《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案五

《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案

习题五 （A ）

1．求函数)(x f ，使)3)(2()(x x x f --='，且0)1(=f .

解：6x 5x )(f 2++-='x

C x x x x f +++-=⇒625

31)(23

623

0625310)1(=⇒=+++-⇒=C C f

6

23

62531)(23+++-=x x x x f

2．一曲线)(x f y =过点（0，2），且其上任意点的斜率为x x e 32

1+，求)(x f .

解：x e x x f 32

1)(+=

C e x x f x ++=

⇒341)(2

1232)0(-=⇒=+⇒=C C f

134

1)(2

-+=

⇒x e x x f

3．已知)(x f 的一个原函数为2

e x ，求⎰

'x x f d )(.

解：2

2

2)()(x x xe e x f ='=

⎰

+=+='C xe C x f dx x f x 2

2)()(

4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dt

dx

sin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系.

解：t t t S sin 3)(2-=

C t t t S ++=⇒cos )(3

1212)0(=⇒=+⇒=C C S 1cos )(3++=⇒t t t S

5．设[]2

11)(ln x x f +='，求)(x f .

解：[]12

arctan )(ln 11)(ln C x x f x x f +=⇒+=

'

)0()(arctan arctan 1>==⇒+C Ce e x f x C x

6．求函数)(x f ，使5e 11

11)(22

+--++='x x x x f 且0)0(=f .

解：C x e x x x f e x x x f x x ++-++=⇒--++=

+521arcsin 1ln )(1111)(252 2

1002100)0(=⇒=++-

+=C C f 2

1

521arcsin 1ln )(2++-

++=⇒x e x x x f x

7．求下列函数的不定积分 （1）

⎰-x x

x x d 2

（2）

⎰

-)1(t a dt

（3）⎰

m

n

x x d （4）

⎰+-x x

x d 1

1

2

2

（5）⎰++x x

x d 1

1

2

4 （6）

⎰

++x x

x x

d cos sin 2sin 1

（7）⎰+x x x x d cos sin 2cos （8）⎰

++x x

x

d 2cos 1cos 12

（9）

⎰

x x x x

d cos sin 2cos 22 （10）x x x d sin 2cos 22⎰

⎪⎭

⎫

⎝⎛+ （11）⎰-x x

x x d cos sin

1

2cos 22

（12）

⎰+-x x

x d 1

e

1

e 2 （13）⎰

⨯-⨯x x

x

x d 85382 （14）

x x

x x d 10521

1⎰-+-

（15）

⎰

-x x

x -x x d )

e (e （16）⎰

++x x x x d )31)(2e ( （17）x x x x

x d 1111⎰⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛+-+-+ （18）⎰

----x x x x x x d 151)1(2

22

（19）

x x

x d 114

2⎰

-+ （20）

⎰-+-x x x x

d sin cos

1cos 12

2

2

（21）⎰+-+x x x x x d )1(12

2

3 （22）⎰+-x x

x x d 12

2

4

解：（1）=⎰

+-=-C x x dx

x x 25

232321

52

32)( （2）=

⎰

+-=

--C t

a

t

t d a

2

12

1)1(2)1()1(.

1

（3）=⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+=≠-≠++=⎰

⎰⎰+0 0

, m C x dx n

m C x In dx x m n m C x m n m dx x m n m m n m n

（4）=⎰+-=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+-C x x dx x arctan 2 12

12

（5）=

C x x x dx x x x x ++-=++-+⎰

arctan 231

1)1(3

2222

（6）=⎰⎰

++=

+++dx x

x x x dx x

x x

x x x cos sin )cos (sin cos sin cos sin 2cos sin 2

22

=⎰

+-=+C x x dx x x cos sin )cos (sin

（7）=⎰⎰

-=+-dx x x dx x

x x

x )sin (cos cos sin sin cos 22

=C x x ++cos sin （8）=⎰⎰

++=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=

+C x x dx x dx x

x

2tan 21 1cos 12

1cos 2cos 122

2 （9）=

⎰

⎰

+--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-C x x dx x x dx x x x

x tan cot cos 1sin 1

cos sin sin cos 222

2

22

（10）=

⎰⎰

⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=-++dx x x dx x x 122cos 2cos 22cos 121cos =C x x x +-+2sin 4

1sin 21

（11）=

⎰⎰

+-=-=---C x dx x

dx x

x x

x x x tan 2cos

1

2

cos sin sin cos sin cos 2

222222

（12）=(

)

⎰+-=-C x e dx e x x 1