方程的根与函数的零点

（1）通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在
与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．
3、重点、难点
重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间 的联系，掌握函数零点存在性的判断． 难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定 定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的 存在或确定零点．
五、教学过程 （一）以旧带新，引入课题 1、判断下列方程根的个数，并求解
(1) x 2 x 3 0
2
x1 1, x2 3 x1 x2 1
方程无根
(2) x 2 x 1 0
2
(3) x 2 2 x 3 0
2、分别作出（1）中方程相对应的函数图象，并完成下列表格：
等价关系: 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
巩固练习：
1、求下列函数的零点.
(1) f ( x) 2 x 1
(2) f ( x) x 2 5 x 6
小结求函数零点的方法：
变式训练：
(1) f ( x) 2 1
x
(2) f ( x) lg( x 1)
a
o
b
x
3、反馈练习：
(1)函数f ( x) e x 4 x在那个区间有零点（ A ）
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
(2)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 1 x f(x) 2 3 -3.92 4 10.88 5 -52.488
136.136 15.552
由以上的探索你发现了什么?
零点存在性定理：
如果函数 y f ( x ) 在区间 a, b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a ) f (b) 0 ，那么，函数 y f ( x ) 在区间 a, b 内有零点，
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
函数 y f x
图象与x轴有交点
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
注意：
零点指的是一个实数
零点是一个点吗?
例：)函数y x 2 2 x 3的零点是 (1
A．（-1,0），（3,0） C.x=3
B.x=-1 D.-1和3
五、布置作业，巩固提高 课本P88，练习1，p92,A组2
Thank you!
y 5 4 3 2 1 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4 3 4 5 x
2、观察下面函数y=f(x)的图象
(1) f (a ) f (b) __ 0( 或 ), f ( x)在区间[a, b]上 ___(有 | 无)零点， （2）f (b) f (c) __ 0( 或 ), f ( x)在区间[b, c]上 ___(有 | 无)零点， （3）f (c) f (d ) __ 0( 或 ), f ( x)在区间[c, d ]上 ___(有 | 无)零点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
结论： 一元二次方程的根也就是其对应的二次函数的图象与x轴交点的 横坐标 一元二次方程有实根

所对应的二次函数图象与x轴有交点
一元二次方程的根与所对应的二次函数的图象与x轴的交点关系，
推广到一般的方程与对应的函数的图象与x轴的关系：
方程 f x 0 的根，也就是其所对应的函数 y f x 的图象 与轴交点的横坐标 方程 f x 0 有实根
方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根
x2-2x-3=0 y= x2-2x-3
y
2 1
－1 －2
x2-2x+1=0 y= x2-2x+1
y y
2
x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
5 4
－1
.0
－3 －4
.
1 2 3
x
－1
1
0
.
1 2
3 2
.
.
1 2 3
x
－1
1
.
0
x
x1=-1,x2=3
x1=x2=1 (1,0)
2、若函数f ( x) x 2 2 x a没有零点，则实数a的取值范 围是 _______
3、若函数f ( x) x 2 ax b的两个零点 是2和3，求(1)a, b的值（2） a 25 b 2 log
四、反思小结，培养能力
1．你通过本节课的学习，有什么收获？ （1）一个关系：函数零点与方程根的关系； （2）两种思想：函数与方程思想，数形结合思想； （3）三种题型：求函数零点、求零点所在区间、判断零点个数． 2．对于本节课学习的内容你还有什么疑问？
思考： （1）如果函数具备上述的条件时，函数有多少个零点？ 零点个数是惟一吗？ （2）如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要，结论还 成立吗？去掉“f(a)f(b)<0”呢？ （3）函数y=f(x)在（a,b）上有零点，能得出f(a).f(b)<0吗？
例：
y
y
a
y
b x
a
y
o
b x
a
o
b
x
初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程
判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基
因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．
二、教学目标 1、知识与技能
性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系． （2）理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． 2、情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义
四、教法与学法
在教法上，采用以导学案教学，在教学手段上，我是采用
多媒体课件、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间 又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣。 在学法上，设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深循序、 渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识形成和发展， 注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现 和成功的舞台．
三、学情分析 高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图象
已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程 和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了 深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用， 针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及 观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上 还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生 已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望 将学生置于主动参与的地位．
2
的图象与x轴的交点关系，上述结论是否成立？
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
没有实数根
y
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a≠0)的根
y y
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象
x1
0
x2
x
0 x1
x
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
宋丽玲
一、教材分析： 《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准 主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系， 函数零点存在性定理，是一节概念课． 本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备 的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点
实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时，
无实数根 无交点
函数的图象 与x轴的交点 (-1,0)、(3,0)
思考：一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与x轴的
交点有什么关系？
3、将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程
2 及其相应的二次函数 y ax bx c(a 0) ax bx c 0(a 0)
(3) f ( x) x
1 2
探究：1、观察二次函数 f ( x) x 2 2 x 3 图象
(1) f (2) _____, f (1) ____, f ( 2) f (1) ____ 0( 或 ) f ( x)在区间[2,1]上 ___ 零点；
(2) f (2) f (4) _____0( 或 ), f ( x)在区间[2,4]上 ____零点；
(2,3) (3,4) (4,5) （1）函数f(x)在那个区间内有零点？
（2）函数在区间（1,5）上有多少个零点？3个
例题讲解：
例1：已知函数
f ( x) ln x 2 x 6, 试确定零点
所在的区间，函数有多少个零点？
巩固练习：
1 1、函数f ( x) x 零点的个数是 _________ x