考研数学：极限计算法则——洛必达法则

考研数学：极限计算法则——洛必达法则

洛必达法则是计算极限最常用的方法之一，也是历年考研数学的一个高频考点，不仅能算出具体函数的极限，对于抽象函数求极限也同样适用。在大学阶段，同学们最喜欢一洛到底，但是洛必达法则也是有底线的，并不是所有的极限都能用洛必达求出来，接下来就介绍一下洛必达法则，正确认识洛必达，才可以理解其定理及科学有效地使用，吃透定理后进而找到它们的解题思路，才不至于在做这一题型时感到无从下手。

一、关于洛必达法则

洛必达法则有两类，分别是x a →和x →∞，现归为一种情况x → 进行介绍，定理如下:设(),)f x g x （满足ⅰ）()0lim ()0x f x g x →= 或∞∞ⅱ）(),)f x g x （在 的某去心邻域内可导且()0

g x '≠ⅲ）()lim ()

x f x g x →'' 存在或为∞则有()()lim lim .()()x x f x f x g x g x →→'='

关于该法则需要注意的有两点：

①在使用洛必达法则时一定要注意检验条件，三个条件缺一不可，否则很容易得到错误的结果；②使用洛必达法则之前一定先对极限式化简（等替或者四则运算的函数分解）.

二、下面分别对每个条件进行分析：对于条件一，只需保证极限是00或∞∞

的分式形式；对于条件二，需保证可导性，当已知极限式中的函数存在n 阶导数时，只能使用洛必达法则至出现1n -阶导数（如至n 阶，不能保证连续性），最后一步一般凑导数的定义；当已知极限式中的函数存在n 阶连续导数时，可以使用洛必达法则至出现n 阶导数。

例：已知

()f x 二阶可导，求20))2)lim .h f x h f x h f x h →++--（（（解：2

00000))2)

lim ))lim 2)()())lim 21)()1)()lim lim 22().

h h h h h f x h f x h f x h f x h f x h h

f x h f x f x f x h h

f x h f x f x h f x h h

f x →→→→→++--''+--=''+-+--=''+---=+-''=（（（（（（（（（分析：二阶可导，可洛至一阶，之后凑二阶导数定义；

若该题中，已知

()f x 二阶连续可导，解题过程如下;解：2

000))2)

lim ))lim 2))lim 2

().

h h h f x h f x h f x h f x h f x h h

f x h f x h f x →→→++--''+--=''''++-=''=（（（（（（（对于条件三，需保证求导之后的极限必须存在或为∞（后者情况较少），即当()lim ()x f x A

g x →'='

或∞时，方可使用洛必达。易错点如下：()lim ()x f x g x →'' 不存在，不能()lim ()

x f x g x →⇒ 不存在；()lim x f x → 存在，不能()lim x f x →'⇒' 存在；正确说法为：()lim ()x f x g x → 存在()lim .()x f x g x →'⇒≠∞'

例：已知当0x →时，有2sin ln(1b ),x ax

x x -- 求,.a b 解：由题可知，2300sin sin lim lim 1,ln(1b )x x x ax x ax x x bx

→→--==--即201cos lim

,3x a ax bx

→-≠∞-可得1;a =即2220011cos 12lim lim 1,336x x x x bx bx b →→-==-=--可得1.b =-注：①当()

lim ()x x x αβ→ 存在且lim ()0x x β→= ，则lim ()0x x α→= ；当()lim 0()x x c x αβ→=≠ 且

lim ()0,x x α→= 则lim ()0x x β→=

；②当极限式中有两个或两个以上的未知参数时，则一般先保证极限存在，从而确定一部分参数值，再求出极限值，进而确定其余的参数。

仔细理解上述知识点，无论是对具体函数还是抽象函数求极限使用洛必达法则都需要检验条件，缺一不可。所以在应用洛必达法则时一定要慎重，切忌一遇到

00或∞∞型极限就不管不顾，盲目的一洛到底，对于一些求导后形式复杂的函数例如：arcsin x 2

1x +等，多次求导后，不但计算效率低而且出错率极高，对于这种情况应该优先考虑用等价无穷小替换化简后再进行求导，还可以考虑利用泰勒公式进行求解，在实际考研中极限的计算类问题也往往会考察到多种方法、环环相扣，而洛必达法则也往往只是其中的一环，在考研的道路上，成功的目标只有一个，但成功的方法却可以有很多，各位同学虽然选择的方法各个不同，但希望大家都可殊途同归，成功考入自己理想的学校。