概率论第五章习题解答

第五章习题解答

1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h 的概率。 解 设这16只元件的寿命为i X ，1,2,,16i = ，则16

1

i

i X X

==

∑，

因为()100i E X μθ===，22()10000i D X σθ===

于是随机变量

16

16

1600

1600

400

i

i

X

n X

X Z μ

-⨯--=

=

=

∑∑近似的服从(0,1)N

160019201600{1920}{

}400400X P X P -->=>1600

{0.8}400X P -=>

1600

1{0.8}400

X P -=-<1(0.8)=-Φ＝10.78810.2119=-=.

2\（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率；

（2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为i X ，1,2,,50i = （以千美元计）服从韦布尔分布，均值()5i E X =，方差()6i D X =求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。

解 （1）设每个投保人索赔金额为i X ，1,2,,10000i = ，则索赔总金额为10000

1

i

i X X

==∑

又 ()280i E X =，2()800i D X =，所以， 索赔总金额不超过2700000美元的概率

{2700000}1`{270000}P X P X >=-≤

10000

1

28010000

27000002800000

1{

}800100

80000

i

i X

P =-⨯-=-≤

⨯∑

10000

1

2800000

101{

}80000

8

i

i X

P =-=-≤-

∑ 10000

1

2800000

1{

1.25}80000

i

i X

P =-=-≤-∑近似的服从(0,1)N

即 {2700000}1( 1.25)P X >=-Φ-(1.25)0.8944=Φ= （2）{300}1{300}P X P X >=-≤

50

505

1i

X

P -⨯=-≤

∑

50

505

1i

X

P -⨯=-≤

∑

50

505

1 2.89}i

X

P -⨯=-≤∑

1(2.89)=-Φ10.99810.0019=-=

3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立，且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，

（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？ 解 设每个加数的舍入误差为i X ，1,2,,1500i = ，由题设知i X 相互独立同分布，且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，从而

0.50.5()

02

i E X -+==，2(0.50.5)1()1212

i D X +==

(1)、记1500

1

i i X X ==

∑，

=(0,1)N ，从而 {||15}1{|P X P X >=-≤1{151

P X =--≤≤

1P =-≤≤

1[(=-Φ-Φ

2(1=-Φ2(1(1.34))=-Φ2(10.9099)0.1802=-=。

（2）、记1

n

i

i X X

==

∑，要使 {||10}0.90P X <≥，由独立同分布的中心极限定理，

近似地有

{||10}{1010}P X P X <=-<

210.90=Φ-≥ 即

0.95Φ≥，查表得(1.64)0.95Φ= 令

1.64=，解得 443n =。 即最多可有443个数相加，可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。 4、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg ，圴方为0.1kg ，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？

解 设每只零件的重量为i X ，1,2,,5000i = ，由独立同分布的中心极限定理知

50000.55000

i

X

-⨯∑(0,1)N

则 {2510}1{2510}P X P X >=-≤

5000

0.55000

1i

X

P -⨯=-≤

∑

5000

0.55000

1i

X

P -⨯=-≤

∑ 10

1(

)1(1.414)7.07

=-Φ=-Φ＝1－0.9207＝0.0793。 5、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30要短于3m 的概率。

解 把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在100次试验中长度不小于3m 的根数记作X ，则X 是随机变量X ，且(100,0.8)X b ，其分布律为