空间点线面之间的位置关系

空间点、线、面之间的位置关系

【知识梳理】

1．平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的___两点_____在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过__这个公共点___的一条直线．

公理3：经过______不在同一条直线上______________的三点，有且只有一个平面．

推论1：经过_____一条直线和这条直线外的一点_______________，有且只有一个平面．

推论2：经过___两条相交直线_____________，有且只有一个平面． 推论3：经过____两条平行直线____________，有且只有一个平面．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

(2)异面直线判定定理

过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线．

(3)异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的____________叫做异面直线a ，b 所成的角．

②范围：____________.

答案：(1)平行 相交 (2)不经过该点 (3)①锐角或直角 ②⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，π2 3.同一条直线 4.相等

3．公理4

平行于______同一条直线______的两条直线互相平行．

4．定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角___相等_____．

【自我检测】

1．若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是 平行、相交或异面．

2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线____24____对．

3．三个不重合的平面可以把空间分成n 部分，则n 的可能取值为___4,6,7,8_____．

4．(2010·全国Ⅰ)直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成角的大小为__60°______．

将直三棱柱ABC —A 1B 1C 1补成如图所示的几何体．

由已知易知：该几何体为正方体．

连结C 1D ，则C 1D ∥BA 1.

∴异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠AC 1D (或补角)，

在等边△AC 1D 中，∠AC 1D ＝60°.

5．下列命题：

①空间不同三点确定一个平面；

②有三个公共点的两个平面必重合；

③空间两两相交的三条直线确定一个平面；

④三角形是平面图形；

⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；

⑥垂直于同一直线的两直线平行；

⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；

⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．

其中正确的命题是____④____(填序号).

【例题分析】

例1、如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于H ，连结EH .

(1)求AH ∶HD ；

(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．

(1)解 ∵AE EB ＝CF FB ＝2，∴EF ∥AC .

∴EF ∥平面ACD .而EF ?平面EFGH ，

且平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ，∴EF ∥GH .

而EF ∥AC ，∴AC ∥GH .

∴AH HD ＝CG GD ＝3，即AH ∶HD ＝3∶1.

(2)证明 ∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，

∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形．

令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ?平面ABD ，

P ∈FG ，FG ?平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，

∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点．

变式1

如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 相交于点O .

求证：B 、D 、O 三点共线．

证明 ∵E ∈AB ，H ∈AD ，

∴E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD .∴EH ?平面ABD .

∵EH ∩FG ＝O ，∴O ∈平面ABD .

同理可证O ∈平面BCD ，

∴O ∈平面ABD ∩平面BCD ，

即O ∈BD ，∴B 、D 、O 三点共线．

例2、如图所示，直线a 、b 是异面直线，A 、B 两点在直线a 上，C 、D 两点在直线b 上．求证：BD 和AC 是异面直线．

证明两直线为异面直线的方法：

1．定义法(不易操作)．

2．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或

相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

3．判定定理．

证明 假设BD 和AC 不是异面直线，则BD 和AC 共面，设它们共面于α.

∴A 、B 、C 、D ∈α，∴AB 、CD ?α，即a 、b ?α.

这与a 、b 是异面直线矛盾，故假设不成立．

∴BD 和AC 是异面直线．

变式2 如图是正方体或四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是___④____(填序号)．

例3、(2009·全国Ⅰ)已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为

____________34________________．

解题导引 高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求异面直线所成角的一般步骤为：

(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为

相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点

或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点．

(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．

(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．

(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．

如图，A 1D ⊥平面ABC ，且D 为BC 的中点，设三棱柱的各棱长为1，则AD ＝32，

由A 1D ⊥平面ABC 知A 1D ＝12，Rt △A 1BD 中，易求A 1B ＝14＋14＝22.

∵CC 1∥AA 1，∴AB 与AA 1所成的角即为AB 与CC 1所成的角．在△A 1BA 中，由余

弦定理可知cos ∠A 1AB ＝1＋1－122×1×1＝34

.∴AB 与CC 1所成的角的余弦值为34. 变式3 在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线

BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．