两点之间线段最短
两点之间线段最短 公理-概述说明以及解释
两点之间线段最短公理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:在几何学中，两点之间的线段最短公理是一个基础性原理，它表明在平面几何中，任意两个点之间的直线段是最短的。
这个公理是几何学中最基本的原理之一，也是许多几何性质和定理的基础。
通过这个公理，我们可以得出许多重要的定理和结论，帮助我们解决各种几何问题。
在本文中，我们将探讨两点之间线段最短公理的概念，并详细阐述如何证明这一公理。
我们还将探讨这一公理在实际生活中的应用与意义，以及对几何学习的重要性。
通过深入研究和理解这一公理，我们可以更好地理解几何学中的基本概念，为我们的学习和应用提供更多的帮助和指导。
1.2 文章结构文章结构部分主要包括文章的章节划分和各章节内容的概要描述。
在本篇文章中，结构为引言、正文和结论三个部分。
- 引言部分包括概述、文章结构和目的三小节，首先介绍了问题背景与重要性，然后说明文章将分为哪几部分展开讨论，最后明确了文章的目的和意义。
- 正文部分包括两点之间线段最短的概念、证明两点之间线段最短的公理和实际应用与意义三个章节，分别对概念、公理和应用进行深入的讨论和分析，展示了两点之间线段最短的原理和相关应用。
- 结论部分包括总结、反思和展望三个小节，对文章的主要内容进行总结概括，进行一定的思考和展望未来可能的研究方向。
1.3 目的：本文的目的在于阐述和探讨数学领域中一个重要的公理——两点之间线段最短的公理。
通过对这个公理的定义、证明以及实际应用与意义的分析，可以帮助读者更深入地理解数学中的基本原理和逻辑推理。
同时，通过学习这个公理，我们也可以更好地应用它在解决数学问题和实际生活中的实际问题中。
通过本文的阐述，读者可以了解到两点之间线段最短的公理在几何学中的重要性和作用，进一步提升自己的数学思维能力和解决问题的能力。
此外，通过对这个公理的研究，我们也可以深入了解数学中的逻辑推理和证明方法，从而拓展自己的数学知识和认识。
总的来说，本文的目的在于引导读者深入思考和探索数学中的基本概念和原理，帮助读者更好地理解和运用这些概念，从而提高自己在数学领域的学习和应用能力。
两点之间直线最短这句话对吗
不对。
应该是两点之间线段最短。
直线由无数个点构成。
直线是面的组成成分，并继而组成体。
没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。
直线是轴对称图形。
它有无数条对称轴，其中一条是它本身。
线段简介
线段，技术制图中的一般规定术语，是指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线，如实线的线段或由“长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔”组成的双点长划线的线段。
用直尺把两点连接起来，就得到一条线段。
线段长就是这两点间的距离。
连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。
线段用表示它两个端点的字母A、B或一个小写字母表示，有时这些字母也表示线段长度，记作线段AB或线段BA，线段a。
其中A、B表示线段的的两个端点。
两点之间线段最短
题目
说了这么多，大家对这方面的知识也有所了解了吧， 那么，让我们一同看看这道中考题，看看能不能轻松的 解决。
题目：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0， 3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。
（1）求此抛物线的解析式。 （2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的
解题过程
解：连接 NB、BM
∵四边形ABCD为正方形
∴∠1=∠2、AB=AD=DC=8cm=BC ,
∠DCB=90º
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在△BAN与△DAN中 AB=AD
A
D
2 1
N
M
∠1=∠2
AN=AN
E
∴△ABN≌△AND(SAS)
B
C
∴BN=DN
即求DN+MN的最小值，则为求NB+NM的最 小值
2
B1 F
N
C
∴BE= BD=1 E
∴ED= ∵N为AB的中点
∴BN=1
∴EN=2
D
根据勾股定理
NE2+ED2=ND2
∴ND= ∴AM+MN的最小值 为
回顾与总结
通过以上的探究和思考，我们发现，两点之间
线段最短这个公理，已不只停留在一个简单的公理
上，它已成为求两个线段和最短或几条线段和最短
解答（第一问）
解：依题意得方程组：
c=3
a+b+c=0
25a+5b+c=0
解得： a=0.6
b=-3.6
c=3
解答（第二问)
解答： （2）由题目得：D为 线段OA的一个三等分 点，观察图形，满足 这个条件的点有两个， 因此有两种情况，所 以，我们采用分类讨 论。
知识点232 线段的性质：两点之间的线段最短(填空题)
一．填空题（共49小题）1．（2011•广西）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．2．（2005•广元）在连接两点的所有线中，最短的是线段．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
分析：根据线段的性质，两点之间线段最短可得出答案．解答：解：在连接两点的所有线中，最短的是线段．故填：线段．点评：本题考查了线段的性质，属于基础题，注意对公理的理解．3．如图，从学校A到书店B最近的路线是（1）号路线，其中的道理用数学知识解释应是两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：应用题。
分析：此题为数学知识的应用，由题意从学校A到书店B，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解答：解：因为走（1）号路线是A到B处于一条直线，根据两点之间线段最短，知路程最短．点评：本题主要考查两点之间线段最短．4．如图，从A地到B地走②路线最近，它根据的是两点之间，线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：应用题。
分析：此题为数学知识的应用，由题意从A地到B地，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．解答：解：如果从A到B，沿沿第一条路走，这样A、B两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．故选择走路线②，根据两点之间线段最短．点评：本题主要考查两点之间线段最短．5．已知从A地到B地共有三条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
分析：根据题意，连接两点的所有的线中，应选连接A、B的线段，根据线段的性质，两点之间线段最短即可．解答：解：已知从A地到B地共有三条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短．点评：此题为数学知识的应用，考查知识点是两点之间线段最短．6．如图，从A到B有多条道路，人们往往走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短。
初中数学八条公理记忆口诀
初中数学八条公理记忆口诀
八条公理：
线段公理：两点之间，线段最短。
直线公理：过两点有且只有一条直线。
垂线公理：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
同位角相等，两直线平行。
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
三边分别相等的两个三角形全等。
记忆口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，倍长中线得全等。
两点之间线段最短几年级的知识点
一、概述线段是几何中的基本概念之一，而两点之间的线段最短，也是初中数学中常见的知识点。
在初中阶段学习数学的过程中，学生需要掌握关于线段的相关知识，包括线段的定义、性质、构造、计算等内容。
其中，两点之间线段最短的理论和应用也是数学学习中的重要内容之一。
本文将对两点之间线段最短的相关知识进行系统的介绍和总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、线段的基本概念1. 线段的定义线段是指两个点之间的所有点的集合，用AB表示，其中A和B分别为线段的端点，线段的顺序是从A到B。
2. 线段的长度线段的长度是指线段所包含的所有点的集合的长度，通常用|AB|表示，表示线段AB的长度。
3. 线段的性质线段是具有一定长度的，它有起点和终点，有确定的长短，可以测量。
三、两点之间线段最短的概念1. 最短线段的定义在数学中，两点之间线段最短是指在同一平面上，两点之间的线段长度最短的线段。
即使平面上的其他路径连接这两点也是最短路径，这就是两点之间线段最短的概念。
2. 两点之间线段最短的证明我们假设两点A、B之间有一条折线段ACB连接，那么通过三角形两边之和大于第三边的原理，可以证明直线段AB的长度必然小于或等于折线段ACB的长度。
3. 两点之间线段最短的应用两点之间线段最短的概念在数学和实际生活中都有重要的应用，比如在地图制作和路径规划中，需要寻找最短的路径。
在物体移动的最短路径问题中也有涉及。
四、两点之间线段最短的计算1. 直线距离假设两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，其中A、B分别表示两个不同的点的坐标，通过直线距离公式计算两点之间的距离d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，即可得到两点之间的线段最短距离。
2. 弧线距离假设两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，在坐标轴上两点之间最短的弧线长度为AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，也是两点之间线段最短距离。
两点之间线段最短
关于两点之间的距离线段最短问题的探究在初中数学中关于两点之间距离最短的问题，经常出现。
现将这类问题归类如下，以供参考。
探究问题一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：根据两点之间线段最短的基本概念，只用连接AB即可轻松的得到答案。
如图所示。
线段AB与直线L的交点，就是题目要求的点P。
总结：本题虽然十分简单，但却是所有有关本类题目难题的基础，是必须要牢记与掌握的。
下面一题，就是上一题的变形，你还会做吗？探究问题二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。
（如图所示）解：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想，往往大家不能正确的找到解题的思路。
那么，我就在此抛砖引玉，说说我的看法。
首先，作点B关于L的对称点B＇，（如图所示），因为OB＇=OB,∠BOP=∠B＇，OP=OP，所以△OPB≌△OPB＇。
所以，PB=PB＇。
因此，求AP+BP就相当于求AP+PB＇。
这样，复杂的问题便通过转化变得简单，成了探究问题一。
因此只用连接AB＇即可，与直线L的交点，就是题目要求的点P。
结论：我们完全也可以把以上的结论当作一个模块牢记下来，成为自己解题的方法之一。
探究问题三：A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。
(如图所示)解：利用探究问题二的结论，作A与OM的对称点D，再作A与ON的对称点E。
连接DE（如图所示），据上题铺垫，我们可得，AB=BD，AC=CE，又因为D，B，C，E在一条直线上，所以，这时的周长是最短的。
总结：本题可总结为“三角形的一点决定”。
下面我们看一看四边形一边确定。
探究问题四：AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小。
（如图所示）解：有了上一题的铺垫，本题似乎简单了许多，作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF即可。
两点之间线段最短问题
两点之间线段最短教学目标：理解“两点之间，线段最短”的结论，并能用这一结论解释一些简单的问题。
重点：结论的应用过程和拓展问题的探究过程难点：拓展问题的探究过程教学过程设计热身准备：我想试试罗赛蒂那个说“我想试试”的小孩他将登上山巅，那个说“我不成”的小孩，在山下停步不前。
“我想试试”每天办成很多事，“我不成”就真一事无成。
因此你务必说“我想试试”，将“我不成”弃于埃尘。
二、新课教学绿地里本没有路，走的人多了……你能解释一下原因？2、数学活动：在纸上任意点两点，用线联接它们，量一下它们的长短，比较一下谁最短？得出结论2、解释、应用与交流问题1、怎样走最近？如图1，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？问题2、河道长度如图2，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化？图2问题3、九曲桥（2）如图3，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理。
图3你还能举出一些类似的例子吗？小猫看见鱼，小狗看见骨头后会怎样运动？有人过马路到对面的商店去，但没有走人行道，为什么呢？3、拓广探索与交流蚂蚁爬行路线最短问题。
如图4，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？图4利用手中的正方体具体实验一下，告诉大家你的结论。
三、回顾、思考与交流设想自己是一名园林设计师或者是一名管理者，在进行公共绿地设计时对情境一的一些思考与探讨能给你一些什么启发。
四、作业对蚂蚁爬行最短问题的再思考：如果蚂蚁在长方体的一个顶点上，如果蚂蚁在圆柱上，这时问题发生怎样的变化？问题如何解？请把你对此问题的研究写成数学小作文，注意写出自己的情感体验《关于最短路径思考》已经学过“两点之间，线段最短”这个数学公理了。
这看似简单的八个字蕴涵着许多奥妙，将它扩展、延伸可得到一个最短路径问题、即求连接A、B两点的线段中哪一条最短。
中考数学 考点系统复习 第七章 作图与图形变换 微专题(五) 利用“两点之间,线段最短”求最值
2．★如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 AC 于点 M，P 是直线 MN 上一动点，H 为 BC 的中点，若 AB＝13，△ABC 的周 长是 36.则 PB＋PH 的最小值为 112 2.
3．★如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝3，点 P 为矩形 ABCD 内一点，
结论：AM＋MN＋NB 的最小值为 A″B＋MN.
9．★如图，正方形 ABCD 的对角线上的两个动点 M，N，满足 AB＝ 2MN， 点 P 是 BC 的中点，连接 AN，PM，若 AB＝6，则当 AN＋MN＋PM 的值最小 时，线段 AN 的长为 2 5 .
模型三：“两点两线”型(两个动点＋两个定点) (一)利用垂直平分线的性质求四边形周长最小值 【模型分析】 点 P，Q 是∠AOB 内部的两定点，在 OA 上找点 M，在 OB 上找点 N，使得四 边形 PQNM 周长最小． 思路点拨：
8．★如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点 G，H 分 别是边 BC，CD 上的动点，则四边形 EFGH 周长的最小值为 22 5＋10＋10.
1 且动点 P 满足 S△PAB＝3S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和的最小值为 22 13 .
4．★如图，直线 y＝x＋1 与抛物线 y＝x2－4x＋5 交于 A，B 两点，P 是 y
轴上的一个动点，当△PAB 的周长最小时，S△PAB＝2.2. 4. 4
(二)线段差最大值问题 【基础模型】 两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得|PA－PB|值最 大． 思路点拨：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|的最大值即为 AB 的长， 连接 AB 并延长，与直线 l 交于点 P，点 P 即为所求．
2023中考数学专题复习-利用“两点之间,线段最短”解决最值问题(课件)
问题2：解决以几何图形为背景的最值问题我们
将运用到哪些知识？
“两点之间，线段最短”、轴对称点、勾股定理、
三角形三边关系、垂线段最短、线段垂直平分线的
性质、矩形、菱形……
复习回顾
O
(1)两点之间线段最短。
(1)两点之间线段最短。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
(2)线段垂直平分线的性质、轴对称。
第2题答图
3．如图，在菱形 ABCD 中，若 AD＝6，∠ABC＝120°，E 是 BC 的中点，
P 为对角线 AC 上的一个动点，连接 PB，PE，则 PE＋PB 的最小值为
3 3
__________．
【解析】如答图，连接 BD，DP，DE.∵四边形 ABCD 是菱形，∴B，D
关于直线 AC 对称，∴DE 的长即为 PE＋PB 的最小值．∵∠ABC＝120°，
M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则△PMN 周长的最小
值是__________．
6
【解析】如答图，作点 P 关于 OB 的对称点 P′，作点 P 关于 OA 的对称
点 P″，连接 P′P″，则 P′P″的长就是△PMN 周长的最小值．在△OP′P″
中，OP′＝OP″，∠AOB＝30°，∴∠P′OP″＝60°.∵OP＝6，∴P′P″＝6.
即为所求，△PCD 周长的最小值即为线段 P′P″的长．
“两定两动”型
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在边 AB 上且 BE＝1，点
P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，则四边形 AEPQ 周
2＋2 13
长的最小值是__________．
知识点232 线段的性质：两点之间的线段最短(选择题)
一．选择题（共40小题）1．“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（）A．两点确定一条直线B．直线比曲线短C．两点之间直线最短D．两点之间线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：推理填空题。
分析：根据线段的性质解答即可．解答：解：由线段的性质可知：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．故选D．点评：本题考查的是线段的性质，即两点之间线段最短．2．下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线D．以上说法都不能用此公理解释考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：常规题型。
分析：根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故本选项正确；C、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；D、因为B选项可以解释，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键，是基础题．3．如图所示，由A到B有①②③三条路线，最短路线为③的理由是（）A．因为它直B．两点确定一条直线C．两点间距离定义D．在连接两点线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
专题：综合题。
分析：根据连接两点的所有线中，线段最短解答．解答：解：根据图象，③线路最短，理由是两点之间，线段最短，故选D．点评：此题考查知识点两点之间，线段最短，难度适中．4．修路工程队在修建公路时，有时需要将弯曲的道路改直，这样做能缩短路程的依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间的所有连线中，直线最短C．线段有两个端点D．两点之间的所有连线中，线段最短考点：线段的性质：两点之间线段最短。
考查知识点----两点之间线段最短,垂线段最短,点关
小结
E? F!
09济南24
已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长 最小，请求出点△PBC的周长.
第一步 寻找、构造几何模型 要求△PBC的周长最小？ 只要PB+PC最小就好了！
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PB+PC转化为PA+PC ！
当P运动到H时，PA+PC最小
第一步 寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE 的周长最小？
08福州22
把三条线段转移到同 一条直线上就好了！
第二步 计算——勾股定理
E' F' 32 42 5 EF 12 22 5
因此四边形 MNFE的周长的最小值为 5 5.
小结
经典模型：台球两次碰壁问题 经验储存：没有经验，难有思路
1、（点，点P为对 角线AC上一动点，连接PB、PQ，则 △PBQ周长的最小值为____________㎝ （结果不取近似值）.
2、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中， AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在 BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中 边AP上的高为____________________.
两条线段和的最小值 两条线段差的最大值
两点之间，线段最短
三角形两边之差小于第三边
当P运动到E时，PA＋PB最小 当Q运动到F时，QD－QC最大
当P运动到E时，PA＋PB最小 当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型 第二步，计算
09内江27 对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值 .
考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”， “点关于线对称”，“线段的平移”。
两点之间线段最短
最短路线一在学习几何知识时，同学们已经学过如下两个结论：（1）连结两点的所有线中，直线段是最短的；（2）直线外的一个定点与直线上的各点的连线以垂线为最短．利用这两个结论可以解决许多实际生活中求最短路线的问题．例1甲、乙两村之间隔一条河，如图13—1．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了．所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C 点，如图13—2，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题．解：如图13—2．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB 是两村的最短路线．例2如图13—3，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法．解：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如图13—4，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短．为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．所以折线AEB最短．例3如图13—6，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短．分析：工人们从A出发先到河边码头，再到公路的仓库，然后回到A处，恰好走一个三角形，现在要求三角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什么位置能使这个三角形的三边之和为最小，利用轴对称原理作图．解：过A分别作河岸、公路的对称点A′、A″，如图13—7，连结A′A″，交河岸于M，交公路于N，则三角形AMN各边之和等于直线A′A″的长度，所以仓库建在N处，码头建在M处，使工人们所行的路程最短．例4如图13—8是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒．一只蚂蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程．分析：因为是在长方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为平面上的最短路线问题．将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如图13—9，在展开图中，AB间的最短路线是连结这两点的直线段，但要注意，蚂蚁可沿几条路线到达B点，需对它们进行比较．解：蚂蚁从A点出发，到B点，有三条路线可以选择：（1）从A点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个平面展开在同一平面上，这时A、B间的最短路线就是连线AB，如图13—9（1），AB是直角三角形ABC 的斜边，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=（1+2）2+42=25（2）从A点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（2），同理AB2=22+（1+4）2=29（3）从A点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图13—9（3），得AB2=（2+4）2+12=37比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图13—9（1）爬行的路线最短，最短路程为5分米．例5如图13—10，在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点．已知A点到桶口C点的距离为14厘米，B点到桶口D点的距离是10厘米，而C、D两点之间的弧长是7厘米．如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？分析：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面，如图13—11，由于B点在桶内，不便于作图，利用轴对称原理，作点B关于直线CD的对称点B′，这就可以用B′代替B，从而找出最短路线．解：如图13—11，将圆柱体侧面展成平面图形．作点B关于直线CD的对称点B′，连结AB′，AB′是A、B′两点间的最短距离，与桶口边交于O点，则OB′=OB，AB′=AO+OB，那么A、B之间的最短距离就是AO+OB，所以小甲虫在桶外爬到O点后，再向桶内的B点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线．延长AC到E，使CE＝B′D，因为△AEB′是直角三角形，AB′是斜边，EB′=CD=7厘米，AE=14+10=24（厘米），根据勾股定理：AB′2=AE2+EB′2=242+72=625所以AB′=25（厘米）即小甲虫爬行的最短路程是25厘米．。
《两点之间,线段最短》_《两点直接,线段最短》教学设计微课公开课教案教学设计课件
《两点之间，线段最短》微课设计
一、设计构思：
本节微课设计是在学生学习XXX版七年级数学上册第四章第二节课《比较线段的长短》之前，首先通过选择最短路径的情境让学生感受和了解了线段的性质，引出比较线段长短的必要性。
作为课前预习内容，使学生能够快速了解和掌握公理，为第二天的新课打好理论基础。
二、教学目标：
借助微课，让学生直观而又快速的了解“两点之间的连线中，
线段最短”的性质。
三、教学重点：
动手操作，感受公理的形成
四、教学难点：
理解“两点之间线段最短”
五、教学过程：
问题情境：从A到B处有四条路线，那条路最近呢？
微课显示：利用测量工具测量直的线，利用毛线、数据线等测
量曲的线，从而很快得出“两点之间线段最短”的公理。
提问：什么是两点间的距离？
六、教学反思：
本节微课在设计之初是考虑用动画形式呈现，但是水平有限无法表达出我想要的效果，因此手机录像，想为学生做个简单的预习导课内容，
为第二天的新课打好理论基础。
考虑到该公理的延伸内容：三角形三边关系在之后的章节，此时并未提前与之关联，导致配套练习没有设计。
两点之间线段最短
• 小结： • 一：已知，A，B在直线L的两侧，在L上求 一点，使得PA+PB最小。 方法：直接连接 两点
• 二：已知，A，B在直线L的同一侧，在L上 求一点，使得PA+PB最小 。方法：作点B 关于L的对称点B‘ ，再连接两点
两点之间，线段最短
一、课题引入
1、数学活动：在纸上任意点两点，用 不同的线来连接它们，量一下它们的长 短，比较一下谁最短？ 得出结论：两点之间线段最短
二、新课教学
• 问题1、河道长度 • 如图，把原来弯曲的河道改直，A、B两地 间的河道长度有什么变化？
•
• 问题2、九曲桥 • （2）如图，公园里设计了曲折迂回的桥， 这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？ 与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加 了游人在桥上行走的路程？说出其中的道 理。
• 利用手条最短路径：A→BC→C‘和 A→CD→C’。
• 同理，还可以得出6条最短路径分别为： A→BC→C＇、A→CD→C＇、A→DD＇→C＇、 A→BB＇→C＇、A→A＇D＇→C＇、A→A＇B＇ →C＇。来
• 有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途 中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走 最近。 • 具体方法为：做B点与河面的对称点B‘,连接 AB’，可得到马喝水的地方C
明白了刚才的平面问题，接下来看看立体图 形问题 蚂蚁爬行路线最短问题 • 如图4，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？ 如果要爬行到顶点C呢？
• 求点A到点C＇的最短路径是那一条。此时已 不在同一平面内，不能直接利用公理解决问题。 此时，就要利用数学中的转化思想，把立体图 形转化成平面图形来研究
• A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的 两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角 形，使三角形周长最小。
两点之间直线最短还是线段最短
两点之间直线最短还是线段最短
两点之间线段最短。
线段是指直线上两点间的有限部分，包括两个端点，有别于直线、射线。
线段用表示它两个端点的字母A、B 或一个小写字母表示，有时这些字母也表示线段长度，记作线段AB 或线段BA，线段a。
其中A、B表示线段的的两个端点。
线段特点：
1、有有限长度，可以度量。
2、有两个端点。
3、具有对称性。
4、两点之间的线，是两点之间最短距离。
线段应用：
在生活应用上，主要有三种：连结、隔开、删除。
连结将不同处的两者做关连性的键结，其他如指示性补充亦同。
隔开将同一处的两区域分离，其他如景深、等位线亦同。
删除例：于撰写文章时，为保留创作的过程而将不妥之文句以线划除，其他如路线中的各站亦同。
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课堂练习
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底
面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少
？
分析：由于老鼠是沿着圆
B
C
B
柱的表面爬行的，故需把
圆柱展开成平面图形.根据 A
A
两点之间线段最短，可以 发现A、B分别在圆柱侧面
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
正方体中的最值问题
其他类型图形中的最值问题
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谢谢观赏！
THANK YOU
刘义滔 1029010034 李晓明 1029010069
和C＇B，比较一下就知道了。
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拓展视野
蚂蚁爬行路线最短问题
一只蚂蚁要从正方体 的一个顶点A沿表面 爬行到顶点B，怎样 爬行路线最短？如果 要爬行到顶点C呢？
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拓展视野
蚂蚁爬行路线最短问题
各种正方体展开图
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拓展视野
蚂蚁爬行路线最短问题
蚊子 ●
举例一
●
壁虎
糖果
举例二
两点之间 线段最短
2011051027 2011051031
两点之间 线段最短
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课题引入 看图思考 拓展视野 课堂练习 小结反思
看图思考
为什么大家都喜欢走捷径呢？
绿地里本没有路，走的人多了… …
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你来做一做
在纸上任意点两点，用线联接它们，量 一下它们的长短，比较一下谁最短？
得出结论：
蚂蚁
蚊子
●
糖果
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课堂练习
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等
于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A
点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，
这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多
少？
A
5
A
3
1
5
C
12
B ∵ AB2=AC2+BC2=169, ∴ AB=13.
把原来弯曲的河 道改直，A、B两 地间的河道长度 有什么变化？
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看图思考
公园里设计了曲折迂 回的桥，这样做对游 人观赏湖面风光有什 么影响？ 与修一座笔直的桥相 比，这样做是否增加 了游人在桥上行走的 路程？ 说出其中的道理。
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拓展视野
“将军饮马”的问题 有做B一点位与河将面军的对骑称着点B马＇要,连从接AAB＇地，走可到得到B马地， 但喝水途的中地要方C到（如水下边图）喂。马再喝连接一CB次得到水这，道题则将 军的不信解怎的A样→话C走你→可B最。以这近在就河？是边著任名意的取“一将点军C饮＇马连”接问AC题＇。
展开图的宽1m处和长24m的 中点处，即AB长为最短路
BC = 24 × 1 = 12，
2
线.
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
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课堂练习
如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿
着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2
（D）1
B C
C
2
B
1
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体 展开成平面图形（如图）.
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小结与反思
同学们自己思考： 一、为什么“两点之间，线段最短”？ 二、应用该定理的最值问题解答方法是什么？
你还能说出一些在这一节课中的收获吗？
阶梯中的最值问题
圆柱体中的最值问题
两点之间，线段最短！
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定义概念
两点之间的所有连线中，线段最短. 简单说成:两点之间,线段最短.
连接两点间的线段的长度,叫做这两 点的距离。
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看图思考
从A地到B地有五条道路,时间紧急，张先生要从B
地赶往A地乘车，问：此时张先生应该怎么走？
①
·A
②
③
·B
④
⑤
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看图思考