数理方程 特殊函数

S
V
V
第二格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SŲSV上有一阶连续 偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：
uv vu dS uv vudV
S
V
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第三格林公式：
设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格 林公式条件，则有：
要求:(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质 (2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式
(3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式
例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什 么？
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
答: (1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为：
例1、写出稳态场方程洛平问题的解。
解:(1)泊松方程洛平问题为：
u uxx u yy uzz f ( x, y, z), ( x, y, z) VS
u S ( x, y, z), (连续）
u
n
S ( x, y, z), (连续）
u(M0)
1 4
S
1r
(M
)
(M
)
n
1 r
1 1 u 1
1 1
u(M0 ) 4
S
rMM0
n u n rMM0 dS 4
V
rMM0 u dV
z S
V
M M0
y
x 4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
要求:(1)掌握三个公式的推导； (2)稳态场方程洛平问题的解。
dS
1 4
V
1 r
f
(M
)
dV
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
拉普拉斯方程洛平问题为：
u uxx u yy uzz 0, ( x, y, z ) VS
u S ( x, y, z), (连续）
u
n
S ( x, y, z), (连续）
2
Ln rMM0
2
Ln rMM1
(4) 圆域上狄氏问题的Green函数
G(M , M0)
1
2
ln rMM1 rM0M
1
2
R ln
r0
(5) 第一象限上狄氏问题的Green函数
1 11 11 11 1
G(M , M0)
2
ln rMM0
2
ln rMM1
2
ln rMM2
2
ln rMM3
1 ln (x x0 )2 ( y y0 )2 (x x0 )2 ( y y0 )2
u(M0)
1
4
S
1
r
(M
)
(M
)
n
1 r
dS
例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解
u 0, ( x, y, z) V
u
S
1,
u n
S 0
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：由第三格林公式：
1 1
u(M 0 ) 4 S n rMM0 dS 1
(2) 上半空间狄式问题的解 泊松方程狄氏问题的解为：
u(M 0 )
S
G(M , n
M
0
)
dS
G(M , M0)
V
fdV
由于：
G n
G z
1
4
z z0
r
3 MM0
z z0 r3
MM1
1
4
z0
3
x
x0
2
(
y
y0
)2
z02
21
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
1
G(M , M0)
4
rMM0
rMM1
1
4
1
x x0 2 ( y y0 )2 (z z0 )2
1
x
x0
2
y
y0
2
(z
z0 )2
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 上半平面狄氏问题的Green函数
1
11
1
G(M , M0)
G(M1; M 2 ) G(M 2; M1)
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？
答：
u(M 0 )
S
u
G(M , n
M0)
dS
wenku.baidu.com
G(M ,
V
M0)
fdV
例8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？
由于泊松方程狄氏问题的解为：
u(M 0 )
S
G(M , M0) n
dS
G(M , M0)
V
fdV
在球面上
G n
S
G r
S
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
在球域上，由于：
G(M
,
M0)
1
4
1 r r0
1
4
R r0
1 r1 r
1
1
1 R
u1 f (M ), M V u2 f (M ), M V
u1 S (M )
u2 S * (M )
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
令:U=u1-u2,则：
U 0, M V
U S *
由极值原理有：U 即证明了稳定性。
3、泊松方程狄氏问题格林函数
答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有：
(1) 狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程。 当M→M0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相 同。
(2) 在边界上格林函数恒等于零。
(3)
在区域V内，有：0
G(M ,
M0)
1
4 rMM0
(4) Green函数具有对称性(物理上称为互易性 )，即
1
4 r2 2rr0 cos r02 4 r0 r2 2rr1 cos r12
1
4
1
1 R
r2 2rr0 cos r02 4 r0
1
r2
2r
R2 r0
cos
R4 r02
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
所以：
G
n
S
1
4 R
R2 r02
3
R2 r02 2Rr0 cos 2
所以，球域上狄氏问题的解为：
u(M0 )
S
1
4 R
R2 r02
3 dS
R2 r02 2Rr0 cos
2
G(M , M0 ) fdV
V
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
u1 f (M ), M V u2 f (M ), M V
u1 S (M )
u2 S (M )
令:U=u1-u2,则：
U 0, M V U S 0
由极值原理有： U 0 ，即 u1 u2
(b ) 解的稳定性证明：
设在S上给定了函数 , * 使得： * 且：
则称G(M,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。 (2) 物理意义是:
11
1
0.5 n 0
0.5
1
2
1.5
1
t1
0.8 0.6
(a) 物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M 0.5 00
0.4 x 0.2
0
)=-δ(M-M0)来
说，其物理意义是：空间中M0点处有一电量为ε(真空中
的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),
例3、求拉普拉斯方程洛平问题的解
u (x, y, z), (x, y, z) V
u
S
(
x,
y,
z),
u n
S0
解：由第三格林公式：
1
u(M0 ) 4
S
n
1 rMM 0
dS
1
4
V
1 (x, y, z)dV
rMM 0
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
平面上的求法类似。
例10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的 格林函数表达式
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
答: (1)球域
G(M , M0)
1
4
1 r r0
1
4
R r0
1 r1 r
r1
R2 r0
r0 r0
(2)上半空间
1 1
0.6 0.4 x 0.2
所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
u
x0 ,
y0 ,
z0
1
2
. .
. .
x, y z0
3 dxdy
x
x0
2
y
y0
2
z02
2
f (x, y, z)G(M , M0 )dxdydz V
而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：
u x0,
y0 ,
z0
1
2
. .
. .
x, y z0
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、Green函数问题
1、三个格林公式 第一格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SŲSV上有一阶连 续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：
uv dS u vdV uvdV
4 (x x0 )2 ( y y0 )2 (x x0 )2 ( y y0 )2
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的 泊松方程狄氏问题解的积分表达式
解：(1) 球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式：
2、调和函数
要求:(1)掌握概念和性质的证明；
(2 ) 性质的应用(极值原理)
例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。 证明：泊松方程狄氏问题为： u f (M ), M V
u S (M )
(a ) 解的唯一性证明： 设定解问题有两个解u1与u2,则：
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
y)d
拉氏方程狄氏解为：
u(M
0
)
1
(x)
(x
y0 x0 )2
y02 dx
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为：
0, x 0 u(x, 0) u0 , x 0
答：
u(M0 )
L
G dS n
Gf
D
( x,
y)d
例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？
采用什么方法求？
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
答: (1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。
(2) 采用镜像法
求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导 体壳S，在VS内M0处放置电量为ε0的正点电荷，由格 林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷ε0与感应电荷 在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求： 在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷， 使它与ε0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的 电势叠加等于G(M,M0).
(a) 若G(M,M0)满足： G(M , M0 ) (M M0 ) G(M , M 0 ) S 0
M , M 0 VS
则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。
(b) 若G(M,M0)满足：
G(M , M0 ) (M M 0 )
G(M , M0 ) L 0
M , M 0 DS
其大小为G(M,M0)=1/4πr；
其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导
电壳内M0处有正点电荷ε和它在边界面上产生的感应电 荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为 G(M,M0)= 1/4πr-v (x, y, z)。
（b) 物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M0 )=-δ(M-M0)来 说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为ε(真空中 的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0), 其大小为G(M,M0)=1/2πlnr；
3 dxdy
x
x0
2
y
y0
2
z02
2
22
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 上半平面内泊松方程狄式问题解的积分表达式：
G G
n
y
1
(x
y0 x0 )2
y02
所以得：
u(M
0
)
1
(x)
(x
y0 x0 )2
y02 dx
D
Gf
(x,
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
数理方程与特殊函数
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式复习
(一)、Green函数问题 (二)、贝塞尔函数问题 (三)、勒让得多项式问题
其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导
电圈内M0处有正点电荷ε和它在边界上产生的感应电荷
在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为
G(M,M0)= 1/4πlnr -v(x,y)。
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例6、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？