振动和波动习题课

T t
2
相位，相差
x 2
T t
2
18.7 频率为500Hz的简谐波，波速为 350m / s
（1）沿波的传播方向，相差为 60的两点间相距多远？
u 350 0.7m 500
0.7 360
x 60
x
0.12m
（2）在某点，时间间隔为 103 s 的两个振动状态，其相差为多大？
T 1 2103 s
103 2 103
2
2.利用相位差求波函数
y/m
x0
x
x/m
求波函数步骤
（1）yx0 Acos(t )
(2) x x0 2
(3)根据相位的超前和落后判断波函数的具体形式
相位落后：
相位超前：
y Acos(t ) y Acos(t ＋)
如图：一平面波在介质中以速度 u 20m，/沿sx轴负方向传
图示为平面简谐波在t=0时的波形图，设此简谐波的频率为 250Hz，且此时图中点p的运动方向向上。求（1）该波的波 动方程（2）在距原点为7.5m处质点的运动方程与t=0时该 点的振动速度。
(D)各点的波的能量密度都不随时间 变化.
补充 一平面简谐波，波速为6.0m/s，振动周期为0.1s，则波长 为 ______________。在波的传播方向上，有两质点
的振动相位差为 5 / 6 ，此两质点相距为_______。
uT 60.1 0.6m
2
x
5
6
x 0.25m
x 2
振幅 A 2cm ，若从速度为正的最大值的某时
刻开始计算时间
（1）求振动的周期
dx Asin(t )
dt
m A
1.5 T 2 4 3
（2）求加速度的最大值
a
d2x dt 2
2 Acos(t
)
am 2 A ＝ m 4.5102 m / s2
若从速度为正的最大值的某时刻开始计算时间
（1）t＝0时，在原点O处的质元由平衡位置向x轴正方向运动，试写出此波的波函数。
（2）若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反射波的波函数，并 求在x轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。
解（1）入射波的波函数
1. yo Acos(t ) 2
入射波
波
波
u疏 密
o
p
x
0
x
3 4
2
yo
A cos(2 t
)
2
2. t x x0 x
u u
3.
yi
Acos[2(t x) ]
u2
(0 x 3 )
4
（2）反射波波函数
( yi
A cos[2 (t
x) u
])
2
1.
y入p
A cos[2 (t
3 )
4u
]
2
反射波
波
波
y反p
A cos[2 (t
3
4u
)
2
]
u疏 密
y Acos (4t 2x) Acos4 (t x )
y Acos(t x )
u
2
4 u 2m / s t 0.2s t 4s
某质点作简谐振动,周期为2s, 振幅为0.06m, 开始计时
(t=0)时, 质点恰好处在负向最大位移处, 求
1.该质点的振动方程;
2.此振动以速度u=2m/s沿x轴正方向传播时,形成的一维
T 0.02s u 100m / s
2 100 uT 2m
T
设t=0时，波源处的质点经过平衡位置向正方向运动
x
－
2
波源振动方程：y Aco（s 100t ）
t x
2
波函数：y Acos[100（t－
x
) ]
100
100 2
（1）距波源15.0m和5.0m两处质点的运动方程和初相；
(2)t x x0 x u 0.08
(3) y 0.04cos[0.4 (t x ) ] 0.04cos(0.4t 5x )
0.08 2
2
y/m
（2）画出 t T 时的波形曲线。 0.04
8
0.2
0.05
x ut u T 0.05m
88
u
t 0
t
0.4 0.6 0.8x / m
y/m
18.5
写出波函数；
（2）画出 t T 时的波形曲线。 0.04
8
u
t 0
t
（1）y0 Acos(t )
0.2 0.4 0.6 0.8x / m
1 A 0.04m
2 0.4m
T 5s
u
u 0.08m/ s 2 0.4
3
T
2
A 2 x
y0
0.04 cos(0.4t
2
)
简谐波的波动方程 ;
3.该波的波长.
解：1. A 0.06 2
A
T
0
x
x 0.06cos(t )
2. t x y 0.06 cos[(t x ) ]
2
2
3. uT 2 2 4m
波的能量
某时刻弹性棒中各质元能量分布情况 w =0
w 最大
任意时刻动能和势能都相等 Ek Ep 平衡位置： Ek Ep 最大值 位移最大处：Ek Ep 最小值
x
( A2
A1) sin(
2
T
t)
振动能量
动能
Ek
1 2
mv2
势能
Ep
1 2
k x2
平衡位置： 动能最大，势能最小
位移最大处：动能最小，势能最大
总能量 E Ek Ep
E 1 kA2 2
振子在振动过程中总能量守恒，动能和势能相互转化
一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移 的大小为振幅的 1时，其动能为振动总能量的：
y Acos[100（t－ x ) ]
100 2
x1 15.0m y1 Acos[100t 15.5 ] 10 15.5 x2 5.0m y2 Acos[100t 5.5 ] 20 5.5
（2）距波源为16.0m和17.0m的两质点间的相位差
uT 2m
x 1
x 2
(1) yx0.1 0.05sin(1.0 4.0t)
(2)
x x0
2
x x0
u 2
2
5(x 0.1)
(3)写出波函数
相位落后： y 0.05sin(1.0 4.0t )
相位超前： y 0.05sin(1.0 4.0t )
4.波的叠加（驻波），求驻波节点的位置
P589 20.18 一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅为A，频率为 ，传播速度为u。
总能量 E Ek Ep
波在传播的过程中质点能量不守恒，每一质元都从上游接收能 量，又向下游传去。
如图所示为一平面简谐机械波在t时刻的波形曲线. 若此 时A点处媒质质元的振动动能在增大,则（ B ）
y
(A)A点处质元的弹性势能在减小.
(B)波沿x轴负方向传播.
B
x
O
A
(C)B点处质元的振动动能在减小.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1) 2 1
0 同相
0
x
反相
0
其它值 超前与落后
x
x2
x1
t 2
t 1
0
x
一个物体同时参与同一直线上的两个简谐振动：
x1
0.03cos(4t
3
) x2
0.05cos(4t
2
3
)
利用相量图可判断两振动的关系是 反相
3
32
a 3.2 2 cos(8t )
3
max 0.4 amax 3.2 2
相位： 8t
3
p202 17.2一个小球和弹簧组成的系统,振幅：A
(1)x0 A
0
x
3 或
2
2
（2）过平衡位置 向x轴正方向运动
（3）过 x A且向x轴
2
负方向运动
0
x
3
0
x
17.3
X/cm
x=0.1m处，弦线质点的位移随时间的变化关系为 y 0.05sin(1.0 4.0t) 试写出波函数
yx0.1 0.05sin(1.0 4.0t) t x 0.1 0.8
y 0.05sin[1.0 4.0(t t)]
0.05sin[ 4t 5x 2.64]
P239 （1）已知：u 0.08m/ s ，
播，已知A点的振动方程
y 3，co以sA4点t为(S坐I标) 原点
写出波动方程。
u
x (1) y 3cos 4t
Ax
(2) x x0 2
x x0
u 2
2
4 x
u
（3)相位超前：
y 3cos(4t＋)
一简谐横波以u 0.8m / s 的速度沿一长弦线传播。在 x=0.1m处，弦线质点的位移随时间的变化关系为 y 0.05sin(1.0 4.0t) 试写出波函数
A x
O A/2
(A)
A
A/2 O
x
－A/2
O
A
(B)
(C)
图16.1
x
－A/2
O
x
A
(D)
练习：已知物体作简谐运动的 图线，试根据图
线写出其振动方程
xm
0.04
A
0x
0.02 0
0.04
ts
2
x Acos(t )
A 0.04
0.02 0.04cos(2 )
2 5
3
振动步调
4
[]
(A) 7
16
(B)
9 16
11
(C) 16
13 (D)
16
Ep
1 2
k x2
1 k( A)2 1 1 kA2 2 4 16 2
E 1 kA2 2
Ek
E
Ep
15 16
1 2
kA2
15 (E) 16
二十章 波动
1.求波函数
振动方程
t
2.波的能量
t换成t
3.驻波的形成和特点
p239 18.2 一简谐横波以u 0.8m / s 的速度沿一长弦线传播。在
(1)求和a,b,c,d,e各状态相应的相
5.0 2.5
0 -2.5 -5.0
a
b c
1.0 d
e 2.2 t/s
a 0
c
2
e
4
3
（2）写出振动表达式
A 0.05m T 2.4s ＝2 ＝5
T6
3
x 0.05cos(5 t )
63
（3）画出相量图
A
3
b
3
d
2
3
17.4作简谐运动的小球，速度最大值为 m 3cm / s
o
p
x
3
2.
t
x x0
x
3
4
4
u u
3.
y
A cos[2 (t
x
3
4
3
)
]
u 4u 2
yr百度文库
A cos[2 (t
x) u
]
2
在x轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置。
1.P点是波节
2.相邻波节之间相距
2
波
波
疏
密
2
oq
p
x
3
4
静止的各点的位置 P（ x 3 ） q（ x 1 ）
4
（3）写出振动表达式
A 2cm 1.5
2
x
x 0.02 cos(1.5t )
2
17.5一水平弹簧振子，振幅 A 2.0102 m ，周期 T 0.50s
当t0 时
（1）振子过 x 1.0102 m 处，向负方向运动。
（2）振子过 x 1.0102 m 处，向正方向运动。
分别写出以上两种情况下的振动表达式。
p240 18.6 已知波的波函数为 y Acos (4t 2x)
（1）写出t=4.2s时各波峰位置的坐标表达式，并计算此时离 原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点？
波峰： cos (4t 2x） 1
(4 4.2 2x) 2k k 0,1,2,3
x k 8.4 离原点最近一个波峰的位置 x 0.4
4
例3、入图所示，为一向右传播的简谐波在t 时刻的波形 图，当波从波疏介质入射到波密介质表面 BC，在 P 点反 射时，反射波在t 时刻波形图为
y
o A
（D）
y
A
B
O
P
x
y
C
A
o
( A)
(C )
y
A
x
x
O
P
P
(B)
y
PA
P
x
o
x
(D)
例1．设平面简谐波沿 x轴传播时在 x 0处发生
反射，反射波的表达式为
y2
Acos2
t
x
/
1 2
已知反射点为一自由端，则由入射波和反射波形成 的驻波的波节位置的坐标为_______．
xk
24
k＝０，１，２，３···
例题 ：波源作简谐运动，周期为0.02s，若该振动以100m/s 的速度沿直线传播，设t=0时，波源处的质点经过平衡位置向正 方向运动，若以波源为坐标原点求： （1）距波源15.0m和5.0m两处质点的运动方程和初相； （2）距波源为16.0m和17.0m的两质点间的相位差。
一、振动的描述
十七章 振动
2
1.解析描述
x Acos(t )
T
2
2.图像描述
3.相量图描述
A
0
x
振动步调：同步、 反相、 超前与落后
二、振动能量
三、振动合成： 同方向、同频率两简谐振动合成仍为简谐振动
相量图
A
t
0x
x 0.05cos(8t )
17.1
3
0.4 sin(8t ) 0.4 cos(8t )
合振动的方程为
x 0.02 cos(4t 2 )
3
0.03
0.05
3
2
3
两个同方向的简谐振动曲线如图所示,合振动的振幅
为
,合振动的振动方程为
.
A2 x A1
x1(t) t
O
T/2
T
x2(t)
振幅： A2 A1 角频率： 2
T
初相：
2
2
x ( A2 A1) cos( T
t ) 2
x Acos(t )
A 2.0102 m 2 4
T
x 2.0102 cos(4t )
3
x 2.0102 cos(4t 2 )
3
3
2 x
3
一个质点作简谐振动，振辐为A，在起始时刻质点的位移 为A/2，且向x轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转 矢量图为图16.1中哪一图？（ B ）