解决二次函数面积问题的技巧

求“半天吊”三角形面积技巧：

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h”。三角

形面积的新方法:，

即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

注意事项：1.找出B、C的坐标，横坐标大减小，即可求出水平宽;

2.求出直线BC的解析式，A与D的横坐标相同，A与D的纵坐标大减小，即可求出铅垂高;

3.根据公式: S△=×水平宽×铅锤高，可求出面积。

真题分析：如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B

(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及;(3)在(2)中是否存在一点P，使，若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说明理由.

解析：(1)由顶点C(1，4)，A（3,0）可以得出抛物线的解析式为：

y1=-x²+2x+3，已知B点的坐标为(0，3)，

所以直线AB的解析式为：y2=-x+3

(2)因为C点坐标为(1，4)，把x=1代入y2=-x+3可得D(1,2)，因此CD=4-2=2，

(3)设P(x，-x²+2x+3)，由A、D横坐标相等易知D(x，-x+3)，则PF=

=(-x²+2x+3)-(-x+3)=-x²+3x

由S△PAB= S△CAB得：× OA×PF= ×3×(−x²+3x)= ×3,

解得，x= ，则P点坐标为( ， )

二次函数中常见图形的的面积问题

1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？

2、抛物线322

+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积.

（2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

x y

O M E

N

A 图五

O x

y D

C

图四

x

y O

D C

E

B 图六

x

y

O A B D 图二 E

x

y

O

A

B

C

图一 P x

y

O

A B 图三 备用图

备用图

3、已知抛物线42

12

--=

x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积.

4、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）． （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D 的坐标；（3）求四边形ADBC 的面积.

5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。 （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴；（3）求四边形ABDE 的面积.

6、已知二次函数322

--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,

若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

C

P

x

O A

B

y

变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；

若不存在，请说明理由.

变式二：在双曲线3

y x

=

上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.

7、抛物线322

+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点， 点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积．

提示：点E 的坐标可以设为（32,2

+--x x x ），x 的取值范围是-3＜x ＜0,根据题2求三

角形面积的思路建立△EBC 的面积EBC S ∆关于x 的函数关系式，体会点E 位置的不确定性对方法的选择是否有影响．

A x

y B

O

C

变式一图

A

x

y

O

B

C

变式二图