初中数学 特殊的平行四边形(2)
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A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCD C．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
2．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90 º，BC的垂直平分线 EF交BC于点D， 交AB于点E，且CF=AE。 （1）试探究四边形BECF是什么特殊的四边形； （2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形?
请回答并证明你的结论.
巩固练习
2．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90 º，BC的垂直平分线 EF交BC于点D，
交AB于点E，且CF=AE。
（1）试探究四边形BECF是什么特殊的四边形； （2）当 ∠A大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形?
请回答并证明你的结论.
解：（1）四边形BECF是菱形． ∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠3＝∠1， ∵∠ACB＝90°， ∴∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＝90°，
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB＝AD，∠ABE＝∠CDF＝45°， 又∵AE∥CF， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）四边形AECF是菱形．理由如下： 如图，连接AC，与BD交于点O，
∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， 又∵OB＝OD， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， 又∵AC⊥EF，OA＝OC， ∴四边形AECF是菱形．
条件开放题
逆向思维法+
（2）当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
改变图形
四边形BECF
是正方形
四边形BECF的边或 角有什么特殊性
证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠1＝45°， ∴∠EBF＝2∠A＝90°，
填写一个条件,当已知进行证明
∴菱形BECF是正方形．
能力提升
1．如图，在正方形ABCD的外侧，向外作等边△ABE，
底高或 对角线 对角线
2
四个角都 对角线互相垂直 是直角 平分、相等且平
分一组对角
中心对称图形 轴对称图形
边长2
AD∥BC， AB∥CD AB=BC=CD
=AD
AC＝BD，
∠A=∠B= ∠C=∠D=90°
AC⊥BD，
OA=OB=OC=OD
巩固练习
Baidu Nhomakorabea
1.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对
任务目标
01
能从不同角度说出正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形
的关系；
能根据正方形与菱形、矩形、平行四边形的关系理解正方形的性质定理
02 与判定定理，进一步发展推理能力；
03
综合运用正方形与其他图形的相关知识解决问题，提升逻辑思维能力。
一、定义
知识回顾
矩形
有一个角是直角，有一组邻边相等 平行四边形
AD
O BC
平行四边形 矩形 菱形 正方形
边
角
对角线
对称性
面积
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 平分
中心对称图形
底高
对边平行且 相等
对边平行 四边相等
对边平行 四边相等
四个角都 对角线互相平分且 中心对称图形
是直角
相等
轴对称图形
长宽
对角相等
对角线互相垂直平 分，平分一组对角
中心对称图形 轴对称图形
C．24
D．20
A
B B
方法总结
正方形、菱形、等腰三角 形、直角三角形等组合
（分解图形）
A
D
连接一条
D 对角线
O
D
连接两条 对角线
B
C
C
正方形转化为等腰直角三角形
A A
B B
D D
O O
O O
C C
巩固练习
3．如图，在正方形ABCD 中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
正方形
菱形
问题1：结合上面的框图，从不同角度尝试回顾正方形的定义。
定义1：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 定义2：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 定义3：有一个角是直角的菱形叫做正方形。
知识回顾
二、性质 问题2：类比平行四边形、矩形、菱形的性质，
尝试回顾正方形的性质。
∴∠2＝∠4， ∴EC＝AE， ∴BE＝AE， ∵CF＝AE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形．
巩固练习
2．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90 º，BC的垂直平分线 EF交BC于点D，
交AB于点E，且CF=AE。
（1）试探究四边形BECF是什么特殊的四边形；
（2）当 ∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形? 请回答并证明你的结论.
角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ C ）
A．135°
B．120°
C．112.5° D．67.5°
2．如图，正方形ABCD的边长为 3 2 ，对角线AC、BD相交于点O，将AC向两个方向
延长，分别至点E和点F，且AE＝CF＝3，则四边形BEDF的周长为( A)
A．12 5
B．12 3
初中数学九年级(下)
第29讲 特殊的平行四边形（2）
全息感知
等腰三角形
线段
三角形
等边三角形 直角三角形
角
矩形
平行四边形
菱形
平行四边形
全息感知
矩形
菱形
素养目标
逻辑推理作为数学六大核心素养之一，对于培养同学们思维的 发展具有重要的意义，也是同学们必须具备的基本数学能力。通过 灵活运用正方形的性质与判定解决问题，有利于提升同学们的逻辑 思维能力和推理能力。
则∠BED为(C )
正方形
A．15° B．35° C．45° D．55°
等边三角形 A
D
变式1：如果向内作等边△ABE，则∠BED为(B ) 等腰三角形
E
A．115° B．135° C．145° D．155°
三、判定 问题3：类比平行四边形、矩形、菱形的判定，
尝试回顾正方形的判定。
观看微视频，思考分别从哪些角度可以得到正方形？
知识回顾
三、判定 问题3：类比平行四边形、矩形、菱形的判定，
尝试回顾正方形的判定。
巩固练习
1．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是
正方形的条件是（ D ）
平行四边形ABCD
方法总结
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
△ABE≌△CDF
A
D F
AE=CF BE=DF
E
AECF为平行四边形 B
C
+
AC⊥BD
四边形AECF为菱形
知识回顾
2．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90 º，BC的垂直平分线 EF交BC于点D， 交AB于点E，且CF=AE。 （1）试探究四边形BECF是什么特殊的四边形； （2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形?
请回答并证明你的结论.
巩固练习
2．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90 º，BC的垂直平分线 EF交BC于点D，
交AB于点E，且CF=AE。
（1）试探究四边形BECF是什么特殊的四边形； （2）当 ∠A大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形?
请回答并证明你的结论.
解：（1）四边形BECF是菱形． ∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠3＝∠1， ∵∠ACB＝90°， ∴∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＝90°，
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB＝AD，∠ABE＝∠CDF＝45°， 又∵AE∥CF， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）四边形AECF是菱形．理由如下： 如图，连接AC，与BD交于点O，
∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF， 又∵OB＝OD， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， 又∵AC⊥EF，OA＝OC， ∴四边形AECF是菱形．
条件开放题
逆向思维法+
（2）当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
改变图形
四边形BECF
是正方形
四边形BECF的边或 角有什么特殊性
证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠1＝45°， ∴∠EBF＝2∠A＝90°，
填写一个条件,当已知进行证明
∴菱形BECF是正方形．
能力提升
1．如图，在正方形ABCD的外侧，向外作等边△ABE，
底高或 对角线 对角线
2
四个角都 对角线互相垂直 是直角 平分、相等且平
分一组对角
中心对称图形 轴对称图形
边长2
AD∥BC， AB∥CD AB=BC=CD
=AD
AC＝BD，
∠A=∠B= ∠C=∠D=90°
AC⊥BD，
OA=OB=OC=OD
巩固练习
Baidu Nhomakorabea
1.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对
任务目标
01
能从不同角度说出正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形
的关系；
能根据正方形与菱形、矩形、平行四边形的关系理解正方形的性质定理
02 与判定定理，进一步发展推理能力；
03
综合运用正方形与其他图形的相关知识解决问题，提升逻辑思维能力。
一、定义
知识回顾
矩形
有一个角是直角，有一组邻边相等 平行四边形
AD
O BC
平行四边形 矩形 菱形 正方形
边
角
对角线
对称性
面积
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 平分
中心对称图形
底高
对边平行且 相等
对边平行 四边相等
对边平行 四边相等
四个角都 对角线互相平分且 中心对称图形
是直角
相等
轴对称图形
长宽
对角相等
对角线互相垂直平 分，平分一组对角
中心对称图形 轴对称图形
C．24
D．20
A
B B
方法总结
正方形、菱形、等腰三角 形、直角三角形等组合
（分解图形）
A
D
连接一条
D 对角线
O
D
连接两条 对角线
B
C
C
正方形转化为等腰直角三角形
A A
B B
D D
O O
O O
C C
巩固练习
3．如图，在正方形ABCD 中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
正方形
菱形
问题1：结合上面的框图，从不同角度尝试回顾正方形的定义。
定义1：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。 定义2：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 定义3：有一个角是直角的菱形叫做正方形。
知识回顾
二、性质 问题2：类比平行四边形、矩形、菱形的性质，
尝试回顾正方形的性质。
∴∠2＝∠4， ∴EC＝AE， ∴BE＝AE， ∵CF＝AE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形．
巩固练习
2．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90 º，BC的垂直平分线 EF交BC于点D，
交AB于点E，且CF=AE。
（1）试探究四边形BECF是什么特殊的四边形；
（2）当 ∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形? 请回答并证明你的结论.
角线交正方形ABCD的一边CD于点P，∠FPC的度数是（ C ）
A．135°
B．120°
C．112.5° D．67.5°
2．如图，正方形ABCD的边长为 3 2 ，对角线AC、BD相交于点O，将AC向两个方向
延长，分别至点E和点F，且AE＝CF＝3，则四边形BEDF的周长为( A)
A．12 5
B．12 3
初中数学九年级(下)
第29讲 特殊的平行四边形（2）
全息感知
等腰三角形
线段
三角形
等边三角形 直角三角形
角
矩形
平行四边形
菱形
平行四边形
全息感知
矩形
菱形
素养目标
逻辑推理作为数学六大核心素养之一，对于培养同学们思维的 发展具有重要的意义，也是同学们必须具备的基本数学能力。通过 灵活运用正方形的性质与判定解决问题，有利于提升同学们的逻辑 思维能力和推理能力。
则∠BED为(C )
正方形
A．15° B．35° C．45° D．55°
等边三角形 A
D
变式1：如果向内作等边△ABE，则∠BED为(B ) 等腰三角形
E
A．115° B．135° C．145° D．155°
三、判定 问题3：类比平行四边形、矩形、菱形的判定，
尝试回顾正方形的判定。
观看微视频，思考分别从哪些角度可以得到正方形？
知识回顾
三、判定 问题3：类比平行四边形、矩形、菱形的判定，
尝试回顾正方形的判定。
巩固练习
1．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是
正方形的条件是（ D ）
平行四边形ABCD
方法总结
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
△ABE≌△CDF
A
D F
AE=CF BE=DF
E
AECF为平行四边形 B
C
+
AC⊥BD
四边形AECF为菱形
知识回顾