3-2向量组的线性关系

其中
(1)零向量可由任一组向量线性表示。因为
O 0 1 02 0m
(2)向量组 1,2, ,m中每个向量都可由向量组本身
线性表示，i 1 ,2 , ,m i 0 1 0 i 1 1 i 0 i 1 0 m
9
例2. 已知
问 是否可由 就写出表达式. 解: 设有数 使
线性表示，这是向量组的一种属性，称为向量组的
线性相关性。
42
定理6
线性无关，
线性相关，则 可由A线性表示且表法唯一。
证明: 因为
线性相关，
则存在一组不全为零的数
使
成立。
由于
线性无关， 必定 ，
故
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又设 两式相减
是另一种表示形式。
已知
线性无关，必有
故表示唯一。
44
例12. 已知向量组
线性相关，
线性相关 线性相关.
即如果部分组线性相关，则整体组也线性相关。
证明: 因为
线性相关
则存在一组不全为0的数
使
成立，因此有
其中
不全为零。 线性相关。
部分相关，整体相关！
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定理3.
线性无关
线性无关.
即：如果整体组线性无关，则部分组也线性无关。
利用定理2，用反证法。
整体无关，部分无关！
定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间 的关系。
设
与 线性相关
与 对应分量成正比
证明: 与 线性相关，则存在不全为零的数
使得
若
或
或
即 与 的对应分量成比例.
20
例如 对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例，
几何上说向量
共线。
线性相关。
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例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组
中，
取数
必有
则此向量组必定线性相关。
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定理2.
已知
解: 设有数
使得
27
即 有
得同解方程组
28
得同解方程组
令
（k 为任意实数）
由 得 此向量组线性相关。
R(A)34(未知数个数n ), 方程组有非零解， 此向量组线性相关。
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小结 用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，
归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。
首先设有数
使得
第二步将 代入 得齐次线性方程组。
线性无 关。
若
线性无关，
则对任意不全为0的数
，都有
即当且仅当
时， 式才成立 。
而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式
成立外还能找到不全为0的数使等式 成立 。
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例4. 已知
判别
是否线性相关。
解: 因为
即 线性相关。
特别 当向量组只含一个向量时，
当
为线性相关向量组;
当
为线性无关向量组.
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例5. 当向量组含两个非零向量时，
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关：
方程组有非零解，则称向量组
线性相关。
方程组只有零解，则称向量组
线性无关。
下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。这是判别向量组线性相关性的主要方法。
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定理4
线性相关 （无关）
有非零解（只有零解）
秩 Am（秩Am）
此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。
3-2向量组的线性关系
一、线性组合与线性表示 定义1 设有n维向量组
如果存在一组数
则称
是向量组
的线性组合;
称
为组合系数.
若向量 可以由向量组
组合来表示，即存在一组数
的线性 使得
称 可由
线性表示。
2
例1. 设由三维向量
组成的向量组，观察三个向量之间的关系，有
我们称 是 和 也称 可由 和
的线性组合。 线性表示。
线性无关， 试证向量组
使得
线性无关，所以必有
从而
线性无关。
方程组只有零解，
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例11.已知 证明: 设存在数
线性无关，证明 线性相关。
使得
即Baidu Nhomakorabea已知
线性无关，只有
不全为零，故向量组线性相关。
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定理5
线性相关
其中至少有一个向量是其余m－1个向量的线性组合。
证明: 必要性：
线性相关，则存在一组
不全为0的数
3
任一n 维向量 ,
都可由n维单位向量组,
,
线性表示，
即
+
+
5
而三维基本单位向量
中任何一个向量，都不能由其他两个向量线性表示。 n维基本单位向量
中任何一个向量，也不能由其他向量线性表示。 它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。
6
设
即
=
+
+
（1）
7
定理1 设 可由
是为 n维列向量组，
线性表示
有解
线性表示？如能线性表示
10
有唯一解
11
例3. 判断
的线性组合？ 解: 设
是否为向量组 对矩阵
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引例 设由三维向量 组成的向量组，观察三个向量之间的关系，有 又可以写成
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二、线性相关与线性无关的概念
定义1 设
为m 个n 维向量组，
如果存在一组不全为0的数
，使
成立，则称向量组
线性相关。
否则称
推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时,
线性相关（线性无关）
向量组构成行列式的值为零，即 A 0.(A0).
推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
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例8. 判断
，
，
，
，
的线性相关性. 解:
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1 2 0 1
0
0 0
2 4 1
1 5 1
3
1 0
使
不妨设
，则
即是
的线性组合.
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充分性：因
中至少有一个向量是其余
向量的线性组合，不妨设 是其余向量的线性
组合，即存在不全为0的数
使
由于
则
线性相关.
不全为0，
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向量 可由
线性表示，
这说明
线性相关；
而向量组 e1 , e2,, en 中任一向量都不能被
其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量
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已知
若
线性无关，则
线性无关。
若 1,2, ,m线性相关，则1,2, ,m 线性相关。
即：原来无关，延长无关！ 原来相关，缩短相关！
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证明：假设 的数
线性相关，则存在一组不全为0 使得
则
因此
必线性相关。
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三、 向量组线性相关性的判别 下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性
和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。 1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别 例7. 判别下列向量组的线性相关性
线性无关。
证明 ① 可由
线性表示；
② 不可由
线性表示。
证明: ① 可由
线性无关，故 线性表示。
线性无关，
②假设 可由
线性表示，即存在
使
由①， 可由
线性表示，
，
代入上式， 可由
线性表示，与
线性无关相矛盾。
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1 2 0 1
0
0 0
4 4 3
2 5 3
6
1 0
线性相关.
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例9. 判断下列向量组的线性相关性
解: 线性无关.
35
解:
线性相关.
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2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别 判别方法： 利用相关性的定义和反证法判别。
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例10. 设向量组
也线性无关。 证明: 设存在数
即 整理得 因为向量组