内蒙古通辽市开鲁县第一中学2021届高三上学期第三次阶段性考试数学(理)试题 Word版含答案

开鲁一中2020-2021学年度上学期高三年级第三次阶段性考试数学（理）学科试题命题人：王金艳 时间：2020.11一、选择题1．已知集合{}213A ,,a =，{}1B ,a 2=+，若AB B =，则实数a 的取值为（ ）A ．1B ．-1或2C ．2D ．-1或12．若复数z 满足(1)2i z i -=，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的虚部为i -B ．z 为实数C ．z = D ．2z z i +=3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31235S a a +=，则数列{}n a 的公比为（ ）A BC ．2D ．4．随着电子商务的快速发展，快递服务已经成为人们日常生活中必不可少的部分.国家邮政局数据显示，我国快递业务量已连续6年居世界榜首，下图是我国2011—2019年的快递业务量(单位：亿件)及增速情况，则以下说法正确的是（ ）A ．2012—2019年我国快递业务量的增速逐年减少B ．2013—2014年我国快递业务量的增速最大C ．2019年我国快递业务量比2015年大约增长300%D ．2019年我国快递业务量比2014年增加了495.6亿件 5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）AB ．83C．D ．43第5题 第6题6．冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ）是A ．9B ．10C ．11D ．7+8．某集团军接到抗洪命令，紧急抽调甲､乙､丙､丁四个专业抗洪小组去A ，B ，C ，D 四地参加抗洪抢险，每地仅去1人，其中甲不去A 地也不去B 地，乙与丙不去A 地也不去D 地，如果乙不去B 地，则去D 地的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30B ∠=︒，ABC ∆的面积为32，且sin sin 2sin A C B +=，则b 的值为( )A ．B ．4﹣C 1D 110．在ABC 中，AB AC AB AC +=-，3AB =，4AC =，则CA 在CB 方向上的投影为（ ）A ．4B ．165C ．163D ．511．数列{}n c 满足1112(22)(21)n n n n c +++=--，其前n 项和为n T ，若9991000n T <成立，则n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．已知函数()()1ln ,0,k e f x x x k k x=+-∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()()1122,,,M x y N x y 使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行，则12x x ⋅的取值范围是（ ）A ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13．设实数x ，y 满足不等式组1021010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2x y -的最小值是________.14．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，则实数ω的最大值为________. 15．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22663nn n S a ⎛⎫+=-⨯ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则数列{}n a 中最大项等于______.16．已知函数()()21,122,1ax x f x x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩，若函数()1y f x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题17．已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且122,1=+S a 是1a 与3a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()22log =+⋅n n n b S a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．已知函数()()22sin sin cos cos f x x a x x b x x R =++∈，且()03f =，6f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求该函数的最小正周期及对称中心坐标；（2）若方程()2f x =的根为α，β且()k k Z αβπ-≠∈，求()tan a β+的值.19．学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）.本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题得分X的分E X.布列及数学期望()20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 分别为AC 和11B C 的中点.（1）证明：//DE 平面11ABB A ；（2）若AB BC ⊥，12AB BC AA ===，求二面角B AE D --的余弦值.21．已知函数()1x f x e x =--，2)(ax x g =（a R ∈）. （1）求()f x 的值域；（2）当(),a t ∈+∞时，函数()()()2F x f x g x =-+有三个不同的零点，求实数t 的最小值； （3）当()0,x ∈+∞时，()()()()ln 1f x x x g x ++≥恒成立，求a 的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x x =--+ （1）解不等式()0f x x +>．（2）若关于x 的不等式()22f x a a ≤-的解集为R ，求实数a 的取值范围．开鲁一中高三年级第三阶段性考试数学（理）学科试题答案1.C2.C3.C4.D5.B6.B7.B8.A9.D 10.B 11.A 12.D 13. -1 14.32 15.8916.[)3,6 17.【答案】（1）2,*n n a n N =∈；（2）2(1)24n n T n +=-⋅+.【详解】（1）等比数列{}n a 的公比设为q ，12S =，即12a =，21a +是1a 与3a 的等差中项，可得()13221a a a +=+，所以2222(21)q q +=+，整理求得2q， 则1222,*n n n a n N -=⋅=∈；（2）由（1）可求得12(12)2212n n n S +-==--，()21122log 2log 22n n n n n n b S a n ++=+⋅=⋅=⋅，∴23411222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅.①345221224322+=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅n n T n ，②①－②得2341222222n n n T n ++-=++++-⋅24(12)212n n n +-=-⋅-222242(1)24n n n n n +++=--⋅=-⋅-， 所以2(1)24n n T n +=-⋅+，18.【答案】(1) 最小正周期为π.对称中心坐标为(),228k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭；(2)-1 【详解】（1）由()03f =，562f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得：31344b b =⎧⎪⎨+=⎪⎩32b a =⎧⎨=-⎩， ()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x ∴=-+22cos sin 21x x =-+cos2sin 22x x =-+224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，22T ππ∴==，即函数的最小正周期为π. 由()242x k k Z πππ+=+∈得：()28k x k Z ππ=+∈ ∴函数()f x 的对称中心坐标为(),228k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）由题意得：()()2f f αβ==，即cos 2cos 244ππαβ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22244k ππαβπ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭或()22244k k Z ππαβπ⎛⎫+=-++∈ ⎪⎝⎭，则k αβπ-=或()4k k Z παβπ+=-+∈，由()k k Z αβπ-≠∈知：()4k k Z παβπ+=-+∈，()tan tan 14παβ⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭.19. 【答案】分布列见解析，()32132E X =分； 解：（1）随机变量X 的可能取值为9、9.5、10、10.5、11， 设一评、二评、仲裁所打分数分别为x ，y ，z ，()()()99,99,11,9P X P x y P x y z ====+===()11,9,9P x y z +===11111324444432=⨯+⨯⨯⨯=， ()()()9.59,1010,9P X P x y P x y ====+==1112424=⨯⨯=，()()1111010,10224P X P x y =====⨯=，()()()10.510,1111,10P X P x y P x y ====+==()()9,11,1011,9,10P x y z P x y z +===+===111115222444216=⨯⨯+⨯⨯⨯=， ()()1111,11P X P x y ====()()11,9,119,11,11P x y z P x y z +===+===11111324444432=⨯+⨯⨯⨯=. 所以X 分布列如下表：数学期望()99.51010.51132441632E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=32=.20.【答案】（1）详见解析；（2 【详解】（1）如图，作线段BC 中点F ，连接DF 、EF ，因为F 是线段BC 中点，点D 为线段AC 的中点，所以//DF AB ，因为F 是线段BC 中点，点E 为线段11B C 的中点，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1//EF B B ，因为DF EF F =，直线AB 平面11ABB A ，直线1B B ⊂平面11ABB A ， 所以平面//DEF 平面11ABB A ，因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面11ABB A .（2）如图，以B 为原点、BC 为x 轴、BA 为y 轴、1BB 为z 轴构建空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,2,0A ，()1,0,2E ，()1,1,0D ，()0,2,0BA =，1,0,2BE ，1,1,0AD ，0,1,2DE ，设()111,,n x y z =是平面BAE 的法向量，则00n BA n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111020y x z =⎧⎨+=⎩， 令12x =，则()2,0,1n =-，5n =，设()222,,m x y z =是平面AED 的法向量，则00m AD m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2222020x y y z -=⎧⎨-+=⎩， 令22x =，则()2,2,1m =，3m =令二面角B AE D --为θ， 则35cos θ35m nmn ， 故结合图像易知，二面角B AE D --. 21.【答案】（1）∵()1x f x e =-'，由()0f x '=得，0x =∴()f x 在区间(],0-∞上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增，∴函数()f x 的值域是[)0,+∞；（2）()2e 1x F x ax x =--+，∴()21x F x e ax '=--，()2x F x e a ''=- 当0a ≤时，()0F x ''>，()F x '单调递增 又()00F '=，∴()F x '在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，∴()()00F x F ''≥=，∴()F x 在R 上单调递增，不合题意.-当0a >时，由()20x F x e a '=->'，得ln(2)x a >，∴()F x '在区间(],ln(2)a -∞上单调递减，在区间[)ln(2),a +∞上单调递增， ∵(0)0F '=，12102a F e a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭∴若102a <<，则在区间(],ln(2)a -∞上存在1x ， 当()1,x x ∈-∞时，()0F x '>，当()1,0x x ∈时，()0F x '<，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>∴()F x 在区间()1,x -∞上单调递增，在区间()1,0x 上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，此时函数()F x 有且只有一个零点.- 当12a >时，存在()2ln(2)x a ∈+∞，，使得()222210x F x e ax '=--=， ∴()F x 在区间(),0-∞上单调递增，在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，从而要使()F x 有三个零点，必有()2222210x F x e ax x =--+<，∴()2222120ax a x --->，即()()22210x ax -+>，∴22x >， 又∵2212x e a x -=，令()12x e h x x -=，则()()2112x x e h x x-+'= ∵当2x >时，()0h x '>，∴()h x 在区间()2,+∞单调递增，∴()2124e a h ->=，即2min 14e t -=.- （3）()()2ln 1f x x x ax ++⎡⎤⎣⎦()()21ln 1e -x x ax ⇔+， ∴()()()()()2ln 1e -1e -1e -1ln 1e 1ln 1ln 1x x x x x x x a x x x x ++==-++，- 令()e -1x m x x =，则()()21e xx m x x -'=， 令()()1e 1x x x ϕ=-+，则()e xx x ϕ'=， ∵0x >，∴()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,+∞上单调递增，∴()()1010x eϕϕ>=->，于是()m x 在()0,+∞上单调递增， 又由（1）知当()0,x ∈+∞时，e 1x x >+恒成立，∴()ln 1x x >+， ∴()()()1,1ln 1m x a m x >+，∴a 的取值范围是(],1-∞. 22.【答案】（Ⅰ）()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭；（Ⅰ）4.【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,{0,x y y x y +-=+-=解得0,{0,x y ==或{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以2sin 23cos AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4． 23.【答案】（I ）{31x x -<<或}3x >；（II ）3a ≥或1a ≤-. 详解：(1)不等式()0f x x +>可化为21|x x x -+-.当1x <-时，()()21x x x --+>-+解得3x >-即31x -<<-； 当12x -≤≤时，()21x x x --+>+解得1x <即11x -≤<； 当2x >时，21x x x -+>+解得3x >即3x >;综上所述:不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >.(2)由不等式()22f x a a ≤-可得 2212x x a a ---≤-；21x x ---≤ 213x --=223a a ∴-≥，即2230a a --≥解得3a ≥或1a ≤-故实数a 的取值范围是3a ≥或1a ≤-.。