高中数学选修4-1相似三角形的判定及性质第二课时
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D C
F
A
E
B
1．相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；
作业：
1、如果一个圆过△ABC的顶点B和C，并且分 别交AB、AC于点D和点E。
AD AE 求证： AC AB
2、已知E是圆内接四边形ABCD的对角线BD上 的一点，并且∠BAE=∠CAD， 求证： (1) AB CD AC BE (2) AD BC AC ED
解:设正方形PQMN为加工成 的正方形零件.边QM在BC上, 顶点P,N分别在AB,AC上. △ABC的高与边PN相交于点 E.设正方形的边长为xcm. PN // BC
A P E
N
x
APN ∽ ABC 12 x x AE PN 12 24 AD BC
B
Q
D
M
C
x 8(cm )
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与
另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 AC 0 AB 已知 : Rt ABC 和Rt ABC 中.C C 90 . . AB AC
A A΄
求证 : RtABC ∽ RtABC
“同一法”是一种间接证明方法. “同一法”证明问题时:先作出一个满足命 题结论的图形,
然后证明图形符合已知条件,确定所做图形与 提设条件所指的图形相同,
从而证明命题成立.
例3.如图，在△ABC内任取一点D,连接AD和BD, 点E在△ABC外, EBC ABD, ECB DAB. 求证 : DBE ∽ ABC.
R
r
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边 AD,BE与CF交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
A E H D
F
B
C
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理 定义 引理
G
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC.求证:△DEF∽△ABC.
第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.3 相似三角形的判定及性质
复习回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相 似比(或相似的系数). 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的 延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
判定定理1
B
D
C
由(1)(2)及判定定理2知 DBE ∽ ABC.
E
判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两 个三角形相似. 简述:三边对应成比例,两三角形相似
已知:如图,在△ABC和△ABC中
求证: △ABC∽△A’B’C’
AB BC C A AB BC CA
A´ A
B
D
C
B´
D´
C´
例 如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边 和AC边上的高，H是AD、BE的交点
求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
例6.如图,锐角三角形ABC是一块钢板的余料,边 BC=24cm,BC边上的高AD=12cm.要把它加工成 正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶 点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长.
D
E
E
采用了“同一法” B 的间接证明
C
∴AE=AE 因此E与点E重合即DE与DE重合, 所以 DE//BC
在探究数学问题的过程中，应当做到“步步有 据”。 有时,为了寻找某个步骤的推理依据,往往会产 生一个原命题的辅助问题.数学家把这种辅助问题 称为引理. 当直接证明比较困难时,用间接法.
AB AC k. 证明：设 AB AC 那么，AB kAB. AC kAC.
BC 2 AB2 AC 2 k ( AB AC ) k BC . AB AC BC BC kBC . AB AC BC k .
A
证明: 在△ABC的边AB(或延长线)上截取 AD=AB,过点D作DE//BC,交AC于点E.
AD DE EA AB BC CA
△ADE∽△ABC
DE BC EA C A , BC BC CA CA
B
A
D
C
∵ AD=AB
AD AB AB AB DE BC, EA CA AB BC C A ∴△ADE≌△ABC AB BC CA B
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
A
证明 : ABC ∽ ABC
AB kAB. BC kBC. AC kAC.
AB BC CA AB BC C A k ( AB BC C A) k. AB BC C A
三边对பைடு நூலகம்成比例 A F
D
B E O F C B
E
A
D
C △ACD∽△BCE.
7.△ABC是钝角三角形,AD,BE,CF分别是三条高. 求证:AD· BC=BE· AC
习题 1.3
10.如图,平行四边形ABCD中,AE︰EB=1︰2 求:△AEF与△CDF的周长比;
如果△AEF的面积等于6cm² 求△CDF的面积. ,
2 2 2 2 2
C΄
B΄
C
B
由判定定理 RtABC ∽ RtABC 3得
2.相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应 角平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A´ A
B
D
C
B´
D´
C´
2.相似三角形的性质
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么 这两个三角形相似.
简述:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角 相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
5、如图，线段EF平行于平行四
边形ABCD，的一边AD，BE与 CF交于一点G，AE与DF交于一 B 点H，求证：GH∥AB 6、如图：已知DE∥AB， EF∥BC。
G A E F C
D
H
A D B
O F
E
求证：△DEF∽ △ABC
C 2．相似三角形周长的比等于相似比；3．相似三角形面积的比等于相似比的平方；
判定定理2
预备定理 直角三角形判定定理
判定定理3
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a， AC=b，A′B′=a′，当 A′C′为多少时， △ABC∽△A′B′C′？
2．相似三角形周长的比等于相似比；3．相似三角形面积的比等于相似比的平方；
1．相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；
4、已知△ABC，求作△A′B′C′，使它与△ABC相似，并 且△ABC和△A′B′C′的相似比为2：3。
B
∴△DEF∽△ABC
直角三角形相似的判定定理 定理
那么它们相似。
两边对应成比例及夹角相等 两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比 例，那么它们相似。 类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的 另一个判定定理.
证明:在△DBE与△ABC中,
DBE EBC CBD, ABC ABD DBC.
ABD EBC, DBE ABC. (1)
又EBC ABD, ECB DAB.
A
ABD ∽ CBE.
BE BC BE BD .即 . (2) BD AB BC AB
已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且 引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 AD AE 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 求证：DE//BC A 于三角形的第三边. AB AC 证明: 作 DE//BC,交AC于E
AD AE ' AB AC AD AE AB AC AE AE ' AC AC
E
∴△ABC∽△ABC
C
例 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、 BC、CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC
证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
EF 1 1 1 BC , FD CA, DE AB 2 2 2
A F E D C
EF FD DE 1 BC CA AB 2
A
B´
C´ D´
O周长 AD k. O周长 AD
AD 2 ( ) O面积 2 k 2. O面积 ( AD ) 2 2
问题2 两个相似三角形的内切圆的直径比，周长 比，面积比与相似比有什么关系？
结论：两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比 等于相似比；面积比等于相似比的平方。
1．相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；
7、如图， △ABC是钝角三角形，AD、BE、
CF分别是△ABC的三条高，
求证： BC BE AC AD
F E A
B
D
C
2．相似三角形周长的比等于相似比；3．相似三角形面积的比等于相似比的平方；
小结
判定定理1
相 似 三 角 形 的 概 念
思考：
相似三角形中的高，中线，内角平分线， 周长，面积等要素都与相似比有关.
那么，与三角形有关但不在三角形内的
其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？ 你想到哪些元素？
三角形的外接圆和内接圆
结论：两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比 问题1 两个相似三角形的外接圆的直径比，周长 等于相似比；面积比等于相似比的平方。 比，面积比与相似比有什么关系？
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应 角平分线的比都等于相似比；
证明 : ABC ∽ ABC
B B. DB 900. ADB A ABD ∽ ABD. AD AB . AD AB
B´ B
A
D
C
A´
D´
C´
2.相似三角形的性质
探究：∵∠C=∠C′而∠D=∠C ∠D′=∠C′ ∴∠D=∠D′, ∴Rt△ABD ∽ Rt△A′B′D′
AD AB k. AD AB AD O的周长 2 AD 2 AD O的周长 2 AD 2
O B D C A´
O´
A´
AB AC BC k. AB AC BC
B
D
C
B´
D´
C´
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
S ABC S ABC
1 BC AD BC AD 2 k k k 2. 1 BC AD BC AD 2
F
A
E
B
1．相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；
作业：
1、如果一个圆过△ABC的顶点B和C，并且分 别交AB、AC于点D和点E。
AD AE 求证： AC AB
2、已知E是圆内接四边形ABCD的对角线BD上 的一点，并且∠BAE=∠CAD， 求证： (1) AB CD AC BE (2) AD BC AC ED
解:设正方形PQMN为加工成 的正方形零件.边QM在BC上, 顶点P,N分别在AB,AC上. △ABC的高与边PN相交于点 E.设正方形的边长为xcm. PN // BC
A P E
N
x
APN ∽ ABC 12 x x AE PN 12 24 AD BC
B
Q
D
M
C
x 8(cm )
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与
另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 AC 0 AB 已知 : Rt ABC 和Rt ABC 中.C C 90 . . AB AC
A A΄
求证 : RtABC ∽ RtABC
“同一法”是一种间接证明方法. “同一法”证明问题时:先作出一个满足命 题结论的图形,
然后证明图形符合已知条件,确定所做图形与 提设条件所指的图形相同,
从而证明命题成立.
例3.如图，在△ABC内任取一点D,连接AD和BD, 点E在△ABC外, EBC ABD, ECB DAB. 求证 : DBE ∽ ABC.
R
r
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边 AD,BE与CF交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
A E H D
F
B
C
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理 定义 引理
G
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC.求证:△DEF∽△ABC.
第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.3 相似三角形的判定及性质
复习回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做 相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相 似比(或相似的系数). 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的 延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
判定定理1
B
D
C
由(1)(2)及判定定理2知 DBE ∽ ABC.
E
判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两 个三角形相似. 简述:三边对应成比例,两三角形相似
已知:如图,在△ABC和△ABC中
求证: △ABC∽△A’B’C’
AB BC C A AB BC CA
A´ A
B
D
C
B´
D´
C´
例 如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边 和AC边上的高，H是AD、BE的交点
求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
例6.如图,锐角三角形ABC是一块钢板的余料,边 BC=24cm,BC边上的高AD=12cm.要把它加工成 正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶 点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长.
D
E
E
采用了“同一法” B 的间接证明
C
∴AE=AE 因此E与点E重合即DE与DE重合, 所以 DE//BC
在探究数学问题的过程中，应当做到“步步有 据”。 有时,为了寻找某个步骤的推理依据,往往会产 生一个原命题的辅助问题.数学家把这种辅助问题 称为引理. 当直接证明比较困难时,用间接法.
AB AC k. 证明：设 AB AC 那么，AB kAB. AC kAC.
BC 2 AB2 AC 2 k ( AB AC ) k BC . AB AC BC BC kBC . AB AC BC k .
A
证明: 在△ABC的边AB(或延长线)上截取 AD=AB,过点D作DE//BC,交AC于点E.
AD DE EA AB BC CA
△ADE∽△ABC
DE BC EA C A , BC BC CA CA
B
A
D
C
∵ AD=AB
AD AB AB AB DE BC, EA CA AB BC C A ∴△ADE≌△ABC AB BC CA B
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
A
证明 : ABC ∽ ABC
AB kAB. BC kBC. AC kAC.
AB BC CA AB BC C A k ( AB BC C A) k. AB BC C A
三边对பைடு நூலகம்成比例 A F
D
B E O F C B
E
A
D
C △ACD∽△BCE.
7.△ABC是钝角三角形,AD,BE,CF分别是三条高. 求证:AD· BC=BE· AC
习题 1.3
10.如图,平行四边形ABCD中,AE︰EB=1︰2 求:△AEF与△CDF的周长比;
如果△AEF的面积等于6cm² 求△CDF的面积. ,
2 2 2 2 2
C΄
B΄
C
B
由判定定理 RtABC ∽ RtABC 3得
2.相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应 角平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等于相似比；
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A´ A
B
D
C
B´
D´
C´
2.相似三角形的性质
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么 这两个三角形相似.
简述:两角对应相等,两三角形相似
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角 相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
5、如图，线段EF平行于平行四
边形ABCD，的一边AD，BE与 CF交于一点G，AE与DF交于一 B 点H，求证：GH∥AB 6、如图：已知DE∥AB， EF∥BC。
G A E F C
D
H
A D B
O F
E
求证：△DEF∽ △ABC
C 2．相似三角形周长的比等于相似比；3．相似三角形面积的比等于相似比的平方；
判定定理2
预备定理 直角三角形判定定理
判定定理3
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a， AC=b，A′B′=a′，当 A′C′为多少时， △ABC∽△A′B′C′？
2．相似三角形周长的比等于相似比；3．相似三角形面积的比等于相似比的平方；
1．相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；
4、已知△ABC，求作△A′B′C′，使它与△ABC相似，并 且△ABC和△A′B′C′的相似比为2：3。
B
∴△DEF∽△ABC
直角三角形相似的判定定理 定理
那么它们相似。
两边对应成比例及夹角相等 两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比 例，那么它们相似。 类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的 另一个判定定理.
证明:在△DBE与△ABC中,
DBE EBC CBD, ABC ABD DBC.
ABD EBC, DBE ABC. (1)
又EBC ABD, ECB DAB.
A
ABD ∽ CBE.
BE BC BE BD .即 . (2) BD AB BC AB
已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且 引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 AD AE 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 求证：DE//BC A 于三角形的第三边. AB AC 证明: 作 DE//BC,交AC于E
AD AE ' AB AC AD AE AB AC AE AE ' AC AC
E
∴△ABC∽△ABC
C
例 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、 BC、CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC
证明:∵线段EF、FD、DE都是 △ABC的中位线
EF 1 1 1 BC , FD CA, DE AB 2 2 2
A F E D C
EF FD DE 1 BC CA AB 2
A
B´
C´ D´
O周长 AD k. O周长 AD
AD 2 ( ) O面积 2 k 2. O面积 ( AD ) 2 2
问题2 两个相似三角形的内切圆的直径比，周长 比，面积比与相似比有什么关系？
结论：两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比 等于相似比；面积比等于相似比的平方。
1．相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；
7、如图， △ABC是钝角三角形，AD、BE、
CF分别是△ABC的三条高，
求证： BC BE AC AD
F E A
B
D
C
2．相似三角形周长的比等于相似比；3．相似三角形面积的比等于相似比的平方；
小结
判定定理1
相 似 三 角 形 的 概 念
思考：
相似三角形中的高，中线，内角平分线， 周长，面积等要素都与相似比有关.
那么，与三角形有关但不在三角形内的
其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？ 你想到哪些元素？
三角形的外接圆和内接圆
结论：两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比 问题1 两个相似三角形的外接圆的直径比，周长 等于相似比；面积比等于相似比的平方。 比，面积比与相似比有什么关系？
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应 角平分线的比都等于相似比；
证明 : ABC ∽ ABC
B B. DB 900. ADB A ABD ∽ ABD. AD AB . AD AB
B´ B
A
D
C
A´
D´
C´
2.相似三角形的性质
探究：∵∠C=∠C′而∠D=∠C ∠D′=∠C′ ∴∠D=∠D′, ∴Rt△ABD ∽ Rt△A′B′D′
AD AB k. AD AB AD O的周长 2 AD 2 AD O的周长 2 AD 2
O B D C A´
O´
A´
AB AC BC k. AB AC BC
B
D
C
B´
D´
C´
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
S ABC S ABC
1 BC AD BC AD 2 k k k 2. 1 BC AD BC AD 2