圆锥曲线与平面向量交汇问题

圆锥曲线与平面向量交汇问题热点透视

由于平面向量具有代数（坐标）表示和几何（有向线段）表示的特点，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体。圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一，这类问题往往与向量、函数、方程、不等式、数列等知识相融合，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点，能有效考查学生的思维水平和综合能力。下面结合近几年的部分高考题，介绍高考对这类问题考查的六大热点，供复习参考。

热点1——求圆锥曲线的方程

例1如图1，A,B,C 是长轴为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心，AC ⊥BC ，|BC|=2|AC|，求椭圆的方程。

思路：建系，设点C 的坐标，将向量间的关系（垂直关系、长度关系）转

化为代数表达式，从而确定椭圆的方程。

解：建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0)

椭圆方程为

1422

2=+b

y x 。设点C 的坐标 为(m,n)，则点B 的坐标为(－m,－n). ∵AC ⊥BC ，∴AC .BC=0，

即(m －2, n) (2m,2n)=0， 图1 ∴m 2－2m+n 2=0

(*)

∵|BC|=2|AC|，∴|CO|=|AC|，即1,)2(2222=∴+-=+m n m n m 将m=1代入(*)得，n=1，∴C(1,1). 将x=1，y=1代入椭圆方程得，

3

411412

2=∴=+b b ，. 故椭圆方程为143422=+y x 例2已知△OFQ 的面积S=26, 且m =•。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ， 2)14

6

(

,||c m c OF -==，当||OQ 取得最小值时，求此双

曲线方程。

思路：设点Q 的坐标，将向量的数量积、长度转化为代数表达式，再求目标函数的最小值，从而确定双曲线的方程。

解：设双曲线方程为122

22=-b

y a x ， Q （x 0, y 0）。

),(00y c x FQ -= ， S △OFQ =62||||2

1

0=y OF ，∴c y 640±=。 ),)(0,(00y c x c -=•=c(x 0－c)=c x c 4

6

)146(

02=⇒-。

,3296

832220

2

≥+=+=c

c y x

当且仅当)6,6()6,6(,||,4,96

8322-==或此时最小时即Q c c

c ， 所以1124.12

4161662222

222

2=-⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-y x b a b a b

a 故所求的双曲线方程为。 类型2——求待定字母的值

例3设双曲线C ：)0(1222

>=-a y a

x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点

A 、

B ，直线L 与y 轴交于点P ，且PA=

PB 12

5

，求a 的值 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a 的值。 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(0,1)

∵PA=

),1,(125)1,(,1252211-=-∴y x y x PB ∴x 1=212

5x .

联立，⎪⎩⎪⎨⎧=-=+112

22y a

x y x 消去y 并整理得，(1－a 2)x 2+2a 2x －2a 2=0 (*)

∵A 、B 是不同的两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-，

，

0)1(84012

242

a a a a ∴0

2

12a a --， 即2222

22212125,121217a a x a a x --=--=且，消去x 2得，2212a a --=60

289

， ∴a=1317±

，∵0

17

。 类型3——求动点的轨迹

例4如图2 ，动直线1+=kx y 与y 轴交于点A ，与抛物32-=x y 交于不同的两点B 和C, 且满足BP=λPC ， AB=λAC ，其中.R ∈λ

。求ΔPOA 的重心Q 的轨迹。

思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q 的轨迹方程，再运用判别式确定实数k 的取值范围，从而确定轨迹的形状。

解：由⎩⎨⎧-=+=3

1

2x y kx y 得，k 2x 2+(2k －1)x+4=0.

由⎩⎨⎧>∆≠0

0k ⇒.061

21≠<<-k k 且

设P(x ’,y ’)，B(x 1，y 1)，C(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=221k k -, x 1.x 2=24

k .

由PC BP λ=⇒),(11y y x x -'-'=),(22y y x x '-'-λ

⇒ 1x x -'=λ)(2x x '-

由)1,()1,(2211-=-⇒=y x y x AC AB λλ⇒1x =λ2x 。

.218

2021212211k

x x x x x x x x x x x -=+='⇒'-=-'∴

≠λΘ

⇒.211

612181k

k k k x k y -+=+-=

+'=' 消去k 得， x ’－2 y ’－6=0 (*)

设重心Q(x,y)，则⎩⎨⎧-='='⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+'='=133313

y y x x y y x x ，代入(*)式得，3x －6y －4=0。 因为3

8

434812406121≠<<⇒≠'<'<⇒≠<<-

x x x x k k 且且且 故点Q 的轨迹方程是3x －6y －4=0（3

8

434≠<

－6y －4=0上且不包括点)3

2

,38(),34,4(),0,34(C B A 的线段AB 。

类型4——证明定值问题

例5已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右

焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线。设M 为椭圆上任意一点，且μλ+=，其中.,R ∈μλ证明：22μλ+为定值。

思路：设A 、B 、M 三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。

解：设椭圆方程为).0,(),0(122

22c F b a b

y a x >>=+ 则直线AB 的方程为

.c x y -=代入椭圆方程中，化简得，.02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a

设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则.,22

22

2222122

221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由 +与)1,3(-=共线，),(2121y y x x ++=+得，

0)()(32121=+++x x y y 。又,,2211c x y c x y -=-=