结构力学53结构位移计算的一般公式

l 2
0
x 2
1 2
qlx
1 2
qx2
dx
k GA
l 201 2源自1 2qlqx
dx
5ql4 kql2 384EI 8GA
A bh, I bh3 , k 1.2, G 0.4E 12
yC
5ql 4 384EI
1
2.4
h l
2
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
k F Q FQP ds GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
2FP
FP
00
2FP
0
00
00
FP
FP
1
1
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
FN 图
xB
F N FNP
EA
l
1 EA
1
FP
2d
2
4
虚拟力状态
yB
FP R3 EI
2
sin2
d
FP
R
0
EA
2
sin2
d
kFP
R
0
GA
2 cos2 d
0
FP R3 FP R kFP R 4EI 4EA 4GA
b h, h 1 , G 0.4E R 10
yB
FP R3
4EI
1
1 4
h R
2
1 12
h R
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。
其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
12
12
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。
已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
b h, h 1 , G 0.4E R 10
2
FP R3
4EI
1
1 400
1 1200
解：⑴ 实际状态的内力。
MP FP Rsin FNP FP sin , FQP FP cos
⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB
M M P ds EI
F N FNP ds EA
EI
截面系数：
k
A I2
A
S2 b2
dA
所以： K
F N FNP ds EA
k F Q FQP ds GA
M M P ds EI
⑴
梁和刚架： K
MMP EI
ds
⑵ 桁架： K
F N FNP l EA
⑶
组合结构： K
MMP EI
ds
F N FNP EA
ds
⑷ 拱：
K
求KJ两截面 的相对转角
求桁架位移时, 施加单位荷载的方法： 求C点的竖向位移
求CD杆与CF杆夹角的改变
求DE两点距离的改变 求CF杆的弦转角
§5-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
仅有荷载作用时：K
F N F Q 0 M ds
按照材料力学有：
FNP ,
EA
0
k
FQP GA
,
MP
解：⑴ 实际状态的内力。
MP FP Rsin FNP FP sin , FQP FP cos
⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB
M M P ds EI
F N FNP ds EA
k F Q FQP ds GA
M MP ds EI
F N FNP ds EA
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
解：⒈ 求C点的竖向位移。
当0≤x≤l/2:
MP
1 2
qlx
1 qx2 , 2
M
1 2
x,
FQP
1 2
ql
qx
FQ
1 2
yC
2
l 2
0
MMP EI
dx
l 2
k
F Q FQP
dx
0 GA
2
1 EI
§5-3 结构位移计算的一般公式 单位荷载法
We 1 K F Rc
由虚功方程(5-3)有： We
F N F Q 0 M ds
于是, 得：
K
F N F Q 0 M ds F Rc
求刚架位移时, 施加单位荷载的方法：
求K点的竖向位移
求K点的水平位移
求K截面的转角
求KJ两点的 相对线位移
FP d EA