因为电容电压、电流为同频率的正弦量

（2）平均功率（有功功率）P
P = 0，电感元件不耗能
（3） 无功功率QL （单位为乏尔Var） 为了衡量电源与元件之间能量交换的规模，引入
无功功率的概念。所谓无功功率，就是吸收电能转换
成磁场能的那部分功率： QL
ULI

I
2XL

U2 XL
无功功率 QL反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
7.1.4 正弦量的有效值
有效值指与交流电热效应相同的直流电数值。
例
iR
IR
交流电i 通过电阻R时，在t 时间内产生的热量为Q
直流电I 通过相同电阻R时，在 t 时间内产生的热量也为Q
即：热效应相同的直流电流 I 称之为交流电流 i 的有效 值。有效值可以确切地反映交流电的作功能力。
理论和实际都可以证明：
I
=
U
R
7.3.2 电阻电压与电流的相量关系
因为电阻电压、电流为同频率的正弦量，所以可以将其电
压与电流的关系表示为相量形式：
U I R
则有
u i

U Ue ju I Re ji


U

IR
I
G
结论：上式说明，电阻电压与电流的相量关系仍符合欧姆
定律，即电阻元件的相量形式的欧姆定律
大？
7.4.2 电感电压与电流的相量关系
因为电感电压、电流为同频率的正弦量，所以可以将其电 压与电流的关系表示为相量形式：
U I L IX L u i 90o
则有

U
Ue ju
ILe j(i 90o )

jLIe ji


U I jL jX L I
7.6.2 基尔霍夫电压定律的相量形式
描述：任一瞬间的任一回路中各段电压瞬时值的代数和为零 ，即：
u 0
相量形式的基尔霍夫电压定律为：

U 0
它说明，在正弦交流电路的任一回路中，各段电压
相量的代数和为零，其中与回路绕行方向相同 的电压相量取正。反之取负。
注意一点：基尔霍夫定律对电
压、电流的有效值一般不成 立，即：
结论：上式即电感元件的相量形式的欧姆定律。它不但反
映了电感电压与电流有效值之间的关系，同时也反应了电
压的相位超前电流90度。
7.4.3 电感的功率
（1）瞬时功率 p
i Im sin t 则 p uL i ULm cost Im sin t
uL U Lm cos t
i
ULI sin 2t
由电推压出、，电电则流容C解上元析的件式充上可放电i电C 电 C流为ddut：
C
d (Um sin t)
dt
流总是超前电压90° 电角
UmC cost
数量上存在着：
Im sin(t 90)
Im
UmC

Um XC
电容元件上电压、电流的有效值关系为：
IC=UC=U2πf C=U/XC
件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电
阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了
电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作
用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元
件的时间。
XL与频率成正比；与电感量L成正比
感抗与哪些
因素有关？
直流情 况下感 抗为多
直流下频率f =0，所以 XL=0。L相当于短路。
周期T： 正弦量完整变化一周所需要的时间。
频率f： 正弦量在单位时间内变化的周数。
周期与频率的关系： f 1 T
角频率ω： 正弦量单位时间内变化的弧度数。
角频率与周期及频率的关系：
2 2f
T
7.1.3 正弦量的相位、初相和相位差
相位： 正弦量解析式中随时间变化的电角度(ω t+φ )。
初相： t=0时的相位φ，它确定了正弦量计时始的位置。 相位差：两个同频率正弦量之间的相位之差。
例 u Um sin(t u ), i Im sin(t i )
相位
初相
u、i 的相位差为：
(t u ) (t i ) u i
显然，相位差实际上等于两个同频率正弦量之间的初 相之差。
p<0
p >0
p<0
此也是储能元件。
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，C充 电吸收的电能等于它放电 发出的电能。
（2）平均功率（有功功率）P
P = 0，电容元件不耗能
（3） 无功功率QC
QC
UI

I 2XC

U2 XC
为区别于有功功率，无功功率的单位定义为乏尔(Var)
问题与讨论
i Im cos t
UI sin 2t
结论：
p=UIsin2 t
u
电容元件和电感元
件相同，只有能量 ω t 交换而不耗能，因
百度文库
u i 同相,
i 电容充电; u i 反相, u i 同相, u i 反相,
建立电场; 送出能量; 电容充电; 送出能量;
p >0 电容放电; 建立电场; 电容放电;
其中：
XC

1
2fC

1
C
XC称为电容元件上的容 抗，单位为欧姆(Ω)。
容抗反映了电容元件对正弦交流电流的阻碍作用。
只有在一定频率下，电容元件的容抗才是常数。
容抗与哪些 因素有关？
直流情 况下容 抗为多
大？
XC与频率成反比；与电容量C成反比， 因此频率越高电路中容抗越小，这被称
作电容元件的通交作用，高频电路中电 容元件相当于短路。
第7章 正弦交流电路
7.1 正弦交流电基本概念 7.2 正弦量的相量表示法 7.3 纯电阻的交流电路 7.4 电感元件的交流电路 7.5 电容元件的交流电路
Go!
Go!
Go!
Go!
本章教学 目的及要
Go!
求
7.6 基尔霍夫定律相量形式 Go!
7.7 RLC串联电路
Go!
7.8 RLC并联电路
Go!
7.9 交流电路一般分析方法 Go!
U
Um 2
0.707Um
Im 2I 1.414I
7.2 正弦量的相量表示法
学习目标：了解相量的概念，熟练掌握正弦量的相
量表示法；初步了解相量图的画法。
7.2.1 正弦量的相位表示
与正弦量相对应的复电压和复电流称之为相量。
为区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。
例如正弦量i=Imsin(ωt+φi) ，若用相量表示，
例 已知 u1 2U1 sin t 1 ，u2 2U 2 sin t 2 ，
把它们表示为相量，并且画在相量图中。
用有效值相量表示，即： U1 = U1 ψ1
画在相量图中：
U2 = U2 ψ2
U2
也可以把复平面省略，直接画作
U2
2 U1
1
虚线可以不画
2 U1
1
平均功率代表了电路实际消耗的功率，因此也 称之为有功功率。
7.4 电感元件的交流电路
7.4.1 正弦电路中电感电压与电流的关系
如图电感电路：
u
L
设通过L中的电流为： i 2 I sin t
则L两端的电压为：uL
由式可推出L上电压

L
di dt

L
d (I m sin t)
dt
电流之间的相位上存 在90°的正交关系， 且电压超前电流。
瞬时功率： P i u
平均功率： P UI I 2 R U 2G
例 求：“220V、100W”和“220V、40W”灯泡的电阻？
解：
R100

U2 P
2202 100
484
U 2 2202 R40 P 40 1210
显然，电阻负载在相同电压下工作，功率与其阻值成反比。
问题与讨论
1. 电源电压不变，当电路的频率变化时， 通过电感元件的电流发生变化吗？
f 变化时XL随之变化，导致电流i 变化。
2. 能从字面上把无功功率理解为无用之功吗？ 不能！
7.5 电容元件
7.5.1 正弦电路中电容电压与电流的关系
如图所示的电容电路：
ic
若加在C两端的电压为：
u
C
u U m sin t
7.1 正弦交流电的基本概念
在直流电路中讨论的电压和电流均为稳恒直流 电，其大小和方向均不随时间变化，称为稳恒直流 电，简称直流电。直流电的波形图如下图所示：
u、i
t 0
经常遇到的是随时间而变化的电压和电流，通 常其大小随时间变化，方向不随时间变化，称为脉 动直流电，如图所示。
如果电压或电流的大小和方向均随时间变化， 称为交流电。
其最大值相量为：

I m Ime ji
有效值相量为：

I Ie ji
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量
只需对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量
的有效值（或最大值），幅角对应正弦量的初相。
7.2.2 正弦量的相量图
按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的
有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。
1. 电容元件在直流、高频电路中如何？ 直流时C相当于开路，高频时C相当于短路。
2. 电感元件和电容元件有什么异同？
L和C上都存在相位正交关系，所不同的是L上电压超前 电流，C上电流超前电压，二者具有对偶关系： L和C都是 储能元件；直流情况下C相当开路；L相当于短路。
7.6 基尔霍夫定律的相量形式 7.6.1 基尔霍夫电流定律的相量形式
I 0 U 0
7.7 RLC 串联电路
7.7.1 相量形式的欧姆定律及复阻抗
I
串谐电路欧姆定律：


R U R Us (R jX )I Z I
U S
串谐电路复阻抗： L UL Z R j(L 1 ) R jX Z e j
C UC 其中：
C
1
Ie ji
C
C

U

I
j1
C
jX L

I
结论：上式即电容元件的相量形式的欧姆定律。它不但反
映了电感电压与电流有效值之间的关系，同时也反应了电
压的相位滞后电流90度。
7.5.3 电容的功率
（1）瞬时功率 p
p ui
u Um sin t 则 Um sin t Im cost
I mL cost U Lm sin(t 90)
电压电流之间的数量关系：ULm=Imωt =ImXL
其感中抗，XL单是位电和感电对阻正一弦样交，流也电是流欧所姆呈。现的电抗，简称
电感元件上电压、电流的有效值关系为：
XL

UL I
XL=2πf L=ωL，虽然式中感抗和电阻类似，等于元
描述：任一瞬间流过电路任一节点的电流瞬时值为零，即：
i 0
相量形式的基尔霍夫电流定律为：

I 0
它说明，在正弦交流电路
中，任一节点所连各支
路电流相量的代数和为 零。 例：若以流出节点的支路
电流相量取正号，流出取 负号，则右图可表示为：

I1 I2 I3 I4 I5 0
7.3 纯电阻的交流电路
7.3.1 正弦电路中电阻元件的电压与电流关系
i
1. 电阻元件上的电压、电流关系
u
R
i
=
u
R
电压、电流的瞬时值表达式为：
u 2 U sin t
i u R
2U R
sin t Im sin t
由两式可推出，电阻元件上电压、电流的相位上
存在同相关系；数量上符合欧姆定律，即：
7.1.1 正弦量的三要素
随时间按正弦规律变化的交流电称为正弦交流 电。一般表达式为：
u Um sin(t u )
u i Im sin(t i )
t 0 幅值、角频率及初相角这三个参数可决定一个 正弦量，称为正弦量的三要素。
7.1.2 周期与频率
1. 正弦交流电的周期、频率和角频率
7.10 电路的谐振
Go!
7.11 三相交流电路
Go!
本章学习目的及要求
正弦交流电路的基本理论和基本分析 方法是学习电路分析的重要内容之一，应 很好掌握。通过本章的学习，要求理解正 弦交流电的基本概念；熟悉正弦交流电的 表示方法；深刻理解相量的概念，牢固掌 握串联谐振与并联谐振的电路特点；了解 三相交流电路的基本分析方法。
结论：
p=ULIsin2 t 电感元件上只有
能量交换而不耗 ω t 能，为储能元件
u i 同相,
u 吸收电能; u i 反相, u i 同相, u i 反相,
储存磁能; 送出能量; 吸收电能; 送出能量;
p >0 释放磁能; 储存磁能; 释放磁能;
p<0
p >0
p<0
p为正弦波，频率为ui 的2 倍；在一个周期内，L吸 收的电能等于它释放的磁 场能。
RLC串联电路
X L 1 ，Z C
R2 X 2， arctan X
R
|Z|为复阻抗的模，称为阻抗，继表示了电路中电压与电流之间的 大小关系；φ为复阻抗的辐角，称为阻抗角，它表示了电路电压与 电流之间的相位关系。
直流下频率f =0，所以XC=∞。我们说 电容元件相当于开路。（隔直作用）
7.5.2 电容电压与电流的相量关系
因为电容电压、电流为同频率的正弦量，所以可以将其电 压与电流的关系表示为相量形式：
1
U I C IXC
则有
u i 90o

U Ue ju I
1
e j j (i 90o )