第七章 布朗运动
胶体的运动学性质布朗运动 课件 高中化学课件
作业
1、完成课后习题P29 1、4、5、6 2、家庭小实验：自制豆腐
取适量石膏粉（聚沉剂）用少量生豆浆调拌 均匀，加到煮沸后的豆浆（所用豆浆与石膏 的质量比约为20：1）中，边加边搅拌，豆浆 中的蛋白质会聚沉，与水分离，成豆腐花。 稍冷后，用一湿布包好豆腐花，放入一可漏 水的容器中，稍加压，使水渗出，即成豆腐。
3、“纳米材料”是粒子直径为1~100nm的 材料，纳米碳就是其中一种，若将纳米碳均 匀地分散到蒸馏水中，所形成的物质（ ） C
①是溶液 ②是胶体 ③能产生丁达尔 效应 ④能透过滤纸 ⑤不能透过滤纸 ⑥静置后会析出黑色沉淀
A.①④⑤ D.①③④⑥ B.②③④ C.②③⑤
把混有离子或分子杂质 的胶体装入半透膜袋， 并浸入溶剂中，使离子 4、下列关于胶体的叙述中，不正确的是 或分子从胶体里分离出 （ A ） 去，这样的操作叫做渗 A.向胶体中加入蔗糖溶液，产生聚沉现象 析。通过渗析可以达到 B.一束可见光透过胶体时，产生丁达尔效应 净化、精制胶体的目的
6、Fe(OH)3胶体带正电荷的原因是（ D ） A.在电场作用下， Fe(OH)3胶粒向阴极定向移动 B.Fe3+带正电荷 C.Fe(OH)3带负电荷，吸引阳离子 D.Fe(OH)3胶粒吸附了阳离子 7、在Fe(OH)3胶体中加入Na2SO4饱和溶液，由 SO42- 离子的作用，使胶体形成了沉淀，这 于_______ 凝聚或聚沉 个过程称为_______
2. 胶体的运动学性质——布朗运动
1827年，英国植物学家布 朗把花粉悬浮在水里，用 显微镜观察，发现花粉的 小颗粒在作不停的、无秩 序的运动，这种现象叫做 布朗运动 胶体粒子在分散剂分子的撞击下做无规则运 动，是胶体具有介稳性的次要原因。
注意：凭借肉眼可以看到的微粒的运动不是补朗 运动，如：尘土飞扬、红墨水扩散等。
布朗运动伊托过程和伊托引理
故
注：（2）式时间单位通常以年作为单位.
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由(2) ，得：dS uSdt Sdz，其中u及为常数.
这就是几何B.M.
注意到，衍生证券的价格G是标的证券价格S和时间t的函数， 从而根据ItÔ引理，有
G G 1 G G dG ( uS S )dt Sdz. S t 2 S S
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Z c t
二、伊托过程和伊托引理
定义 称满足下式的过程为伊托过程
dx a(x, t )dt b(x, t )dz (1)
其中a，b是变量x，t的函数，z为标准的布朗运动。 伊托引理 设x=x（t）为满足(1)式的伊托过程，G=G(t,x) 为二元函数，且具有连续的偏导数
dS udt dz S ( 2)
其中S--证券价格, u--证券在单位时间内已连续复利计算的期
2 --证券收益率单位时间的方差， 望收益率(简称预期收益率)， --证券收益率单位时间的标准差，简称为证券价格波动率，
z 为标准的布朗运动. 将(2)是离散化，得
S ut t S S ~ N(ut , t ) S
G G 2 G , , 2 f x x
令G(t)=G(t，x(t)), 则过程G(t)也是随机过程满足
G G 1 2 G 2 G dG ( a b )dt bdz 2 t t 2 t x
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3
三、股票价格过程
股票价格过程可用下面的方程来表示：
dS 0.15dt 0.30dz S 在随后的短时间按间隔的股价变化为 S 0.15t 0.30 t S 由于1周等于0.0192年，因此
S 100 (0.15 0.00288 0.0416 ) 0.288 4.16
布朗运动
分子热运动的激烈程度与
温度越高，分子运动越
温度 激烈
有关。
。
5.通过学习布朗运动以及对 布朗运动发现过程的了解， 你应向科学家学习什么优秀 的品质？
作业：
1.P179 （1）、（2） 2.课外活动：用显 微镜观察布朗运动
第二节
分子的热运动
布朗运动
布朗是英国的一位植物学家。1827年布朗 用显微镜观察植物的花粉微粒悬浮在静止水面 上的形态时，却惊奇地发现这些花粉微粒在不 停地作无规则运动。布朗经过反复观察后，写 下了这样的一段文字：“我确信这种运动不是 由于液体的流动所引起，也不是由于液体的逐 渐蒸发所引起，而是属于粒子本身的运动。” 为了进一步证实这种看法，布朗把观察的 对象扩大到一切物质的微小颗粒，结果发现，一切悬浮在液体中 的微小颗粒，都会作无休止的不规则运动。 布朗的发现一经公布，就引起了科学界的轰动，在以后的 几十年里，众多的物理学家经过大量的观测和研究，终于科学 的解释了布朗运动，揭示了自然界普遍存在的分子运动的奥秘， 使人类认识产生了飞跃。人们为了纪念这个发现，便把悬浮在 液体中的花粉的无规则运动命名为布朗运动。
C：布朗运动是液体分子无规则运动的反映； D：在室内看到的尘埃不停的运动是布朗运动；
B、C ） 3.对布朗运动的下列说法中正确的是：（ A：课本中图6-4的折线是颗粒的运动路径； B：颗粒越小，布朗运动越明显； C：温度升高，布朗运动加剧； D：布朗运动是微粒内部分子运动的宏观表现；
4.分子的热运动是指 分子的无规则运动 ，
运动状态难改变
布朗运动的激烈程度与什么因素有关？
布朗运动的激烈程度
与液体的温度有关
温度越高，布朗运动越激烈
我们把分子的无规 则运动叫做热运动
第7章 Brown运动
0 = t0 < t1 < L < t N = T
N −1 k =0
则相应于剖分Π, f(t)的二次变差定义为 的二次变差定义为
QΠ =
∑
f
(t k +1 ) −
{
}
的条件下， 设s<t，在给定 ，在给定B(t)=x0的条件下，B(s)的条件密度 的条件密度 函数为
f B( s ) B( t ) ( x x0 ) = 1 = 2π s 1 = 2π s t = s f B( s ), B( t ) ( x, x0 ) f B( t ) ( x0 ) f s ( x ) ft − s ( x0 − x ) = ft ( x0 )
第七章 Brown运动 运动
第一节 基本概念与性质
一、直线上的随机游动 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△ 时间， 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△t 时间，等 概率地向左或向右移动△ 的距离 的距离。 表示时刻t粒子的 概率地向左或向右移动△x的距离。以X(t)表示时刻 粒子的 表示时刻 位置，则 位置，
( B ( t ) ,L , B ( t ) )
1 n
的联合密度函数为
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ft1 ( x1 ) f t2 −t1 ( x2 − x1 )L ftn −tn−1 ( xn − xn −1 )
其中
1 ft ( x ) = e 2π t , 服从n维正态分布 维正态分布。 由此可以看出 ( B( t1 ) ,L B( tn ) ) 服从 维正态分布。
专题7.2 分子的热运动
第七章分子动理论第2节分子的热运动一、扩散现象1．对扩散现象的认识（1）扩散现象：不同物质能够彼此进入对方的现象。
（2）产生原因：由物质分子的运动产生。
（3）发生环境：物质处于固态、液态和气态时，都能发生扩散现象。
（4）意义：证明了物质分子永不停息地做无规则运动。
（5）规律：温度越高，扩散现象越明显。
（6）应用：在高温条件下通过分子的扩散在纯净的半导体材料中掺入其他元素来生产半导体器件。
2．影响扩散现象明显程度的因素（1）物态①物质的扩散现象最快、最显著。
②物质的扩散现象最慢，短时间内非常不明显。
③物质的扩散现象的明显程度介于气态与固态之间。
（2）温度：在两种物质一定的前提下，扩散现象发生的明显程度与物质的温度有关，温度越高，扩散现象越显著。
（3）浓度差：两种物质的浓度差越大，扩散现象越显著3．分子运动的两个特点（1）永不停息：不分季节，也不分白天和黑夜，分子每时每刻都在运动。
（2）无规则：单个分子的运动无规则，但大量分子的运动又具有规律性，总体上分子由浓度大的地方向浓度小的地方运动。
二、布朗运动1．对布朗运动的认识（1）概念：悬浮在液体（或气体）中的微粒不停地做。
（2）产生的原因：大量液体（或气体）分子对悬浮微粒撞击的不平衡造成的。
（3）布朗运动的特点：永不停息、无规则。
（4）影响因素：微粒越小，布朗运动越，温度越高，布朗运动越。
（5）意义：布朗运动间接地反映了液体（气体）分子运动的无规则性。
2．影响因素（1）微粒越小，布朗运动越明显：悬浮微粒越小，某时刻与它相撞的分子数越少，来自各方向的冲击力越不易平衡；另外微粒越小，其质量也就越小，相同冲击力下产生的加速度越大。
因此，微粒越小，布朗运动越明显。
（2）温度越高，布朗运动越激烈：温度越高，液体分子的运动（平均）速率越大，对悬浮于其中的微粒的撞击作用也越大，产生的加速度也越大，因此温度越高，布朗运动越激烈。
3．实质布朗运动不是分子的运动，而是固体微粒的运动。
最新人教版高中物理选修3-3第七章《分子动理论》
第七章分子动理论知识建构专题应用专题一分子动理论的理解与应用分子动理论的内容是：物体是由大量分子组成的，分子永不停息地做无规则运动，分子之间同时存在着引力和斥力。
布朗运动和扩散现象说明了分子永不停息地做无规则运动。
1．布朗运动：尽管布朗运动本身并不是分子运动，但由于它的形成原因是由于分子的撞击，所以它能反映分子的运动特征，这就是布朗运动的意义所在。
具体地讲：(1)布朗运动永不停息，说明分子的运动是永不停息的；(2)布朗运动路线的无规则，说明分子的运动是无规则的；(3)温度越高，颗粒越小，布朗运动越剧烈，说明分子无规则运动的剧烈程度还与温度有关。
在宏观上与温度有关的现象称为热现象。
布朗运动的种种特征充分表明：分子永不停息地做无规则运动——热运动。
2．扩散现象：(1)从浓度高处向浓度低处扩散；(2)扩散快慢除与此物质的状态有关外，还与温度有关；(3)从微观机理看，扩散现象说明了物体的分子都在不停地运动着。
【专题训练1】关于分子动理论，下列说法正确的是()。
A．分子间的引力和斥力不能同时存在B．组成物质的分子在永不停息地做无规则运动C．布朗运动与分子运动是不同的D．扩散现象和布朗运动都反映了分子永不停息地做无规则运动专题二分子力曲线与分子势能曲线分子力随分子间距离变化的图象与分子势能随分子间距离变化的图象非常相似(如图所示)，但却有着本质的区别。
现比较如下：1．分子间同时存在着引力和斥力，它们都随分子间距离的增大(减小)而减小(增大)，但斥力比引力变化得快。
对外表现的分子力F是分子间引力和斥力的合力。
2．在r<r0范围内分子力F、分子势能E p都随分子间距离r的减小而增大，但在r>r0的范围内，随着分子间距离r的增大，分子力F是先增大后减小，而分子势能E p一直增大。
3．当r＝r0时分子处于平衡状态，此时分子间的引力、斥力同样存在，分子力F为零，分子势能E p最小。
【专题训练2】根据分子动理论，物体分子间距离为r0等于10－10 m，此时分子所受引力和斥力大小相等，以下说法中正确的是()。
胶体的动力学性质.ppt
a X
a M
a X
设浓度很稀： x zm1 x m2 x2
x
m22
zm1 2m2
16
7.5 Donnan (陶南) 平衡
MX膜外 MX膜内
MX MX
m2 -x x
1
zm1 m2
讨论：
① 由于大离子的存在, 平衡时膜内外的MX浓度不等, 将产生
单位体积中的粒子数
高度越高，质量越小的粒子越多 高度越低，质量越小的粒子越少
7.3.2 离心力场中的沉降 (1) 沉降速度
离心力：mx 2
浮力：
阻力： f dx dt
ω - 角速度 11
7.3 沉降
沉降力：
匀速沉降：
V - 粒子偏微比容
m - 粒子质量
kT dx D dt
♦ 定义： 沉降系数
**
比较*和**式得： X 2 2Dt X = 2DT
♦ 扩散和布朗运动的内在联系： 扩散是布朗运动的宏观表现 布朗运动是扩散的微观基础 6
7.2 扩散
7.2.4 Einstein 扩散方程 粒子移动距离： dx
做功： f dx dx dt
反抗阻力： f dx dt
应等于化学势的变化
d= kTd ln c= f dx dt dx = kT d ln c = kT dc *
f : 微观量, 与粒子大小和形状有关.
7.2.5 扩散的应用举例
测定球形质点的半径和粒子量
D KT f
f = 6r
测出 D 而得 r
粒子量： M = 4 r3 NA
3V
V - 粒子的偏微比容
◊ 所测质点的半径为流体力学半径
高中物理选修3-3课件：第七章分子动理论-2分子的热运动
A．当过一段时间可以发现上面瓶中的气体也变成了 淡红棕色 B．二氧化氮由于密度较大，不会跑到上面的瓶中，
所以上面瓶不会出现淡红棕色
C．上面的空气由于重力作用会到下面的瓶中，于是 将下面瓶中的二氧化氮排出了一小部分，所以会发现上 面瓶中的瓶口处显淡红棕色，但在瓶底处不会出现淡红 棕色 D．由于气体分子在运动着，所以上面的空气会到下 面的瓶中，下面的二氧化氮也会自发地运动到上面的瓶 中，所以最后上、下两瓶气体的颜色变得均匀一致
知识点一 扩散现象 提炼知识 1．定义：不同的物质彼此进入对方的现象． 2．产生原因：物质分子的无规则运动． 3．应用举例：在高温条件下通过分子的扩散，在纯 净半导体材料中掺入其他元素． 4．扩散现象的实质：扩散现象是物质分子永不停息 地做无规则运动的证明．
判断正误 1 ．扩散现象说明了分子是永不停息地做无规则运 动．(√) 2. 扩散现象说明了分子间存在间隙．(√) 3．扩散现象只能发生在气体与气体之间．(×)
特别说明 (1)热运动是分子运动，布朗运动是微粒 的运动． (2)热运动永不停息，液体变成固体时，其中微粒的 布朗运动会停止． (3)分子及布朗运动的微粒用肉眼不能直接观察到． (4)热运动是对大量分子而言的，对个别分子无意义．
【典例 2】 关于布朗运动下列说法正确的是(
)
A．悬浮在液体或气体中的小颗粒的无规则运动就是 分子的无规则运动． B．温度越低时，布朗运动越明显 C．悬浮在液体或气体中的颗粒越小，布朗运动越明 显 D．布朗运动是悬浮在液体中的花粉分子的运动，反 映了液体分子对固体颗粒撞击的不平衡性．
原因
直接原因：大量液体 (或气体)分子对悬浮微 物质分子永不 粒的撞击而导致的不 停息地做无规 平衡； 则运动 根本原因：液体(或气 体)分子的无规则运动
人教版高中物理选修3-3教学案：第七章 第2节 分子的热运动-含解析
第2节分子的热运动1.不同物质能够彼此进入对方的现象叫扩散现象。
2．布朗运动是指悬浮在液体中的固体微粒不停息的无规则运动，它是液体分子无规则运动的反映，但并非液体分子的运动。
3．悬浮微粒越小，液体温度越高，布朗运动越明显。
4．分子永不停息的无规则运动叫热运动，温度越高，热运动越激烈。
一、扩散现象1．定义不同物质能够彼此进入对方的现象。
2．产生原因物质分子的无规则运动。
3．意义反映分子在做永不停息的无规则运动。
4．应用生产半导体器件时，在高温条件下通过分子的扩散在纯净半导体材料中掺入其他元素。
二、布朗运动1．概念悬浮微粒在液体(或气体)中的无规则运动。
2．产生原因大量液体(或气体)分子对悬浮微粒撞击作用的不平衡性。
3．影响因素微粒越小、温度越高，布朗运动越激烈。
4．意义间接反映了液体(或气体)分子运动的无规则性。
三、分子的热运动1．定义分子永不停息的无规则运动。
2．宏观表现布朗运动和扩散现象。
3．特点(1)永不停息；(2)运动无规则；(3)温度越高，分子的热运动越激烈。
1．自主思考——判一判(1)扩散现象只能在气体中发生。
(×)(2)布朗运动就是液体分子的无规则运动。
(×)(3)悬浮微粒越大，布朗运动越明显。
(×)(4)布朗运动的剧烈程度与温度有关。
(√)(5)物体运动的速度越大，其内部分子热运动越激烈。
(×)(6)扩散现象和布朗运动都是分子的运动。
(×)2．合作探究——议一议(1)一碗小米倒入一碗大米中，小米进入大米的间隙之中是否属于扩散现象？提示：扩散现象是指由于分子的无规则运动，不同物质(分子)彼此进入对方的现象。
显然，上述现象不是分子运动的结果，而是两种物质的混合，所以不属于扩散现象。
(2)冬天里，一缕阳光射入教室内，我们看到的尘埃上下舞动是布朗运动吗？提示：不是。
布朗运动是用肉眼无法直接看到的。
(3)布朗运动的观察记录图是颗粒的运动轨迹吗？提示：该记录图是每隔某一相等时间记录的颗粒所在位置的连线，并不是颗粒运动的实际轨迹。
(完整版)布朗运动以及维纳过程学习难点总结
1、引言布朗运动的数学模型就是维纳过程。
布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。
我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。
根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。
故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。
我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。
此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。
2.维纳过程2.1独立增量过程维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。
现在我们就来介绍独立增量过程。
定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程， 那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。
若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量)()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。
我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。
如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。
布朗运动的计算PPT课件
= min{s,t}-st
t [0,1]
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补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
n
Nn s I Xi s i 1
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IFXi s i1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
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过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt, 2 ) t 0, R, 2 >0
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可 靠性预测，航空动力学报 2009，Vol.1,No.12.任淑红
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证明 (, 2) 布朗运动是一个高斯过程
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同
的时间指标 0=t0 <t1< <tn <, 定义增量
=B -B , , 2 , 2
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七.布朗运动的导数过程
定义 设{W (t),t 0}是参数为 2的Wiener过程. 如果存在实随机过程以 2 (s t) 为其相关函数，
则称该过程为Wiener 过程 {W (t),t 0} 的导数过 程．记为{W(t),t 0}. 从而
RW (s,t) 2 (s t), s,t 0. 称参数为 2的Wiener过程 {W (t),t 0}的导数过程 {W(t),t 0} 为参数为 2 的白噪声过程或白噪声.
第七章 布朗运动
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（3）布朗运动的联合分布是多元正态的，所以布朗运动是高 斯过程。
定义：随机过程{ X (t ), t 0}称为高斯过程， 若对一切t1 ,, tn , X (t1 ),, X (tn )有多元正态分布。
由于多元正态分布完全由边际均值和协方差决定，布朗运动 也完全由其均值和协方差决定。
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§1
基本概念和性质
对称随机游动：每个单位时间等可能的向左或向右走一个单位 步子。 加速此过程，在越来越小的时间间隔中走越来越小的步子。若 以正确的方式趋于极限，得到的就是布朗运动。
X (t ) x ( X 1 X [t / t ] ) t : 时间间隔，x : 步子大小 其中X i 1 or -1 (1)
证明：由鞅的停止定理 E[ B(T )] E[ B (0)] 0 由B(T ) 2 - 4T ,所以2 - 4E[T ] 0，求得E[T ] 1/ 2
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令：f ( x) E[eTx ], 则f ( x y) f ( x) f ( y) 意味着：E[eTx ] ecx，对某个c 0
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下面确定c，对Y X (h) X (0)取条件，可得f 满足的微分方程
f ( x ) E[exp{ (h Tx Y )}] o (h ) e h E [ f (x Y )] o (h ) 其中o(h)是到时刻h已经击中x的概率。
E( X i ) 0,Var( X i ) 1
高中物理选修3-3知识复习提纲：第七章-分子动理论(人教版)
分子动理论知识网络：内容详解：一、物质是由大量分子组成的●单分子油膜法测量分子直径.●1mol 任何物质含有的微粒数相同2316.0210A N mol -=⨯.●对微观量的估算：①分子的两种模型：球形和立方体②利用阿伏伽德罗常数联系宏观量与微观量 分子质量：mol AM m N = 分子体积：mol AV v N = 分子数量：A A A A mol mol mol mol M v M v n N N N N M M V V ρρ==== 二、分子永不停息的做无规则的热运动●扩散现象：不同物质能够彼此进入对方的现象,说明了物质分子在不停地运动,同时还说明分子间有间隙,温度越高扩散越快.●布朗运动：它是悬浮在液体中的固体微粒的无规则运动,是在显微镜下观察到的. ①布朗运动的三个主要特点：永不停息地无规则运动；颗粒越小,布朗运动越明显；温度越高,布朗运动越明显.②产生布朗运动的原因：它是由于液体分子无规则运动对固体微小颗粒各个方向撞击的不均匀性造成的.③布朗运动间接地反映了液体分子的无规则运动,布朗运动、扩散现象都有力地说明物体内大量的分子都在永不停息地做无规则运动.●热运动：分子的无规则运动与温度有关,简称热运动,温度越高,运动越剧烈.三、分子间的相互作用力分子之间的引力和斥力都随分子间距离增大而减小.但是分子间斥力随分子间距离加大而减小得更快些,如图中两条虚线所示.分子间同时存在引力和斥力,两种力的合力又叫做分子力.在图象中实线曲线表示引力和斥力的合力随距离变化的情况.当两个分子间距在图象横坐标0r 距离时,分子间的引力与斥力平衡,分子间作用力为零,0r 的数量级为1010-m,相当于0r 位置叫做平衡位置.当分子距离的数量级大于m 时,分子间的作用力变得十分微弱,可以忽略不计.四、温度宏观上的温度表示物体的冷热程度,微观上的温度是物体大量分子热运动平均动能的标志.热力学温度与摄氏温度的关系：273.15T t K =+五、内能 ●分子势能分子间存在着相互作用力,因此分子间具有由它们的相对位置决定的势能,这就是分子势能.分子势能的大小与分子间距离有关,分子势能的大小变化可通过宏观量体积来反映.① 当0r r >时,分子力为引力,当r 增大时,分子力做负功,分子势能增加.② 当0r r <时,分子力为斥力,当r 减少时,分子力做负功,分子是能增加.● 物体的内能物体中所有分子热运动的动能和分子势能的总和,叫做物体的内能.一切物体都是由不停地做无规则热运动并且相互作用着的分子组成,因此任何物体都是有内能的.〔理想气体的内能只取决于温度〕● 改变内能的方式：① 做功.② 热传递.练习：1．根据分子动理论,物质分子间距离为r 0时分子所受到的引力与斥力相等,以下关于分子势能的说法正确的是 〔 〕A ．当分子间距离是r 0时,分子具有最大势能,距离增大或减小时势能都变小B ．当分子间距离是r 0时,分子具有最小势能,距离增大或减小时势能都变大C ．分子间距离越大,分子势能越大,分子距离越小,分子势能越小D ．分子间距离越大,分子势能越小,分子距离越小,分子势能越大2．在下列叙述中,正确的是 〔 〕A ．物体的温度越高,分子热运动越剧烈,分子平均动能越大B ．布朗运动就是液体分子的热运动C ．一切达到热平衡的系统一定具有相同的温度D ．分子间的距离r 存在某一值r 0,当r <r 0时,斥力大于引力,当r >r 0时,引力大于斥力3．下列说法中正确的是 〔 〕A ．温度高的物体比温度低的物体热量多B ．温度高的物体不一定比温度低的物体的内能多C ．温度高的物体比温度低的物体分子热运动的平均速率大D ．相互间达到热平衡的两物体的内能一定相等4．从下列哪一组数据可以算出阿伏伽德罗常数 〔 〕A ．水的密度和水的摩尔质量B ．水的摩尔质量和水分子的体积C ．水分子的体积和水分子的质量D ．水分子的质量和水的摩尔质量5．关于分子间距与分子力的下列说法中,正确的是 〔 〕A ．水和酒精混合后的体积小于原来的体积之和,说明分子间有空隙；正是由于分子间有空隙,才可以将物体压缩B ．实际上水的体积很难被压缩,这是由于水分子间距稍微变小时,分子间的作用就 表现为斥力C ．一般情况下,当分子间距r <r 0〔平衡距离〕时,分子力表现为斥力,r=r 0时,分子力为零；当r >r 0时分子力为引力D ．弹簧被拉伸或被压缩时表现的弹力,正是分子引力和斥力的对应表现6．已知阿佛伽德罗常数为N ,某物质的摩尔质量为M 〔kg/mol 〕,该物质的密度为ρ〔kg/m 3〕,则下列叙述中正确的是 〔 〕A ．1kg 该物质所含的分子个数是ρNB ．1kg 该物质所含的分子个数是M N ρC ．该物质1个分子的质量是Nρ〔kg 〕 D ．该物质1个分子占有的空间是N M ρ〔m 3〕 7．如图所示．设有一分子位于图中的坐标原点O 处不动,另一分子可位于x 轴上不同位置处．图中纵坐标表示这两个分子间分子力的大小,两条曲线分别表示斥力和引力的大小随两分子间距离变化的关系,e 为两曲线的交点．则A ．ab 表示吸力,cd 表示斥力,e 点的横坐标可能为 10-15mB ．ab 表示斥力,cd 表示吸力,e 点的横坐标可能为 10-10mC ．ab 表示吸力,cd 表示斥力,e 点的横坐标可能为 10-10mD ．ab 表示斥力,cd 表示吸力,e 点的横坐标可能为10-15m8．下列事实中能说明分子间存在斥力的是〔 〕A ．气体可以充满整个空间B ．给自行车车胎打气,最后气体很难被压缩C ．给热水瓶灌水时,瓶中水也很难被压缩D ．万吨水压机可使钢锭变形,但很难缩小其体积9．用N A 表示阿伏加德罗常数,下列说法正确的是 〔 〕A ．当氢气和氧气的分子数均为N A 时,它们具有相同的体积B ．常温常压下,l mol 金属铝从盐酸中置换出l mol 的H 2时,发生转移的电子数为32A NC ．在标准状况下,l mol 乙烷完全燃烧后,所生成的气态产物的分子数为N AD ．在标准状况下,分子数均为N A 的SO 2和SO 3含有相同的硫原子数10．当两个分子间的距离r =r 0时,分子处于平衡状态,设r 1＜r 0＜r 2,则当两个分子间的距离由r 1变到r 2的过程中 〔 〕A ．分子力先减小后增加B ．分子力先减小再增加最后再减小C ．分子势能先减小后增加D ．分子势能先增大后减小11．在用油膜法估测分子大小的实验中,已知纯油酸的摩尔质量为M ,密度为ρ,一滴油酸溶液中含纯油酸的质量为m ,一滴油酸溶液滴在水面上扩散后形成的纯油酸油膜最大面积为S ,阿伏加德罗常数为N A .以上各量均采用国际单位制,对于油酸分子的直径和分子数量有如下判断：①油酸分子直径d =S M ρ②油酸分子直径d =Sm ρ ③ 一滴油酸溶液中所含油酸分子数n =A N mM ④一滴油酸溶液中所含油酸分子数n =A N M m 以上判断正确的是______________12．分子间同时存在着引力和斥力,若分子间引力、斥力随分子间距离r 的变化规律分别为f 引=a r b ,f 斥=c rd ,分子力表现为斥力时,r 满足的条件是_______. 13．在做"用油膜法估测分子的大小〞的实验中,若用直径为 0.5 m 的浅圆盘盛水,让油酸在水面上形成单分子油酸薄膜,那么油酸滴的体积的数量级不能大于________m 314．在"用油膜法估测分子大小〞的实验中,所用的油酸酒精溶液的浓度为每 1000 mL 溶液中有纯油酸0.6 mL,用注射器测得 l mL 上述溶液有80滴,把1滴该溶液滴入盛水的浅盘内,让油膜在水面上尽可能散开,得到油酸薄膜的轮廓形状和尺寸如图所示,图中正方形格的边长为1 cm,则可求得：〔1〕油酸薄膜的面积是_____________cm 2．〔2〕油酸分子的直径是______________ m ．〔结果保留两位有效数字〕〔3〕利用单分子油膜法可以粗测分子的大小和阿伏加德罗常数．如果已知体积为V 的一滴油在水面上散开形成的单分子油膜的面积为S ,这种油的密度为ρ,摩尔质量为M ,则阿伏加德罗常数的表达式为_________15．根据水的密度为ρ=1.0×103kg/m 3和水的摩尔质量M =1.8×10-2kg,利用阿伏加德罗常数N A =6.0×1023mol -1,估算水分子的质量和水分子的直径.16．用长度放大600倍的显微镜观察布朗运动.估计放大后的小颗粒〔碳〕体积为0.l ×10-9m 3,碳的密度是2.25×103kg ／m 3,摩尔质量是1.2×10-2kg ／mol,阿伏加德罗常数为6.0×1023mol -1,则该小碳粒含分子数约为多少个？〔取1位有效数字〕17．利用油膜法可以粗略测出阿伏加德罗常数.把密度 3108.0⨯=ρkg ／m 3的某种油,用滴管滴出一滴油在水面上形成油膜,已知这滴油的体积为V=0.5×10-3 cm3,,形成的油膜面积为S=0.7m2,油的摩尔质量M=9×10-2kg／mol,若把油膜看成是单分子层,每个油分子看成球形,那么：〔1〕油分子的直径是多少？〔2〕由以上数据可粗略测出阿伏加德罗常数N A是多少〔先列出计算式,再代入数值计算,只要求保留一位有效数字〕。
布朗运动的计算
该方法适用于研究布朗运动的宏 观性质和统计规律，如均方位移、
扩散系数等。
扩散系数法需要确定扩散系数和 其他相关参数，这些参数的准确
性对计算结果的影响较大。
04 布朗运动的应用
在物理领域的应用
分子扩散
布朗运动是分子扩散的主要原因 之一，通过布朗运动，分子在液 体中不断进行无规则的随机运动， 从而实现物质传递和混合。
03 布朗运动的计算方法
直接模拟法
01
直接模拟法是一种基于物理原 理的布朗运动计算方法，通过 模拟布朗粒子的运动轨迹来计 算布朗运动的位移和速度。
02
该方法需要跟踪每个布朗粒子 的运动轨迹，因此计算量大， 计算时间长，但结果准确可靠 。
03
直接模拟法适用于研究布朗运 动的微观机制和特性，如布朗 粒子的扩散系数、碰撞频率等 。
热传导
布朗运动可以影响物质的热传导 性能，通过研究布朗运动对热传 导的影响，有助于理解物质的热 性质和设计更高效的热管理材料。
光学性质
布朗运动可以影响物质的光学性 质，如散射和吸收等，通过研究 布朗运动对光学性质的影响，有 助于理解物质的光学性质和应用。
在化学领域的应用
化学反应动力学
布朗运动可以影响化学反应的速 率和机理，通过研究布朗运动对 化学反应的影响，有助于理解化
学反应的动力学和机理。
催化剂设计
布朗运动可以影响催化剂的活性， 通过研究布朗运动对催化剂活性的 影响，有助于设计更高效的催化剂。
药物传递
布朗运动可以用于药物传递系统中， 通过控制药物的布朗运动，可以实 现药物的定向传递和释放。
在生物学领域的应用
细胞生物学
布朗运动是细胞内分子运动的主要方式之一，通过研究细 胞内分子的布朗运动，有助于理解细胞的功能和代谢机制。
高中物理第七章分子的热运动教材梳理素材新人教选修
2 分子的热运动庖丁巧解牛知识·巧学一、扩散现象1.定义：不同物质相互接触时自发地彼此进入对方的现象.不同的物质互相接触，过一段时间后物质分子会彼此进入对方，这一现象称为扩散，扩散是一种常见的物理现象.如在房间的一角撒上香水，整个房间都能闻到香味，金块和铅块压紧在一起，放置足够长的时间，会发现铅中有金，金中有铅等，都是扩散.2.意义：直接证明组成物体的分子在不停地运动着.3.特点：(1)在气体、液体、固体中均能发生，而气体的扩散现象最明显;(2)扩散快慢与温度有关，温度越高，扩散越快，表明温度越高，分子运动越剧烈;(3)从浓度大处向浓度小处扩散，且受“已进入对方”的分子浓度的限制，当进入对方的分子浓度较低时，扩散现象较为显著.4.应用：在真空高温等条件下，在半导体材料中掺入一些其他元素,制造各种电子元件.二、布朗运动1.定义：悬浮在液体（或气体）中的固体小微粒永不停息的无规则运动.(1)布朗运动是英国植物学家布朗在1827年用显微镜观察在水中的花粉微粒时首先发现的;(2)实验条件：固体小微粒（又叫布朗粒子）的线度足够小（数量级不超过10-4 cm），在光学显微镜下才能观察到;(3)固体小微粒并非是单个分子，而是由大量（千万个）分子组成的.2.特点(1)布朗运动永不停息（只要液体不干涸）;(2)布朗运动极不规则;(3)微粒越小，现象越明显.(4)在任何温度下都会发生，温度越高，布朗运动越激烈.深化升华藤黄颗粒、花粉、墨汁小微粒均可做实验，说明布朗运动并不取决于微粒本身，而是由微粒所处的环境造成的.3.产生原因：不在外部，而在液体内部，是由于液体分子永不停息地无规则运动对固体小微粒的撞击不平衡产生的，微粒越小，这种不平衡越显著.布朗运动越激烈，温度越高，液体分子无规则运动越激烈，对固体小微粒的撞击作用越激烈，且撞击次数越频繁，造成布朗运动越激烈.要点提示布朗运动的激烈程度与微粒的体积、质量及液体的温度有关.学法一得从微观机理解释宏观现象；从宏观现象探究微观本质，是物理学中很重要的研究方法.4.布朗运动的意义尽管布朗运动本身并不是分子的运动，但由于它的形成原因是由于分子的撞击所致，所以它能反映分子的运动特征，这就是布朗运动的意义所在.深化升华布朗运动的意义具体可概括为三点：(1)布朗运动的永不停息，说明分子的运动是永不停息的；(2)布朗运动路线的无规则，说明分子的运动是无规则的；(3)温度越高，布朗运动越激烈，说明分子的无规则运动的剧烈程度也与温度有关.误区警示对布朗运动往往有这样的认识误区：(1)误认为布朗运动是分子运动；(2)微粒的无规则运动就是液体分子的无规则运动；(3)布朗运动证明了组成固体颗粒的分子在做无规则运动.实际上，布朗运动间接地反映了液体分子在做永不停息的无规则运动，不能反映组成固体颗粒的分子做无规则运动.造成这一误区的原因是：往往将布朗运动的研究对象认为是液体分子.三、热运动1.定义：分子的无规则运动叫热运动.2.原因：扩散现象和布朗运动都随温度的升高而越明显，表明分子的无规则运动跟温度有关，温度越高，分子的无规则运动就越激烈.辨析比较布朗运动和热运动布朗运动和热运动虽然都是永不停息、毫无规则，温度越高运动越激烈，但布朗运动不是分子热运动，而是分子热运动的反映.典题·热题知识点一扩散现象例1 下列四种现象中，属于扩散现象的有（）A.雨后的天空中悬浮着很多的小水滴B.海绵吸水C.在一杯热水中放几粒盐，整杯水很快就会变咸D.把一块煤贴在白墙上，几年后铲下煤后发现墙中有煤解析:扩散现象是指两种不同的分子互相渗透到对方的现象，它也是分子运动引起的.天空中的小水滴不是分子，小水滴也是由大量水分子组成的，这里小水滴悬浮于空气中并非分子运动所为，故A项不对.同样海绵吸水也不是分子运动的结果，海绵吸水是一种毛细现象，故B项也不对.整杯水变咸是盐分子渗透到水分子之间所致，墙中有煤也是煤分子渗透的结果，故C、D项正确.答案：CD方法归纳有关物理现象的分析，要抓住其基本本质进行判断.知识点二布朗运动例2 墨汁的小炭粒在水中做布朗运动的现象说明（）A.小炭粒的分子在做剧烈的热运动B.水分子在做剧烈的热运动C.水分子之间是有空隙的D.水分子之间有分子作用力解析:布朗运动的起因是液体分子做无规则运动撞击颗粒的结果，所以，小炭粒在水中做布朗运动并不说明小炭粒的分子在做剧烈的运动，而只是间接说明水分子在做剧烈的运动.故选项A错误，B正确.颗粒产生布朗运动的原因不是因为分子的间隙和分子间作用力，C、D选项皆错.答案：B误区警示（1）不是分子的运动，是液体（或气体）分子撞击固体小颗粒的结果，但它反映了液体分子运动的无规则性.（2）水分子间是有空隙的，但不是布朗运动得出的结论.例3 图7-2-1所示的是用显微镜观察到的悬浮在水中的一个花粉微粒的布朗运动路线，从微粒在A点开始计时，每隔30 s记下一个位置，依次得到B、C、D、E、F、G各点.则在第75 s末时微粒所在的位置是（）图7-2-1A.一定在CD连线的中点B.一定不在CD连线的中点C.一定在CD连线上，但不一定在CD连线的中点D.不一定在CD连线上解析:首先弄清楚，这个“花粉微粒的布朗运动路线”放大图中，只有A、B、C、D……各点的位置是每隔30 s花粉位置的真实记录，而各点间的连线是人为画出来的，用来表示到达各位置的先后次序，并非实际运动路线.我们只能说由第60 s末至第90 s末，微粒由C位置到达D位置，不能说在此段时间内微粒由C位置沿直线运动到达D位置，更不能说微粒沿直线CD匀速运动到第75 s末时在CD连线中点.因为布朗运动中花粉微粒的运动是毫无规则的，微粒在第75 s末所在的位置可能在CD连线上，但不一定在CD 连线的中点，也可能在CD连线以外的某点上，本题正确选项只有D.答案：D误区警示不能将图中的折线视为运动轨迹，因花粉微粒受到大量液体分子的频繁撞击（每秒约1021次），在由第60 s末至第90 s末这短短的30 s时间内，花粉微粒的运动仍是毫无规则的.知识点三布朗运动和扩散现象例4 关于布朗运动和扩散现象的下列说法中正确的是（）A.布朗运动和扩散现象都在气体、液体、固体中发生B.布朗运动和扩散现象都是分子的运动C.布朗运动和扩散现象都是温度越高越明显D.布朗运动和扩散现象都是永不停息的解析:（1）布朗运动与扩散现象的研究对象不同：布朗运动研究对象是固体小颗粒，而扩散现象研究的是分子的运动.（2）布朗运动与扩散现象条件不一样：布朗运动只能在气体、液体中发生，而扩散现象可以发生在固体、液体、气体中的任何两种物质之间.（3）布朗运动与扩散现象的共同点是两者都是永不停息的，并且温度越高越明显.由以上分析不难判断，正确选项为C、D.答案：CD方法归纳布朗运动与扩散现象研究对象虽然不同，但都说明了分子运动的无规则性，了解布朗运动与扩散现象的研究对象、形成条件的异同点是解决这类问题的关键.例5 下列关于布朗运动、扩散现象和对流的说法中正确的是（）A.布朗运动是固体微粒的运动，反映了液体分子的无规则运动B.布朗运动和扩散现象及对流都需要在重力的作用下才能进行C.布朗运动和扩散现象不需要在重力作用下就能进行D.对流在完全失重情况下不能发生解析:布朗运动和扩散现象都是分子无规则运动的结果，是不需要外加条件的，而对流则是密度大的物质在重力作用下下沉所引起的，故A、C、D项正确.答案：ACD问题·探究误区陷阱探究问题当一束阳光照射到教室中时，常常看到入射光束中有悬浮在空气中的微尘在运动，这些微尘的运动是布朗运动吗？为什么？常常出现这样的错误：认为这些微尘的运动是布朗运动.因为它们是由于空气分子无规则运动碰撞而引起的，间接地反映了空气分子的无规则运动.探究过程：关于液体中、气体中悬浮微粒的运动，究其原因可能是多方面.如流体的流动，浮力、重力等外部环境的影响.也可能是流体分子热运动的撞击而引起的.要注意的是，仅由流体分子撞击而引起的微粒运动才属于布朗运动，并非所有微粒的运动都是布朗运动.再者，布朗运动的原因虽是周围流体分子对微粒撞击的宏观效果，但并非这种碰撞就一定能产生布朗运动.这些肉眼能看到的微尘，从微观的角度看，是相当大的.从研究对象来说，首先不满足布朗运动的条件：从分子运动对它的碰撞分析，由于颗粒较大，空气分子热运动对它各个方向的碰撞几乎抵消，平衡性强.所以，这些微尘的运动不是由于空气分子碰撞它引起的，而是由于受气流的流动、空气浮力和重力的作用等外部原因引起的，不属于布朗运动.探究结论：这些微尘的运动不是布朗运动.思想方法探究问题布朗运动与扩散现象反映的分子热运动有什么区别？探究过程：（1）产生条件：布朗运动：固体颗粒悬浮在液体中，也可以在气体中发生；扩散现象：两物质相互接触，在固体、液体、气体中都能发生.(2)影响快慢的因素布朗运动：温度的高低和微粒的大小;扩散现象：温度的高低.(3)现象的本质布朗运动：是固体颗粒的运动，是液体分子无规则运动的反映;扩散现象：是分子的运动.(4)共同点和不同点共同点：它们都（间接或直接）证实了分子在永不停息地做无规则运动；不同点：布朗运动永不停息，扩散现象会停止（动态平衡）.探究结论：扩散现象是分子热运动的直接表现，布朗运动是分子热运动的间接表现.高考理综物理模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
第7章 Brown运动
2
0
Dk Wt
k 1
Wt ,
k
k t k 1 t k
则当 k j 时有Dk与Dj独立。
设{W(t) , t≥0} 是一个随机过程，若满足
1、轨线连续性 W(0)=0, W(t)是t的连续函数 2、增量服从正态分布 对固定的t，W(t) ~ N(0,c2t)，以及对 t>s有 W(t)-W(s) ~ N(0,c2(t-s)) 3、增量是独立的 对任意的 0<t1<t2< , …,<tn , W(tn)-W(tn-1) , W(tn-1)-W(tn-2) , … ,W(t2)-W(t1) , W(t1) 是相互独 立的 则称{W(t) , t≥0} 是布朗运动。当c=1时称之为标准布朗运动。 x 2 x1 ) f B ( t
n 3
f B ( t ) ( x1 ) f B ( t f t ( x1 ) f t
1 2
2
) B ( t1 )
) B ( t2 )
( x3 x 2 ) f B (t
n
) B ( t n 1 )
( x n x n 1 )
三、Brown运动与随机游动的关系
一维Brown运动可看作质点在直线上作简单随机游动 的极限.
四、布朗运动的简单性质
1，若W(0)=x称之为始于x的布朗运动，记为Wx(t)，则
W
x
t x
W
0
t
即为始于0的布朗运动，即标准布朗运动。 2, E W t 0,
s t , co v W s , W t co v W s , W s co v W s , W t W s s co v W s , W t E W sW t s t m in s , t
布朗运动
1.2. 三大统计规律的形成原因
（1.1.1） （1.1.2）
本部分纯属思考推理，没有试验证明。
1.2.1. 统计规律 A. 粒子在介质中，处于静止状态时，被介质分子撞击，那么撞击合力应该全部相互抵消，即为 0，
粒子将保持静止状态。
B. 粒子在介质中，以初速度 v0 运动时，由第一条可知分子热运动对粒子的合力为 0；而在运动方向
由这种个体运行的特征，可以知道粒子的速度是变化的，各种状态的速度有明显的分别，而同一种状 态中也会有所差异。但是，统计规律中 1.1 节第 2 条：“任意起点，在相等的时间间隔内，粒子运动的距离 相等”，这条是统计规律，同一个粒子长时间平均肯定会回归这个统计结论。那么意味着粒子运动存在一 个平衡速度（介质条件不改变），实际粒子的运动就是在这个平衡速度上下扰动，可以扰动很远的距离， 但最终加权平均必须回归平衡速度。这个限制构成了粒子运动的基本准则。
1.2.3. 统计和个体的关系 在 1.2.2 描述的个体运动中，我们可以知道粒子至少分为三种状态：弱动能分子作用下的扰动，强动
能分子作用下的速度陡增，和其后速度不断随时间衰减。三种状态是按照顺序循环的，循环并非完全规则， 因为第 3 步速度衰减途中可能再次被高能分子撞击而重复第 2 步，而非循环到第 1 步。
1.1. 布朗运动的物理规律 ................................................................................................................................1 1.2. 三大统计规律的形成原因 ........................................................................................................................1
第七章 第2讲
第七章第2讲第2讲分子的热运动[目标定位] 1.知道扩散现象、布朗运动以及热运动的定义． 2.理解布朗运动产生的原因和特点． 3.知道什么是热运动及决定热运动激烈程度的因素．一、扩散现象1．定义：不同的物质彼此进入对方的现象．2．产生原因：物质分子的无规则运动．3．应用举例：在高温条件下通过分子的扩散，在纯净半导体材料中掺入其他元素．4．扩散现象的实质：扩散现象是物质分子永不停息地做无规则运动的证明．想一想将1升小米与1升黄豆掺在一起，这种现象能否叫扩散？答案不是．扩散现象是分子的运动，而小米和黄豆都不是分子．二、布朗运动1．定义：悬浮在液体(或气体)中的固体微粒的不停的无规则运动．它首先是由英国植物学家布朗在1827年用显微镜观察悬浮在水中的花粉微粒时发现的．2．产生的原因：大量液体分子对悬浮微粒撞击的不平衡造成的．3．微粒越小，温度越高，布朗运动越激烈．4．悬浮微粒的无规则运动不是分子的运动，但是它间接地反映了液体或气体分子的无规则运动．三、热运动1．定义：分子永不停息的无规则运动．2．宏观表现：布朗运动和扩散现象．3．特点(1)永不停息；(2)运动无规则；(3)温度越高，分子的热运动越激烈．一、扩散现象与热运动(2)温度越高，布朗运动越剧烈．3．原因：气体分子或液体分子对固体小微粒撞击不平衡．4．特点：(1)布朗运动是永不停息的，说明液体(或气体)分子的运动是永不停息的．(2)布朗运动是无规则的，说明液体(或气体)分子的运动是无规则的．(3)温度越高布朗运动越激烈，说明分子运动剧烈程度与温度有关．特别提醒：①布朗运动是固体微粒的运动，热运动是分子的运动．②布朗运动间接反映了分子永不停息的无规则的热运动．例2关于布朗运动，下列说法正确的是()A．布朗运动是由液体分子从各个方向对悬浮微粒撞击作用的不平衡引起的B．微粒做布朗运动，充分说明了微粒内部分子是不停地做无规则运动的C．布朗运动是无规则的，因此它说明了液体分子的运动是无规则的D．布朗运动的无规则性，是由于外界条件无规律的不断变化而引起的答案AC解析布朗运动是悬浮在液体中的微小颗粒的无规则运动，是由液体分子对微小颗粒的撞击作用的不平衡产生的，故A正确；布朗运动是指悬浮在液体或气体中的小颗粒的运动，它不是指分子的运动．布朗运动的无规则性，是由液体或气体分子的撞击引起的，通过布朗运动，间接反映了液体或气体分子的无规则性，它不是由颗粒内部的分子无规则运动引起的，也不是由于外界条件变化引起的，故B、D错误，C正确．图7－2－2例3如图7－2－2所示，是关于布朗运动的实验，下列说法正确的是()A．图中记录的是分子无规则运动的情况B．图中记录的是微粒做布朗运动的轨迹C．实验中可以看到，微粒越大，布朗运动越明显D．实验中可以看到，温度越高，布朗运动越剧烈答案 D解析图中记录的是每隔若干时间(如30 s)微粒位置的连线，不是微粒运动的轨迹，也不是分子的无规则运动，而是微粒的无规则运动，故选项A、B 错；微粒做布朗运动的根本原因是：各个方向的液体分子对它的碰撞不平衡，因此，微粒越小、温度越高，液体分子对它的碰撞越不平衡，布朗运动越剧烈，故选项D正确，C错误．扩散现象与热运动1．在下列给出的四种现象中，属于扩散现象的有()A．有风时，尘土飞扬到空中B．将沙子倒入石块中，沙子要进入石块的空隙C．把一块铅和一块金的接触面磨平，磨光后，紧紧地压在一起，几年后会发现铅中有金D．在一杯热水中放几粒盐，整杯水很快会变咸答案CD布朗运动与热运动2．在显微镜下观察稀释了的碳素墨水，将会看到()A．水分子的运动情况B．碳分子的运动情况C．水分子对炭粒的作用D．炭粒的无规则运动答案 D解析在显微镜下只能看到大量分子的集合体——炭粒的无规则运动，而观察不到水分子和碳分子的运动．3．在观察布朗运动时，从微粒在a点开始计时，每隔30 s记下微粒的一个位置，得b、c、d、e、f、g等点，然后用直线依次连接．如图7－2－3所示，则微粒在75 s末时的位置()图7－2－3A．一定在cd的中点B．在cd的连线上，但不一定在cd的中点C．一定不在cd连线的中点D．可能在cd连线以外的某一点答案 D解析微粒做布朗运动，它在任意一小段时间内的运动都是无规则的，题中观察到的各点，只是某一时刻微粒所在的位置，在两个位置所对应的时间间隔内微粒并不一定沿直线运动，故D正确，A、B、C错误．4．下列说法中正确的是()A．温度升高，物体分子的热运动变剧烈B．温度升高，物体运动加快C．热运动与物体的宏观运动实质是相同的D．热运动描述的是组成物质的分子的运动答案AD解析热运动描述的是组成物质的分子永不停息的无规则运动，这种运动具有无规则性，与温度有关，温度升高，分子热运动的剧烈程度加剧，而物体的宏观运动描述的是组成物体的分子集体的宏观运动情况，描述的是物体的机械运动，与热运动无关．(时间：60分钟)题组一扩散与分子热运动1．通常萝卜腌成咸菜需要几天，而把萝卜炒成熟菜，使之具有相同的咸味只需几分钟，那么造成这种差别的主要原因是()A．加热后盐分子变小了，很容易进入萝卜中B．炒菜时萝卜翻动地快，盐和萝卜接触多C．加热后萝卜分子间空隙变大，易扩散D．炒菜时温度高，分子热运动激烈答案 D解析在扩散现象中，温度越高，扩散得越快．在腌萝卜时，是盐分子在常温下的扩散现象，炒菜时，是盐分子在高温下的扩散现象，因此，炒菜时萝卜咸得快，腌菜时萝卜咸得慢，A、B、C是错误的．故正确选项为D.2．在长期放着煤的墙角处，地面和墙角有相当厚的一层染上黑色，这说明()A．分子是在不停地运动B．煤是由大量分子组成的C．分子间没有空隙D．分子运动有时会停止答案 A解析煤分子不停地运动，进入地面和墙角，正确选项为A.3．如图7－2－4所示，一个装有无色空气的广口瓶倒扣在装有红棕色二氧化氮气体的广口瓶上，中间用玻璃板隔开．对于抽去玻璃板后所发生的现象，(已知二氧化氮的密度比空气的密度大)下列说法正确的是()图7－2－4A．当过一段时间可以发现上面瓶中的气体也变成了淡红棕色B．二氧化氮由于密度较大，不会跑到上面的瓶中，所以上面瓶不会出现淡红棕色C．上面的空气由于重力作用会到下面的瓶中，于是将下面瓶中的二氧化氮排出了一小部分，所以会发现上面瓶中的瓶口处显淡红棕色，但在瓶底处不会出现淡红棕色D．由于气体分子在运动着，所以上面的空气会到下面的瓶中，下面的二氧化氮也会自发地运动到上面的瓶中，所以最后上、下两瓶气体的颜色变得均匀一致答案AD解析抽去玻璃板后，空气与二氧化氮两种气体接触，由于气体分子的运动，过一段时间空气、二氧化氮气体会均匀分布在上、下两广口瓶当中，颜色均匀一致，都呈淡红棕色，A、D对，B、C错．题组二布朗运动与热运动4．关于布朗运动，下列说法中正确的是()A．说明了悬浮颗粒做无规则运动的剧烈程度与温度无关B．布朗运动是组成固体微粒的分子无规则运动的反映C．布朗运动是液体分子无规则运动的反映D．观察时间越长，布朗运动越显著答案 C解析布朗运动是固体颗粒的无规则运动，其剧烈程度与温度和颗粒大小有关，与时间无关，选项C正确，A、B、D错误．5．关于布朗运动的剧烈程度，下面说法中正确的是()A．固体微粒越大，瞬间与固体微粒相碰撞的液体分子数目越多，布朗运动越显著B．固体微粒越小，瞬间与固体微粒相碰撞的液体分子数目越少，布朗运动越显著C．液体的温度越高，单位时间内与固体微粒相碰撞的液体分子数目越多，布朗运动越显著D．液体的温度越高，单位时间内与固体微粒相碰撞的液体分子数目越少，布朗运动越显著答案BC解析本题考查对布朗运动本质的理解，撞击颗粒的作用力越不平衡，则颗粒的运动越剧烈，正确的说法应是B、C.6．某同学做布朗运动实验，得到某个观测记录如图7－2－5所示，关于该记录下列说法正确的是()图7－2－5A．图中记录的是某个液体分子做无规则运动的情况B．图中记录的是某个布朗微粒的运动轨迹C．图中记录的是某个微粒做布朗运动的速度—时间图线D．图中记录的是按等时间间隔依次记录的某个布朗微粒的位置连线答案 D解析微粒在周围液体分子无规则碰撞作用下，做布朗运动，轨迹是无规则的，实际操作中不易描绘出微粒的实际轨迹；而按等时间间隔依次记录的某个运动微粒位置的连线的无规则，也能充分反映微粒布朗运动的无规则，本实验记录描绘的正是某一微粒位置的连线，故选D.7．把墨汁用水稀释后取出一滴放在显微镜下观察，如图7－2－6所示，下列说法中正确的是()图7－2－6A．在显微镜下既能看到水分子也能看到悬浮的小炭粒，且水分子不停地撞击炭粒B．小炭粒在不停地做无规则运动，这就是所说的布朗运动C．越小的炭粒，运动越明显D．在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上就是由许许多多的静止不动的水分子组成的答案BC解析在光学显微镜下，只能看到悬浮的小炭粒，看不到水分子，故A 错；在显微镜下看到小炭粒不停地做无规则运动，这就是布朗运动，且看到的炭粒越小，运动越明显，故B、C正确，D显然是错误的．8．A、B两杯水，水中均有微粒在做布朗运动，经显微镜观察后，发现A 杯中微粒的布朗运动比B杯中微粒的布朗运动激烈，则下列判断中，正确的是()A．A杯中的水温高于B杯中的水温B．A杯中的水温等于B杯中的水温C．A杯中的水温低于B杯中的水温D．条件不足，无法判断两杯水温的高低答案 D解析布朗运动的剧烈程度，跟液体的温度和微粒的大小两个因素都有关，因此根据布朗运动的激烈程度不能判断哪杯水的温度高，故D对．题组三综合应用9．如图7－2－7所示，把一块铅和一块金的接触面磨平、磨光后紧紧压在一起，五年后发现金中有铅，铅中有金，对此现象说法正确的是()图7－2－7A．属扩散现象，原因是由于金分子和铅分子的相互吸引B．属扩散现象，原因是由于金分子和铅分子的运动C．属布朗运动，小金粒进入铅块中，小铅粒进入金块中D．属布朗运动，由于外界压力使小金粒、小铅粒彼此进入对方中答案 B解析属扩散现象，是由于两种不同物质分子运动引起的，不是分子间的相互吸引，B对，A错；布朗运动是颗粒的运动而不是分子运动，故C、D错．10．下列关于布朗运动、扩散现象和对流的说法正确的是()A．三种现象在月球表面都能进行B．三种现象在宇宙飞船里都能进行C．布朗运动、扩散现象在月球表面能够进行，而对流则不能进行D．布朗运动、扩散现象在宇宙飞船里能够进行，而对流则不能进行答案AD解析布朗运动和扩散现象都是分子无规则热运动的结果，而对流需要在重力作用的条件下才能进行．由于布朗运动、扩散现象是由于分子热运动而形成的，所以二者在月球表面、宇宙飞船里均能进行，由于月球表面仍有重力存在，宇宙飞船里的微粒处于完全失重状态，故对流可在月球表面进行，而不能在宇宙飞船内进行，故选A、D.11．下列关于热运动的说法中，正确的是()A．热运动是物体受热后所做的运动B．0 ℃的物体中的分子不做无规则运动C．热运动是单个分子的永不停息的无规则运动D．热运动是大量分子的永不停息的无规则运动答案 D解析热运动是大量分子所做的无规则运动，不是单个分子的无规则运动，因此A、C错误，D正确；分子的热运动永不停息，因此0 ℃的物体中的分子仍做无规则运动，B错误．12．关于布朗运动和扩散现象，下列说法正确的是()A．布朗运动和扩散现象都可以在气体、液体、固体中发生B．布朗运动和扩散现象都是分子的运动C．布朗运动和扩散现象都是温度越高越明显D．布朗运动和扩散现象都是永不停息的答案 C解析布朗运动不能在固体中发生，扩散现象可以在固体中发生，选项A 错误；布朗运动不是分子的运动，而扩散现象是分子的运动，选项B错误；布朗运动是永不停息的，而扩散现象当达到动态平衡后就会停止，选项D错误；布朗运动和扩散现象的相同点是温度越高越明显，选项C正确．13．下列事例中，属于分子不停地做无规则运动的是()A．秋风吹拂，树叶纷纷落下B．在箱子里放几块樟脑丸，过些日子一开箱就能闻到樟脑的气味C．烟囱里冒出的黑烟在空中飘荡D．把胡椒粉末放入菜汤中，最后胡椒粉末会沉在汤碗底，而我们喝汤时却尝到了胡椒的味道答案BD解析树叶、黑烟(颗粒)都是由若干分子组成的固体微粒，它们的运动都不是分子运动，A、C错误，B、D正确．第 11 页。
布朗运动的计算(教育知识)
=e Ee (s+t) [W (s)+(W (t )-W (s))+W (s)]
=e Ee E (s+t) 2W (s) [W (t )-W (s)]
2
=e(t +s)e2 2se 2
(t -s)
,s,t
0
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过程5：反射布朗运动
Btre = W(t) t 0
均值函数
mBre (t)=E[ W (t) ]=
2t , t 0
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mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
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过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e-t W( (t)） t 0，>0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
即
u U
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结论 设二阶矩过程{X(t),t∈T}均方可导.则
(1)导数过程{X (t),t T}的均值函数等于原过程 {X (t),t T} 均值函数的导数，即 mX (t) mX (t),t T ;
(2) 导数过程{X (t),t T} 和原过程{X (t),t T}的
互相关函数 RXX (s,t) 等于原过程 {X (t),t T}的
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且此极限不依懒于对[a,b]的分法及 tk 的取法,则称
{ f (t,u)X (t),t [a,b]}在[a,b]上均方可积.
该均方极限值Y(u)称为
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第六章 布朗过程
布朗运动，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用 的随机过程之一，以发现它的英国植物学家罗伯特.布朗 命名，是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解 释是爱因斯坦于1905年给出，他证明，假设浸没的粒子 连续不断受到周围介质的分子的冲击，布朗运动即可解 释。1918年，维纳给出了布朗运动的简介定义。 自它被发现以来以来，有效的应用于一些领域，如拟合 优度的统计检验，分析股票市场的价格水平及量子力学。 迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随 机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。
若X (t )为布朗运动，均值为0，方差为t，
f ( x1,, xn ) ft1 ( x1 ) ft2 t1 ( x2 x1 ) ftn tn1 ( xn xn1 )
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例2：设X (t )为布朗运动，均值为0，方差为t， 求X(t) B给定时，X(s)的条件分布，其中s t.
Y(t)可以有效地用方差参数为 2 的布朗运动建模。求： （1）如果在赛道的中点，内道竞赛者领先 胜的概率是多少？ （2）如果内道竞赛者在竞赛中领先 秒获胜，问他在竞赛
秒，问他取
中点领先概率是多少？
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解：（1）
P{Y (1) 0 | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) } P{Y (1 / 2) } Y (1 / 2) P{ 2} ( 2 ) 0.9213 / 2
证明：由于{Z (t ), t 0}显然是高斯过程，需要验证的只是 E(Z(t) 0及s t时，Cov(Z(s),Z(t)) s(1 t).
前者显然，后者计算如 下：
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例2：设B(t )为一标准布朗运动，令 T Min{t : B(t ) 2 4t} 即T 是标准布朗运动首次击中2 - 4t的时间。用鞅的停止定理求E[T ].
证明：由鞅的停止定理 E[ B(T )] E[ B (0)] 0 由B(T ) 2 - 4T ,所以2 - 4E[T ] 0，求得E[T ] 1/ 2
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（2）需要计算
P{Y (1 / 2) 0 | Y (1) }
首先需要确定，在s t时，给定Y(t) C时Y(s)的条件分布。
若令X (t ) Y (t ) / , 则{ X (t ), t 0}是标准布朗运动 由例2，可得当给定X (t ) C / 时，X ( s)的条件分布是均值为sC / t ，方差为s(t - s) / t的正态分布。 因此，给定Y (t ) C时，Y ( s) X ( s)的条件分布是均值为sC / t，方差 2 s(t s) / t的正态分布。
令：f ( x) E[eTx ], 则f ( x y) f ( x) f ( y) 意味着：E[eTx ] ecx，对某个c 0
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下面确定c，对Y X (h) X (0)取条件，可得f 满足的微分方程
f ( x ) E[exp{ (h Tx Y )}] o (h ) e h E [ f (x Y )] o (h ) 其中o(h)是到时刻h已经击中x的概率。
解：条件密度是： x 2 ( B x) 2 f s ( x) f t s ( B x) f s / t ( x | B) K1 exp f t ( B) 2 s 2 ( t s ) t ( x Bs / t ) 2 K 2 exp 2s(t s)
利用e h 1 h o(h), 给出 f ( x) f ( x)(1 h) hf '( x) f ''( x)h / 2 o(h) 除以h并令h 0得 f ( x) f '( x) f ''( x ) / 2
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布朗运动的数字特征:
X (t ) E X t 0
D X (t ) D X t 2 t
2 2 E [ X ( s )( X ( s ) X ( t ) X ( s ))] E [ X ( s ) ] s, s t C X s, t RX s, t 2 2 E （ [ X ( s ) － X ( t ) ＋ X ( t ) ） X ( t )] E [ X ( t ) ] t, s t 2 min s, t s, t 0
布朗桥过程完全由其边际均值和协方差确定 E[ X ( s) | X (1) 0] 0 Cov[( X ( s), X (t )) | X (1) 0] E[ X (s ) X (t ) | X (1) 0] s (1- t ), s t 1
例4：设X (t )为布朗运动，则Z (t ) X (t ) - tX (1)时， {Z (t ),0 t 1}是布朗桥.
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（几何布朗运动在股票相对于时间的价格的建模中 有用，当感觉价格百分比变化是独立同分布时。 例如，假设Xn是某个股票在时刻n的价格，那么 假设 X n / X n1 , n 1 是独立同分布也许是合理的。
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布朗运动性质： （1）马尔可夫性； P{ X (t s) a | X ( s) x, X (u ),0 u s} P{ X (t s) X ( s) a x | X ( s) x, X (u ),0 u s} P{ X (t s) X ( s) a x | X ( s) x} P{ X (t s) a | X ( s) x} （2）标准布朗运动：
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击中时刻
以Tx 记漂移布朗运动击中x的时间。对x 0时，计算它的矩母 函数E[e Tx ].
首先计算： E[exp{ Tx y }] E[exp{ (Tx Tx y Tx }] E[exp{ Tx }]E[exp{ (Tx y Tx }] （由独立增量性） E[exp{ Tx }]E[exp{ Ty }] （由平稳性）
将上式x点有泰勒级数展开，形式的表示为： f ( x) e h E[ f ( x) f '( x)Y f ''( x )Y 2 / 2 ] o(h) e h [ f ( x ) f '( x ) h f ''( x )h / 2 ] o (h )
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令Yn X n / X n1 , n 1, 所以X n Yn X n1 , 迭代给出 X n YnYn1 Y1 X 0
于是 ln(X n ) ln(Yi ) ln(X 0 )
i 1 n
由于 ln Yi是独立同分布的，ln X i也将如此，在适当规范 后，近似于布朗运动， 所以 X i 近似的是几何布朗运动 。
E( X i ) 0,Var( X i ) 1
若令Δx Δt ,可得
t E ( X (t )) 0, Var ( X (t )) (x) [ ] t
2
E(X(t)) 0, Var(X(t)) 2t
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由式（1）和中心极限定理，得到X(t)的一些性质： （1）X(t)是正态的，均值为0，方差为 t
E X t 0 C s, t Cov( X (s, X (t )) min s, t s, t 0
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LOGO若{X (t ), t 0}为布朗运动过程， 条件随机过程{ X (t ),0 t 1| X (1) 0}是高斯过程，称之为布朗桥。
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另一个感兴趣的随机变 量是过程在 [0, t ]中达到的最大值。它的 分布可以如下得到：
P{max X ( s) a} P{Ta t} (由连续性）
0 s t
2 2
a/ t
e
y2 / 2
dy
显然，条件分布是正态分布，均值和方差为
E[ X (s) | X (t ) B] Bs / t Var ( X (s) | X (t ) B) s(t s) / t
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例3：在有两人比赛的自行车赛中，以Y(t)记当100t％的竞
赛完成时，从内道出发的竞赛者领先的时间秒数，且假设
2
（2）{X (t ),t 0}有独立增量（因为随机 游动在不重叠时间内变 化独立） （3）
{X (t ), t 0}有平稳增量（因为随机游动任一时间区间内变化分布只依赖于区间长度）
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（3）布朗运动的联合分布是多元正态的，所以布朗运动是高 斯过程。
定义：随机过程{ X (t ), t 0}称为高斯过程， 若对一切t1 ,, tn , X (t1 ),, X (tn )有多元正态分布。