数理方程 特殊函数
数理方程与特殊函数数理方程复习
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0
数理方程与特殊函数教学大纲
数理方程与特殊函数课程简介：本课程为电子与通信工程类专业的基础课。
学分2，周学时2。
本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。
“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。
主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。
“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式，以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。
教学目的与基本要求：通过数理方程与特殊函数课程的学习，使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能，培养学生分析问题解决问题的能力，为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。
本课程的先修课程为：高等数学，复变函数，积分变换主要教学方法：课堂讲授与课外习题。
第零章预备知识（4学时）复习先修课程中相关的一些内容，主要包括：二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法；积分学中的一些重要公式和技巧；傅里叶（Fourier）分析；解析函数的极点及其留数；拉普拉斯（Laplace)变换。
第一章典型方程和定解条件的推导（４学时）在讨论数学物理方程的求解之前，应建立描述某种物理过程的微分方程，再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。
本章学习的重点和难点是了解数学物理方程的推导及定解问题的确定过程，学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。
第一节基本方程的建立通过几个不同的物理模型，推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程：波动方程、电磁场方程和热传导方程。
第二节初始条件与边界条件方程决定了物理规律的数学形式，但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。
用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件，用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。
第三节定解问题的提法由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。
初始条件和边界条件都称为定解条件。
数理方程与特殊函数(杨春)27PPT课件
及其性质。
强调了数理方程和特殊函数在数学建模和科学计算中 的重要性，并提供了相关练习题以帮助学生巩固所学
知识。
介绍了数理方程的基本概念、分类和求解方法 ，包括一阶、二阶常微分方程、偏微分方程等 。
通过实例演示了如何运用数理方程和特殊函数解 决实际问题，包括近似解法和数值解法等。
特殊函数的应用场景
06 数理方程与特殊函数的结 合应用
数理方程与特殊函数的关系
数理方程是描述数学模型中数量关系的一类方程，而特殊函数则是满足某 些特定条件的函数。
数理方程与特殊函数在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、 经济学等。
特殊函数在数理方程中常常作为解或解的组成部分出现，因此理解数理方 程与特殊函数的关系对于解决实际问题至关重要。
数理方程与特殊函数的基本概念、性质、方法和应用。
主题目的
通过学习本课程，使学生掌握数理方程与特殊函数的 基本理论和方法，培养其解决实际问题的能力。
课程目标和意义
课程目标
通过本课程的学习，学生应掌握数理方程与特殊函数的基本理论和方法，能够解 决一些实际问题，提高数学素养和思维能力。
课程意义
数理方程与特殊函数是数学中的重要分支，对于培养学生的数学思维、分析问题 和解决问题的能力具有重要意义。同时，本课程的学习也有助于学生更好地理解 其他数学分支和应用学科，为其未来的学习和工作打下坚实的基础。
04
随着数学教育的普及和深入，数理方程与特殊函数将成为更多学生了 解和掌握的数学工具，为他们的学术和职业发展提供有力支持。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
结合应用实例分析
数理方程与特殊函数华科
数理方程与特殊函数华科在数学的世界里，数理方程与特殊函数是两个十分重要的概念。
数理方程是描述数学关系的方程，特殊函数则是研究特定类型函数的数学工具。
它们在各个领域都有广泛的应用，从物理学到工程学，从经济学到计算机科学，无处不在。
数理方程可以看作是数学的语言，通过方程式的形式将抽象的数学概念转化为具体的问题。
它们可以描述自然界的现象，也可以解决实际生活中的难题。
比如，牛顿的运动方程可以用来描述物体在力的作用下的运动规律；薛定谔方程可以用来描述量子力学中粒子的行为。
数理方程的求解是数学研究的重要内容之一，通过求解方程，我们可以得到问题的解析解或数值解，从而对问题有更深入的理解。
特殊函数是一类具有特殊性质和特定形式的函数。
它们的定义域和值域可以是复数集合，实数集合或者其他数域。
特殊函数的名称通常与其所研究的领域或特性有关。
比如，伽玛函数是数论和组合数学中的重要工具，它可以用来计算阶乘的推广；贝塞尔函数是物理学和工程学中常见的函数，它可以描述波的传播和振动的行为。
特殊函数的研究不仅可以帮助我们理解数学的本质，还可以应用于解决实际问题。
华中科技大学作为中国一流的高等学府，致力于培养数学与应用数学领域的人才。
数理方程与特殊函数是华科数学系的重要研究方向之一。
在这里，学生们可以学习到数理方程的基本理论和求解方法，了解各种特殊函数的性质和应用，并通过实际问题的讨论和解决来提高自己的数学思维能力。
华科数学系的教授和研究人员们致力于数理方程与特殊函数的研究，他们在国内外学术界享有很高的声誉。
他们不仅在理论研究上取得了重要成果，还在应用领域做出了重要贡献。
他们的研究成果不仅推动了数学的发展，还为其他学科的研究提供了重要的数学工具和方法。
通过学习数理方程与特殊函数，我们可以更好地理解数学的本质和应用，培养数学思维和解决问题的能力。
数理方程与特殊函数的研究不仅是数学领域的重要内容，也是现代科学和技术发展的重要支撑。
在华科数学系的指导下，我们相信，数理方程与特殊函数的研究将会为人类社会的发展做出更大的贡献。
数学物理方法课件：特殊函数
c2k 1
(2k 1)!
c1
(4.26)
至此，我们得l阶勒让德方程的级数解(通解)为
y(x)＝y0(x)＋y1(x)
(4.27)
22
其中，y0(x)只含有x的偶次幂，即
y0
(x)
c0 [1
k 1
(2k
2
l)(2k
4
l)...(2
l)(l)(l (2k )!
1)(l
3)...(l
2k
1)
x2k
(4.3)
在该圆内有唯一的一个解析的解w(z)满足初值条件
w(z0)＝C1
w'(z0)＝C2
(4.4)
7
其中，C1和C2是任意给定的复常数，并且解w(z)在该圆 内是单值解析的。
注意：
(1)因为解w(z)在|z－z0|<R是解析的，故w(z)可用(z－z0)的 幂级数表示，这就是幂级数解法的基础。即这个解析解可表
，可得确定收敛域为(－∞，＋∞)。
a k k2
17
例4.2 求l阶勒让德方程
(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0 (4.17)
在x0＝0点邻域内的级数解。
解：方程可标准化为
y
1
2
x x
2
y
l(l 1) 1 x2
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
(4.18)
2x
其系数 p(x) 1 x2 即x0＝0是方程的常点。
]
(4.28)
y1(x)只含有x的奇次幂，即
y1 ( x)
c1[ x
k 1
(2k
1
l)(2k
3
l)...(1 l)(l (2k 1)!
数理方程与特殊函数杨春24
k
m
Jk (x)Jm ( y)zkm
k m
J
k
(
x)
J
nk
(
y)
z
n
n k
所以得到：
J n ( x y) J k ( x)J nk ( y)
k
24
第25页/共29页
2、整数阶Bessel函数的积分表达式
罗朗展式的系数公式为：
x ( 1 )
Jn
(x)
1
2 i
e2
(一)、贝塞尔方程的引入
例1、 设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度， 且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律
定解问题为：
u
t
a2
2u x2
2u y 2
,
x2 y2 R2
u t0 x, y
u x2 y2 R2 0
采用分离变量法求解
1
第2页/共29页
x
例2、求如下贝塞尔方程通解
x2
d2y dx2
x
dy dx
(x2
1)y 4
0
解：这是1/2阶贝塞尔方程
J 1 (x)
2
2 sin x
x
J1 (x) 2
2 cos x
x
y C1
2
x
sin
x
C2
2 cos x
x
16
第17页/共29页
整数阶贝塞尔函数
性质：对于n 阶整数阶贝塞尔函数有：
证明：
Jn (x) (1)n Jn (x)
y AJ n ( x) BYn ( x)
20
第21页/共29页
(三)、贝塞尔函数的母函数及其递推公式
数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案
10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；6，4122≤+<y x ；122<+y x ； 7，()x x 35213-；()32331481-x dxd ；无界的； 8，⎪⎩⎪⎨⎧=+≠;,122,,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+⎰-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：31=dt dx ，1-=dtdx。
由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。
作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：ηξ∂∂+∂∂-=∂∂u u t u ，ηξ∂∂+∂∂=∂∂u u x u 3；22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u t u ， 22222223ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂-=∂∂∂u u u x t u ，222222239ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 。
代入原方程，整理得：02=∂∂∂ηξu，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个连续二次可微函数。
因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。
由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。
由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()449321Cx x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。
数理方程与特殊函数 第一章 王元明版课件
自变量的个数是两个或者两个以 上的微分方程称为偏微分方程
数理方程学科发展
微积分产生后，人们开始把力学中的一些问 题和规律归结为偏微分方程进行研究。 十八世纪初，弦振动问题归结为偏微分方程 并探讨了它的解法。 流体的运动 弹性体的平衡和振动 热传导 电磁相互作用 原子核和电子的相互作用
发展（续）
在研究物理现象的过程中，人们对偏微分方程的 性质也了解得越来越多，越来越深入，从而形成 了数学中得一门重要得分支——偏微分方程理论。 它既有悠久的历史，又不断地更新它的对象、内 容和方法。由于它直接联系着许多自然现象，所 以又不断地产生需要解决的新课题和新方法。
偏微分方程的有关术语
齐次和非齐次
自由项：方程中不含未知函数及其各阶偏导数的项
∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ) ∂t 2 ∂x
∂u ∂ 2u = a2 2 ∂t ∂x
自由项为0 齐次 自由项不为0 非齐次
偏微分方程的有关术语
偏微分方程的解 若一个函数具有所需要的各阶连续偏导数，且代 入方程后使该方程成为恒等式，则该函数称为偏 微分方程的解
课程考核
考核方式： 闭卷书面考试+平时成绩
课程要求
（1）上课认真听讲、积极发言 （2）课前预习，课后复习 （3）独立完成作业，每周一交作业
什么是数理方程？
质点的自由落体运动
位移随时间的变化
∂ u =g 2 ∂t
2
自感电路的 电流滋长
电流随时间的变化
dI ε − L = IR dt
研究某个物理量（位移、电流）怎样随时间变化 以时间为自变量的常微分方程
∂u 小段的相对伸长为 ，在x点处为 ∂u ( x, t ) ∂x ∂x ∂u ( x + Δx, t )
数理方程与特殊函数教学大纲
《数理方程与特殊函数》教学大纲课程名称：数理方程与特殊函数(Equations of Mathematical Physics and Special Functions)课程编号：FX042120B学分：2.5总学时：40适用专业：光电信息类专业，也可供其它专业选用先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《积分变换》一、课程性质、目的与任务:通过本课程学习，使学生初步掌握数学物理方程的基本理论与方法，为学习有关专业课程与扩大知识面提供必要的数学基础。
二、教学基本要求:了解典型方程的建立，定解问题及线性偏微分方程的迭加原理；熟练掌握分离变量法，会应用变量代换法、积分变换法与格林函数法，会用贝塞尔函数与勒让德函数有关的定解问题。
本课程的内容按教学要求的不同，概念、理论从高到低用“理解”、“了解”一词表述，方法、运算用“掌握“一词表述。
第一章一些典型方程和定解条件的推导1、了解三类典型方程的物理背景和导出步骤；2、了解定解条件所反映的物理意义；3、了解三种定解问题（初值问题、边值问题、混合问题）的区别。
知道不同方程有不同的定解问题的提法；4、知道并掌握线性偏微分方程解的叠加性质。
第二章分离变量法1、掌握分离变量法，能应用于振动方程、传导方程的混合问题和特殊区域上拉普拉斯方程的狄里克莱问题；2、掌握求解非齐次方程的固有函数法和齐次化原理；3、了解对于非齐次边界条件的处理方法。
第三章行波法与积分变换法1、会用行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式（限于齐次方程）；2、了解弦振动问题的“依赖区间”、“决定区域”和“影响区域”的概念；3、了解三维波动方程的泊松公式的导出方法；4、会用降维法从三维波动方程的泊松公式导出二维波动方程的泊松公式以及一维波动方程的达朗贝尔公式；5、会用付里叶变换和拉普拉斯变换求解一些定解问题。
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法1、了解拉普拉斯方程两种定解问题（狄里克莱问题和诺依曼问题）的提法，（每种问题又分内问题和外问题）；2、会从高斯公式导出格林第一、第二公式；3、知道三维（二维）拉普拉斯方程的基本解)1ln (100M M M M r r ，会借助基本解从格林第二公式导出调和函数的积分表达式；4、了解引进格林函数的目的，及格林函数的物理意义；5、掌握上半空间和球域的格林函数及相应的泊松公式，会用公式求解定解问题。
《数理方程与特殊数函数》课程教学大纲
《数理方程与特殊数函数》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：数理方程与特殊函数英文名称：Equations of Mathematical Physics and Special Functions二、课程代码及性质课程代码：0700081课程性质：必修三、学时与学分总学时：40（理论学时：40学时；实践学时：0学时）学分：2.5四、先修课程先修课程：微积分，线性代数，复变函数与积分变换五、授课对象本课程面向电子科学与技术，集成电路设计与集成系统（包括卓越计划实验班），光电信息科学和与工程（包括中法班），微电子科学与工程，自动化（包括理工交叉创新实验班），物流管理，电子信息工程，通信工程，电磁场与无线技术，信息类数理提高班，基于项目信息类专业教育实验班，电信卓越计划实验班，工程科学，电气工程及其自动化（包括电气卓越计划实验班），水利水电工程，工程力学，生物医学工程，软件工程，数字媒体技术等专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）通过本课程教学，提升学生利用数学知识分析和解决实际问题的能力；使学生了解数学物理方程的实际背景，并使学生意识到掌握本课程基本理论和方法对专业知识学习以及今后的科学实践的重要性。
正确掌握数学物理方程与特殊函数的基本概念、基本理论和基本方法，熟练掌握几类经典方程的求解方法（包括分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法、试探法等），掌握特殊函数的性质并能熟练应用特殊函数求解常见数学物理问题。
七、教学重点与难点：课程重点：三类方程的导出及物理背景、各类定解条件及定解问题、分离变量法、行波法、积分变换法、贝塞尔函数。
课程难点：格林函数法的理解和应用；贝塞尔函数性质的理解及在分离变量法中的应用；积分变换法在求解不同类型定解问题时的应用等。
八、教学方法与手段：教学方法：1、启发式讲授法：最常用的方法；2、互动式教学：组织课堂讨论，引导学生发现问题、分析问题、解决问题，倡导讨论和争论，对于每一章节的重点内容，设计学生必做的论述题；3、研究性学习：学生自由结合组合成学习小组，指导他们结合专业方向学习设计能够用数理方程与特殊函数课程中三类典型偏微分方程进行数学建模的实际物理或者专业实验，然后进行相关物理量的测量、分析，同时进行数学模型的理论计算和计算机软件仿真等工作，并将其实验报告作为平时成绩的重要参考。
23《数学物理方程》二十三讲特殊函数常微分方程
并移项得:
----《数学物理方法》二十三讲----
2
d R
2
2
R d
dR
R d
Z
2
Z"
"
m
2
令
则得:
( m 0 ,1, )
(1) (2)
2
" 0
( 2 ) ( )
d R
2 2
( ) A cos m B sin m
r u r
拉普拉斯方程 u xx
u
u yy u zz 0
①球坐标系下的拉氏方程表示为:
1 r
2
(r
2
)
1
2
r sin
(sin
)
1 r sin
2 2
u
2
2
0
如何得到该方程? 上述方程如何求解?
2 2 2
利用球坐标系与直角坐标系之间的变换关系 分离变量法!
z
x u r , r x y z 首先假设方程的解的形式为: ( rsin , )cos R ( r )Y ( , )
M ( x, 试探解y , z )
r
y r sin sin 将试探解带入球坐标系下的拉普拉斯方程得: arctg
x
y
M (r , , )
第一个方程:
' ' 0
m
2
( m 0 ,1, )
自然周期条件
( 2 ) ( )
----《数学物理方法》二十三讲----
数理方程与特殊函数
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
常用物理规律(二)
1、热传导定律
dQ kun (M , t)dSdt
定义热流密度：
q
dQ dSdt
kun (M , t )
3
1
0.5 n 0
(2)、[t1,t2] 里导热体升温需要的热量Q2计算 导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为：
dQ2 cdV u(x, y, z,t dt) u(x, y, z,t)
cdVutdt
[t1,t2] 里导热体升温需要的热量Q2为：
t2
Q2 cutdV dt
t1 V
12
1
0.5 n 0
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
取一个包含ΔS的上下底平行的高为Δh的扁平盒：
由于Δh可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！ 于是由高斯公式有： D1 • (nS ) D2 • (nS ) Q f S f
而: D E u
24
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
如果方程中对时间的导数为n阶，则需要n个初始条 件表达式。
31
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
作业
P26习题2.2第1，2，3，4； P30习题2.3第1，2，4。
32
华中科技大学《数理方程与特殊函数》课程——第二章
{sin
nx
l
}n1
7
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
f (x,t) u(l,t)
(0 0,
x
l,
t
0),
u(x,0) ut (x,0) 0.
第一步：设所求的解为
(46) (47) (48)
u ( x, t )
n1
un
(t ) s in
Asint cosx
l
(0 x l, t 0),
ux (0,t) 0, ux (l,t) 0,
u(x,0) ut (x,0) 0.
其中 A, 均是常数。
解
将
u(x,
t)
n0
un
(t)
cos
nx l
,
代入原方程化简得
n0
u'
'
n
na l
2
u
n
cos
nx l
Asint
cos x l
小结 几种常见的固有函数系的形式
(1) u(0,t) 0, u(l,t) 0; (2) u(0,t) 0, ux (l,t) 0;
sin
nx
l
(n
1,
2,
);
sin
(2n
1)x
2l
(n
1,
2,
);
(3) ux (0,t) 0, u(l,t) 0;
cos
(2n
1)x
2l
6
为此，我们首先讨论齐次边界条件与零初值条件 的强迫振动问题：
uut(t0, t
a )
2u xx 0,
数理方程与特殊函数(钟尔杰)2弦振动和几类波动方程的定解条件
结合实际应用问题，进一步研究这些方程的定解条件和求解方法，为工程、物理、生物等领域的实际问题提供更好的数学模型和解决方案。
深入研究其他类型的波动方程，如非线性波动方程、色散波动方程等，探究其解的性质和行为。Biblioteka 研究展望THANKS
谢谢您的观看
有限差分法
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，它将连续的空间离散化，从而得到一组差分方程，再利用迭代法求解。
05
几类波动方程的定解条件
初始条件（Initial conditions）：在一维波动方程中，初始条件通常指在某个特定时间点上波函数的值。
边界条件（Boundary conditions）：这些条件描述波函数在空间边界上的行为。
在统计力学中的应用
07
研究结论与展望
研究结论
证明了2弦振动方程的解的存在性和唯一性，并给出了其解的表达式。
对于几类波动方程，推导并证明了它们的定解条件，包括初始条件、边界条件和物理约束条件。
通过数值模拟和分析，揭示了这些波动方程的解的性质和行为，包括传播速度、振幅和波形等。
01
02
03
进一步研究2弦振动方程和其他复杂振荡系统的动力学行为，包括多振荡模式、混沌等现象。
xx年xx月xx日
数理方程与特殊函数(钟尔杰)2弦振动和几类波动方程的定解条件
目录
contents
引言数理方程的基本概念特殊函数的基本概念弦振动方程的定解条件几类波动方程的定解条件数理方程与特殊函数在物理中的应用研究结论与展望
01
引言
数学模型在自然科学、工程技术和金融等领域有广泛应用，如物理中的弦振动方程描述了弦的振动行为，金融中的偏微分方程刻画了资产价格的演变过程。
华科大数理方程与特殊函数课件——有界弦的自由振动
utt a 2u xx u(0,t) 0,
(0 x l, t 0), u(l,t) 0,
(1) (2)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x),
(3)
18
存在性定理*
若(x) C 4[0,l](四次导数连续的函数)，
(x) C 3[0,l],并且 , '', 在 x 0, l 处取值
于是得
n
( n
l
)2
(n 1, 2 , ).
(10)
从而找到一族非零解
特征值
X
n
(x)
Bn
sin
nx
l
(n 1, 2, ). (11)
特征函数
10
现在考虑 T ''(t) a2T (t) 0,
(6)
将特征值
n
( n )2
l
代入方程(6)得
(n 1, 2 , ).
(10)
其通解为
T ''(t) ( na )2T (t) 0,
l
Tn
(t)
Cn
cos nat
l
Dn
sin
nat
l
(n 1, 2, ). (12)
这样就得到方程(1)的满足齐次边界条件(2)的
变量分离形式的特解 un (x,t) X n (x)Tn (t)
11
un
( x, t )
(an
cos
nat
l
bn
sin
nat
l
) s in
nx
l
(n 1, 2, ),(13)
nx
l
(n 1, 2, ),(13)
华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案
29.0(,)11cos ,sin (,)(cos ,sin ),cos sin ;sin cos .sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r rx r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u ru θθθθθθθθθθθθθθθ+=++==⎧⎨=⎩∴==+⎧⎪⎨=−+⎪⎩=−⇒=∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos ()sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎧∂∂∂⎛⎞⎧=−⎜⎟⎪⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂⎛⎞⎪⎪+=+⎜⎟⎪⎪⎩∂∂∂⎝⎠⎩∂∂∂∂∂⎛⎞==−⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞⎛=−−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝ 从而2222222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin ()sin yy u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u y y r r y θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎞⎟⎠∂∂∂∂=+−+∂∂∂∂∂∂∂∂−++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞==+⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠= 2222222222222cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u ur r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂=−++∂∂∂∂∂∂∂∂+−+∂∂∂∂+=+ 所以 10.u +=习题二21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,2(,0)(1);tt xx tu a u x t u t u t x x u x x x u x x x ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎧⎪<≤⎪⎨⎪=⎨⎪⎪⎪−<<⎪⎩⎪⎪=−⎩求下列问题的解22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,(0)(1)0.(),()si n n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X X x X x X X n X x B λλλλπ=′′+=′′+===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 111212202n (1,2,).()cos sin (1,2,).(,)(cos sin )sin .42sin (1)sin sin .2n n n n n n n n x n T t C an t D an t n u x t a an t b an t n x n a x n xdx x n xdx n ππππππππππ∞===+==+⎡⎤=+−=⎢⎥⎣⎦∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则其中 ()()14402244124(1)sin 11.44(,)(sin cos 11sin )sin .2nn nn b x x n xdx an n a n u x t an t an t n x n n a πππππππππ∞=⎡⎤=−=−−⎣⎦⎡⎤=+−−⎣⎦∫∑ 因此，所求定解问题的解为2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin6sin ,22(,0)0.tt xx x t u a u x l t u t u l t x xu x l l u x ππ⎧=<<>⎪==⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ ()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.21(),(2n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X l X x X x X X l n X l λλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=⎧⎨′==⎩+=解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， ()()()()()()121)sin (0,1,2,).22121()cossin (0,1,2,).22212121(,)(cossin )sin .222235(3sin6sin 22n n n n n n n n n x B x n la n a n T t C t D t n l la n a n n u x t a tb t x l l l x x a l l ππππππππ∞=+==++=+=+++=+=+∑ 代入另一常微分方程，得则 其中 ()03,1;21)sin 6,2;20,12.0.3355(,)3cos sin 6cos sin .2222l n n n xdx n l l n b a a u x t t x t x l l l lπππππ=⎧+⎪==⎨⎪≠⎩==+∫、 因此，所求定解问题的解为3.4(0,0),(2)(0,)0,(,)0,(,0)().t xx x x u u x l t u t u l t u x x l x =<<>⎧⎪==⎨⎪=−⎩求下列定解问题的解：2(,)()().()4()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()n n u x t X x T t T t T t X x X x X X l X x X x X X l n X x A lλλλπλ=′+=′′+=′′==′′+=⎧⎨′′==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 222()2()012000cos (0,1,2,).()(0,1,2,).1(,)cos .222().62()cos n n t ln n n t ln n l l n n x n l T t D e n n u x t a a e x l l a x l x dx l n a x l x xd l l πππππ−∞−=====+=−==−∑∫∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 2222222()2212[1(1)].2[1(1)](,)cos .6n n n t ln l x n l l n u x t e x n lππππ∞−=−−+−=−−+−=+∑ 因此，所求定解问题的解为2110(01),,0,(1,)0,.,.rr r u u u r r r A u A θθθαθαθπα⎧++=<<⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩⎩其中为已知常数22(,)()().()()()0,()()0.()()0,()(2).(),()cos sin n n n n u r R r r R r rR r R r n X x A n B n θθλθλθθλθθθπλθθ=Φ′′′+−=′′Φ+Φ=′′Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩==+解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得求解固有值问题得，()2010(0,1,2,).()()()0,(0).()(0,1,2,).1(,)cos sin .212n n n n n n n n n r R r rR r R r R R r C r n u r a a n b n r Aa Ad a ααλθθθαθππ∞=−=′′′⎧+−=⎨<+∞⎩===++==∑∫ 代入另一常微分方程的定解问题得， 则 其中 112cos sin ,1sin 0.2(,)sin cos .n nn AA n d n n b A n d A A u x t r n n n ααααθθαππθθπααθππ−−∞======+∫∫∑ 因此，所求定解问题的解为0(0,0),(0,)0,(,)0(0),(,0)(1),lim (,)0(0),.xx yy y u u x l y u y u l y y x u x A u x y x l l A →∞⎧+=<<<<∞⎪⎪==≤<∞⎨⎪⎪=−=<<⎩其中为已知常数 2(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,(0)()0.(),()sin n n n u x y X x Y y X x X x Y y Y y X X l X x X x X X l n X x B lλλλπλ=′′+=′′−===′′+=⎧⎨==⎩==解：应用分离变量法，令 代入方程分离变量，得 由边界条件分离变量，得 求解固有值问题得， 10(1,2,).()(1,2,).(,)sin.22()sin .lim (,)0n n y y lln n n n n y y l ln n n l n n y n x n l Y y C e D e n n u x y a e b e x l x n A a b A l xdx l l l n u x y a ππππππππ−∞−=→∞==+=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠+=−==⇒∑∫ 代入另一常微分方程，得则 其中 10.2(,)sin .n n y l n A n u x t e x n l πππ∞−===∑因此，所求定解问题的解为()22228.-10.cos ,sin ,111(0),0.{cos sin }.,()xx yy x y a rr r r an a u u u x r y r u u u r a r r u A n B n u r a r θθθθθθθ+==+====⎧++=−<<⎪⎨⎪=⎩+= 在以原点为心,为半径的圆内,试求泊松方程 的解,使它满足边界条件解：令作极坐标变换,得由固有函数法,相应的固有函数系为 因此,设方程的解为[]()()()()()()()0002222cos ()sin .11,110,0210,323()0()n n n n n n n n n nn n nn n n n b r n a a r n a a a n r r nb b b r r a r A r B r n b r C r D θθ∞=−+⎧′′′+=−⎪⎪⎪′′′+−=≠⎨⎪⎪′′′+−=⎪⎩=+≠=+∑ 代入方程,得方程，的通解：， ()()2000(0),()0;(0),()0.()00()0.11()ln ,4(0),()n n n n n n n n r a a a b b a a r n b r a r A r B r a a a −<+∞=<+∞==≠==+−<+∞=. 由有界性条件及边界条件，得 ， 方程的通解: 由有界性条件及边界条件，()()()()()220222220.1().41,.41,.a r a r u r a r u x y a x y θ=−=−⎡⎤=−+ 得 则定解问题的解为 化成直角坐标，则得21210.sin ,(2)(0,)0,(,)0(0),(,0)0,(,0)0(0);{sin }.(,)()sin .tt xx tn n n u a u t x l u t u l t t u x u x x l n x ln u x t u t x l n a u u l ππππ∞=⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪==≤≤⎪⎩=⎛⎞′′+⎜⎟⎝⎠∑求下列问题的解：解：由固有函数法,相应的固有函数系为 设方程的解为 代入原方程,得()2111020(1),.(0)(0)0(1,2,),1()0;1()sin sin .n n n n t n a u u t l u u n n u t l an u t t d al l l a t t a a l ππτττππππ=≠⎛⎞′′+=⎜⎟⎝⎠′===≠===−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫"" 由初始条件,得当时， 当时， 2(,)sin sin l l a u x t t t x a a l l ππππ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ 故所求的解为2110(0,0),(3)(0,)0,(,)0,(,0)0.,{sin}.(,)()sin .sin 22sin [1(t xx n n n n l n u a u A x l t u t u l t u x n x ln u x t u t x l n A A A x l n A A A xdx l l n πππππ∞=∞=⎧=+<<>⎪==⎨⎪=⎩====−∑∑∫ 解：由固有函数法相应的固有函数系为 设方程的解为 并将展为： ，其中 222()023321)].2[1(1)],(0)0.2()[1(1)]2[1(1)][1].(,n n n n n n a t tn l n n a t n ln a A u u l n u Au t e d n Al e n au x πτπππτππ⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠−⎧⎛⎞′+=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩=−−=−−−∫ 代入原方程可得得: 故所求的解为2233212)[1(1)][1]sin .n a tnl n Al n t e x n alπππ⎛⎞∞−⎜⎟⎝⎠==−−−∑()2211.224sin cos ,(2)(0,)0,(,)(0),(,0),(,0)()(0).(,)(,)().224sin cos ,(0,)(0ttxx t ttxx u a u x x l lu t u l t B t Bu x x u x x l x x l l u x t v x t w x v a v w x x l lv t w ππππ⎧=+⎪⎪==≥⎨⎪⎪==−≤≤⎩=+′′=+++求下列问题的解解：设问题的解为 将其代入上面的定解问题，得22222)0,(,)(),(,0)(),(,0)().224sincos 0,(0)0().4()sin.8(0,)0,(,)0,(,0)t tt xx v l t w l B Bv x w x x v x x l x l a w x x l lw w l B B l w t x x l a l v a v v t v l t v x ππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪⎪+==−⎩⎧′′+=⎪⎨⎪==⎩=+==== 化成下面两个问题：(1) ， 解得： (2) 12222022340(),(,0)().(,)cos sin sin .0,4;24sin sin 8, 4.824()sin t n n n l n l n Bx w x v x x l x l n a n a n v x t a t b t x l l l n l n a x xdx l l a l l n an l b x l x xdx n a l n ππππππππππ∞=⎧⎪⎪⎨⎪⎪−=−⎩⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠≠⎧⎪=−⋅=⎨−=⎪⎩=−⋅=∑∫∫ 解得： 其中， ()()43222441222[11].4[11]44(,)cos sin sin sin .844(,)(,)()1cossin 8nn n al l a n a n v x t t x t x a l l n a l l B l a u x t v x t w x x t x l a l l πππππππππ∞=−−−−=−+⎛⎞=+=+−⎜⎟⎝⎠∑ 则 因此，原问题的解为14..0,(2)(-)(),(-)().0().:0X X X X X X X x Be Ae Be A B λππππλ′′+=⎧⎨′′==⎩<=++=+−=−==⇒求下列问题的固有值与固有函数解：当时，方程的通解为 由边界条件，有， ； 得0()0.0().-0.:().0().sin ,X x X x Ax B A B A B A X x C X x A B A B A Bλππλ===++=+⇒==>=+−=++=− 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有22sin ;()0sin 0(1,2,);()cos sin .(0,1,2,),()cos sin .n n n n n n n n X x n n X x A nx B nx n n X x A nx B nx λλ+====+===+"""" 要不恒等于，则，得故，固有值 固有函数222()()0,(3)(1)()0.ln ,()0.0()00:x y x xy x y y y e x e x d y y d y x Be Bx A B Be τλτλττλ′′′⎧++=⎨==⎩==+=<=+=++=+=解：方程通过自变量代换 或 得: 当时，方程的通解为 由边界条件，有 ， ； 得))0()0.0()ln .0,0.:()0.0()cos ln sin ln .0,A B y x y x A B A x B B A y x y x A B A x B x A λτλ==⇒===+=+===>=+=+= 当时，方程的通解为 由边界条件，有 得当时，方程的通解为 由边界条件，有()()2220;()00(1,2,);()sin ln .(1,2,),()sin ln .n n n n n n B y x n n y x B n x n n y x B n x λππλπ========"""" 要不恒等于，则，得 故，固有值 固有函数。
2-数理方程与特殊函数-第一章
偏微分方程定解问题 • 定解问题的适定性
第二讲
数学物理方程与特殊函数
19
相应的物理规律 微分方程
密切相关
数学物理方程与特殊函数
守恒律
推导
质量守恒 动量守恒 能量守恒
应用动量定理建立弦振动方程？
第二讲
传输线方程
R 每回路单位长度的串联电阻 L每回路单位长度的串联电感 C每单位长度的分路电容 G每单位长度的分路电导
偏微分方程定解问题 • 定解问题的适定性
第二讲
数学物理方程与特殊函数
6
弦的横振动方程
数学物理方程与特殊函数
建立如图所示的坐标系，以
弦上一个小微弧段为研究对
象，
表示弦上各点在
时刻 t 沿垂直于x方向的位移。
在弦上取微小弧段，其长度 为
,
找到所研究物理量遵
循的物理定律
第二讲
弦的横振动方程
因为弦是完全均匀柔软的， 因此弦元只受切线方向的应 力-张力T的作用，而没有 法向应力。
2u( x, t ) t 2
a2
2u( x, t ) x 2
,a2
T
数学物理方程与特殊函数
一维波动方程 二阶线性齐次方程
其中 为弦的线密度（单位长度的质量）， 为弦的振动传播速度
T(x + dx) - T(x) = 0 T与位置x无关
T是一个常数
并且在小振动近似下，T与时间t也无关
理由，弦元的伸长量
25
梯度与散度
数学物理方程与特殊函数
• 散度 有矢量场 A，点M为场内的一点，在场内作一包含 M在内的闭曲面S，S包围的空间区域为V，体积记 为△V，则 A 通过S的通量为：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的 泊松方程狄氏问题解的积分表达式
解：(1) 球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式：
其大小为G(M,M0)=1/4πr；
其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导
电壳内M0处有正点电荷ε和它在边界面上产生的感应电 荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(M,M0),其大小为 G(M,M0)= 1/4πr-v (x, y, z)。
（b) 物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M0 )=-δ(M-M0)来 说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为ε(真空中 的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0), 其大小为G(M,M0)=1/2πlnr；
答：
u(M0 )
L
G dS n
Gf
D
( x,
y)d
例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？
采用什么方法求？
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
答: (1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。
(2) 采用镜像法
求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导 体壳S，在VS内M0处放置电量为ε0的正点电荷，由格 林函数物理意义：G(M,M0)等于V内电荷ε0与感应电荷 在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求： 在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷， 使它与ε0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的 电势叠加等于G(M,M0).
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
u1 f (M ), M V u2 f (M ), M V
u1 S (M )
u2 S (M )
令:U=u1-u2,则：
U 0, M V U S 0
由极值原理有： U 0 ，即 u1 u2
(b ) 解的稳定性证明：
设在S上给定了函数 , * 使得： * 且：
则称G(M,M0)为定义在DS上的平面狄氏格林函数。 (2) 物理意义是:
11
1
0.5 n 0
0.5
1
2
1.5
1
t1
0.8 0.6
(a) 物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M 0.5 00
0.4 x 0.2
0
)=-δ(M-M0)来
说，其物理意义是：空间中M0点处有一电量为ε(真空中
的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0),
G(M1; M 2 ) G(M 2; M1)
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？
答：
u(M 0 )
S
u
G(M , n
M0)
dS
G(M ,
V
M0)
fdV
例8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
数理方程与特殊函数
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
格林函数、贝塞尔函数、勒让得多项式复习
(一)、Green函数问题 (二)、贝塞尔函数问题 (三)、勒让得多项式问题
1
G(M , M0)
4
rMM0
rMM1
1
4
1
x x0 2 ( y y0 )2 (z z0 )2
1
x
x0
2
y
y0
2
(z
z0 )2
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 上半平面狄氏问题的Green函数
1
11
1
G(M , M0)
2、调和函数
要求:(1)掌握概念和性质的证明；
(2 ) 性质的应用(极值原理)
例4、求证泊松方程狄氏问题的解是唯一的、稳定的。 证明：泊松方程狄氏问题为： u f (M ), M V
u S (M )
(a ) 解的唯一性证明： 设定解问题有两个解u1与u2,则：
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
(a) 若G(M,M0)满足： G(M , M0 ) (M M0 ) G(M , M 0 ) S 0
M , M 0 VS
则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。
(b) 若G(M,M0)满足：
G(M , M0 ) (M M 0 )
G(M , M0 ) L 0
M , M 0 DS
u(M0)
1
4
S
1
r
(M
)
(M
)
n
1 r
dS
例2、求拉普拉斯方程洛平问题的解
u 0, ( x, y, z) V
u
S
1,
u n
S 0
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：由第三格林公式：
1 1
u(M 0 ) 4 S n rMM0 dS 1
u1 f (M ), M V u2 f (M ), M V
u1 S (M )
u2 S * (M )
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
令:U=u1-u2,则：
U 0, M V
U S *
由极值原理有：U 即证明了稳定性。
3、泊松方程狄氏问题格林函数
dS
1 4
V
1 r
f
(M
)
dV
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
拉普拉斯方程洛平问题为：
u uxx u yy uzz 0, ( x, y, z ) VS
u S ( x, y, z), (连续）
u
n
S ( x, y, z), (连续）
要求:(1)掌握狄氏问题格林函数概念和性质 (2)泊松方程、拉氏方程狄氏问题解的积分表达式
(3) 特殊区域上狄氏问题格林函数和对应的解的积分表达式
例5、什么是泊松方程狄氏问题格林函数？物理意义是什 么？
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
答: (1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为：
y)d
拉氏方程狄氏解为：
u(M
0
)
1
(x)
(x
y0 x0 )2
y02 dx
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例11*、求上半平面上拉氏方程狄氏解，边界条件为：
0, x 0 u(x, 0) u0 , x 0
3 dxdy
x
x0
2
y
y0
2
z02
2
22
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 上半平面内泊松方程狄式问题解的积分表达式：
G G
n
y
1
(x
y0 x0 )2
y02
所以得：
u(M
0
)
1
(x)
(x
y0 x0 )2
y02 dx
D
Gf
(x,
0.6 0.4 x 0.2
所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为：
u
x0 ,
y0 ,
z0
1
2
. .
. .
x, y z0
3 dxdy
x
x0
2
y
y0
2
z02
2
f (x, y, z)G(M , M0 )dxdydz V
而上半空间拉氏方程狄氏问题的解为：
u x0,
y0 ,
z0
1
2
. .
. .
x, y z0
S
V
V
第二格林公式：设u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SŲSV上有一阶连续 偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：
uv vu dS uv vudV
S
V
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第三格林公式：
设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格 林公式条件，则有：