实验4：多种风险资产与无风险资产的最优投资组合决策

实验四：无风险资产与多种风险型资产最优投资组合的模型分析 一、实验目的

通过上机实验，使学生充分理解Excel 软件系统管理和基本原理,掌握多资产投资组合优化的Excel 应用。 二、预备知识

（一）相关的计算机知识： Windows 操作系统的常用操作；数据库的基础知识；Excel 软件的基本操作。 （二）实验理论预备知识

现代资产组合理论发端于Markowitz(1952)提出的关于投资组合的理论。该理论假设投资者只关心金融资产（组合）收益的均值（期望收益）和方差，在一定方差下追求尽可能高的期望收益，或者在一定的期望水平上尽可能降低投资收益的方差。投资者的效用是关于投资组合的期望回报率和方差的函数，理性的投资者通过选择有效地投资组合以实现期望效用最大。该理论第一次将统计学中期望与方差的概念引入投资组合的研究，提出用资产收益率的期望来衡量预期收益，用资产预期收益的标准差来度量风险的思想。 1、理论假设

（Ⅰ）市场上存在n ≥2种风险资产，资产的收益率服从多元正态分布，允许卖空行为的存在。{

}

12(,,

,)T n ωωωωω=,代表投资到这n 种资产上的财富（投

资资金）相对份额，它是n 维列向量，有11

=∑=n

i i ω，允许0

限制。

(Ⅱ) 用e 表示所有由n 种风险资产的期望收益率组成的列向量。

12(,,

,)T n e R R R R == （1）

p r 表示资产组合的收益率，)(p r E 和)(p r σ分别为资产组合p 的期望收益率和

收益率标准差。

∑=⋅=⋅=n

i i

i T

p e r E 1)(μωω (2)

(Ⅲ)假设n 种资产的收益是非共线性的(其经济意义为：没有任何一种资产的期望收益率可以通过其他资产的线性组合来得到，它们的期望收益是线性独立的。)。这样它们的方差-协方差矩阵可以表示为:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=nn n n n n Q σσσσσσσσσ

212222111211 （3）

由于总是假定非负的总体方差,它还必须是一个正定矩阵,即对于任何非0的n 维列向量a ,都有0T a Qa >。因此整个资产组合的总体方差为:

ωωσωωσ⋅⋅=⋅⋅=∑∑==Q T n i n

j ij j i p

11

2 (4)

2、 均值——方差模型

经典的均值——方差模型可以表述为：

ωωσQ T p =2

min (5)

1.1

=∑=n

i i

t

s ω

(6)

()T p p e E r R ω⋅== （7） 利用拉格朗日乘数法可以计算在既定期望收益(e )的前提下最小风险曲线方程

为(8)式：

222

22

2

(()/)1(())11//p p p p E r A C C A E r BC A C C C D C σσ-=⋅-+⇒-=- (8) 该式证明可见（Merton1974），其中

11112,,,,T T T T C I Q I A I Q e e Q I B e Q e D BC A I ----=====-为单位阵。均值－方差

模型的解在)(p p r E -σ空间中是图1中的弧线，f r G 是投资组合的有效前沿，即投资者根据此线上的点进行投资决策。当只考虑风险资产时，相应的最小方差

组合g w 点的解（见图2）为：2

1,()g g A E r C C σ== 如果进一步考虑无风险资产，

投资者可以在资本市场借贷，以调整风险和收益时，有效集位于直线f r GK 上（见图1），G 为切点，f r 为无风险利率。同样利用拉格朗日乘数法可以计算出资本市场线的直线方程为：

()p f E r r σ=+ （9）

f

r

图1均值—方差模型几何示意图

图2 最小方差抛物线和效率边界

因此，投资者以无风险利率f r 借入资金，并连同已有资金一起全部投资于某一风险资产，所形成组合的预期收益和风险（标准差）正好使组合位于无风险资产的线段的延长线上。

均值

方差

图3 最小标准方差双曲线和效率边界

3、多种风险资产的最优投资组合

以上分析表明，在投资组合的期望收益率p R 与投资组合标准差p σ之间的关系曲线上，存在一个最低风险（标准差）的投资组合（即最优投资组合）

，该投资组合的各项资产投资比重矩阵的计算公式为：

11**

1112T

12(0)

(,,

,)n I=111P P P P P T T T n CR A B AR W Q R Q I D D A R Q I C B R Q R

C I Q I

D BC A D R R R R σσ*-------=

=+=

=

===->=T 而在此投资组合下的期望收益率和标准差分别为：其中A=R 表示种风险资产的期望收益率，（，，，）。

4、无风险资产与多种风险资产的最优投资组合

当无风险资产与多种风险资产的构成投资组合时，首先可以计算出多种风险资产的最优投资组合，即资本配置线与风险资产的有效边界相切的那一点。切点所代表的最有投资组合的期望收益率p R 和标准差p σ的计算公式分别为：

**1***

*A B C D ()W ,CAL ,.F

P P F

F F F

P P

F P P P B AR R A CR R Q R R I A CR D D R CR A CR A

σσσσ--=

=

--=

-=+--*

P 式中为无风险资产的收益率。参数、、、的计算同上。在多种风险资产的最有投资组合中各种风险资产的投资比重为：无风险资产与多种风险资产构成的最优投资组合其风险和收益落在资本配置线()上,

计算公式为: R 为该直线的斜率三、实验内容

根据现代资产组合理论，计算无风险资产和风险资产间的最优投资组合比

重，建立无风险资产与多种风险资产投资组合的动态计算与分析电子模型。

四、实验步骤

本实验通过具体的实例应用展开。

1、多种风险资产的最优投资组合。

已知5种风险资产U 、V 、W 、X 、Y 的期望收益率、标准差，以及它们两两之间的相关系数如下表所示，试计算最有投资组合，并绘制该投资组合的期望收益率与标准差之间的关系曲线。具体步骤如下：

（1）在单元格C19 中输入公式=C10*$D$3*D3,在单元格D19中输入公式=D19*$D$4*D3,在单元格E19 中输入公式=E10$D$5*D3,在单元格F19中输入公式=F10*$D$6*D3，在单元格G19中输入公式=G10*$D$7*D3。然后选取单元格区域C19：G19，将其向下一直填充复制到单元格区域C23：G23，得到协方差矩阵。

（2）选取单元格C25 ，在名称框中将单元格的名称改为A ，依次将C26、D25、D26 定义名称为B 、C.、D 。定义单元格名称：依次选取[插入]，[名称]，[定义名称]按钮。

（3）在单元格C25中输入公式

=MMULT （MMULT （TRANSPOSE （C3：C7），MINVERSE （C19：G23）），{1；1；1；1；1}），计算参数A 。 （4）在单元格C26中输入公式

=MMULT （MMULT （TRANSPOSE （C3：C7），MINVERSE （C19：G23）），C3：C7），计算参数B 。

（5）在单元格E25中输入公式

=MMULT （MMULT （{1，1，1，1，1}，MINVERSE （C19：G23）），{1；1；1；