两种几何刚度矩阵
关于YJK与PKPM计算的对比和区别
关于YJK与PKPM计算的对⽐和区别关于YJK与PKPM计算的对⽐和区别YJK与SATWE都采⽤三维的杆单元计算梁柱、采⽤壳单元计算剪⼒墙和楼板（楼板或使⽤膜单元），从这点来说两者相同。
但是YJK正是根据SATWE不能满⾜⽬前⼯程需要的⼤量要求出发，采⽤了⽐SATWE更加先进的⼒学有限元计算分析技术，⼒学有限元是⼀个与⼯程设计不同的技术领域，YJK使⽤了当今在该领域产⽣的⼤量先进技术，从⽽适⽤⽬前越来越复杂的⼯程计算YJK的⼒学有限元核⼼计算，采⽤了北京⼤学⼒学系陈璞教授团队的成果，陈璞教授曾任北京⼤学⼒学系主任，是袁明武教授SAP84团队的核⼼⾻⼲，他作为博⼠后留学各国⼗⼏年，在美国CSI公司也⼯作过，陈璞教授在⼯程计算⽅⾯具有深厚造诣，在静动⼒计算和求解器⽅⾯应属于国内顶尖的专家。
YJK的⼒学有限元核⼼计算⽅⾯的改进如下，1、采⽤了当今该领域⼤量先进技术如死活单元技术实现⼀种模型多项计算；合理应⽤偏⼼刚域、主从节点、协调与⾮协调单元等技术（简称MPC），即令指定的⾃由度与⼀个或多个⾃由度建⽴某种关系，⽤在构件偏⼼处理、短梁短墙归并、刚性楼板、刚性连接、墙墙不协调关系等很多⽅⾯，可避免计算异常、提⾼计算的稳定性和减少计算单元数量；在墙元的优化计算及准确性、适应性及稳定性计算⽅⾯做了⼤量改进；局部振动判别查找模型缺陷；有效质量系数⾃动达标算法；新的偶然偏⼼算法（瑞利-⾥兹投影反射谱法）；新的重⼒⼆阶效应算法等。
2、补充了很多SATWE缺失的功能⽐例阻尼算法：计算地震作⽤时可对砼结构和钢结构组成的混合结构按照不同阻尼⽐计算，它按照应变能加权平均的⽅式计算等效阻尼⽐，属于抗震规范10.2.8条要求的“振型阻尼⽐法”；R itz向量法计算地震作⽤：⽤于地震作⽤质量参与系数不容易算够的情况，如较⼤规模的多塔结构、⼤跨的体育场馆结构、平⾯规模较⼤的结构、竖向地震作⽤计算等，该⽅法在Etabs、Midas等软件也有提供；⾃定义节点约束和⽀座信息：指定两节点间的约束关系和弹性刚度，指定⽀座的弹簧刚度或者强制位移，⽤于结构不同部分之间的复杂连接；指定构件施⼯次序：按照Etabs、Midas等软件的类似功能⽅式，适应任意施⼯次序，从⽽加强层伸臂桁架、砼核⼼筒与外钢框架、上连体等复杂施⼯次序结构准确计算；墙元能⽀持⾯外荷载，解决了地下室外墙的⽔⼟压⼒计算等墙受⾯外荷载的计算问题。
第二章 刚度矩阵法
平面板架
fz M x M yT
z
x
T y
§2.2 位移模式
位移模式是建立起单元内任一点位 移与节点之间的关系 •轴向变形 •扭转变形 •弯曲变形
•轴向变形
ux abx
I
J
ix a bx a jx a bL
L
ΔL
b jx ix
i
L
j L
ux
ix
jxix
L
x
•扭转变形
x abx
i
yxco y ,x ') s ( yco y ,y ') s ( zco y ,z ') s( zxco z ,x ') s ( yco z ,y ') s ( zco z ,z ') s(
lx cx o ,x ')s m ,x( cx o ',y ) s n x , (cx o ',z )s(
j
L
ix a bx a
jx abL
b jx ix
L
x ixjxLix x
•弯曲变形
Ma xbMEI源自d2y dx2d2 y M dx2 EI
Mi
θi
i
F iy
iy
ya3xb2xcx d
(-)
F jy
Mj
θj
j
jy
M (+) Q
§2.3 刚度矩阵
杆件的位移模式： uN
杆件的几何方程： NB
T l y
my
n
y
l z m z n z
T
§2.5 基本步骤
•单元刚度矩阵的建立：
Kee f e f TF
KeTe TFe
框架柱侧移及挠曲二阶效应的单元几何刚度矩阵
图 悬臂柱二 阶内力
综 上 所 述 ， 阶 效 应 可 视 为 构 件 或 结 构 变 形 对 外 力 效 应 影 响 的 一 种 度 量 ， 包 括 Ｐ 一 效 应 和 Ｐ 一６ 二 它 △
效应 ， 即侧移效 应 和挠 曲效应 ， 也 因二 者都 由轴 力引起 故 又 合称 轴 力效 应 ． 面 ， 下 以框架 柱 单元 为 例 ， 分
定 问题 中 ， 阶效应 （ 常称 为 Ｐ一 二 通 ６效 应 ） 分 析 必 不 可 少 ． 者 拟 对 Ｐ 一 的 作 ６与 Ｐ 一 这 两 种 二 阶效 应 加 以 △ 明确 的对 比分析 ， 出二者 的不 同之处 ， 以框 架柱单 元 为例 ， 别推 出与 二者对 应 的单元 刚度矩 阵． 指 并 分
Ｃ：— 竺
，
（ ａ ３） （ ｂ ３）
ｓ：
ｇ ｕ
一
ＥＩ
．
２ｇ ｔ
，
—
—
—
』 一 一 —
ｆ） ｃ
（） ａ
（） ｂ
图 ２ 有侧 移 框 架 柱 分 析
２ ３ 二 阶 效 应 对 应 的 单 元 几 何 刚 度 矩 阵 ．
Ｕ
。
图 ３表 示 框 架 柱 单 元 的 单 元 坐 标 系 和 柱 端 力 、 柱
柱端位 移 ６ ：［ ， ０， ］． ， ｕ， ， Ｔ
根据转 角位移方程 ２和上述 单元坐标 系 中的规定 ， 杆端力 可表示 如下 ： 各
Ｐ竽 ：
＝ ＋Ｐ 丁 Ｄ＝ ¨
，
（ ｃ １＋ ）
，
Ｍ＝ ｃ一１ｃ 叫一＝ （ Ｓ＋ｏＳ ＋）／ Ｐ竽 Ｏｓ， （ － －’ －
ＥＡ． Ｅ１
三角形3节点单元刚度矩阵的具体计算
三角形3节点单元刚度矩阵的具体计算首先，我们需要了解三角形3节点单元的几何形状及节点编号。
三角形3节点单元有三个节点，每个节点有两个坐标值，分别是(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)。
对应的节点编号依次为1，2，3接下来，我们将通过数学推导的方式得到三角形3节点单元的刚度矩阵。
1.定义本地坐标系为了简化计算，我们首先引入本地坐标系。
本地坐标系的原点位于三角形的重心，x轴正方向与第1节点连线的方向一致，y轴正方向与x轴正方向在平面内法向量方向一致。
在本地坐标系下，我们可以将三角形3节点单元表示为：```x1=0,y1=0x2=L,y2=0x3=a,y3=b```其中，L是第1节点到第2节点的距离，a和b是第3节点相对于第1节点的坐标。
2.计算本地坐标系下的刚度矩阵在本地坐标系下，我们可以得到单元刚度矩阵Ke的表达式：```Ke=λ*[(b^2+L^2)/4,-a*b/4,-(b^2+L^2)/4,a*b/4,(b^2+L^2)/4,-a*b/4;-a*b/4,(a^2+L^2)/4,a*b/4,-(a^2+L^2)/4,-a*b/4,(a^2+L^2)/4;-(b^2+L^2)/4,a*b/4,(b^2+L^2)/4,-a*b/4,-(b^2+L^2)/4,a*b/4;a*b/4,-(a^2+L^2)/4,-a*b/4,(a^2+L^2)/4,a*b/4,-(a^2+L^2)/4;(b^2+L^2)/4,-a*b/4,-(b^2+L^2)/4,a*b/4,(b^2+L^2)/4,-a*b/4;-a*b/4,(a^2+L^2)/4,a*b/4,-(a^2+L^2)/4,-a*b/4,(a^2+L^2)/4]```其中，λ是三角形的面积，可以通过海伦公式计算：```s=(L+a+b)/2λ = sqrt(s * (s - L) * (s - a) * (s - b))```3.从本地坐标系转换到全局坐标系最后，我们需要将本地坐标系下的刚度矩阵转换到全局坐标系下。
单元类型及单元刚度矩阵课件
面积单元的刚度矩阵可以通过解析方 法或数值方法计算得到。
它具有四个节点，每个节点具有三个 自由度：x、y和z方向的位移。
体积单元
体积单元是一种几何 形状，通常用于模拟 结构中的三维实体或 区域。
体积单元的刚度矩阵 可以通过解析方法或 数值方法计算得到。
它具有八个节点，每 个节点具有三个自由 度：x、y、z方向的 位移。
移。
线性单元的刚度矩阵可以通过解 析方法或数值方法计算得到。
角点单元
角点单元是一种特殊类型的线 性单元，通常用于模拟结构中 的角点或连接两个线性单元的 节点。
它具有三个自由度：x、y和z方 向的位移。
角点单元的刚度矩阵可以通过 解析方法或数值方法计算得到。
面积单元
面积单元是一种几何形状，通常用于 模拟结构中的平面区域或曲面上的小 区域。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文， 单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最终 呈现发布的良好效果单击此4*25}
通过稳定性分析，可以评估结构的承载安全性和预防 失稳的措施。
PART 04
单元类型选择与注意事项
选择依据
计算精度
根据模型精度要求选择合适的单 元类型，例如，对于复杂形状或 精细结构，应选择高阶单元以提
2023 WORK SUMMARY
单元类型及单元刚度 矩阵课件
REPORTING
CATALOGUE
• 单元类型介绍 • 单元刚度矩阵
PART 01
单元类型介绍
线性单元
线性单元是一种简单的几何形状， 通常用于模拟结构中的直线段或 平面区域。
它具有两个节点，每个节点具有 三个自由度：x、y和z方向的位
梁杆结构几何非线性有限元的数值实现方法
NUMERICAL IMPLEMENTATION OF GEOMETRICALLY NONLINEAR FINITE ELEMENT METHOD FOR BEAM STRUCTURES
CHEN Zheng-qing
(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)
= tσ ij + ∆∗T ij = ∆∗ Eij
(1) (2)
而它在 t+Δt 时刻柯西应变就等于其增量：
t + ∆t t Eij
式中， ∆ Eij 为：
∗
∆∗ Eij = ∆∗ε ij + ∆∗ηij 1 ∆∗ε ij = (∆ui ,j + ∆u j ,i ) 2 1 ∆∗ηij = ∆uk ,i ∆uk ,j 2
———————————————
收稿日期：2013-05-01；修改日期：2014-03-06 基金项目：国家自然科学基金项目(91215302) 作者简介： 陈政清(1947―)， 男， 湖南湘潭人， 教授， 博士， 湖南大学风工程研究中心主任， 主要从事结构振动与控制研究(E-mail: zqchen@).
(3) (4) (5)
44
工
程
力
学
E G [ t kαβ ]{∆qα } = {t+ ∆t Pβ − tψ β } + t kαβ
仍然假定变形体的应变增量是小应变，应 力应变增量关系可以记为：
(14) (15) (16)
′ ∆∗ε kl ∆∗T ij = Cijki
功增量方程如下： ′ = A3 ′ − A4 ′ A1′ + A2 式中：
结构二阶效应直接几何刚度法的组合系数取值
结构二阶效应直接几何刚度法的组合系数取值引言在结构工程中，了解和计算结构的刚度是非常重要的。
刚度是指结构在受到外部力作用时所产生的变形抵抗能力。
而对于复杂的结构系统，如高层建筑或桥梁等，为了更准确地计算刚度，需要考虑到二阶效应。
二阶效应是指由于结构自身非线性或非稳定性引起的附加变形和附加力效应。
在计算结构刚度时，需要将这些二阶效应考虑进去，以获得更准确的结果。
而直接几何刚度法是一种常用的计算方法，可以用来考虑二阶效应。
本文将介绍直接几何刚度法中组合系数取值的相关知识，并详细解释其原理和计算方法。
直接几何刚度法直接几何刚度法是一种通过基于位移进行分析来确定结构刚度的方法。
它假设结构中所有节点都处于平衡状态，并且每个节点都有一个位移向量。
通过建立节点位移与节点力之间的关系，可以得到整个结构系统的刚度矩阵。
在直接几何刚度法中，结构的刚度矩阵可以表示为：[K]=[K e]+[K g]其中，[K]是总刚度矩阵，[K e]是线弹性刚度矩阵，[K g]是二阶效应引起的附加刚度矩阵。
二阶效应的组合系数二阶效应引起的附加刚度矩阵[K g]可以通过组合系数来计算。
组合系数是用于考虑不同载荷情况下的附加刚度，并将其与线弹性刚度相结合。
对于直接几何刚度法中的组合系数取值，有多种方法和理论可供选择。
以下是常用的几种方法：1. 索利斯-佛赖德曼法（SOLIS-FRIEDMAN METHOD）索利斯-佛赖德曼法是一种常用的计算组合系数的方法。
它基于结构系统各个部分之间相互作用的考虑，通过对结构进行分析和试验来确定组合系数。
该方法中，组合系数可以表示为：δ=13⋅PP0其中，δ为组合系数，P为实际应力，P0为线弹性应力。
2. 共轭比例法（CONJUGATE RATIO METHOD）共轭比例法是另一种常用的计算组合系数的方法。
它基于结构系统的共振频率和阻尼比来确定组合系数。
该方法中，组合系数可以表示为：δ=√1+(ωω0)2(2ξ)2其中，δ为组合系数，ω为实际频率，ω0为线弹性频率，ξ为阻尼比。
桥梁施工临时结构强度和稳定性分析
桥梁施工临时结构强度和稳定性分析0 引言桥梁工程是土木工程的重要分支之一，一直以来都在国家基础设施建设中扮演着举足轻重的角色。
其中，桥梁施工临时结构是桥梁主体施工过程中辅助性的临时结构措施。
在主体工程完工之后，临时结构应被全部撤除，虽然临时结构只作为一种暂时性的结构体系设施，但在桥梁全桥施工过程中所起的作用不可小觑，施工中临时结构的优劣不但和桥梁的安全密切相关，还会影响到民生和经济。
临时结构不合理，直接造成桥梁主体成桥线形扭曲和受力状态不合理，对桥梁产生结构性破坏，从而进一步导致一些重大事故和安全隐患。
近年来，在公路、铁路和矿山等工程作业中，安全事故连续不断，不但影响了工程总体进度，还对经济造成重大损失，给社会带来了不良影响[1-5]。
究其原因，临时结构的施工不当、强度不够和结构性失稳是导致桥梁安全隐患的重要因素。
所以，桥梁施工临时结构的建造，无论是在设计中，还是在施工时，强度和稳定性分析是不可或缺的[6-8]。
1 桥梁施工临时结构概述1.1 桥梁施工临时结构分类桥梁施工临时结构复杂多样，但大致可以归纳为以下几类：①水上基础施工临时栈桥、船舶、平台等；②桥梁施工用的起重设备、吊门、悬索吊、浮吊等；③桥梁上部结构施工时使用的大型挂篮、悬拼吊机等拼装设备；④桥墩桥台及主梁段混凝土施工中使用的模板和支架；⑤水下基础施工使用的沉箱、双臂钢围堰、钢板桩围堰、临时用栈桥等。
1.2 桥梁施工临时结构的分析与设计临时结构施工不当导致桥梁事故频发，原因较为复杂，但可防微杜渐。
施工企业对临时结构设计和施工不够重视，认为建设项目工期、材料成本和设计时间等因素会影响企业收益，施工过程中粗糙作业。
另外，设计过程中设计者缺乏严谨的结构计算，致使临时结构失稳、倾覆和倒塌，桥梁主体结构没法成桥，甚至涉及人员伤亡及财产损失。
因此，施工临时结构的安全性对设计者来说是一个重大考验。
施工临时结构设计是桥梁主体结构施工进程中的重要步骤，同主体结构体系设计一样包含结构假定和验算优化两个阶段。
弹簧系统的刚度矩阵例题
弹簧系统的刚度矩阵例题摘要：：1.弹簧系统刚度矩阵的概念2.弹簧系统刚度矩阵的计算方法3.弹簧系统刚度矩阵的应用举例4.总结第二步撰写正文：弹簧系统的刚度矩阵是描述弹簧系统弹性变形能力的一个重要参数，它在弹簧系统的分析与设计中具有重要作用。
本文将介绍弹簧系统刚度矩阵的概念、计算方法和应用举例。
一、弹簧系统刚度矩阵的概念弹簧系统的刚度矩阵是一个重要的力学参数，它表示弹簧系统在受到外力作用时的变形能力。
刚度矩阵的元素表示弹簧系统各部件之间的相互影响程度。
刚度矩阵的计算方法主要有两种：一种是根据弹簧系统的几何形状和材料特性计算；另一种是通过实验测量得到。
二、弹簧系统刚度矩阵的计算方法1.基于几何形状和材料特性的计算方法弹簧系统刚度矩阵的计算可以根据弹簧系统的几何形状和材料特性进行。
这种方法的计算过程相对复杂，需要考虑弹簧的材料、截面形状、长度等因素。
通常采用矩阵力学方法或有限元方法进行计算。
2.基于实验测量的计算方法弹簧系统刚度矩阵的另一种计算方法是通过实验测量得到。
这种方法需要在实验室对弹簧系统进行加载实验，通过测量弹簧的变形量来计算刚度矩阵。
实验方法包括静态拉伸试验和动态试验等。
三、弹簧系统刚度矩阵的应用举例弹簧系统刚度矩阵在许多工程领域都有广泛的应用，例如汽车、飞机等交通工具的悬挂系统，建筑物的抗震结构等。
在这些应用中，弹簧系统刚度矩阵可以帮助工程师分析弹簧系统的弹性变形能力和受力情况，从而优化设计方案，提高系统的性能。
综上所述，弹簧系统刚度矩阵是描述弹簧系统弹性变形能力的重要参数，其计算方法有多种，并在工程领域中具有广泛的应用。
常用单元的刚度矩阵
rur r u r =-+=πππεθ22)(2由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变θr v 和r v θ均为零。
将应变写成向量的形式，则{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=r w z u z w r u r u rz z r γεεεεθ根据上式，可推导出几何方程{}[]{})(e B ϕε=其中几何矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆=ij jikiikjkkj ji ik kj k j i ijkjjkz r z r z rr r r r z r N r z r N r z r N z z z B 0000),(0),(0),(00021 3.弹性方程和弹性矩阵[D]依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为[])(1θσσσε+-=z r r u E [])(1z r u E σσσεθθ+-=[])(1θσσσε+-=r z z u Erz rz Er τμ)1(2+=所以弹性方程为{}[]{}εσD = 式中应力矩阵{}{}T rz z r τσσσσθ=弹性矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+=221000010101)21)(1(μμμμμμμμμμμμED 4.单元刚度矩阵[])(e k与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(在柱面坐标系中，drdz dV π2=将drdz dVπ2=代入[][][][]dVB D B k VTe ⎰=)(，则[][][][]rdrdz B D B k T e ⎰⎰=π2)(即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。
与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]内有的元素（如rz r N i ),(等）是坐标r 、z 的函数，不是常量。
刚度矩阵单位
刚度矩阵单位
刚度矩阵是结构力学中的重要概念，用于描述材料或结构在受力时的刚性程度。
它是一个方阵，其元素代表了结构在不同方向上的刚度值。
在建筑设计中，刚度矩阵起到了至关重要的作用。
它可以帮助工程师准确计算结构在受力时的变形和应力分布，从而确保结构的安全性和稳定性。
刚度矩阵的计算通常需要进行复杂的数学推导和计算，但在这里，我将以人类的视角来描述其作用和重要性。
刚度矩阵可以看作是一种结构的“硬度指标”，类似于材料的硬度。
在力学中，我们通常将结构的刚度定义为单位载荷下的应变程度。
刚度矩阵的每个元素都代表了结构在不同方向上的刚度值，可以看作是结构在受力时的“刚度指纹”。
举个例子来说，假设我们正在设计一座高楼大厦。
在计算刚度矩阵时，我们需要考虑结构在不同方向上的刚度，包括横向和纵向的刚度。
这些刚度值将直接影响到结构的抗震性能和稳定性。
在设计过程中，我们通常会根据建筑物的结构形式和材料的性质来确定刚度矩阵的数值。
例如，钢结构的刚度矩阵通常会比混凝土结构的刚度矩阵要大，因为钢材具有更高的弹性模量和刚度。
刚度矩阵的准确计算对于结构的设计和分析至关重要。
工程师们需要根据结构的力学特性和受力情况，利用数学方法和计算工具来推
导刚度矩阵的数值。
这个过程可能会非常复杂，需要考虑到各种因素，如结构的几何形状、材料的性质和边界条件等。
刚度矩阵在结构力学中起着重要的作用。
它是一个描述结构刚性的数学工具，能够帮助工程师准确计算结构的变形和应力分布。
通过合理计算和分析刚度矩阵，我们能够确保结构在受力时的安全性和稳定性，为人们提供更安全、舒适的建筑环境。
两节点曲线索单元精细分析的非线性有限元法
图1 Fig.1
索单元的坐标系
Reference frame of cable element
根据抛物线假定，取索的单元位移模式如下： u = Φ 1u1 + Φ 2 u 2 (1) v = Φ1v1 + Φ 2 v 2 w = Φ 1w1 + Φ 2 w 2 − ∆ f 其中
Φ1 = 1 − x / L, Φ2 = x / L
{u}e = {u1 v1 w1 u2 v2 w2 }T
(10)
为节点位移列向量； 0 0 Φ2 0 0 Φ1 [N] = 0 Φ1 0 0 Φ2 0 −Φ 3 0 Φ1 Φ 3 0 Φ 2 为形函数。 其中，Φ1 和 Φ 2 同前，Φ 3 = 6Φ 1Φ 2 f e / L 。 其中
要： 从 UL 列式的虚功增量方程出发，引入索的基本假定，推导出了两节点曲线索单元切线刚度矩阵
的显式；同时根据索的特性还导出了精确计算索单元索端力的表达式，从而建立起了一套完整的对拉索进 行精细分析的非线性有限元法。应用本文方法，可进行大跨度悬索桥、斜拉桥以及张拉结构等的非线性有 限元分析计算。算例结果表明，本文方法是精确有效的。 关键词： 索支承桥；张拉结构；非线性有限元；两节点曲线索单元 中图分类号： O242.21 文献标识码： A
2
基本假定和位移模式
2.1 基本假定 1. 索在弹性阶段工作； 2. 大位移小应变假定； 3. 索是理想柔性的， 只能承受拉力而不能受压 和抗弯； 4. 考虑索的自重影响， 假设索的几何形状为二 次抛物线。 2.2 位移模式 如图 1 所示，A 、B 为索单元的两节点，OXYZ 为结构整体坐标系， oxyz 为索单元的局部坐标系， 其中， x 轴为索的弦长方向， xz 为索平面， xyz 构 成右手直角坐标系， u 、 v 、 w 分别为索截面沿 x 、 y 、 z 方向的位移， u1 、 v1 、 w1 和 u 2 、 v 2 、 w2 为 相应的节点位移。
一端固定,一端自由梁的刚度矩阵
一端固定,一端自由梁的刚度矩阵一端固定、一端自由的梁是一种常见的结构形式，也是实际工程中常遇到的情况。
梁的刚度矩阵是用来描述梁在受到荷载作用时的刚度性能的工具。
本文将从以下几个方面详细介绍一端固定、一端自由梁的刚度矩阵。
一、梁的基本理论梁是一种在结构力学中广泛应用的结构元素，一端固定一端自由的梁是由于支座的限制而导致了一端的约束。
根据梁的基本力学原理，梁在受到荷载作用时会出现挠度和剪力等变形。
而一端固定的梁由于受到固定约束，因此在该固定端处没有位移和旋转。
二、梁的刚度矩阵梁的刚度矩阵是用来描述梁在各个自由度上的刚度的工具。
一个典型的一端固定、一端自由梁有四个自由度，分别是垂直位移、旋转、剪力和弯矩。
因此，刚度矩阵是一个4×4的矩阵，其中每个元素代表了梁在相应自由度上的刚度。
三、计算梁的刚度矩阵计算梁的刚度矩阵需要先确定梁的材料属性和几何参数。
材料属性包括梁的弹性模量和截面惯性矩，几何参数包括梁的长度和截面高度、宽度等。
计算刚度矩阵的方法可以通过梁的弯曲方程和悬臂梁的基本解得出。
首先，针对一端固定的梁，在固定端上的位移和旋转为零，因此可以通过应变能势能原理来推导出其刚度矩阵。
考虑到梁的弯曲和剪切变形，可以得到以下刚度矩阵的表达式：```[K] = [Kb] + [Ks]```其中，[K]是整个梁的刚度矩阵，[Kb]是弯曲刚度矩阵，[Ks]是剪切刚度矩阵。
弯曲刚度矩阵可以通过梁的截面性质和弹性模量计算得到，剪切刚度矩阵由梁的剪切模量和几何参数决定。
```[Kb] = E×I/L^3 × [6 0 0 0;0 12 L^2 -12L;0 L^2 -6L 6L;0 -12 6L^2 -12L^2]``````[Ks] = G×A/L × [1 0 0 0;0 A 0 -A;0 0 0 0;0 -A 0 A]```其中，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩，L是梁的长度，G 是梁的剪切模量，A是梁的截面面积。
几何刚度矩阵推导
几何刚度矩阵推导几何刚度矩阵（Geometric Stiffness Matrix）是用于描述结构系统在非线性变形状态下的刚度特性的矩阵。
假设我们有一个单元（element）或者结构系统，其中的节点（node）可以通过某种连接方式相互连接。
每个节点都有自己的位置坐标，我们可以用一个向量表示节点的位移。
在非线性变形状态下，节点的位移不再满足线性关系，因此我们需要考虑非线性效应。
几何刚度矩阵就是用来描述这种非线性效应的。
假设我们有一个单元或者结构系统，其中的节点数为n，每个节点的位移为u，节点的刚度为K。
我们可以将节点的位移表示为一个n 维的向量u = [u1, u2, ..., un]。
几何刚度矩阵的推导可以通过以下步骤进行：1. 假设我们有一个节点的坐标为X，其在非线性变形状态下的坐标为x。
则节点的位移可以表示为u = x - X。
2. 根据位移的定义，我们可以得到节点位移的梯度矩阵B，其定义为：B = dN/dx其中，N为形函数矩阵，表示节点的形状函数。
dN/dx表示形函数对x的导数。
3. 根据胡克定律，节点的力可以表示为F = K*u，其中K为节点的刚度矩阵。
4. 将节点的位移表示为u = x - X，并代入节点的力的表达式中，可以得到：F = K*(x - X)将上式两边同时对x求导，可以得到：dF/dx = K这个方程表明几何刚度矩阵等于节点的刚度矩阵，即：K_geo = dF/dx将节点的力的表达式展开并代入梯度矩阵的定义中，可以得到： K_geo = B^T*K其中，B^T表示B的转置矩阵。
这就是几何刚度矩阵的表达式。
几何刚度矩阵描述了结构系统在非线性变形状态下的刚度特性，对于非线性分析和非线性材料模型的建模具有重要的作用。
自由度凝聚
自由度凝聚静力凝聚是论坛的一个老话题了，这里先作一个总结，然后给出论坛中关于该话题的索引。
请大家多提意见。
自由度凝聚是缩减自由度的一种方法，一般是通过用外部(或主)自由度表示内部(或从)自由度，从而使方程中去掉内部(或从)自由度的一种做法。
对于存在铰接点的梁单元，由于铰接点的弯矩为0是已知的，因此可以减少一个自由度，又由于铰接点处各梁的转角不一致，因为转角自由度可以凝聚掉，或者称为自由度释放。
一般自由度凝聚是在单元级别上进行的，用于子结构时可以将子结构看成是一个超级单元。
自由度凝聚的主要作用是(1)向外部提供统一的接口，如需要凝聚的单元与通常单元相连接时(2)减少数据的准备与输入，如子结构法。
(3)减少系统的求解规模。
常用自由度凝聚的几种单元：(1)端部带弹簧或者铰的梁单元(即存在半刚接连接的梁单元，铰接视为特例)，这样对外而言都是6(平面)或者12(空间)的自由度。
(2)平面或者空间的Wilson单元，因为存在2(空间块体元为3)个内部自由度，而且这些自由度的位置未知，必须进行自由度凝聚。
(3)子结构：子结构看成为超级单元。
采用子结构可以减少数备准备与输入、减少求解规模等。
自由度凝聚分为静力自由度凝聚和动力自由度凝聚两种。
需要注意的是如果存在单元荷载，那么可以先按母单元来计算单元荷载向结点荷载的移置，然后用自由度凝聚的方法来计算凝聚后的荷载项。
在非线性分析时，应该是先生成相应时刻的母单元的刚度矩阵，然后再进行自由度凝聚，而不是只对线性刚度作凝聚。
论坛中关于自由度凝聚的索引什么是静力凝聚？/forum/viewthread.php?tid=28735&h=1&bpg=1&age=30考虑半刚性与几何非线性的梁元程序/forum/viewthread.php?tid=38210&h=1#1757543D 框架几何非线性时程分析问题(动力凝聚)/forum/viewthread.php?tid=21006&h=1#149408自由度聚合(B4. 非线性与预应力)/forum/viewthread.php?tid=22270&h=1#107953关于半刚半铰梁单元的一致质量矩阵的疑问参考文献[1]王勖成，邵敏编，有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社，北京，1997。
北航材料力学第二册刚度矩阵
北航材料力学第二册刚度矩阵
北航材料力学第二册是一本涉及材料力学的教材，其中涉及到
了刚度矩阵的内容。
刚度矩阵是描述材料在受力作用下的应变和应
力之间关系的重要工具。
刚度矩阵通常用于描述材料的线性弹性行为，它是一个描述材料刚度和几何形状的矩阵。
在材料力学中，刚
度矩阵的表示形式可以根据具体的应力和应变的关系来确定。
刚度矩阵的具体形式取决于所研究的材料的性质和几何形状。
在弹性力学中，刚度矩阵可以通过材料的弹性模量和泊松比来确定。
对于各向同性材料，刚度矩阵是对称的，而对于各向异性材料，刚
度矩阵则是非对称的。
刚度矩阵的计算通常涉及到复杂的数学运算
和理论推导，需要通过课程学习和实际应用来掌握。
在材料力学第二册中，关于刚度矩阵的内容可能涉及到刚度矩
阵的定义、计算方法、应用等方面的知识。
学习者需要通过理论课
程学习和实验实践来深入了解和掌握刚度矩阵的相关知识。
总的来说，刚度矩阵是材料力学中一个重要的概念，它描述了
材料在受力作用下的应变和应力之间的关系，对于材料的力学性能
分析和工程应用具有重要意义。
希望我的回答能够帮助你更好地理解刚度矩阵的相关内容。
2 几何刚度
几何刚度
做几何非线性分析时，经常碰到这个概念，各种学习资料解释时，出现这样几句话：
1 非线性分析时，几何刚度初始荷载的影响的影响将反应到内力中去，因此不需要给单元添加初始荷载；
2 线性分析时，几何刚度初始荷载只对几何刚度有影响，并不会反应到内力中去，需要给单元添加初始荷载。
理解这个概念，首先要明白几何刚度初始荷载的功能：形成结构的几何刚度矩阵，只有刚度意义，不含内力。
几何刚度在大位移分析和小位移分析（P-deta)中都能使用，对应程序中的大位移/几何刚度初始荷载和小位移/初始单元内力。
不同之处：
1 进行非线性分析时，是在变形后的位置建立平衡方程，产生初始的几何刚度荷载工况对应的内力状况会迭代出来，即在特定的几何刚度下，要达到平衡状态，不作用任何外荷载时，程序能计算出对应的内力。
因此，虽然不含内力，但几何刚度初始荷载的影响将反应到最后的内力中去，不需要给单元添加初始荷载。
2 进行线性分析时，是在变形前的位置建立平衡方程，在没有外荷载作用下，内力对应为0，小位移/初始单元内力只能影响结构的刚度，如要考虑内力，需要给荷载工况添加单元内力。
3 进行非线性分析时，几何刚度会变化；进行线性分析时，初始单元内力（几何刚度）不变化。
刚度矩阵法
x y z T
x y z T
空间刚架 f x f y f z M x M y M z x y z x y z
平面板架
f z M x M y T
z x y T
§2.2 位移模式
位移模式是建立起单元内任一点位 移与节点之间的关系 •轴向变形 •扭转变形 •弯曲变形
总刚度方程的建立：
Κee F e
Κ F
Κ Κe
•单元刚度矩阵的建立 •引入边界条件 •求解刚度方程组 •求解应力
y x cos(y, x' ) y cos(y, y' ) z cos(y, z' ) z x cos(z, x' ) y cos(z, y' ) z cos(z, z' )
lx cos(x, x' ), mx cos(x' , y), nx cos(x' , z)
ly cos(x, y' ),my cos(y' , y),ny cos(y' , z) lz cos(x, z ' ), mz cos(z ' , y), nz cos(z ' , z)
x lx mx nx x
y
l
y
my
n
y
y
z lz mz nz z
lx mx nx
T l y
my
n
y
lz mz nz
T
§2.5 基本步骤
•单元刚度矩阵的建立：
K e e f e f TF
K eTe TFe
T T K eTe F e Κe T T K eT Κee F e
*T
BT DBdV f
有限元方法基础教程第三版答案第二单元
有限元方法基础教程第三版答案第二单元1. 诉述有限元法的定义答:有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答:首先,将表示结构的连续离散为若干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答:分类:位移法、力法、混合法;步骤:结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移。
4. 有限元法有哪些优缺点答:优点:有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构,得出其近似解;通过计算机程序,可以广泛地应用于各种场合;可以从其他CAD软件中导入建好的模型;数学处理比较方便,对复杂形状的结构也能适用;有限元法和优化设计方法相结合,以便发挥各自的优点。
缺点:有限元计算,尤其是复杂问题的分析计算,所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。
对无限求解域问题没有较好的处理办法。
尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术,但在具体应用时,采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。
5. 梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答:由每个节点位移分量的总和确定6. 简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答:单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1,其他节点位移分量等于0时,对应的第m个节点力分量。
7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么P14 答:Q——整个结构的节点载荷列阵(外载荷、约束力);整个结构的节点位移列阵;结构的整体刚度矩阵,又称总刚度矩阵。
8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答:由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解,引入边界条件,使整体刚度矩阵求的唯一解。
9. 简述整体刚度矩阵的性质和特点P14 答:对称性;奇异性;稀疏性;对角线上的元素恒为正。
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-(BA+BB)/l2
-MyA/l
-MzA/l
-FxB/l
(BA+BB)/l2
-MyB/l
-MzB/l
-BA/l
-BB/l
12FxBIz/Al3
+6FxB/5l
1.1MyA/l
-MyB/10l
MxB/l
6FxBIz/Al2+FxB/10
-6FxB/5l
-12FxBIz/Al3
-MyA/10l
-6FxBCw/Al2
- /10
-6FxBCw/Al2
(SYMMETRICAL)
2FxBl/15
+4FxBIy/Al
(1-2α)
·MxB/2
-MzBl/30
-MzAl/30
+
MyBl/30
MyAl/30
-MyBl/10
2 /15
+4FxBCw/Al
2FxBCw/Al- /30
-FxB/10
-MxB/l
MzA/10
-MzB/10
6 /5l
MzA/10
+MzB/5
-MyA/10
-MyB/5
-1.1MyA/l
+MyB/10l
-1.1MzA/l
+MzB/10l
-6 /5l
-MzA/5
-MzB/10
MyA/5
+MyB/10
/10
/10
2FxBl/15
-MxB/l
FxB/10
-MzA/10
MzA/l
-FxB/10
-6FxBIz/Al2
-MxB/l
MyA/10
+MyB/5
-MxB/2
2FxBIz/Al-FxBl/30
MyAl/10
-MyBl/30
-MyAl/30
FxB/l
-(BA+BB)/l2
MyB/l
MzB/l
BA/l
BB/l
12FxBIz/Al3
+6FxB/5l
MyA/10l
-1.1MyB/l
-MzB/5
-FxBl/30
MxB/2
-MzAl/10
+MzBl/30
MzAl/30
2FxBl/15
-FxB/10
-MxB/l
MyA/10
+MyB/5
-MxB/2
-FxBl/30
MyAl/10
-MyBl/30
-MyAl/30
MzA/l2
+MzB/l2
-MyA/l2
-MyB/l2
6FxB/5l
MyA/10l
-MxB/l
MzA/10
-MzB/10
12FxBCw/Al3
+6 /5l
MzA/10
+MzB/5
-MyA/10
-MyB/5
BA/l2
+BB/l2
-1.1MyA/l
+MyB/10l
-1.1MzA/l
+MzB/10l
-6 /5l
-12FxBCw/Al3
-MzA/5
-MzB/10
MyA/5
+MyB/10
6FxBCw/Al2
-MzAl/30
+MzBl/10
2FxBl/15
MyBl/30
MyAl/30
-MyBl/10
2 /15
- /30
2 /15
表中 =Fx(Iy+Iz)/A为Wagner系数。
2.Aura Conci文章中给出的完整几何刚度矩阵（推导时考虑了轴向应变中的 项）：
uxAuyAuzAθxAθyAθzAuxBuyBuzBθxBθyBθzB
+1.1MyB/l
-MxB/l
6FxBIz/Al2+FxB/10
MyA/10
-MyB/10
12FxBIy/Al3
+6FxB/5l
1.1MzA/l
-MzB/10l
-FxB/10
-6FxBIy/Al2
MxB/l
-6FxB/5l
-12FxBIy/Al3
-MzA/10l
+1.1MzB/l
-FxB/10
-6FxBIy/Al2
MxB/l
-FxB/10
-6FxBIz/Al2
-MyA/10
MyB/10
12FxBIy/Al3
+6FxB/5l
MzA/10l
-1.1MzB/l
6FxBIy/Al2
+FxB/10
MxB/l
-MzA/10
MzB/10
12FxBCw/Al3
+6 /5l
MzA/5
+MzB/10
-MyA/5
-MyB/10
- /10
1.Yeong-Bin Yang文章中给出的的几何刚度矩阵（推导时忽略了轴向应变中的 项）：
uxAuyAuzAθxAθyAθzAuxBuyBuzBθxBθyBθzB
MzA/l2
+MzB/l2
-MyA/l2
-MyB/l2
-MzA/l2
-MzB/l2
MyA/l2
+MyB/l2
6FxB/5l
1.1MyA/l
+ /10
6FxBCw/Al2
+ /10
2FxBl/15
+4FxBIy/Al
(2α-1)
·MxB/2
MyA/l
-MxB/l
6FxBIy/Al2
+FxB/10
-MzA/10
-MzB/5
2FxBIy/Al-FxBl/30
MxB/2
-MzAl/10
+MzBl/30
MzAl/30
2FxBl/15
+4FxBIz/Al
2 /15
+4FxBCw/Al
表中 =Fx(Iy+Iz)/A为Wagner系数；Cw为截面翘曲常数；BA、BB为单元A端和B端的双力矩。
-MyB/10l
MxB/l
FxB/10
-MzA/l2
-MzB/l2
-6FxB/5l
-MyA/10l
+1.1MyB/l
-MxB/l
FxB/10
MyA/10
-MyB/10
6FxB/5l
1.1MzA/l
-MzB/10l
-FxB/10
MxB/l
MyA/l2
+MyB/l2
-6FxB/5l
-MzA/10l
+1.1MzB/l
-1.1MyB/l
MxB/l
-FxB/10
-MyA/10
MyB/10
6FxB/5l
MzA/10l
-1.1MzB/l
FxB/10
MxB/l
-MzA/10
MzB/10
6 /5l
MzA/5
+MzB/10
-MyA/5
-MyB/10
- /10
- /10
(SYMMETRICAL)
2FxBl/15
-MzBl/30