平面几何与立体几何中的相似比

平面几何与立体几何中的相似比

高二何洁小组

组长：何洁

组员：沈剑、金玉香、徐蔚蓝 指导老师：杨岳明

1、课题的决定

当我们步入几何学的殿堂，相似比一直是一种重要的解题方略，在高中阶段，我们又学习了立体几何。在学习中，我们发现相似比的应用在平面几合和立体几何中有一定的关系。于是，我们对此进行了探讨。

2、小组的计划

由小组组成立以来，我们组的学员都非常的认真，细致。决心创造一篇成功的研究论文。 以下是我们的分工： 1）何洁担任打字工作 2）沈剑担任课题的编排工作 3）金玉香担任课题的寻找 4）徐蔚蓝担任课题的解释，提要。 第一周：完成选择课题。 第二周：初步确定课题。 第五周：编排。 第七周：出稿。

研究内容：

[例1]、如图，已知：DE//BC, AD=15,AB=40,AC=28

求：AE

分析：看到这一个题目,我们就想到了三角形中平行线成比例的问题. 此外我们还可以引申到相似三角形的相似比。 解：∵ DE//BC ∴

CE

AE

BD AD ∵DB=AB AD,AB=40,AD=15，

∴DB=25；

又 ∵ CE=AC 一AE ，AC=28

∴CE=28一CE ，∴

AE

AE

-=

282515； ∴AE=10.5。 解题要点：解决这一类题目的要领,最主要的还是掌握被平行线拦断的关系,不要把不同的线段混杂。

[例2]、如图，已知DE//BC,AF 是BC 边上的高,求证：S △ADE ：S △ABC =AE 2：AC 2 分析：解决这一类问题,我们首先会想到S=2

1

ah 这个公式,运用上题中的平行线关系,掌握线段的比例。

证明：∵DE//BC ∴

AC

AE

BC DE =

∵AF 是BC 边上的高,DE//BC ， ∴AH 是DE 边上高 ∵△ADE ∽△ABC ∴

AC

AE

AF AH =

又∵

ABC

ADE S S ∆∆=AF BC AH DE ∙∙2

1

21

∴ABC ADE S S ∆∆=2

2AC AE 解题要点：证明三角形面积比等于边长比的平方把握AC

AE

BC DE AF AH =

= ,再代入公式便易得结果。

初识几何学我们就学了平面几何中的相似比如例1中的“线段成比例”和例2中的

“面积成比例”等应用，到了高中我们从平面跳到了空间，虽然变了很多，但万变不离其中。

[例3]、已知直线l//平面α，点B, C, D ∈l, 且 A ∉α, 直线AB, AC, AD, 分别交平面α于点E,F,G 。若BD=a, AC=b, CF=c, 求：EG 长

分析：随着我们对接受信息能力的不断加强,为此,我们已不再仅限于平面,在空间上解决问题也是一门技术.。

解：∵直线l//平面α，点B, C, D ∈l, A ∉α

∴l ⊂平面ABCD 。平面ABCD ∩α直线=直线EFG ∴直线BCD//直线EFG , △AEG ∽△ABD

(Ⅰ) 当平面α在点A 和直线l 之间（如图所示） B C D l

即AC>CF 时 ∵

AC AF BD EF =

∴AC BD

AF EG ⋅= E F G ∵BD=a, AC=b, AF=b 一c

α ∴EG=b

c b a )

(-

A

(Ⅱ) 当直线l 在点A 和平面α之间（如图）即AC

AF

BD EG =

∴EG=b

c b a AC AF BD )(+=

∙

(Ⅲ) 当点A 在直线l 和平面α之间（如图）即CF>AF 时

∵BD EG =AC

AF

∴EG=AC AF BD ∙=()b

b c a -

解题要点：例3的解法运用了分类讨论,把图形位置的不确定的问题化归为确定的问题,粗看,似乎无法着手解答,为此,

分成”a 在点A 和L 之间””L 在点A 和a 之间””点A 在L 和a 之间”三类,再逐类求解.并运用上相似比的性质.问题既迎刃而解。

[例4]、已知：棱锥P 一ABCDE 中，平面α//平面AC, 且截得多边形A 1B 1C 1D 1E 1，PH ⊥平面AC ，PH ∩平面AC=H ，PH ∩平面α=H 1，（如图所示）

求证： ABCDE

E D C B A S S 11111=

22

1

PH PH =

2

2

1

PA PA

分析：随着我们对接受信息能力的不断加强,为此,我们已不再仅限于平面,在空间上解决问题也是一门技术

证明：∵截面α//平面AC ∴A 1B 1//AB ， B 1C 1//BC ， E 1A 1//EA

∴∠A 1B 1C 1=∠ABC ，∠B 1C 1D 1=∠BCD ， ∠E 1A 1B 1=∠EAB ∴△P 1A 1B 1∽△PAB ∴

PH PH 1=PA PA 1=AB

B A 1

1 PH PH 1=BC C B 1

1

∴BC C B 11=AB B A 11=EA A E 11

∴截面A 1B 1C 1D 1E 1F 1∽底面ABCDEF B

∴ABCDE

E D C B A S S 11111=

22

1

PH PH =

2

2

1

PA PA =

2

2

11AB B A

解题要点：相似比不仅在平面几何中能运用自如,在空间上也能随机应变,那么在立体几何分析中是否也能适用呢?那就让我们来探讨一下。

[例5]、斜平行六面体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中E 、F 、G 分别为相邻三棱B 1A 1、B 1B 、B 1C 1、

中点，求三棱锥B 1一EFG 和斜平行六面体的体积比。

分析：本题要求三棱锥与六面体的体积比,而求体积比一般就运用高的比,此题中高之比很容易求.再运用体积公式,此题便迎刃而解。

解：设F 到上底面距离为h 1，B 到上底面距离为h 2 A 1 D 1

∵ABCD 一A 1B 1C 1D 1是平行六面体，F 是BB 1∴

2

1

21=h h ∵

111111

11cos cos 21

1

1111B A B C B B E B G B S S D C B A EGB ∠⨯⨯∠⨯⨯⨯=∆=8

1

∵V B1一EFG =3

1

S △EGB1×h 1

V ABCD 一A1B1C1D1=S A1B1C1D1×h 2∴

48

1

2831111

1111=

⨯⨯⨯⨯=

--D C B A ABCD EFG B V V 。 解题要点：本题主要在于体积比与线段比。