《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案五
《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习2题答案九
令 y = u. y = ux. y' = u + u'.x
x ⇒ u + u' x = u + 1 + u2
4
经计算可得 1 + 4cy − c2x2 = 0 4．求列下微分方程初值问题的特解：
（1） dx + 4dy = 0 , y(4) = 2 ; yx
4
+
6
y
⎞ ⎟
⎝ x⎠
令 y x = u, y = ux, y' = u' x + u
dy = u' x + u = 3 + 5u
dx
− 4 − 6u
3 + 5u + 4u + 6u2 1
⇒ u'=
⋅
− 4 − 6u
x
6u2 + 9u + 3 1
=
⋅
− 6u − 4 x
求出 u 与 x 的方程,再将 u = y x 代入
⇒ arcsin y = ln( x + x2 + 1) + c
4． (x + 2 y)dx + (2x − 3y)dy = 0
∵ ∂p ∂y
=2=
∂Q ∂x
取x 0
= 0, y0
=0
(x , y)
则
u( x,
y)
=
∫
(0
,
(x 0)
+
2 y )dx
+
(2x
−
3 y)dy
= 1 x2 + 4x − 3 y2 = c
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
《微积分》(中国商业出版社-经管类)课后习题答案五
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案习题五 （A ）1．求函数)(x f ，使)3)(2()(x x x f --='，且0)1(=f .解：6x 5x )(f 2++-='xC x x x x f +++-=⇒62531)(236230625310)1(=⇒=+++-⇒=C C f62362531)(23+++-=x x x x f2．一曲线)(x f y =过点（0，2），且其上任意点的斜率为x x e 321+，求)(x f .解：x e x x f 321)(+=C e x x f x ++=⇒341)(21232)0(-=⇒=+⇒=C C f1341)(2-+=⇒x e x x f3．已知)(x f 的一个原函数为2e x ，求⎰'x x f d )(.解：222)()(x x xe e x f ='=⎰+=+='C xe C x f dx x f x 22)()(4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dtdxsin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系.解：t t t S sin 3)(2-=Ct t t S ++=⇒cos )(31212)0(=⇒=+⇒=C C S 1cos )(3++=⇒t t t S5．设[]211)(ln x x f +='，求)(x f .解：[]12arctan )(ln 11)(ln C x x f x x f +=⇒+=')0()(arctan arctan 1>==⇒+C Ce e x f x C x6．求函数)(x f ，使5e 1111)(22+--++='x x x x f 且0)0(=f .解：C x e x x x f e x x x f x x ++-++=⇒--++=+521arcsin 1ln )(1111)(252 21002100)0(=⇒=++-+=C C f 21521arcsin 1ln )(2++-++=⇒x e x x x f x7．求下列函数的不定积分 （1）⎰-x xx x d 2（2）⎰-)1(t a dt（3）⎰mnx x d （4）⎰+-x xx d 1122（5）⎰++x xx d 1124 （6）⎰++x xx xd cos sin 2sin 1（7）⎰+x x x x d cos sin 2cos （8）⎰++x xxd 2cos 1cos 12（9）⎰x x x xd cos sin 2cos 22 （10）x x x d sin 2cos 22⎰⎪⎭⎫⎝⎛+ （11）⎰-x xx x d cos sin12cos 22（12）⎰+-x xx d 1e 1e 2 （13）⎰⨯-⨯x xxx d 85382 （14）x xx x d 105211⎰-+-（15）⎰-x xx -x x d )e (e （16）⎰++x x x x d )31)(2e ( （17）x x x xx d 1111⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+ （18）⎰----x x x x x x d 151)1(222（19）x xx d 1142⎰-+ （20）⎰-+-xxx xd sin cos1cos 1222（21）⎰+-+x x x x x d )1(1223 （22）⎰+-x xx x d 1224解：（1）=⎰+-=-C x x dxx x 252323215232)( （2）=⎰+-=--C tatt d a2121)1(2)1()1(.1（3）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+=≠-≠++=⎰⎰⎰+0 0, m C x dx nm C x In dx x m n m C x m n m dx x m n m m n m n（4）=⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-C x x dx x arctan 2 1212 （5）=C x x x dx x x x x ++-=++-+⎰arctan 2311)1(32222（6）=⎰⎰++=+++dx xx x x dx xx xx x x cos sin )cos (sin cos sin cos sin 2cos sin 222=⎰+-=+C x x dx x x cos sin )cos (sin （7）=⎰⎰-=+-dx x x dx xx xx )sin (cos cos sin sin cos 22=C x x ++cos sin （8）=⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+C x x dx x dx xx2tan 21 1cos 121cos 2cos 1222 （9）=⎰⎰+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-C x x dx x x dx x x xx tan cot cos 1sin 1cos sin sin cos 222222 （10）=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++dx x x dx x x 122cos 2cos 22cos 121cos =C x x x +-+2sin 41sin 21（11）=⎰⎰+-=-=---C x dx xdx xx xx x x tan 2cos12cos sin sin cos sin cos 2222222（12）=()⎰+-=-C x e dx e x x 1（13）=⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x dx dx xx85ln 85328532（14）=⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--Cdx dx x x xx22ln 5155ln 22151512（15）=⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x e dx x e x x ln 1（16）=[]⎰+++++=+++C e e dx e e xx x xxxxx6ln 63ln l )3(2ln 2)3(26（17）=⎰⎰+=-=--++C x dx xdx xx x arcsin 211211122（18）=⎰+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---C x x x dx x xx arcsin 5ln 21151222 （19）=⎰+=-C x dx xarcsin 112（20）=⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-C x x dx x dx xx2tan 211cos 121cos 2cos 1222 （21）=⎰⎰+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+-+C x x x dx x x x dx x x x x arctan 1ln 1111)1(1)1(22222 （22）=⎰⎰++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++--C x x x dx x x dx x x x arctan 22312212)1(13222248．用换元积分法计算下列各题. （1）⎰+-x x x d 24 （2）⎰-x x d )23(8（3）x xxd e3e 42⎰+ （4）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos d 2πx x（5）⎰-x x x d 432 （6）⎰+-52xd 2x x（7）⎰-+xxxe ed （8）⎰--xxxe e d（9）⎰-1tan cos d 2x xx（10）⎰)ln -(1d x x x（11）⎰-xx x2ln1d （12）⎰-x xx d e9e 2（13）⎰+x xxx d sin2cos sin 2（14）⎰-x x x d 212（15）x x x x d 1arctan 2⎰++ （16）⎰+xxe1d（17）x x x d 11arctan 2⎰+ （18）⎰+--x x x x d e )1(422 （19）⎰+x xx d 1335（20）⎰+xxxx d ln 2ln（21）⎰+x xx d sin 1sin 2 （22）⎰+-x x xx d 2sin 1cos sin（23）⎰+2)cos 2(sin d x x x（24）⎰x xx xd cos sin tan ln（25）⎰+xx x22cos3sin d （26）⎰-++1212d x x s（27）⎰+++3)1(1d x x x（28）⎰++52d 24x xxx（29）⎰+x x x x d )ln 1( （30）x x x x d 12⎰-+（31）⎰+)1(ln ln d 2x x x x（32）x x x xd )1(arcsin ⎰- （33）⎰xx x x cos sin d （34）x x x d )1(x arctan ⎰+（35）⎰+x xxd cos1cos 2（36）⎰xdx x 3cos 2sin（37）x x x x ⎰-d 2cos )sin (cos （38）x xxx d sin1cos sin 4⎰+ （39）⎰x xd sin14（40）⎰xdx 3tan解：（1）=C x x x d x x dx x x ++-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+⎰⎰2123)2(12)2(32)2(262262（2）=⎰+-=--C x x d x 98)23(271)23()23(31 （3）=()()⎰+=+C e e e d x xx3arctan3213212222（4）=C x x x d +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰32tan 2132cos 32212πππ（5）=⎰⎰+--=---=-C x x x d x x d 333334324)4(314)(31（6）=C x x x d +-=+--⎰21arctan 214)1()1(2（7）=⎰+=+C e ee d x xx arctan 1)(2（8）=C e e ee d x x xx ++-=-⎰11ln 211)(2（9）=⎰+-=--C x x x d 21)1(tan21tan )1(tan（10）=C xx d +--=---⎰lnx 1ln ln 1)ln 1(（11）=⎰+=-C x x x d ln arcsin ln 1)(ln 2（12）=C e e e d x x x +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰3arcsin2922222（13）=C x xx d x x xd ++=++=+⎰⎰2222sin 2ln 21sin 2)sin 2(21sin 2)(sin sin （14）=C x x x d +--=---⎰222212121)21(41（15）=C x x x d x x x d +++=+++⎰⎰23222)(arctan 32)1ln(21)(arctan arctan 1)1(21（16）=⎰⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++-=+=+C e e e e d e e d e e e d dx e e e x xxx xx xxx xxx1ln 1)1()()1()()1( （17）=C x d x xx d x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰2221arctan 211arctan 1arctan 1111arctan（18）=⎰+=+-+-+-C e x x d e x x x x 422422221)42(21 （19）=)(131)(131333333t d tttx x d xx ⎰⎰+=+令⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+=-)()1()()1(31)(1113131323t d t t d t t d t t C x x C t t ++-+=++-+=3233533235)1(21)1(51)1(21)1(51 （20）⎰⎰+=+=tt td txx xd 2)(ln ln 2)(ln ln 令⎰⎰⎰++-++=+-+=tt d t d t tt d t 2)2(2)2()2(2)(2221C x x C t t ++-+=++-+=21232123)ln 2(4)ln 2(32)2(4)2(32（21）⎰+-=--=C x xx d 2cos arcsincos 2)(cos 2（22）C x x x x x x d ++=++-=-⎰12)cos (sin )cos (sin )cos (sin（23）C x x x d ++-=++=-⎰12)2(tan )2(tan )2(tan（24）⎰⎰+===C x x xd x d x x 2)tan (ln 21)tan (ln tan ln )(tan tan tan ln （25）⎰⎰+=+=+=C x x x d xx d )tan 3tan(31)tan 3(1)tan 3(31tan31)(tan 22（26）C x x dx x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=--+=⎰2323)12(32)12(324121212C x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=2323)12()12(61（27）⎰⎰+=+++++=dt tt tt x x x x d 3321)1(1)1(令 ⎰++=+=+=C x C t dt t1arctan 2arctan 21122（28）⎰++=+++=C x x x d 21arctan 414)1()1(212222（29）()⎰⎰+=+==+=C x C e e d dx x e x x x x x x x ln ln ln l )ln 1(（30）⎰⎰⎰++-=++-=+-=C x x x d x dx x dx x x x 23232222)1(3131)1(121)1(（31）⎰⎰+=+=)1()(ln 令)1(ln ln )(ln 22tt t d tx x x d⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=C t t t t d t t d 1ln 211)1()(21222222 C x x C x x ++-=++=)1ln(ln 21ln ln 1ln ln ln 21222（32）t x ==arcsin 令，则tdt t dt cos sin 2=⎰⎰+=+==C x C t dt t tdt t tt t 232322)(arcsin34342cos sin 2cos sin（33）⎰⎰+===C x xx d x x x d tan ln 2tan )(tan cos sin)(2 （34）⎰⎰+==+=C x x d x x d x x 22)(arctanarctanarctan2)(1arctan2（35）⎰+-+=-=Cxx xx d sin 2sin 2ln221sin2)(sin 2（36）⎰⎰+-=-==C x x xd xdx x x 543cos 52cos cos 2cos cos sin 2 （37）⎰⎰---=+-=)sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos 22x x d x x dx x x x xC x x +--=3)sin (cos 31（38）⎰+=+=C x x x d 242sin arctan 21sin 1)(sin 21 （39）⎰⎰⎰+--=+-=-==C x x x d x xx d dx xx cot cot 31)(cot )1(cot sin )(cot sinsin 132222 （40）⎰⎰⎰+-=-=-=C x x xdx x xd xdx x cos ln )(tan 21tan tan tan tan )1(sec 229．求下列函数的不定积分 （1）⎰+)1(d 7x x x（2）⎰-x x x d 12（3）⎰+-x x d 3211 （4）⎰+x x x-1)(1d（5）⎰+3d xx x （6）⎰-+x x xx d 21（7）x x xd 11632⎰++（8）x x d e 1⎰+ （9）⎰+-+x x x x d 4222（10）x x x d )1(323⎰-解：（1）⎰⎰++-=+=+=C x x x x dx dx x x x 77777761ln 71ln )1(71)1( （2）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 16-=-=⎰⎰+++-=+--=--=C t t t dt t t t dt t t t )315271(2)2(2)2()1(3572462（3）令t x =-21，则tdt dx t x -=-= , 212⎰⎰++-+--=+++-=+---+=C x C t t dt t dt t t 321ln 3213ln 3)331()(31 （4）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 12-=-=⎰⎰+---+-=+-+-=-=--=C xx C tt tdtdt tt t1212ln221.222ln221.222).2(222（5）令t x =6，则dtt dx t x 566 , ==⎰⎰⎰+-+-=+=+=dt t t t dt t t dt tt t 11)1(616623235C t t t t ++-+-=)1ln 2131(623 C t t t t ++-+-=1ln 663223（6）令t x =-2，则tdt dx t x 2 , 22=+=⎰⎰++=++=++=C t t dt t tdt tt 2arctan22)211(22.23222C x x +-+-=22arctan222（7）令t x =+312)1(，则dt t xds 232=⎰⎰+++-=++-=+=C t t t dt t t dt t t )1ln 21(9111919222C x x x +++++-+=1)1(ln )1()1(29312312322 （8）令t e x =+1，则12 , )1ln(22-=-=t tdt dx t x⎰++++-++=++-+=-=C e e e C t t t dt t t x x x)1111ln 211(2)11ln 21(21222（9）令t x =-1，则dt dx t x =+= , 1⎰⎰⎰+++++=+++=++=C t t tdt t dt t t dt t t 3ln 3)3(333332212223C x x x x x++-+-++-=421ln 3)42(2212（10）令t x =2，则t x =⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=-+--=-=dt t t dt t t dt t t 3233)1(1)1(121)1(1121)1(21 C t t C t t +-+-=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=22)1(141)1(21)1(1211121 C x x C x x +--=+-+-=222222)1(412)1(141)1(2110．设⎰⎰+=+=x xb x a xx x xb x a xx F d cos sin cos )G( ， d cos sin sin )(求)()(x bG x aF +；)()(x bF x aG -；)(x F ；)(x G .解：⎰+=++=+C x dx xb x a xb x a x bG x aF cos sin cos sin )()(⎰⎰++=++=+-=-C x b x a dx xb x a x b x a d dx xb x a xb x a x bF x aG cos sin ln cos sin )cos sin (sin sin sin cos )()(C bx x b x a a b a x G +++-=⇒)cos sin ln (1)(22C ax x b x a b b a x F +++--=)cos sin ln (1)(2211．用三角代换求下列不定积分. （1）⎰-221xd x x（2）⎰32)-(1d x x（3）⎰-x x x d 122（4）⎰-x x a x d 22 （5）⎰-322)1(d x xx（6）x x x d )1(2101298⎰-解：（1）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dx⎰⎰+--=+-=+-===C x x C x C t t dtdt t t t2221)cot(arcsin cot sin cos sin cos（2）令t x sin =，则)2t (cos π<=tdt dx C xx C x C t tdtdt tt+-=+=+===⎰⎰2231)tan(arcsin tan coscos cos（3）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC t t dt t tdt dt t t t +-=-===⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin cos cos sin 22 C x x x C x x +--=+-=2141arcsin 21)(arcsin 2sin 41arcsin 21 （4）令t a x sec =，则t a dx tan sec =，)20(π<<t⎰⎰⎰+-=-===C t a dt t a tdt a dt ta tt a t a )1(tan )1(sec tan sec tan sec .tan 22C sa a a x C x a a a x a +--=+--=arccos )arccos (2222（5）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-===dt t t dt t t dt tt dt tt t22222232cos 1cos 11cos )cos 1(1cossin 1cos sin cosC xx x x C t t +---=++-=2211tan cot （6）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+====C x x C td dt t dt tt t 992999810098101981991tan 991tan tan cos sin cos cos sin12．用分部积分法计算下列积分.（1）⎰++x x x x d e )31(2 （2）⎰--x x x d e 1 （3）⎰-x x x x d )sin (cos e （4）⎰x x x d cos （5）⎰x x d arcsin （6）⎰+x x d )4ln(2 （7）⎰x x x x d cos sin 4 （8）x x d l arctan 2⎰- （9）⎰x xx d )ln(ln （10）⎰x x x d sec 22 （11）⎰x xx d arctan 2（12）x x d )(arccos 2 （13）⎰+-x x xx d 44ln 2（14）⎰+x x xx d arctan 122（15）⎰+x x x x d arctan )1(632 （16）⎰x xxd costan ln 2（17）⎰•x x x d sin sec ln （18）⎰•x x x d tan ln 2sin（19）x x x x d ln 32ln 22⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （20）⎰x x x d arctan 2解：（1）⎰⎰+-++=++=dx x e e x x de x x x x x )32()31()31(22⎰++-++=dx e x e e x x x x x 2)32()31(2（2）C ex C dx e xe xde e x x x x ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=+----⎰⎰)1()1(311 （3）⎰⎰⎰⎰-=-=xdx e xde xdx e xdx e x x x x sin cos sin cos⎰⎰+=-+=C x e xdx e xdx e x e x x x x cos sin sin cos（4）⎰⎰++=-==Cx x x xdx x x x sd cos sin sin sin sin（5）⎰⎰--+=--=2221)1(21arcsin 1arcsin xx d x x xx x xC x x x +-+=21arcsin（6）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+-+=+=dx x x x dx x x x x dx x 2222224412)4ln(42)4ln()4ln( C xx x x ++-+=2arctan42)4ln(2 （7）⎰⎰+--=+-=-=C x x x xdx x x x xd 2sin 212cos 2cos cos 2cos（8）⎰⎰---=-+---=dx x x s dx x xx x x x 111arctan)1(121121.1arctan 222222C x x x x +-+--=1ln 1arctan22（9）⎰⎰+-====C t t t tdt e x t x x d x tln ln ln )(ln )ln(lnC x x C x x x +-=+-=)1)(ln(ln ln ln )ln(ln .ln（10）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos ln 2tan 2tan 2tan 2)(tan 2 （11）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=++-=-=dx x x x x x dx x x x x xxd 2211arctan 111arctan )1(arctan C x x x x ++-+-=)1ln(21ln arctan 2 （12）⎰⎰-=--===tdt t t t tdt t tdtdx tx .cos 2cos sin sin arccos 22⎰⎰+--=--=-=C t t t t t tdt t t t t t td t t cos 2sin 2cos )sin sin (2cos sin 2cos 222 C x x x x x +---=21arccos 2arccos 2（13）⎰⎰⎰-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=dx x x x x x xd dx x x21.121.ln 21ln )2(ln 2 C xx x x dx x x x x +-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--+--=⎰2ln 212ln 121212ln （14）⎰⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=xdx x xdx xdx x arctan 11arctan arctan 11122 ⎰⎰-+-=)(arctan arctan 1arctan 2x xd dx x xx xC x x x x +-+-=22arctan 21)1ln(21arctan （15）()()()dx x x x x x xd 223232311.1arctan 11arctan ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰()⎰+++-+=dx x x x x x112arctan 123623()⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+=dx x x x x x x x 1212arctan 122423()()C x x x x x x x +++--+-+=1ln 3151arctan 1223523 （16）⎰==t x x xd tan )(tan tan ln 令⎰+-=+-==C x x x C t t t tdt tan tan ln .tan ln ln（17）()⎰⎰+-=-=xdx xx x x x x xd tan .cos 1.cos .cos cos .sec ln cos sec ln ⎰+--=+-=C x xdx x x cos sec ln .cos sin cos .sec ln ()C e x x ++=22121（18）()⎰⎰-==dx xx xx x x xd cos sin 1sin tan ln .sin sin tan ln 222⎰++=-=C x x x xdx x x cos ln tan ln .sin tan tan ln .sin 22（19）()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x x x x x x x d x x 1321.ln 231ln 32ln 31ln 32ln 3132332 ⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x xdx x x x x 222392ln 32ln 32ln 31 ()⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x xd x x 232392ln 92ln 32ln 31 ⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x dx x x x x x 2232392.ln 92ln 32ln 31 C x x x x x x x +=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23323ln 31.ln 92ln 32ln 31 （20）()⎰⎰+-==dx x xx x x x d x 233.21.1131arctan 31arctan 31⎰⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--=+-=dx x x x x x x x dx x x x x 1161arctan31161arctan 312121233253C x x x x x x ++-+-=arctan313191151arctan 31212325313．计算下列有理函数的不定积分. （1）⎰+x x x d )31(1（2）⎰---)32)(1)((d x x x x（3）x x x x x d )2()1(122---- （4）⎰-++xx xx d 32322（5）⎰-1d 4x x（6）⎰++++x x x xx d 2541232（7）⎰-+-x x x xxd 123（8）⎰+---x x xx x d )1)(1(122（9）⎰+++x x x xx d 1234（10）⎰+---x x x x x d )2()1(18332解：（1）C xC x x dx x x++=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰311ln31ln ln 311313（2）C x x x dx x x x +---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+-=⎰2)2()3)(1(ln 21)3(2121)1(21 （3）C x x dx x x +---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎰112ln 21)2(12（4）C x x dx x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎰1ln 453ln 43)1(45)3(43 （5）⎰+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C x x x dx x x arctan 2111ln 4111112122 （6）C x x x dx x x x ++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++-=⎰2ln 51ln 41225)1(2142 （7）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=dx x x x x dx x xx)1(2111121)1(21)1(21222()C x x x +-+++-=1ln 21arctan 211ln 412 （8）⎰⎰⎰⎰+-++----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-=dx x xdx x x x dx x dx x x x x 1123121111211222C x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++---=312arctan 31ln 211ln 2 （9）()()()()⎰⎰⎰++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=dx x dx x x x x dx x x x 121121211111222 ()⎰⎰++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1ln 2111211141212222x dx x x x d x x ()C x x x x x +++-++-=arctan 211ln 411ln 212122（10）()()⎰⎰⎰+--+-=--+-+--=C x x x dx x dx x dx x 21ln 1121111223（B ）1．填空题（1）设x x f 21)(ln +='，则)(x f = . （2）设函数)(x f 满足下列条件 ①2)0(=f ，0)2(=-f ；②)(x f 在1-=x ，5=x 处有极值；③)(x f 的导数是x 的二次函数，则)(x f = . （3）若C x x x xf x +=⎰e d )(2，则⎰x x f xd )(e = . （4）设2ln)1(222-=-x x x f ，且[]x x f ln )(=ϕ，则=⎰x x d )(ϕ .（5）设x x f ln )(=，则='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-x f x x x x d )e (e -2e e 43 . （6）='⎰x x f xx f d )(ln )(ln .（7）设)(x f 的一个原函数为xxsin ，则='⎰x x f x d )2( . （8）若⎰⎰-=x x f x f x x x f d )(cos )(sin d )(sin ，则=)(x f .解：(1)()C e x x f x ++=2()()()C e x x f e x f e x x f x x x ++=⇒+='⇒+=+='2212121ln ln(2)215623+--x x x由已知可设d cx bx ax x f +++=23)( 有()C bx ax x f ++='232()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==+-=-'=+-+-=-==⇒2156101075502310248220d c b a c b a f c b a f d c b a f d f()215623+--=⇒x x x x f（3）C x ++2ln()()()x x x x x xe e x f e x xe x xf C e x dx x xf +=⇒+=⇒+=⎰2222⎰⎰++=+=⇒C x dx xdx x f e x2ln 21)( （4）Cx x +++1ln 21)(1)(ln11ln)(1111ln2ln )1(22222-+⇒-+=⇒--+-=-=-x x x x x f x x x x x f ϕϕ ⎰⎰⎰+-+=-+=-+=⇒-+=⇒C x x dx x dx x x dx x x x x 1ln 2)121(11)(11)(ϕϕ （5）C e e e x x x ++-+--22ln 24121222 ⎰⎰++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---C e e e dx e e e dx e e e e x x x x x x x x xx 22ln 2412121.222242243原式 （6）C x f +)(ln 2C x f x f x f d +==⎰)(ln 2)(ln ))(ln (原式（7）C xxx +-42sin 42cos ⎰-=⇒+=2sin cos )(sin )(x xx x c f C x x dx x f C x xx x x x x x x x dx x f x xf x f xd +-=--=-==⎰⎰42sin 42cos 22sin 4142sin 2cos 2.21)2(41)2(21))2((212原式 （8）x ln⎰⎰'-=dx x f x f x x f x dx x g )()(cos )(sin )(sinC x x f xx f +=⇒='∴ln )(1)(，取x x f ln )(=2．选择题（1）设x x f 2cos )(sin ='，则⎰=dx x f )(（ B ） A ．C x x +-331 B ．1421212C Cx x x ++- C ．C x x ++421212 C ．C x x ++421212（2）设)()( , )(1)()( , )(1)()(2x g x F x f x f x g x f x f x F ='+=-=，且14=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=)(x f （ A ） A ．x tan B ．x cot C ．x arctan D ．x arc cot （3）若⎰+=C x x x f 2sin d )(，则⎰=--dx x x xf 12)12(22（ B ）A ．C x +22sin 41B ．C x +-)12sin(212 C ．C x +-)12(sin 2122 D ．Cx +-)12sin(412（4）设⎰⎰+•=xdx x f x g dx xx f 22cot )()(sin)(，则)(x f ，)(x g 分别是（ D ）A ．x x f cos ln )(=，x x g tan )(=B ．x x f cos ln )(=，x x g cot )(-=C ．x x f sin ln )(=，x x g tan )(=D ．x x f sin ln )(=，x x g cot )(-= 解：（1）BC +-=⇒-='⇒-=='322x 31x )x (f x 1)x (f x sin 1x cos )x (sin f⎰++-=⇒142C x x 1212x f (x)dx C（2）A根据1)4f (=π，首先排除C 、D ，再将选项A 、B 分别代入原条件中，得A（3）B)1x 2sin(1x 2212x f 2xsinx f (x)2222--=-⇒=⎰⎰+--=--=-=⇒C )1x 2sin(21)1d(2x )1x 2sin(2.41dx )1xsin(2x 22222原式，得B （4）D⎰⎰-=cotx)f (x)d(dx x sin f (x)2取cotx g(x)-=则⎰+=xdf (x)cot f (x)g(x)上式 与条件比较，得cotx g(x) ,lnsinx f (x)cotx df (x)-==⇒=，得D3．计算下列不定积分（1）x x x xd 11ln 112-+-⎰（2）x xx x d cos 1)sin 1(e ⎰++（3）⎰+)e1(e d 2xxx（4）x xx d cos sin144⎰（5）⎰x x x x d cos e （6）⎰+++x x x x d 112（7）⎰xx4cos d （8）⎰++x aax x xd 22（9）⎰-+293d x x （10）⎰-xx1 （提示 令t x 2sin =） （11）x x x d 283⎰++ （12）⎰-x xxxd 1arcsin 22（提示 令t x =arcsin ，t x sin =，再用分部积分法）（13）⎰x x x d )(arctan 2 （14）x xxx d e 1arctan arctan 2⎰+（15）⎰+xxxx d )3(ln 22（16）x x x d )sin(ln 3⎰（提示 经过两次分部积分，又出现原积分形式，移项后便可得到所要结果）解：（1）C xxx x d x x ++-=+-+-=⎰11ln 41)11(ln 11ln 212 （2）dx x tg x tg e dx x xx e x x )2221(212cos )2cos 2(sin222++=+=⎰⎰⎰⎰++=dx e x tg dx e x tg e x x x 2212212 ⎰⎰+=++-+=C x tg e dx e x tg dx x tg e e x tg e x x x x x 2221)12(2122122 （3）⎰⎰+-=+=x xxxxxde eee ede )111()1(2222C e e x x +--=-arctan（4）C x x dx x+--==⎰cot cot 31sin 134C x x C x x x d x +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰2cot 382cot 82cot 2cot 31822sin 183134 （5）=[]c x x x x e x++-cos sin )1(21 （6）⎰⎰⎰+++++++=++-+=dx x x x x x d dx x x x 22222)23()21(1211)1(2112121C x x x x x C x x x x x ++++++++=++++++++=121ln 211121ln 2112.212222 （7）⎰⎰++=+==C x x x d x x d x322tan 31tan tan )tan 1()(tan cos1（8）⎰⎰⎰++-+++++=++-+=dx aax x a aax x a ax x d dx a ax x aa x 222222221)2()(2122C a ax x ax a a ax x +++++-++=22222ln 2 （9）t x sin 3==令，20π<<t 则⎰⎰⎰+-=+=+dt tdt t t dt t t )cos 111(cos 1cos cos 33cos 3⎰+-=-C tt t d t t 2arctan )2(2cos 12C x x x C xx+-+-=+-=2933arcsin 23arcsintan 3arcsin（10）t x 2sin ==令，20π<<t ，则⎰⎰⎰+==dt ttdt tdt t t t 22cos 12cos 2cos sin 2sin cos 2 C x x x t t dt t +-+=+=+=⎰2arcsin 2sin 21)2cos 1( （11）C x x x dx x x dx x x x ++-=++=++++=⎰⎰4342)42(2)42)(22(232（12）t x =arcsin 令，t x sin =，则⎰⎰⎰⎰+-=-===tdt t t t td dt tttdt tt tcot cot )cot (sincos cos sin22C x x xx C t t t ++--=++-=ln arcsin 1sin ln cot 2（13）xdx x x x x x d x arctan 1)(arctan 21)()(arctan 21222222⎰⎰+-==⎰⎰++-=xdx x xdx x x arctan 11arctan )(arctan 21222 C x x x x x x ++++-=2222)(arctan 21)1ln(21arctan )(arctan 21 （14）⎰⎰==dt te t x x d xe t x arctan )(arctan arctan arctan 令⎰⎰+-=+-=-==C e x C e t de te tde x t t t t arctan )1(arctan )1(（15）⎰⎰⎰+++-=+-=++=dx xx x x x xd x d x x )3(1213ln 21)31(ln 21)3()3(ln 21222222C x x x x dx x x x x ++-++-=+-++-=⎰)3ln(121ln 613ln 21)311(613ln 212222 （16）⎰⎰+-=-=dx x x x xx d x 322ln cos 21)sin(ln 21)1()sin(ln 21dx x x x xx x⎰---=322ln sin 41ln cos 41)sin(ln 21[]C x x x ++-=⇒ln cos ln sin 2512原式（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）推荐精选。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin+=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分 中国商业出版社经管类 课后习题答案九
微积分中国商业出版社经管类课后习题答案九微积分中国商业出版社经管类课后习题答案九[微积分](中国商业出版社经管类)课后习题答案九《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案1．确定下列微分方程的阶数；（1）dy2xy3y5；（2）(y'')25(y')4x70；dx（3）y'''2(y')22y2x5ex sinx.求解：（1）一阶（2）二阶（3）三阶2．验证下列函数是相应微分方程的解，并指出是特解还是通解.其中c,c1,c2是任意常数,1,2是常数；（1）y sin2x,y''4y0；（2）y c1cos x c2sin x,y''2y0；（3）y c1e1x c2e2x,y''(12)y'12y0，（12）；（4）y c1e x c2xe x,y''2y'2y0；（5）y ce3x,y''9y0；（6）y3e2x(2x)ex,y''3y'2y ex.解：（1）特解（2）通解（3）通解（4）通解（5）通解（6）特解3．谋以下微分方程的求解：dy1y23.(1)；（2）xy2y3xyy；2dxy(1x)22（3）xdy ydx0；（4）(x2y)dx(2x3y)dx0；2xdy2ydx(3x5y)dx(4x6y)dy0；（5）（6）求解：1.dy1y2dxxy(1x2)x24y2dx(x0).1ydy2dx2x（1x）1xdy（-）dxx1x1y11ln（1y2）lnx-ln（1x2）lnc22y（-1y2）（1x2） c.x22.dy1y2ydydxcx23121y y lny lnx cdxxy(1x2)221y2(1x2)1x2 3．x2dy y22dx0dyy21x2dx arcsiny ln(xx21)c4．(x2y)dx(2x3y)dy0p q2挑x00,y00y x则u(x,y)(x,y)(0,0)(x2y)dx(2x3y)dy123x4x y2c2213通解为:x24xy y2c22y353x5ydy5．y4x6ydx46xydydu令ux.则u xxdxdx35u4u6u2du323u x(lnx c)2du46udx22u3u1则方程可化为u xdu35u dx46u35u4u6u2du323u x(lnx c)2du46udx22u3u16.2xdy2ydx x24y2dx(x0)dyy1y()2dxx4xy u.y ux.y'u u'.xx令u u'x u1u24经计算可得14cy c2x204．求列下微分方程初值问题的直和：（1）dx4dy0,y(4)2;（2）xdx ye-xdy0,y(0)1；yxx2y2)dx xdy0(x0),y(1)02（3）(y解：（1）xdx4ydy则2y2x2cy(4)2直和1121y(x1)ex则c16直和2y2x21622212y2（2）xexdx ydy则(1x)ex cy(0)1c11直和：y2(x1)ex12ydudyy y（3）令u则u x u u2xdxdxx xu2du1dx即ln u u2lnx cx22y x y y10c0特解：ln0x25．谋以下微分方程的吉龙德或满足用户取值初始条件的直和：22ydy x1;（1）x y x1ex;（2）y'x1dx5（3）3x y'8y ex3x9;（4）y'2y xe x;（5）xy'2y sinx,y求解：（1）xdydyy y x1ex令0dxdxx1;（6）xy'y x1,y1.39则lny lnx c即y cxPR320齐次方程的吉龙德为y c x x则x c x c'x x c x x x1ex则c'xy x x x1ex2x1x1exxdx c x1x1dx c x x lnx c x22y x1中（2）y'x1522q x x1p x x15通解为：y c ec e x1dx e x1dx x12e x1dxdx2ln x12252 2ln x1e x1252e2ln x1dx c x12x12x1d x122x1c x1237（3）x2dy y2dx0y2dx x22两端分数可以得：arcsiny ln x x c(4)x2y dx2x3y dy0y12dy2y x dx3y2x3y2x令y u,y ux,dy u'x ux2u13u2存有u'x u2u13u22uu'x3u2du3u24u11dx3u2x求出u与x的方程,再将u y代入.x24xy3y2c(5)3x5y dx4x6y dy0dy3x5y y dx4x6y46x35令yx u,y ux,y'u'x udy35u u'x u dx46u35u4u6u21u'46ux6u29u316u4x求出u与x的方程,再将u y代入x y2x2y c（6）2x2y2dx•2xy3y2dy0dy2x2y2dx2xy3y2y2x22y y23x x令yx u,y ux,y'u'x u u'x u2u22u3u2求出u与x的方程,再将u y代入2x33xy23y3c6．曲线l是一条平面曲线，其上任意一点p(x,y)(x0)到坐标原点的距离恒等于曲线l在该点切线在y轴上的dT，且l经过点,0.12（1）试求曲线l的方程；（2）谋l坐落于第一象限部分的一条切线，而因切线与l以及两坐标轴所围图形的面积最轻.解：（1）x2y2y y'xx2（2）y'y令u yxdu u x u1u2dx11du dx2x uarcsiny1ln cxx1y xsin ln c x7．设l:y y(x)在点(x,y)处切线的斜率k121求解：y'y13x2y1，且曲线l过点（1，0）.试求曲线l的方x令dy2y0则lny2lnx cdx3x则y则设立吉龙德为y c x1112xy x x1edx c3x22x12x8．物体在加热的过程中温度t(t)的变化率t(t)与物体本身的温度和环境温度之差成正比，比例系数为常数k0.现在(t0)把一个温度为50度的物体放到温度始终保持恒温20度的房间内，谋此物体温度随其时间的变化规律.解：t(t)kt20k1d t20kdtt20ln t20kt ct050c ln30规律：t30e kt209．设立,1,2,,就是虚常数，且0,12，证明以下函数组是(,)上线性毫无关系：（1）e x,xe x；（2）cos x,sin x；（3）eaxcos x,eaxsin x；（4）e1x,e2x,xe2x（2）1常数线性无关xxxee xcos x ctg x常数线性无关sin x（3）eexcosβxeexsinβx ctgβx常数线性无关（4）三者线性毫无关系。
《微积分》中国商业出版社_课后习题答案详解二
n→∞ 5n − 4 81n8 + 2
n→∞ 5
2
− 4 81 +
n
n8
16．设 x → a 时 f (x) → ∞ ， g(x) → ∞ ，则下列各式中成立的是（D）.
= 0.
⎧3
2)因为
xn
=
xn
=
⎪ ⎨1
⎪⎩ 3
n为偶数 n为奇数
所以 xn 是发散的;
3)发散的.因为当
n
→
∞
时,
1 n
→
0
;所以
xn
= 1g
1 n
→
−∞
;
4)因为
xn
=
⎧1 ⎨ ⎩− 1
n为偶数 n为奇数
所以 xn 是发散的;
5)收敛的.因为当 n → ∞ 时,
1 n
→ 0 ;所以 xn
= 3 + (−1)n
3)由于 f (x) − 0 = x +1 所以对于任意给定的 ξ > 0 ,存在 δ = ξ 2 当 0 < x + 1 < δ 时
恒有 f (x) − 0 < ξ 成立
故 lim x +1 = 0
x → −1+
4)对于任意给定的正数 ξ 要使 10x − 0 < ξ 成立即 x > 1gξ 成立
,要使
5 − n2 1 +
3n2 + 1 3
<ξ
成立即 lim
x → xo
1 f (x)
=
+∞
n>
16 − 3ξ 成立
9ξ 2
所以对于正数 ξ ,存在 N =
16 - 3ξ 成立
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ))()(x g x f +；(Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ)α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
高等数学经管类下教材答案
高等数学经管类下教材答案在高等数学经管类下的教材中，经常会遇到各种各样的习题和问题。
作为学生，我们总是希望能够找到这些问题的答案，以便更好地理解和掌握知识。
因此，本篇文章将为大家提供一些高等数学经管类下教材中常见问题的答案。
希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、微积分1. 求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1的导数。
解答：将给定的函数f(x)进行求导，得到f'(x) = 6x^2 - 10x + 3。
2. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
解答：根据定积分的性质，我们可以将该积分转化为不定积分，即求解原函数F(x) = ∫x^2 dx，并将上下限代入计算。
最终得到∫(0 to 1)x^2 dx = [1/3 * x^3] (0 to 1) = 1/3。
二、线性代数1. 求解线性方程组：2x + 3y - z = 13x - 2y + z = 7x + y + 2z = 4解答：通过高斯消元法或矩阵求逆等方法，可以求解该线性方程组的解为x = 1，y = -2，z = 2。
2. 求矩阵A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]的特征值和特征向量。
解答：首先求解特征方程|A - λI| = 0，其中I为单位矩阵，λ为特征值。
然后将特征值代入(A - λI)x = 0求解特征向量。
最终得到矩阵A的特征值为{λ1 = 0, λ2 = 15, λ3 = 0}，对应的特征向量为{[1, -2, 1], [0, 1, 0], [-1, 2, -1]}。
三、概率论与数理统计1. 某个班级的成绩服从正态分布，均值为80，标准差为10。
求成绩在90分以上的概率。
解答：根据正态分布的性质，成绩在90分以上的概率可以表示为P(X > 90) = 1 - P(X ≤ 90)，其中X为成绩。
利用标准正态分布表或计算工具，可以求得P(X ≤ 90)的值，然后用1减去该值即可得到成绩在90分以上的概率。
高等数学经管类参考答案与提示
参考答案与提示习题1-21、7)0(=f ；27)4(=f ；9)21(=-f ；732)(2+-=a a a f ；62)1(2++=+x x x f2、1)2(-=-f ；0)1(=-f ；1)0(=f ；2)1(=f3、（1）[)(]1,00,1 -；（2）1>x （3）[]3,1- （4）()()()+∞∞-,22,11,4、（1）x y 2cos 2+=（2）23cot x arc y =习题1-31. （1）5；（2）1；（3）不存在；（4）不存在 2．（1）2；（2）25；（3）23；（4）32-；（5）12-；（6）1. 习题1-41. (1)无穷小；（2）无穷大；（3）无穷大（∞-）；（4）-→0x 时是无穷小；+→0x 时是无穷大；2. （1）同阶无穷小；（2）高阶无穷小；（3）等价无穷小3. （1）1；（2）21；（3）23；（4）1 习题1-5（1）．24;（ 2）.0;（ 3）.35；（4）.∞；（5）.503030532⋅；（6）.21-；（7）.0；（8）.1259-；（9）.24925+；（10）.0 习题1-61．（1）35；（2）1x xsin lim x -=-→ππ；（3）4；（4）32（5）2；（6）2 2．（1）8e ；（2）1-e ；（3）32-e；（4）2-e （5）5e ；（6）e习题1-71.1=a ；1=b2.（1）1±=x 是第二类间断点中无穷间断点；（2）0x =是第二类间断点中的无穷间断点；（3）1=x 是第一类间断点中可去间断点；（4）1-=x 是第二类间断点中的无穷间断点，1=x 是第一类间断点中的跳跃间断点3.（1）)1ln(+e ；（2）232；（3）e a log 3；（4）1 复习题一1、（1）1；（2）[]2,1)0,2(⋃-；（3）[)3,0；（4）3；（5）ke ；（6）23；（7）2；（8）第一类间断点且可去间断点2、（1）C ；（2C （A.1x y -=；1x y .C --=）；（3）B ；（4）B ；（5）C ；（6）D ；（7）A ；（8）A3、（1）34；（2）312x x )1x sin(21x lim =-+-→；（3）2-e ；（4）1)x (sin x sin 330x lim =→；（5）31；（6）0)2x (sin xx 3x 2x lim=+-+∞→；（7）a cos ；（8）4π-4、1=a5、23=a 6、6b ,4a == 7、（1）21；（2）a 28、（1）11=x 是第一类间断点且是可去间断点，22=x 是第二类型无穷间断点；（2）01=x 是第一类间断点且是可去间断点，)(22Z k k x ∈+=ππ是第二类型无穷间断点；（3）0=x 是第一类间断点且是可去间断点；（4）0=x 是第一类间断点且是跳跃间断点 9、1=a习题2-11、(1) √ (2) × (3) × (4) × (5) × (6)、√2、2126()v t t =+∆+∆ 0.10.012|12.61|12.0601|12t t t v v v ∆=∆=====3、()2f x '=4、 (1) 在0x =处连续且可导(2) 在0x =处连续，但不可导5、切线方程：210x y --= 法线方程：230x y +-=6、t t d dtθ=7、dT dt习题2-21、 (1) × (2) × (3)、× (4)、√ (5)、×2、 (1) (0)0()2f f ππ''== (2) (0)1()1f f π''==- (3) (0)0(1)13f f ''== (4) 11(1)(4)418f f ''=-=-3、略4、 (1)2664x x ++ (2)212ln 2xx -(3)12632220xx x -----(4)1cos x x +(5)(ln sin cos )xa a x x ⋅+ (6)1cos ln sin x x x x⋅+(7)2983x x +- (8) 22(2tan 2sec )sec x x x x x ++(9) 31221122x x ---- (10)2sin 1cos x x x x ++-(11) 11222(1)x xx -+-- (12)22cos (sin 1)x x -- (13) cos 1sin x x x -+ (14) 22sin cos cos (1)x x x x x x +++(15)122ln 22xxx x --- (16)3cos 2sin 2x x xx- 5、切线方程：ln 210x y -+= 法线方程：ln 2ln 20x y +-= 6、切点坐标：(1,1)-- 切线方程：20x y ++= 法线方程：0x y -=习题2-31、(1)√ (2) × (3)× (4) ×2、(1) 2(41)xe x x ++(2) (3) tan x -(4) 23ln (1)+1x x + (5))1x ln n (nx 1n +- (6) 222sin 2sin 2sin cos x x x x x +(7)(8) (9) 24()x x e e ---(10)arcsin x(11)(12) 2242(1)16x x x -++ 3、()(1)(4)824f x f f '''===4、切线方程：20x y e --= 法线方程：230x y e +-= 5、30x y --习题2-41、(1)223(1)a y - (2)x ayax y+-+ (3)x y x y e y e x ---+ (4)21y xy - (5)y y e x -+ (6)cos()cos()x y x y e y xy e x xy +++-+2、 (1)232(2)31y y y x x x +-+-+ (2)cot 224(1)xxy y ye x x e +-- (3)(cos ln cos sin tan )y x x x x - (4) ln(5)5xyy x x -+-+ 3、(1)232te - (2) tan t 4、32t dydx π==-- 5、 (1)在0x =处切线方程：210x y +-= 法线方程：220x y -+=(2)在2t =处切线方程：43120x y a +-= 法线方程：3460x y a -+=习题2-51、 (1) 221(ln 3)3xx -(2) 22csc cot x x ⋅ (3)22(arctan )1x x x ++ (4) 2sec (tan sec )x x x + (5) -322(1)x x -+ (6) 21(ln 1)x x x x x-++2、(1) (1)7,(1)4,(1)0f f f ''''''=== (2)11(1),(0)2,(1)22f f f ''''''-==-= 3、 (1)0 (2) 3(ln3)xn(3)()11(2)!ln 1(1)(3)n n n n y x y y n xx--'''=+==-⋅≥ (4) ()xn x e + (5) 12cos(2)2n y x n π-=+⋅(6) 11(1)!5n ny n x +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭4、略5、 (1)(4)4sin x ye x =-(2) (5)22sin cos 16cos y x x x x x =-- (3)(20)0y = 6、31cot 3,sin 3a θθ--。
微积分课后习题答案
微积分课后习题答案微积分课后习题答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。
在学习微积分的过程中，课后习题是非常重要的一环。
通过做习题，我们可以巩固课堂上所学的知识，提高自己的解题能力。
然而，有时候我们可能会遇到一些难题，无法找到正确的解答。
因此，本文将为大家提供一些微积分课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解微积分的知识。
一、函数的极限1. 求函数f(x) = (3x^2 + 2x + 1)/(2x^2 + x - 3)当x趋近于2时的极限。
解答：将x代入函数f(x)的表达式中，得到f(2) = (3(2)^2 + 2(2) + 1)/(2(2)^2 +2 - 3) = 13/9。
因此，当x趋近于2时，函数f(x)的极限为13/9。
2. 求函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)当x趋近于2时的极限。
解答：将x代入函数f(x)的表达式中，得到f(2) = (2^2 - 4)/(2 - 2) = 0/0。
此时，函数f(x)的极限不存在。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x的导数。
解答：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x))/h]。
将函数f(x)代入该定义中，得到f'(x) = lim(h→0) [(3(x + h)^2 - 4(x + h) - (3x^2 - 4x))/h]。
化简后可得f'(x) = 6x - 4。
2. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的微分。
解答：微分df(x) = f'(x)dx。
将函数f(x)的导数f'(x)代入该定义中，得到df(x) =(3x^2 - 4x)dx。
三、定积分1. 求函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分。
解答：根据定积分的定义，定积分∫[1, 3] f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1到n] f(xi)Δx，其中Δx = (b - a)/n，xi为区间[a, b]上的任意一点。
经管类微积分(上)参考答案
经管类《微积分》（上）习题参考答案第一章 函数习题一一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否.二、1．)[()5,33,2⋃； 2．()πππ+k k 2,2； 3． 2,24>-<<-x x 或；4．[]a a -1,； 5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略）四、1(略)；2．212+x ； 3．11-+x x ． 五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++⋅x x ．六、50500,,)50(8.050)(>≤<⎩⎨⎧-+=x x x a a ax x R ．第二章极限与连续习题一一、 1．0,1,1,0； 2．e e e e ,,,231- 二、1．1； 2．0； 3．21； 4．4.三、1. (略)； 2.证明（略），极限为2 四、()1lim 0=+→x f x ，()1lim 0-=-→x f x ，()x f x 0lim →不存在. 五、都不存在. 六、15832.5,32.4,221.3,1.2,0.1 1.8,3.7,.6e .七、2,1==b a 八、2.4,32.3,21.2,2.1-习题二 一、()().1,1.4,,22,1.3,2.2,.1+∞⋃第一类二、1．为可去间断点1=x ，为第二类间断点2=x ； 2.为跳跃间断点1=x . 三、2ln ,2==b a ．四、0,0,10,00,1)(=⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。
五、()()+∞⋃∞-,00,. 六、左不连续；右连续. 七、,.4,.3,.2,2ln .1623e e e - 八、九、十 (略).第二章 测验题一、B A C A D .5,.4,.3,.2,.1.二、21.4,2.3,2.2,2.1-e .三、.31.4,3.3,1.2,61.1.四、x x x x p ++=232)(.五、为第二类间断点为可去间断点处连续21,1,2,,1===-=x x x x ．六、.3,21==b a 七、（略）. 八、a .第三章 导数与微分习题一一、),0(.2),(,)(2,)(.1000f x f x f x f '''')(),(1.3000000x x x y y x x x y y --=--=- 二、00,,2)(<>⎩⎨⎧='x x x e x f x 三、)0(2)(g a f ='. 四、处连续且可导0=x ．五、()的有理数；互质与且)2(,201n m mna a ≠> ()互质）的有理数与且n m mna a 2(,1212-≠>. 习题二一、,ln 1.3,1.2,622ln 2.123x xx x x -++- )2(42,)2(42.422ππππππ-=---=-x y x y . )(4)(2.5222x f x x f ''+'二、2)1()sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-；x x x x x x x x cos sin ln cos 2sin .2+-+； 211arcsin 2.3xx -⋅； 21)ln (ln .4x x n x n --；a a x x x ax a a a 21211sec ln .5+⋅+-；6.x x exx 1tan 1sec 221sec 22⋅⋅⋅-； )(87略-.三、1．()x f x f '⋅)(2； 2．)()(222x x x x x e f e e e f xe '+.四、00,,11)12()(222=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-='x x x e x x f x . 五、(略) 习题三一、()dx x x x 1ln .1+； ()dx e e f x x '.2；x e x e x x x ln ln ,arctan ),13sin(31,61,2.36+；4. ppQ -+2;252. 二、1．)sin ln (cos sin xxx x x x +⋅； 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+-+------)5(51)4(54)3(53)2(5211)5()4()3()2()1(5432x x x x x x x x x x 三、1．()184-==p dpdQ，54.04-≈=P EP ED经济意义：当价格从4上升%1时，需求量从59下降%54.0；()246.04≈=P EP ER，价格从4上涨%1时总收益将从263增加%46.0.四、1．dx x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-2222211cot )1(2)11ln(sin ． 五、212x +. 第三章 测验题一、,1.3,1.2,)1(21.1arctan =⋅+--y dx e x x x π21)1()1(2.4xx f x f '-, 2ln 21.5-.二、..3,.2,.1C D D 三、1．yyxey e +-2； 2．0； 3．[]()0,,02121cos )(sin )()(),0(2=≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧''++-+'=''=x x g x xx g x x g x x f g a第四章 中值定理与导数的应用 习题一一、1．不满足，没有； 2．1； 3．满足，914； 4．4,1--.；5.不存在二、三、四、五(略)六、1.6,ln .5,21.4,21.3,0.2,21.1a -. 七、连续. 八、1.习题二一、1．单减，凹的； 2．)4,1(；3．0,0==x y ；4．29,23-；5. ac b 32≤.6.e p 1=二、单增区间为[]2,0；单减区间为]()[∞+⋃∞-,20,. 三、拐点为()7,1-；凹区间为)[∞+,1；凸区间为[]1,0．四、0,3,3,1==-==d c b a .五(略)六、为极大值3)3(,2==πf a .七、20000=Q ，最大利润()34000020000=L 元. 八、5.9元，购进140件时，最大利润490元. 九、十（略）.第四章 测验题 一、..3;.2;.1A B B 二、()0.4;2,1.3;3.2;1.1=x三、.1.2;61.1-四、.1;0;3==-=c b a 五、获利最大时的销售量()t x -=425，当2=t 政府税收总额最大，其税收总额为10万元.六、()1证明略； ()254.06≈=P EP ER，经济意义：当价格从6上涨%1时，总收益从156增加%54.0.第五章 不定积分习题一一、1．dx x f )(，C x f +)(，)(x f ，C x f +)(； 2．C ； 3．C x +2； 4．32x. 二、1．C x x +-arctan ； 2．C x e x +-2；3．C x x +-sec tan ； 4．C x +tan 21． 三、1ln +=x y .四、12)(2+-=x x x G .习题二一、1．C e x x ++-tan tan ； 2．C x f +--)1(212； 3．C x F ++)12(； 4．C x f +--）2cos 3(31． 二、1．C x +|ln ln |ln ； 2．C x ++-|1cos |ln 2； 3．C e x +arctan ；4．C x +--21)32(312； 5．C x x x +---------999897)1(991)1(491)1(971；6．C e xx ++1； 7．C x x +-32)cos (sin 23； 8．C e x x ++-)1ln(； 9．C x x ++-)9ln(292122； 10．C x +)arctan(sin 212； 11．C x+-arcsin 1；12．C x x ++-+ln 12)ln 1(3223； 13．()()()C x x x +++++-+11ln 313123313132；14．C e x+-1arctan 2； 15．C xx ++61611ln； 16．C x x x +-+22211arccos 21. 习题三一、1．C x e x ++-)1(；2．C x xf +)(； 3．C x f x f x +'-'')()(； 4．C e xe x x +-2． 二、1．C x x x x +++-)1ln(6161arctan 31223； 2．C e xe x x +------11；3．C x x x x x ++-2ln 2ln 2； 4．C x x x x++++-)6ln 6ln 3(ln 123；5．C x x e x ++-)22(33323； 6．()()[]C x x x++ln sin ln cos 2；7．C x x x x x +--+2arcsin 12)(arcsin 22； 8．C x x x x ++-sin 4cos )24(； 9．C x x x +-+arctan )1(； 10．C x x x x x +++-+221ln 1ln ．三、C x x x +-++21)arcsin 1(． 四、C x x x x ++-+arctan 22)1ln(2． 五、)1(21x x +．习题四1．C x x x x x x +--+-+++|1|ln 3|1|ln 4||ln 82131232．C x x x x +-+-+-arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2第六章 定积分及其应用习题一 一、a b a b -+-）（3331二、1．≥， 2．≥ 三、（提示：用定积分性质6证）四、1．412x x +； 2．81221213x x x x +-+； 3．3； 4．21； 5．28-x ； 6．]41,0(； 7．yx e y 2cos 22． 五、)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ．六、1．6π； 2．4； 3．38．七、1．1； 2．2八、4π．九、)1ln(e +十（略）．习题二一、1．)(sin x f ； 2．)0(arctan )1(arctan f f -； 3．)]()([2122a F b F -； 4．3243π；5．0； 6．)()(a x f b x f +-+； 7．8； 8．0二、1．34-π； 2．32ln 22+； 3．a )13(-； 4．34； 5．22； 6．214-π； 7．)11(2e -； 8．)2(51-πe ．三、四（略）五、（提示：令x t -=2π）； 4π.六、()1,11=-=-a e x f x . 七、x x sin cos -. 八、x 2ln 21.习题三一、1．332； 2．2ln 23-； 3．67； 4．49．二、62221,21-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=S a ． 三、2ln 214+-x ．四、1．π145； 2．24π； 3．ππ564,727． 五、10/100Q Qe -． 六、31666． 七、1．2； 2．2ln 21．。
微积分课后习题答案 第五章
第五章习题5-11.求下列不定积分：(1)25)x -d x ;(2) 2⎰x ; (3)3e x x⎰d x ； (4) 2cos 2x⎰d x ； (5) 23523x xx⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin xx x x ⎰.解5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)24235d d d d x x x x x xx x x x x x x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33PQ P '=-得111()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333d d P P P Q P x x C =-=-⋅=⋅+⎰⎰将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQ P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； (5) 3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e xd x = d(2e x)； (7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx= d(5ln ｜x ｜);(9)= d(1-arcsin x ); (10)= d(11)2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2d 12xx +=d(arctan );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d dd d d dd d d d d d d d d d de e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )(10)1(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==---=-==-=+222322231(arctan 3)193(12)))1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d dd x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=- 2.求下列不定积分： (1)5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ; (3)d 12xx -⎰; (4)(5)t ; (6)d ln ln ln xx x x ⎰;(7)102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9)dsin cos x x x ⎰; (10) ⎰; (11)de e x x x-+⎰; (12)x ;(13) 343d 1x x x-⎰; (14) 3sin d cos xx x ⎰;(15)x ; (16) 32d 9x x x +⎰; (17)2d 21xx -⎰; (18) d (1)(2)xx x +-⎰;(19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰; (21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cos d 2x x x ⎰; (23)sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tansec d x x x ⎰;(25)x ; (26);(27)ln tan d cos sin xx x x ⎰; (28)21ln d (ln )xx x x +⎰;(29)2,0x a >; (30)(31)d xx⎰; (32)(33); (34),0x a >;(35)x ; (36) x ; (37)2sec ()d 1tan x x x +⎰; (38) (1)d (1e )x x x x x ++⎰(提示：令xt e =). 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰122333111(3)(12)ln 121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)3322(5)22sin 111(6)(ln ln )ln ln l ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d d x x C x x x x x x C x Ct t C x x x x x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n 1(7)tan sec tan (tan )tan 11111(8)(2))222(9)22csc 22sin cos 2sin cos sin 2ln ln csc 2cot 2tan sin c d d e d e d e d(-e d d d d d 或x x x x Cx x x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x x C C x x x x x ----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos 1tan ln tan os sin cos tan d d x x x Cx x x x x=⋅==+⎰⎰⎰22234(10)ln 1(11)()arctan 11()11(12)631333(13)14d d e d d e e e e e e d x x xx xx x Cx x C x x xCx x x -==-+===++++'=-=-=-==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3444432334313(1)ln 11414sin sin 1(14)cos cos cos cos cos 2(15)1218)23812d d d d d d d x x x C x x x x x x x x x x C x x x x xx x x---=--=-+----=-=-=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰122221(94)(94)38)d x x x -+--⎰12arcsin 23x C =3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212221)1)x x x x xx x x x x x xx x x x x C x x x x xx +-==-+++=-+=-+++==--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d2111111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln 2133311cos(22)11(19)cos ()cos(22224C Cx x x x x x x x x x x C Cx x x t t t t t t ωϕωϕωω=-+=+++=-=--++--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d d d d d d 223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos ()sin()cos ()cos()1cos ()3(21)sin 2cos3t t t t t t Ct t t t t t C x x ϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰d d d d 111(sin 5sin )sin 55sin 210211cos5cos 10213133(22)cos cos (cos cos )cos ()cos ()22223222213sin sin 3221(23)sin 5sin 7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x xx x x x xCx x x =-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d d d 2cos 2)11cos12(12)cos 2(2)24411sin12sin 2244x x xx x x x x x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰d d d322322(24)tan sec tan(sec)(sec1)sec1sec sec3(25)2arctan2(arctan1(26)(arcsin)d d ddddx x x x x x xx x Cx x xCx==-=-+===+=⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin)arcsinx Cx=-+⎰2222222ln tan1(27)ln tan seccos sin tan1ln tan(ln tan)(ln tan)21ln111(28)(1ln)(ln)(ln)ln(ln)ln(29)d ddd d ddxx x x xx x xx x x Cxx x x x x C x x x x x x x xx a=⋅⋅==++=+==-+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x⎰利用教材§5.2例16及公式(20)可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin2222x a x a xa C Ca a a--=-.(30)令tan,(,)22ππx t t=∈-,则2secd dx t t=.所以2sec cos sinsecd dd dtt t t t t Ct====+⎰⎰tan,sin原式x t t C=∴=∴=+.(31)令3sec,(0,)2πx t t=∈,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时3sec tan3tand dx t t t t=⋅=故223tan3sec tan3tan3(sec1)3secd d dtx t t t t t t tt=⋅⋅==-⎰⎰⎰3tan3t t C=-+.由3sec,(0,)2πx t t=∈得tan3t=,又由3secx t=得33sec,cos,arccos3xt t tx x===,333arccos 3arccos )x C C x x∴=+=+ 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.11333arccos 3(arccos )33arccos d π x C C x x x Cx=+=-+=+⎰综上所述有33arccos x C x=+. (32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 11cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 11111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .22d d d d d t t t tt t tt t t tt t t t C t t t t x C x ++-=⋅=++=++=++++=++⎰⎰⎰⎰ (33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =2cos 1(1)sec ()1cos 1cos 22tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t t t C x C ∴==-=-++=-+=-⎰⎰⎰(34)21(2d d x a x x a =+=+⎰arcsinxa C a=⋅. (35)令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.(36)2d x x x ==12(1)ln12d xx Cxx=+=+++⎰由被积函数知x≤-2或x>0,令1xt=,当x>0时,(此时t>0)221222211222(12)(12)2.d dddx t tt ttt t CC C Cxx--==-=-=-++=-=-=-+=-+⎰当x≤-2时,此时12t-≤<221233311222(12)(12).d ddx t tt ttt t t CC C Cx--==-==++===+=+⎰综上所述:原式= ln1Cx+.(37)2222sec sec11()(1tan)1tan(1tan)(1tan)1tand d dx xx x x C x x x x==+=-+ ++++⎰⎰⎰.(38)令e x=t,则x=ln t,d x=1td t.11ln1111(ln)(ln)(1)ln(1ln)ln(1ln)ln1ln11(ln)(1ln)ln lnln1lnln1lnln ln ln ln ln ln111d d d ded dee e ee xxx x xx x tx t t t t t x x t t t t t t t t t t t tt t t t Ct t t tt t t txC C x Cxx x xx ++⎡⎤=⋅==-⎢⎥++++⎣⎦=-+=-+++=-+=+-+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题5-31.求下列不定积分：(1) sin dx x x⎰; (2) e d x x x-⎰;(3) arcsin d x x ⎰; (4) ecos d xx x -⎰;(5) 2e sin d 2xx x -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰; (7) 2e d t t t -⎰; (8)2(arcsin )d x x ⎰; (9)2e sin d x x x ⎰;(10) x ⎰;(11)cos(ln )d x x ⎰; (12)2(1)sin 2d x x x -⎰;(13)ln(1)d x x x -⎰; (14)22cosd 2x x x ⎰; (15)32ln d xx x⎰; (16)sin cos d x x x x ⎰;(17)2cot csc d x x x x ⎰; (18)22(1)e d xx x x +⎰; (19)1(ln ln )d ln x x x+⎰; (20)e ln(1e )d x x x +⎰; (21) 23sin d cos x x x ⎰;(22)22ln(d (1)x x x x +⎰; (23)2e d (1)x x x x +⎰; (24)arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰21(3)arcsin arcsin arcsin (1)2arcsin d x x x x x x x x x x x C=-=+-=+⎰⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x ----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x x x x x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin (arcsin )2arcsin (arcsin )2(arcsin )2e d d t Cx x x x x x xx x x x x x xx x x x -+=-⋅=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(arcsin )21cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x Cx x x x x x xx x=+-+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x =+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)t =,则32,3d d x t x t t ==22222223336363663663(22)32)e d de e e d e de e e e d e e e e t t t t t t t t t t t t t x t t t t t tt t t t t t t C t t C C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t ttttttx x t t t t t t t t t t t tx x x x x xxx x x x C===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x xx x x x x x Cxx x x C-=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x Cx x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+ 2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x+=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x Cx x x x x Cx --+=-++++ 11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰()222221(17)cot csc csc csc csc 211csc csc csc cot 2222d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C=-=-=-+=--+⎰⎰⎰⎰222222222222222222211(18)(1)(1)(1)221111(1)2(1)()2222111(1)222e d e d de e e d e e d e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x C+=+=+=+-⋅=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰11111(19)(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln ln ln ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x Cx x+=+=-⋅⋅+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(20)ln(1)ln(1)(1)(1)ln(1)(1)1(1)ln(1)(1)ln(1)e e e d e d e e e e d e e e e d e e e xxxxxxxxxx x x x x x x x x C +=++=++-+⋅+=++-=++-+⎰⎰⎰⎰2233sin (21)tan sec tan (sec )tan sec sec cos d d d d x x x x x x x x x x x x=⋅==-⎰⎰⎰⎰ 2223323cos sin sin tan sec tan sec sec cos cos sin tan sec ln sec tan cos d d d d x x xx x x x x x x x x xxx x xx x x+=-=--=--+⎰⎰⎰⎰ 于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰. 22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x x x x x x =-++=+++=-++⎰⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t dt21131sec cos sin sec d d d t t t t t C C t =⋅==+=+⎰⎰ ∴原式=2ln(2(1)x C x +. 211(23)()(1)111111e e d e d e e d e e ee d e x x x x xxxxx x x x x x x x x x x x x x x C C x x x=-=-+⋅+++++=-+=-++=++++⎰⎰⎰⎰arctan arctan arctan arctan 322(24)(1)e e d e xx xx x x x x ==+⎰⎰arctan arctan arctan arctan arctan 322(1)e 1e e e x x x x xx x =-=+⎰于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =++⎰.习题5-4求下列不定积分：(1) 21d 1x x +⎰; (２)5438d x x x x x +--⎰;(３)sin d 1sin xx x +⎰; (4) cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 (1)令322111(1)(1)11A Bx Cx x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 11361(1)ln 61d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x Cx x x x Cx x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x xx x xx x x xx x x x x x x Cx x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x xx x C x x x Cx-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰注 本题亦可用万能代换法(4)令tan2xt =,则 222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x t t t t t--=====+++ 则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t t x x t C Ct --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。
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《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案习题五 （A ）1．求函数)(x f ，使)3)(2()(x x x f --='，且0)1(=f .解：6x 5x )(f 2++-='xC x x x x f +++-=⇒62531)(236230625310)1(=⇒=+++-⇒=C C f62362531)(23+++-=x x x x f2．一曲线)(x f y =过点（0，2），且其上任意点的斜率为x x e 321+，求)(x f .解：x e x x f 321)(+=C e x x f x ++=⇒341)(21232)0(-=⇒=+⇒=C C f1341)(2-+=⇒x e x x f3．已知)(x f 的一个原函数为2e x ，求⎰'x x f d )(.解：222)()(x x xe e x f ='=⎰+=+='C xe C x f dx x f x 22)()(4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dtdxsin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系.解：t t t S sin 3)(2-=C t t t S ++=⇒cos )(31212)0(=⇒=+⇒=C C S 1cos )(3++=⇒t t t S5．设[]211)(ln x x f +='，求)(x f .解：[]12arctan )(ln 11)(ln C x x f x x f +=⇒+=')0()(arctan arctan 1>==⇒+C Ce e x f x C x6．求函数)(x f ，使5e 1111)(22+--++='x x x x f 且0)0(=f .解：C x e x x x f e x x x f x x ++-++=⇒--++=+521arcsin 1ln )(1111)(252 21002100)0(=⇒=++-+=C C f 21521arcsin 1ln )(2++-++=⇒x e x x x f x7．求下列函数的不定积分 （1）⎰-x xx x d 2（2）⎰-)1(t a dt（3）⎰mnx x d （4）⎰+-x xx d 1122（5）⎰++x xx d 1124 （6）⎰++x xx xd cos sin 2sin 1（7）⎰+x x x x d cos sin 2cos （8）⎰++x xxd 2cos 1cos 12（9）⎰x x x xd cos sin 2cos 22 （10）x x x d sin 2cos 22⎰⎪⎭⎫⎝⎛+ （11）⎰-x xx x d cos sin12cos 22（12）⎰+-x xx d 1e1e 2 （13）⎰⨯-⨯x xxx d 85382 （14）x xx x d 105211⎰-+-（15）⎰-x xx -x x d )e (e （16）⎰++x x x x d )31)(2e ( （17）x x x xx d 1111⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+ （18）⎰----x x x x x x d 151)1(222（19）x xx d 1142⎰-+ （20）⎰-+-x x x xd sin cos1cos 1222（21）⎰+-+x x x x x d )1(1223 （22）⎰+-x xx x d 1224解：（1）=⎰+-=-C x x dxx x 252323215232)( （2）=⎰+-=--C tatt d a2121)1(2)1()1(.1（3）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+=≠-≠++=⎰⎰⎰+0 0, m C x dx nm C x In dx x m n m C x m n m dx x m n m m n m n（4）=⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-C x x dx x arctan 2 1212（5）=C x x x dx x x x x ++-=++-+⎰arctan 2311)1(32222（6）=⎰⎰++=+++dx xx x x dx xx xx x x cos sin )cos (sin cos sin cos sin 2cos sin 222=⎰+-=+C x x dx x x cos sin )cos (sin（7）=⎰⎰-=+-dx x x dx xx xx )sin (cos cos sin sin cos 22=C x x ++cos sin （8）=⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+C x x dx x dx xx2tan 21 1cos 121cos 2cos 1222 （9）=⎰⎰+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-C x x dx x x dx x x xx tan cot cos 1sin 1cos sin sin cos 222222（10）=⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=-++dx x x dx x x 122cos 2cos 22cos 121cos =C x x x +-+2sin 41sin 21（11）=⎰⎰+-=-=---C x dx xdx xx xx x x tan 2cos12cos sin sin cos sin cos 2222222（12）=()⎰+-=-C x e dx e x x 1（13）=⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x dx dx xx85ln 85328532（14）=⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--C dx dx x x xx22ln 5155ln 22151512（15）=⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x e dx x e x x ln 1（16）=[]⎰+++++=+++C e e dx e e xx x xxxxx6ln 63ln l )3(2ln 2)3(26（17）=⎰⎰+=-=--++C x dx xdx xx x arcsin 211211122（18）=⎰+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---C x x x dx x xx arcsin 5ln 21151222 （19）=⎰+=-C x dx xarcsin 112（20）=⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-C x x dx x dx xx2tan 211cos 121cos 2cos 1222 （21）=⎰⎰+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+-+C x x x dx x x x dx x x x x arctan 1ln 1111)1(1)1(22222 （22）=⎰⎰++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++--C x x x dx x x dx x x x arctan 22312212)1(13222248．用换元积分法计算下列各题. （1）⎰+-x x x d 24 （2）⎰-x x d )23(8（3）x xxd e3e 42⎰+ （4）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos d 2πx x（5）⎰-x x x d 432 （6）⎰+-52xd 2x x（7）⎰-+xxxe ed （8）⎰--xxxe e d（9）⎰-1tan cos d 2x xx（10）⎰)ln -(1d x x x（11）⎰-xx x2ln1d （12）⎰-x xx d e9e 2（13）⎰+x xxx d sin2cos sin 2（14）⎰-x x x d 212（15）x xx x d 1arctan 2⎰++ （16）⎰+xxe1d（17）x x x d 11arctan 2⎰+ （18）⎰+--x x x x d e )1(422 （19）⎰+x xx d 1335（20）⎰+x xxx d ln 2ln（21）⎰+x xx d sin 1sin 2 （22）⎰+-x x xx d 2sin 1cos sin（23）⎰+2)cos 2(sin d x x x（24）⎰x xx xd cos sin tan ln（25）⎰+xx x22cos3sin d （26）⎰-++1212d x x s（27）⎰+++3)1(1d x x x（28）⎰++52d 24x xxx（29）⎰+x x x x d )ln 1( （30）x x x x d 12⎰-+（31）⎰+)1(ln ln d 2x x x x（32）x x x xd )1(arcsin ⎰- （33）⎰xx x x cos sin d （34）x x x d )1(x arctan ⎰+（35）⎰+x xxd cos1cos 2（36）⎰xdx x 3cos 2sin（37）x x x x ⎰-d 2cos )sin (cos （38）x xxx d sin1cos sin 4⎰+ （39）⎰x xd sin14（40）⎰xdx 3tan解：（1）=C x x x d x x dx x x ++-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+⎰⎰2123)2(12)2(32)2(262262（2）=⎰+-=--C x x d x 98)23(271)23()23(31 （3）=()()⎰+=+C e e e d x xx3arctan3213212222（4）=C x x x d +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰32tan 2132cos 32212πππ（5）=⎰⎰+--=---=-C x x x d x x d 333334324)4(314)(31（6）=C x x x d +-=+--⎰21arctan 214)1()1(2（7）=⎰+=+C e ee d x xx arctan 1)(2（8）=C e e ee d x x xx ++-=-⎰11ln 211)(2 （9）=⎰+-=--C x x x d 21)1(tan21tan )1(tan（10）=C xx d +--=---⎰lnx 1ln ln 1)ln 1(（11）=⎰+=-C x x x d ln arcsin ln 1)(ln 2（12）=C e e e d x x x +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰3arcsin2922222（13）=C x xx d x x xd ++=++=+⎰⎰2222sin 2ln 21sin 2)sin 2(21sin 2)(sin sin （14）=C x x x d +--=---⎰222212121)21(41（15）=C x x x d x x x d +++=+++⎰⎰23222)(arctan 32)1ln(21)(arctan arctan 1)1(21（16）=⎰⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++-=+=+C e e e e d e e d e e e d dx e e e x xxx xx xxx xxx1ln 1)1()()1()()1( （17）=C x d x xx d x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰2221arctan 211arctan 1arctan 1111arctan（18）=⎰+=+-+-+-C e x x d e x x x x 422422221)42(21 （19）=)(131)(131333333t d tttx x d xx ⎰⎰+=+令⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+=-)()1()()1(31)(1113131323t d t t d t t d t t C x x C t t ++-+=++-+=3233533235)1(21)1(51)1(21)1(51（20）⎰⎰+=+=tt td txx xd 2)(ln ln 2)(ln ln 令⎰⎰⎰++-++=+-+=tt d t d t tt d t 2)2(2)2()2(2)(2221C x x C t t ++-+=++-+=21232123)ln 2(4)ln 2(32)2(4)2(32 （21）⎰+-=--=C x xx d 2cos arcsincos 2)(cos 2（22）C x x x x x x d ++=++-=-⎰12)cos (sin )cos (sin )cos (sin（23）C x x x d ++-=++=-⎰12)2(tan )2(tan )2(tan（24）⎰⎰+===C x x xd x d x x 2)tan (ln 21)tan (ln tan ln )(tan tan tan ln （25）⎰⎰+=+=+=C x x x d xx d )tan 3tan(31)tan 3(1)tan 3(31tan31)(tan 22（26）C x x dx x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=--+=⎰2323)12(32)12(324121212C x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=2323)12()12(61（27）⎰⎰+=+++++=dt tt tt x x x x d 3321)1(1)1(令 ⎰++=+=+=C x C t dt t1arctan 2arctan 21122（28）⎰++=+++=C x x x d 21arctan 414)1()1(212222（29）()⎰⎰+=+==+=C x C e e d dx x e x x x x x x x ln ln ln l )ln 1(（30）⎰⎰⎰++-=++-=+-=C x x x d x dx x dx x x x 23232222)1(3131)1(121)1(（31）⎰⎰+=+=)1()(ln 令)1(ln ln )(ln 22tt t d tx x x d⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=C t t t t d t t d 1ln 211)1()(21222222 C x x C x x ++-=++=)1ln(ln 21ln ln 1ln ln ln 21222（32）t x ==arcsin 令，则tdt t dt cos sin 2=⎰⎰+=+==C x C t dt t tdt t tt t 232322)(arcsin34342cos sin 2cos sin（33）⎰⎰+===C x xx d x x x d tan ln 2tan )(tan cos sin)(2 （34）⎰⎰+==+=C x x d x x d x x 22)(arctanarctanarctan2)(1arctan2（35）⎰+-+=-=C xx xx d sin 2sin 2ln221sin2)(sin 2（36）⎰⎰+-=-==C x x xd xdx x x 543cos 52cos cos 2cos cos sin 2 （37）⎰⎰---=+-=)sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos 22x x d x x dx x x x xC x x +--=3)sin (cos 31（38）⎰+=+=C x x x d 242sin arctan 21sin 1)(sin 21（39）⎰⎰⎰+--=+-=-==C x x x d x xx d dx xx cot cot 31)(cot )1(cot sin )(cot sinsin 132222 （40）⎰⎰⎰+-=-=-=C x x xdx x xd xdx x cos ln )(tan 21tan tan tan tan )1(sec 229．求下列函数的不定积分 （1）⎰+)1(d 7x x x（2）⎰-x x x d 12（3）⎰+-x x d 3211 （4）⎰+x x x-1)(1d（5）⎰+3d xx x （6）⎰-+x x xx d 21（7）x x xd 11632⎰++（8）x x d e 1⎰+ （9）⎰+-+x x x x d 4222（10）x x x d )1(323⎰-解：（1）⎰⎰++-=+=+=C x x x x dx dx x x x 77777761ln 71ln )1(71)1( （2）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 16-=-=⎰⎰+++-=+--=--=C t t t dt t t t dt t t t )315271(2)2(2)2()1(3572462（3）令t x =-21，则tdt dx t x -=-= , 212⎰⎰++-+--=+++-=+---+=C x C t t dt t dt t t 321ln 3213ln 3)331()(31 （4）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 12-=-=⎰⎰+---+-=+-+-=-=--=C xx C tt tdtdt tt t1212ln221.222ln221.222).2(222（5）令t x =6，则dt t dx t x 566 , ==⎰⎰⎰+-+-=+=+=dt t t t dt t t dt t t t 11)1(616623235C t t t t ++-+-=)1ln 2131(623 C t t t t ++-+-=1ln 663223（6）令t x =-2，则tdt dx t x 2 , 22=+=⎰⎰++=++=++=C t t dt t tdt tt 2arctan22)211(22.23222C x x +-+-=22arctan222（7）令t x =+312)1(，则dt t xds 232=⎰⎰+++-=++-=+=C t t t dt t t dt t t )1ln 21(9111919222C x x x +++++-+=1)1(ln )1()1(29312312322 （8）令t e x =+1，则12 , )1ln(22-=-=t tdt dx t x⎰++++-++=++-+=-=C e e e C t t t dt tt xx x )1111ln 211(2)11ln 21(21222（9）令t x =-1，则dt dx t x =+= , 1⎰⎰⎰+++++=+++=++=C t t tdt t dt t t dt t t 3ln 3)3(333332212223C x x x x x ++-+-++-=421ln 3)42(2212（10）令t x =2，则t x =⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=-+--=-=dt t t dt t t dt t t 3233)1(1)1(121)1(1121)1(21 C t t C t t +-+-=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=22)1(141)1(21)1(1211121C x x C x x +--=+-+-=222222)1(412)1(141)1(2110．设⎰⎰+=+=x xb x a xx x xb x a xx F d cos sin cos )G( ， d cos sin sin )(求)()(x bG x aF +；)()(x bF x aG -；)(x F ；)(x G .解：⎰+=++=+C x dx xb x a xb x a x bG x aF cos sin cos sin )()(⎰⎰++=++=+-=-C x b x a dx xb x a x b x a d dx xb x a xb x a x bF x aG cos sin ln cos sin )cos sin (sin sin sin cos )()(C bx x b x a a b a x G +++-=⇒)cos sin ln (1)(22C ax x b x a b b a x F +++--=)cos sin ln (1)(2211．用三角代换求下列不定积分. （1）⎰-221xd x x（2）⎰32)-(1d x x（3）⎰-x xx d 122（4）⎰-x x a x d 22 （5）⎰-322)1(d x xx（6）x x x d )1(2101298⎰-解：（1）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dx⎰⎰+--=+-=+-===C x x C x C t t dtdt t t t2221)cot(arcsin cot sin cos sin cos（2）令t x sin =，则)2t (cos π<=tdt dx C xx C x C t tdtdt tt+-=+=+===⎰⎰2231)tan(arcsin tan coscos cos（3）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC t t dt t tdt dt t t t +-=-===⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin cos cos sin 22 C x x x C x x +--=+-=2141arcsin 21)(arcsin 2sin 41arcsin 21 （4）令t a x sec =，则t a dx tan sec =，)20(π<<t⎰⎰⎰+-=-===C t a dt t a tdt a dt ta tt a t a )1(tan )1(sec tan sec tan sec .tan 22C saa a x C x a a a x a +--=+--=arccos )arccos (2222 （5）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-===dt t t dt t t dt tt dt tt t22222232cos 1cos 11cos )cos 1(1cossin 1cos sin cos C xx x x C t t +---=++-=2211tan cot （6）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+====C x x C td dt t dt tt t 992999810098101981991tan 991tan tan cos sin cos cos sin12．用分部积分法计算下列积分.（1）⎰++x x x x d e )31(2 （2）⎰--x x x d e 1 （3）⎰-x x x x d )sin (cos e （4）⎰x x x d cos （5）⎰x x d arcsin （6）⎰+x x d )4ln(2 （7）⎰x x x x d cos sin 4 （8）x x d l arctan 2⎰- （9）⎰x xx d )ln(ln （10）⎰x x x d sec 22 （11）⎰x xx d arctan 2（12）x x d )(arccos 2 （13）⎰+-x x xx d 44ln 2（14）⎰+x x xx d arctan 122（15）⎰+x x x x d arctan )1(632 （16）⎰x xxd costan ln 2（17）⎰•x x x d sin sec ln （18）⎰•x x x d tan ln 2sin（19）x x x x d ln 32ln 22⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （20）⎰x x x d arctan 2解：（1）⎰⎰+-++=++=dx x e e x x de x x x x x )32()31()31(22⎰++-++=dx e x e e x x x x x 2)32()31(2（2）C ex C dx e xe xde e x x x x ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=+----⎰⎰)1()1(311 （3）⎰⎰⎰⎰-=-=xdx e xde xdx e xdx e x x x x sin cos sin cos⎰⎰+=-+=C x e xdx e xdx e x e x x x x cos sin sin cos（4）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x sd cos sin sin sin sin（5）⎰⎰--+=--=2221)1(21arcsin 1arcsin xx d x x xx x xC x x x +-+=21arcsin（6）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+-+=+=dx x x x dx x x x x dx x 2222224412)4ln(42)4ln()4ln( C xx x x ++-+=2arctan42)4ln(2 （7）⎰⎰+--=+-=-=C x x x xdx x x x xd 2sin 212cos 2cos cos 2cos（8）⎰⎰---=-+---=dx x x s dx x xx x x x 111arctan)1(121121.1arctan 222222C x x x x +-+--=1ln 1arctan22（9）⎰⎰+-====C t t t tdt e x t x x d x tln ln ln )(ln )ln(lnC x x C x x x +-=+-=)1)(ln(ln ln ln )ln(ln .ln（10）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos ln 2tan 2tan 2tan 2)(tan 2 （11）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=++-=-=dx x x x x x dx x x x x xxd 2211arctan 111arctan )1(arctan C x x x x ++-+-=)1ln(21ln arctan 2 （12）⎰⎰-=--===tdt t t t tdt t tdtdx tx .cos 2cos sin sin arccos 22⎰⎰+--=--=-=C t t t t t tdt t t t t t td t t cos 2sin 2cos )sin sin (2cos sin 2cos 222 C x x x x x +---=21arccos 2arccos 2（13）⎰⎰⎰-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=dx x x x x x xd dx x x21.121.ln 21ln )2(ln 2C xx x x dx x x x x +-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--+--=⎰2ln 212ln 121212ln （14）⎰⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=xdx xxdx xdx x arctan 11arctan arctan 11122 ⎰⎰-+-=)(arctan arctan 1arctan 2x xd dx xxx xC x x x x +-+-=22arctan 21)1ln(21arctan （15）()()()dx x x x x x xd 223232311.1arctan 11arctan ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰()⎰+++-+=dx x x x x x112arctan 123623()⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+=dx x x x x x x x 1212arctan 122423()()C x x x x x x x +++--+-+=1ln 3151arctan 1223523 （16）⎰==t x x xd tan )(tan tan ln 令⎰+-=+-==C x x x C t t t tdt tan tan ln .tan ln ln（17）()⎰⎰+-=-=xdx xx x x x x xd tan .cos 1.cos .cos cos .sec ln cos sec ln ⎰+--=+-=C x xdx x x cos sec ln .cos sin cos .sec ln ()C e x x ++=22121（18）()⎰⎰-==dx xx xx x x xd cos sin 1sin tan ln .sin sin tan ln 222⎰++=-=C x x x xdx x x cos ln tan ln .sin tan tan ln .sin 22（19）()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x x x x x x x d x x 1321.ln 231ln 32ln 31ln 32ln 3132332 ⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x xdx x x x x 222392ln 32ln 32ln 31 ()⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x xd x x 232392ln 92ln 32ln 31 ⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x dx x x x x x 2232392.ln 92ln 32ln 31 C x x x x x x x +=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23323ln 31.ln 92ln 32ln 31 （20）()⎰⎰+-==dx x xx x x x d x 233.21.1131arctan 31arctan 31⎰⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--=+-=dx x x x x x x x dx x x x x 1161arctan31161arctan 312121233253C x x x x x x ++-+-=arctan313191151arctan 31212325313．计算下列有理函数的不定积分.（1）⎰+x x x d )31(1（2）⎰---)32)(1)((d x x x x（3）x x x x x d )2()1(122---- （4）⎰-++x x xx d 32322（5）⎰-1d 4x x（6）⎰++++x x x xx d 2541232（7）⎰-+-x x x xxd 123（8）⎰+---x x xx x d )1)(1(122（9）⎰+++x x x xx d 1234（10）⎰+---x x x x x d )2()1(18332解：（1）C xC x x dx x x++=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰311ln31ln ln 311313（2）C x x x dx x x x +---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+-=⎰2)2()3)(1(ln 21)3(2121)1(21 （3）C x x dx x x +---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎰112ln 21)2(12（4）C x x dx x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎰1ln 453ln 43)1(45)3(43（5）⎰+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C x x x dx x x arctan 2111ln 4111112122 （6）C x x x dx x x x ++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++-=⎰2ln 51ln 41225)1(2142 （7）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=dx x x x x dx x xx)1(2111121)1(21)1(21222()C x x x +-+++-=1ln 21arctan 211ln 412 （8）⎰⎰⎰⎰+-++----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-=dx x xdx x x x dx x dx x x x x 1123121111211222C x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++---=312arctan 31ln 211ln 2 （9）()()()()⎰⎰⎰++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=dx x dx x x x x dx x x x 121121211111222 ()⎰⎰++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1ln 2111211141212222x dx x x x d x x ()C x x x x x +++-++-=arctan 211ln 411ln 212122（10）()()⎰⎰⎰+--+-=--+-+--=C x x x dx x dx x dx x 21ln 1121111223（B ）1．填空题（1）设x x f 21)(ln +='，则)(x f = . （2）设函数)(x f 满足下列条件 ①2)0(=f ，0)2(=-f ；②)(x f 在1-=x ，5=x 处有极值；③)(x f 的导数是x 的二次函数，则)(x f = . （3）若C x x x xf x+=⎰e d )(2，则⎰x x f xd )(e = . （4）设2ln)1(222-=-x x x f ，且[]x x f ln )(=ϕ，则=⎰x x d )(ϕ .（5）设x x f ln )(=，则='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-x f x x x x d )e (e -2e e 43 . （6）='⎰x x f xx f d )(ln )(ln .（7）设)(x f 的一个原函数为xxsin ，则='⎰x x f x d )2( . （8）若⎰⎰-=x x f x f x x x f d )(cos )(sin d )(sin ，则=)(x f .解：(1)()C e x x f x ++=2()()()C e x x f e x f e x x f x x x ++=⇒+='⇒+=+='2212121ln ln(2)215623+--x x x由已知可设d cx bx ax x f +++=23)( 有()C bx ax x f ++='232()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==+-=-'=+-+-=-==⇒2156101075502310248220d c b a c b a f c b a f d c b a f d f()215623+--=⇒x x x x f（3）C x ++2ln()()()x x x x xxe e x f e x xe x xf C ex dx x xf +=⇒+=⇒+=⎰2222⎰⎰++=+=⇒C x dx xdx x f e x2ln 21)( （4）C x x +++1ln 21)(1)(ln11ln)(1111ln2ln )1(22222-+⇒-+=⇒--+-=-=-x x x x x f x x x x x f ϕϕ ⎰⎰⎰+-+=-+=-+=⇒-+=⇒C x x dx x dx x x dx x x x x 1ln 2)121(11)(11)(ϕϕ （5）C e e e x x x ++-+--22ln 24121222 ⎰⎰++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---C e e e dx e e e dx e e e e x x x x x x x x x x 22ln 2412121.222242243原式 （6）C x f +)(ln 2C x f x f x f d +==⎰)(ln 2)(ln ))(ln (原式（7）C xxx +-42sin 42cos ⎰-=⇒+=2sin cos )(sin )(x xx x c f C x x dx x f C x xx x x x x x x x dx x f x xf x f xd +-=--=-==⎰⎰42sin 42cos 22sin 4142sin 2cos 2.21)2(41)2(21))2((212原式 （8）x ln⎰⎰'-=dx x f x f x x f x dx x g )()(cos )(sin )(sinC x x f xx f +=⇒='∴ln )(1)(，取x x f ln )(=2．选择题（1）设x x f 2cos )(sin ='，则⎰=dx x f )(（ B ）A ．C x x +-331B ．1421212C Cx x x ++-C ．C x x ++421212 C ．C x x ++421212（2）设)()( , )(1)()( , )(1)()(2x g x F x f x f x g x f x f x F ='+=-=，且14=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=)(x f （ A ） A ．x tan B ．x cot C ．x arctan D ．x arc cot （3）若⎰+=C x x x f 2sin d )(，则⎰=--dx x x xf 12)12(22（ B ）A ．C x +22sin 41B ．C x +-)12sin(212 C ．C x +-)12(sin 2122 D ．C x +-)12sin(412 （4）设⎰⎰+•=xdx x f x g dx xx f 22cot )()(sin)(，则)(x f ，)(x g 分别是（ D ）A ．x x f cos ln )(=，x x g tan )(=B ．x x f cos ln )(=，x x g cot )(-=C ．x x f sin ln )(=，x x g tan )(=D ．x x f sin ln )(=，x x g cot )(-= 解：（1）BC +-=⇒-='⇒-=='322x 31x )x (f x 1)x (f x sin 1x cos )x (sin f⎰++-=⇒142C x x 1212x f (x)dx C（2）A根据1)4f (=π，首先排除C 、D ，再将选项A 、B 分别代入原条件中，得A（3）B)1x 2sin(1x 2212x f 2xsinx f (x)2222--=-⇒=⎰⎰+--=--=-=⇒C )1x 2sin(21)1d(2x )1x 2sin(2.41dx )1xsin(2x 22222原式，得B （4）D⎰⎰-=cotx)f (x)d(dx x sin f (x)2取cotx g(x)-=则⎰+=xdf (x)cot f (x)g(x)上式 与条件比较，得cotx g(x) ,lnsinx f (x)cotx df (x)-==⇒=，得D3．计算下列不定积分 （1）x xxxd 11ln 112-+-⎰ （2）x xx x d cos 1)sin 1(e ⎰++（3）⎰+)e 1(e d 2xxx（4）x xx d cos sin144⎰（5）⎰x x x x d cos e （6）⎰+++x x x x d 112（7）⎰xx4cos d （8）⎰++x aax x xd 22（9）⎰-+293d x x （10）⎰-xx1 （提示 令t x 2sin =） （11）x x x d 283⎰++ （12）⎰-x xxxd 1arcsin 22（提示 令t x =arcsin ，t x sin =，再用分部积分法）（13）⎰x x x d )(arctan 2 （14）x xxx d e 1arctan arctan 2⎰+（15）⎰+x xxx d )3(ln 22（16）x xx d )sin(ln 3⎰（提示 经过两次分部积分，又出现原积分形式，移项后便可得到所要结果）解：（1）C xxx x d x x ++-=+-+-=⎰11ln 41)11(ln 11ln 212 （2）dx x tg x tg e dx x xx e x x )2221(212cos )2cos 2(sin222++=+=⎰⎰⎰⎰++=dx e x tg dx e x tg e x x x 2212212 ⎰⎰+=++-+=C x tg e dx e x tg dx x tg e e x tg e x x x x x 2221)12(2122122 （3）⎰⎰+-=+=x xxxxxde eee ede )111()1(2222C e e x x +--=-arctan（4）C x x dx x+--==⎰cot cot 31sin 134C x x C x x x d x +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰2cot 382cot 82cot 2cot 31822sin 183134（5）=[]c x x x x e x++-cos sin )1(21 （6）⎰⎰⎰+++++++=++-+=dx x x x x x d dx x x x 22222)23()21(1211)1(2112121C x x x x x C x x x x x ++++++++=++++++++=121ln 211121ln 2112.212222 （7）⎰⎰++=+==C x x x d x x d x322tan 31tan tan )tan 1()(tan cos1（8）⎰⎰⎰++-+++++=++-+=dx aax x a aax x a ax x d dx a ax x aa x 222222221)2()(2122C a ax x ax a a ax x +++++-++=22222ln 2 （9）t x sin 3==令，20π<<t 则⎰⎰⎰+-=+=+dt tdt t t dt t t )cos 111(cos 1cos cos 33cos 3⎰+-=-C tt t d t t 2arctan )2(2cos 12 C x x x C xx+-+-=+-=2933arcsin 23arcsintan 3arcsin（10）t x 2sin ==令，20π<<t ，则⎰⎰⎰+==dt ttdt tdt t t t 22cos 12cos 2cos sin 2sin cos 2 C x x x t t dt t +-+=+=+=⎰2arcsin 2sin 21)2cos 1( （11）C x x x dx x x dx x x x ++-=++=++++=⎰⎰4342)42(2)42)(22(232（12）t x =arcsin 令，t x sin =，则⎰⎰⎰⎰+-=-===tdt t t t td dt tttdt tt tcot cot )cot (sincos cos sin22C x x xx C t t t ++--=++-=ln arcsin 1sin ln cot 2（13）xdx xx x x x d x arctan 1)(arctan 21)()(arctan 21222222⎰⎰+-==⎰⎰++-=xdx xxdx x x arctan 11arctan )(arctan 21222 C x x x x x x ++++-=2222)(arctan 21)1ln(21arctan )(arctan 21 （14）⎰⎰==dt te t x x d xe t x arctan )(arctan arctan arctan 令⎰⎰+-=+-=-==C e x C e t de te tde x t t t t arctan )1(arctan )1(（15）⎰⎰⎰+++-=+-=++=dx xx x x x xd x d x x )3(1213ln 21)31(ln 21)3()3(ln 21222222C x x x x dx x x x x ++-++-=+-++-=⎰)3ln(121ln 613ln 21)311(613ln 212222（16）⎰⎰+-=-=dx x x x xx d x 322ln cos 21)sin(ln 21)1()sin(ln 21dx x x x xx x⎰---=322ln sin 41ln cos 41)sin(ln 21[]C x x x ++-=⇒ln cos ln sin 2512原式。