据量太多，不仅完全消除了可能的物理量变化，而且实现起来非常麻烦。

1960年，匈牙利数学家卡尔曼（Rudolf Emil Kalman，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位，1957年于哥伦比亚大学获得博士学位）在他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）中提出一种计算方法，后来被称为卡尔曼滤波器。这种滤波器比较简单，但是对于绝大多数类似本文开头提出的问题，可以证明，它得出的结果是最优的。卡尔曼滤波器的最大优势是它非常简单，非常容易实现。故而在各领域广泛应用超过三十年。

下面简单介绍卡尔曼滤波器，为了便于阅读，尽量少使用数学公式。下面的用词不是非常严格的。

假如，我们需要用一个温度计测量一个房间的温度。每个1秒钟从温度计上读取一个数值。假设这个房间的真实温度是25度。

由于温度计本身有测量误差，我们得到的测量值是围绕25度上下波动的一组数值。“围绕”这一特性是符合我们的直观感受的。也就是说虽然温度计上的读数在不停的变化，但是我们知道温度计上出现26度或24度的可能性要比出现30度或20度的可能性大。这种特性在数学上被称为高斯分布。当有很多因素影响测量结果，而每种干扰因素都不起主导作用时，测量的结果呈现高斯分布。对于温度计来讲，制造工艺，空气扰动，我们读数时候的误差都可能影响测量结果。所以，温度计的读取结果是符合高斯分布的。高斯分布有两个参数，一个叫做期望，在这里可以等同于平均值，一个叫做方差。方差反映了数据的集中程度。比如一个温度计测量的结果分布在24到26度之间，另一个温度计测量结果在20到30度之间，显然，前一个温度计更好一些。它的数据方差就比较小。这里假设我们温度计的方差是3。于是，温度计的测量结果就是期望是25，方差是3的一组数据。

另外，我们可以根据经验猜测一下房间的温度（就好像把自己当成一个人体温度计），比如，我们猜测房间的温度是23度，当然，我们自己猜测的结果是有方差的，我们假设这个方差是4，于是根据人的感觉，测量结果是期望是23，方差是4的一组数据。

然后，由经验我们知道房间温度变化不大，基本可以认为，这一秒的温度和下一秒的温度是相等的。

现在，在第1秒，我们有了两个值，一个是温度计上显示的数据，25。一个是我们自己

根据感觉得出来的数据，23。那么相信谁呢？这里有一个数学公式

2

2

22

3

34

g

k=

+

，可以算出

kg＝0.6，于是25×0.6+23×（1－0.6）＝24.2，这个24.2就是我们在第1秒得到的测量结果。也就是说第1秒的温度是24.2度。

现在，我们进入了第2秒，这时，由于我们已经知道了第1秒的温度是24.2度，所以，

=，这里的4来自

3.0984

人体温度计的那个方差4。于是，温度计的方差已经变成了3.0984。

在第2秒，我们从温度计上获得的读数是26度，方差是3.0984。我们自己的感觉是22度，方差是4。按照第1秒的计算方法，就能得到第2秒的温度值。如此循环计算下去，就是卡尔曼滤波。

可见，卡尔曼滤波是这样一种计算方法，在两个测量值中取平衡，在第一秒，我们有60％相信温度计，40％相信自己。但是随着计算的进行，这个平衡可以改变。Kg被称为卡尔曼增益（Kalman Gain）。它可以随不同的时刻而改变他自己的值。

为什么如此计算超出了本文的范围。但是可以证明，随着时间的增加，Kg能够变化到一个合适的值，使得测量的结果最接近真实值。

卡尔曼滤波的程序实现以及仿真例子：

c1=23;假设我们的感觉是23

P1=10;初始参数，带来一个初始的kg

Q=1e-6;人体感觉的方差

R=1e-2;温度计的方差

for m=1:200 这里我模拟了两百个参数

P2=P1+Q;

c2=c1;假设室内温度不变

kg=P2/(P2+R);

c(m)=c2+kg*(b(m)-c2);b（m）代表在第m秒的温度计读数，c（m）是经过卡尔曼滤波

后得到的读数

P1=(1-kg)*P2;

c1=c(m);

end

仿真结果如上图所示，这里黑色线是由温度计测量出的结果，绿色线是真实值（25），红色线是卡尔曼滤波的结果，作为对比，蓝色线是五点平均的结果，也就是取过去的五个数值进行平均。可以看出，由于存在测量误差，温度计测出的值（黑色）围绕真实值（绿色）上下波动。直观的看，卡尔曼滤波结果（红线）比五点平均值滤波（蓝线）更接近真实值（绿线），显示出卡尔曼滤波比五点平均值滤波的结果更加优越。数学上可以证明，卡尔曼滤波得到的结果比其它的滤波器都要接近真实值，是最优结果（在最小二乘意义下）。

几点提示

1，在开始的头几个数据，卡尔曼滤波与五点平均滤波都距离绿线比较远。但是随着时间的推移，卡尔曼滤波的结果逐渐接近了绿线。实际上，对于初始参数，

例如上面的25，23，3，4的选择要求并不严格。在本文的条件下，卡尔曼滤波

结果都能接近真实值。当然，如果参数选的好，接近的就比较快。

2，假设室内温度变化不大这一提法，被称为系统建模。由于室内温度变化不大，得出程序中的C2＝C1，也就是这一秒的温度等于前一秒的温度。这就是系统

的数学模型。这对于卡尔曼滤波非常重要。如果这个房间有一个电暖器和一个

大空调，导致房间温度忽上忽下，再使用C2＝C1这一数学模型就得不到正确

结果了。这不是卡尔曼滤波的问题，而是系统建模的问题。比如有一个锅炉给

房间加热，这时的模型就应该写作C2＝N×C1，N是一个大于1的系数。正确

的模型是卡尔曼滤波器正确工作的前提。好在大气中的CO等等变化速度都不

可能太快，所以C2＝C1这一模型一般还是正确的。

3，卡尔曼滤波要求误差是正态分布的。也就是说，如果温度是25度，温度计的读数应该在25度上下，不能越来越高（对于测量误差不是正态分布的情况，人们

还设计出了改进的卡尔曼滤波器）。

4，程序中的P和Q的取值会直接影响到卡尔曼滤波器的性能。滤波结果改变的比较快，它的稳态误差就比较大，如果要求稳态误差小，滤波器的快速性就不好。

这是一对矛盾的指标。现在在工程上，P和Q的取值还是需要试凑的（即使卫

星的设计中也是如此）

几个进一步的例子