3.3二阶系统时间响应

50 s(0.05s 1)
50
50 0.05s2
s
50
标准式：
GB
s2
31.622 2 0.316 31.62 31.622
0.316 n 31.62
M p exp( 1 2 ) exp( 0.316 1 0.3162 )
35% 5% 该系统不能满足要求
（2）
50
GB (s) 1
1) 0 1 2) 0 3) 1 4) 1
欠阻尼系统 无阻尼系统 临界阻尼系统 过阻尼系统
1) 0 1 欠阻尼系统
Im
极
s1
jn 1 2
点
分
n
Re
布
s2
jn 1 2
s n jn 1 2 共轭复数
2) 0
极
s1
点
分
布
s2
无阻尼系统
Im
n
Re
n
s jn 共轭纯虚根
3) 1
L1
(s
n2 n
)2
xo(t) n2t exp(nt)
4、过阻尼状态 1
xo (t )
2
n 2
1
L1 s
(
1
L1
2 1)n s (
1
2
1)n
2
n 2
1
e(
2 1)nt e(
2
1)nt
曲线
随着
衰减愈慢，
d 幅值
衰减的快
n。
§3.4 瞬态响应的性能指标
0.05时，ts
3
n
N 1.5 1 2
振荡次数N随着 而 。
二阶系统计算举例
例1：设系统的方框图如图示，其中
ξ=0.6,ωn=5s-1 ,当有一单位阶跃 信号作用系统时，求其性能指标tp, Mp和ts 。
Xi (s) E(s)
n2 s(s 2 n )
X o (s)
解：
1)t p d
Xo
(s)
s2
2 n
2ns
2 n
1 s
1 s
(s
n2 n )2
d
2
1 s
(s
s 2n n)2 d
2
1 s
[ (s
s n n)2 d
2
1
2
(s
d n )2
d 2
]
d为二阶系统的有阻尼固有频率
12
d
n
xo (t) L1 X o (s) 1
e nt
1
2
sin( d t
)
其中 arctg 1 2
1、欠阻尼状态 (0 1)
xo
(t)
L1
n
n 1 2
1 2 (s n )2 (n 1 2 )2
xo (t)
n 1
2
exp( nt ) sin
dt
2、无阻尼状态 ( 0)
xo
(t)
L1
n
s2
n n2
xo(t) n sin nt
3、临界阻尼状态 ( 1)
xo
(t
)
响应曲线达到并永远保持在允许范围的时间
即：xo(t) xo() Xo()
xo() 1
xo(t) 1
1
e nt
1 2
sin(d t
)
1
其中： arctg 1 2
e nt
1 2
sin(d t
)
由于 e nt
1 2
所表示的曲线是上式所描述的减幅 正弦曲线的包络线，
只有包络线在1 之间，那么 实际曲线也在此范围之 内。
单位阶跃信号的拉氏变换为Xi(s)=1/s；
则二阶系统在单位阶跃信号作用下的 拉氏变换为
X (s) G(s)X (s)
0
i
s2
2 n
2n s
n2
1 s
1、欠阻尼状态 (0 1) 2、无阻尼状态 ( 0)
3、临界阻尼状态 ( 1)
4、过阻尼状态 ( 1)
1、欠阻尼状态 (0 1)
曲 线 特 点 ： 等 幅 振 荡
3、临界阻尼状态
( 1)
X
o
(s)
(s
2 n
n
)2
1 s
1 s
(s
n n )2
s
1
n
xo(t) 1nt ent ent
曲
X0(t)
线
1
1 1
t
0
特点： 1）不振荡
2）终值为1
4、过阻尼状态
X0(t)
曲 线
1
1
0
( 1)
1
t
特点： 1）不振荡 2）终值为1
§3.3 二阶系统的时间响应
凡是能够用二阶微分方程描述的系统 称为二阶系统
典型二阶振荡环节传递函数为
G(s)
s2
n2 2ns
n2
框图： Xi
n2
Xo
s(s 2 n )
二阶系统特征方程：
s2 2ns n2 0
s1、2 n n 2 1
随着阻尼比取值不同，二阶系统特征 根不同，即极点不同。
讨论：
Fi (t) m
k
xo (t) c
解：根据牛顿第二定律，得
Fi (t) Fk Fc Mxo(t) Fk kxo(t) Fc cxo(t) Fi (t) kxo(t) cxo(t) mxo(t)
拉氏变换得
Fi (s) (ms2 fs k)Xo(s)
G(s)
X o (s) Fi (s)
但相对于ξ=1时过渡时间较长
§3.3.2 二阶系统的单位脉冲响应
Xo(s) G(s) Xi (s) Xi (s) L (t) 1
Xo(s) G(s)
xo
(t)
L1X o (s)
L1
s2
n2 2ns
2 n
L1
n2
(s n )2 (n 1 2 )2
令d n 1 2有阻尼固有频率
或tr
n 1 2
讨论：
1) 一定时， n , tr 2)n一定时， ，tr
2、峰值时间tp
响应曲线达到第一个峰值所需的时间 为峰值时间
当t t p时有极值
dxo (t) 0 dt tt p
n 1 2
exp(nt p ) sin(dt p
)
d 1 2
exp(nt p ) cos(dt p
临界阻尼系统
Im
极 点
s1
分
s2 n
Re
布
s n 相等负实根
4) 1
过阻尼系统
Im
极
点
s2 s1
分
Re
布
s n n 1 2 不相等的负实根
§3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应 §3.3.2 二阶系统的单位脉冲响应 §3.3.3 二阶系统的性能指标 §3.3.4 二阶系统计算举例
§3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应
2)求m :
M
p
0.0029 0.03
100%
9.6%
M p exp( 1 2 ) 9.6% 0.6
t p n 1 2 2 n 1.96s1
m
kn2ຫໍສະໝຸດ 297 1.96277.3kg
3)求c：
2n
c m
c 2mn
c 277.30.61.96 181.8 Ns m
例3 有一位置随动系统，其方框图如图（1）
)
0
n sin(dt p ) d cos(dt p ) 0
tg(dt p
)
d n
1 2 tg
d ,t p均大于0 dt p 0, ,2 ,
取dt p
t p
d
(峰值时间是有阻尼振荡周期 2 的一半) d
讨论：1)
n ,t p ;
2）n一定时, ,t p .
3、调整时间ts
当系统输入单位阶跃函数时，Ｍp≤5%。求 （1）校核该系统的各参数是否满足要求。 （2）在原系统中增加一个微分反馈，求微
分反馈的时间常数τ。
Xi (s)
(1)
50 s(0.05s 1)
X o (s)
Xi (s)
(2)
50 s(0.05s 1)
1 s
X o (s)
解：（1）求GB(S)
GB (s)
曲 线
特点：
1)振荡过程：这是一个不断需要超调 过程，只要输出大于输入，需要超调。 2)以Wd为振荡频率的衰减过程，幅值衰 减的快慢取决于ξωn。 3)随着ξ的减小，其振荡幅值加大，衰 减慢。 4)终值为1。
2、无阻尼状态 ( 0)
X o (s)
n2 s2 n2
1 s
1 s
s2
s
n2
xo(t) 1 cosnt
ms2
1 cs k
输入的是8.9N阶跃力
X
i
(s)
8.9 s
N
1)求k：由拉氏变换的终值定理可知
xo () lim xo (t) lim s Xo (s)
t
s0
lim s G(s) Xi (s)
s0
lim
s0
s
ms2
1 cs
k
8.9 s
0.03
8.9 0.03 k 297 N m k
性能指标是针对欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应而提出来的
性能指标计算
1、上升时间tr 2、峰值时间tp 3、调整时间ts 4、最大超调量Mp 5、振荡次数N
1、上升时间tr
响应曲线从原工作状态出发首次到达输 出稳定值所需的时间称为上升时间。对 于过阻尼系统一般定义为响应曲线从稳 态值的10％上升到稳态值的90％所需的 时间。
即： ent
1 2
解得：
ts
1
n
ln
1
1 2
若 0.02
4 ln 1
ts
1 2 n
若 0.05
若0 0.7
3 ln 1
ts
1 2 n
ts
4
n
( 0.02)
ts
3
n
( 0.05)
1、n一定时, ts ，
0.02时， 0.76附近ts最小， 0.05时， 0.68附近ts最小， 但 0.8以后， ts 。
当t tr时，xo(tr ) 1
xo (tr ) 1 exp( ntr ) sin(dtr )
exp( ntr ) sin(dtr ) 0
exp( ntr ) 0
sin(dtr ) 0
dtr k
k 0,1,2
tr是xo (t )第一次达到xo ()的时间
tr
d
使平稳性 而快速性 。
2、一定时， n ,ts 。
4、最大超调量Mp
响应曲线的最大峰值与稳态值x0(∞)的差值 再与x0(∞)之比值。
即：
Mp
xo (t p ) xo () xo ()
100%
当xo() 1时，M p xo (t p ) xo ()
t
tp
d
时，xo ()
1
M
p
1
ent p
s(0.05s 1)
50 (1s)
s(0.05s 1)
0.05s2
50
(1 50
)s
50
s2
1000
20(1 50
)s
1000
M p 5%
exp( 1 2 ) 5%
0.69
n 31.62,且2n 20(1 50 ) 20(1 50 ) 20.6931.62 0.0236 s
可以看出，系统加入微分负反馈， 相当于增大了阻尼比ξ，改善了系统振 荡性能，即减小了Ｍp，但Ｍn没变。
1 2
sin(dt p
) 1
n
e
n
1 2
1 2
sin(d
d
)
e
1 2
sin
1 2
sin 1 2
M p e 1 2
M p只与有关而与d 无关； ，M p 。
5、振荡次数N
在调整时间内响应曲线振荡的次数
N
ts T
ts
2
d
0 0.7时，
0.02时，ts
4
n
N 2 12
d n 1 2
tp 5
1 0.62
0.785s
4
2) M p exp 1 2 100%
M p exp( 0.6 1 0.62 ) 100% 9.5%
3
3) ts 4 n n
5% 2%
ts
1s 1.33
5% 2%
例2 如图所示的机械系统,在质量块上 施加9.8牛顿阶跃力后，m的时间响应 如图曲线，试求系统的 m、k 、c 。