小学奥数精讲第七讲 圆与扇形综合

第7讲 圆与扇形综合
同步练习：
1. 如图，已知正方形的面积为8平方厘米，求图中谷子形（阴影部分）的面积.（π取3.14）
【答案】4.56
【解析】设正方形的边长（或扇形的半径）为a ，则28=a ，再来求谷子形的面积，有多种求法：
法1：谷子形的面积等于弓形面积的两倍，即：
22111
12=22 3.1488 4.56424
2π⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭谷子形弓形S S a a 平方厘米
法2：谷子形等于正方形面积减去两个弯角，即：12828 3.148 4.564⎛⎫
=-=-⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭
谷子形正方形弯角S S S 平方厘米
法3：谷子形等于两个直角扇形减去一个正方形，即：1
22 3.1488 4.564
=-=⨯⨯⨯-=谷子形正方形扇形S S S 平方厘米.
2. 如图，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环的面积是 平方厘米．（π取
3.14）
【答案】157平方厘米．
【解析】将小正方形转45°，如下图，可以看出大正方形的面积是小正方形面积的两倍，所以大圆面积是小圆面积的两倍．因为大正方形面积是400平方厘米，所以大圆面积为314平方厘米，小圆面积为157平方厘米，圆环面积为157平方厘米．
3. 如下图所示，半圆1S 的面积是1
4.13平方厘米.圆2S 的面积是5
198
平方厘米，求阴影部分的面积.
（π取3.14）
【答案】5平方厘米
【解析】设半圆1S 和圆2S 的半径分别是12,r r ，则221215
14.13,1928ππ==r r ，可分别解得13=r 厘米，
2 2.5=r 厘米，所以阴影部分长方形的长为225=r 厘米，宽为1222651-=-=r r 厘米，面积为
515⨯=平方厘米.
4. 如图，正方形的边长为3厘米，求阴影部分的周长.（π取3.14）
【答案】9.28
【解析】如下图，将各点标上字母，连接AE 、BE ，因为AE 、BE 、AB 都等于正方形的边长，因此△ABE 是正三角形，因此弧BE 、AE 所对的圆心角都是60°，阴影部分的周长等于弧AE 、弧BE 和线段AB 的和，为：1
22 3.14339.286
⨯⨯⨯⨯+=厘米.
5. 如图，已知圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是______平方厘米．(π取3.14)
【答案】
45
【解析】设大圆半径为R ，小圆半径为r ，则圆环面积为()22
141.3π-=R r 平方厘米，所以阴影部
分面积为22141.3 3.1445-=÷=R r （平方厘米）．
6. 如图，ABCD 是边长为10厘米的正方形，且AB 是半圆的直径，则阴影部分的面积是 平方厘米.（π取3.14）
【答案】17.875．
【解析】如图，两个阴影部分的面积相当于正方形面积—三角形DOC 的面积—半圆面积， 所以该面积=()101010104 3.14552217.875⨯-⨯÷-⨯⨯÷÷=（平方厘米）.
7. 如图所示，曲线ACDB 和COD 是两个半圆，CD 平行于AB ，大半圆的半径是1米，那么阴
影部分的面积是______．
A ．
1
2
π- B ．
3142
π- C ．1 D ．
2
π
【答案】A ．
【解析】因为大半圆半径为1，所以大半圆的面积为
2
π
， 14
=+-阴影小半圆大圆等腰直角三角形S S S S ，即为
111
+-=4422
πππ⨯-．
8. 如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是_____平方厘米，(π取3.14)
【答案】7.125
【解析】观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD 分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了． 因为45∠=︒ADB ， 所以扇形ADE 的面积为：
224545π 3.1459.8125360360
⨯⨯=⨯⨯=AD (平方厘米)， 那么左下边空白的面积为：1
559.8125 2.68752
⨯⨯-=(平方厘米)，
又因为半圆面积为：2
15π9.812522⎛⎫
⨯⨯= ⎪⎝⎭
(平方厘米)，
所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)．
9. 如图，梯形ABCD 中的两个阴影部分的面积相等，DE =1cm ，∠A =∠B =45°，则CD = ______cm ．（其中π取3.14）
【答案】0.57．
【解析】由于两个阴影部分面积相等，可知扇形面积为梯形面积的一半，又知道扇形面积为
221+=84ππ⨯⨯（11）
，所以梯形面积为2
π，设CD 的长为x cm ，那么(11)122π
+++⨯÷=x x ， 求得CD 的长为12
π
-=0.57cm ．
C
10. 三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是5厘米,大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大______平方厘米.（π取3.14）
【答案】78.5
【解析】大半圆外的阴影面积和大半圆内的阴影面积都不好直接求，题目只要求计算它们的差，同时加上图中的所有空白部分，它们的差不变.大半圆外的阴影部分加上所有空白以后是两个小圆和两个小半圆，实际等于三个小半圆的面积，为23 3.145235.5⨯⨯=平方厘米；大半圆内的阴影部分加上所有空白以后是一个大半圆的面积，为21
3.14101572
⨯⨯=平方厘米，它们的差为78.5平方厘
米. 深化练习
11. 如图，已知圆心是O ，半径9=r 厘米，1215∠=∠=︒，那么阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）
【答案】42.39．
【解析】因为圆的半径都相等，于是=OA OB ．在等腰三角形AOB 中两个底角都是15︒．又知道三角形内角之和是180︒，所以，三角形AOB 的顶角180(1515)150∠=︒-︒+︒=︒AOB ．同理
150∠=︒AOC ，因此360(150150)60∠=︒-︒+︒=︒BOC ．这就是说，阴影部分扇形的面积是圆面积
的16
，即22
11π 3.14942.3966⨯⨯≈⨯⨯=r （平方厘米）．
12. 在下图中，AC 为圆O 的直径，三角形ABC 为等腰直角三角形，其中90∠=︒C ．以B 为圆心，
BC 为半径作弧CD 交线段AB 于D 点．若AC =10cm ， 试求下图中阴影部分面积之和．(π取3)
【答案】62.5cm 2．
【解析】阴影部分面积为圆加扇形减三角形，阴影面积为：222
115101062.5
82
ππ⨯+⨯⨯-⨯=（cm 2）
．
13. 如图，圆中有四条弦，每一条弦都把圆分割成面积比为1
3∶的两个部分，而这些弦在圆正中正好围出一个正方形．已知这个正方形的面积为2100cm ，请问图中阴影部分的面积为多少2cm ？
【答案】25cm 2．
【解析】因每一条弦都把圆分割成面积比为1
3∶的两个部分，其中较小的部分是圆的1
4
，四块加起来应该等于整个圆的面积，因此得知正方形面积为阴影部分面积的4倍，即阴影部分的面积为2100425(cm )÷=．
14. 图中3=AB ，阴影部分的面积是______.
【答案】4.5．
【解析】图中有两种半径的圆弧，其中半径大的所对应的圆的面积是小的2倍，小半圆面积等于大的90°扇形的面积，可以得出下图两块小阴影面积之和等于大阴影的面积，所以原题阴影面积等于中间正方形的面积3×
3÷2=4.5．
15. 直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于______平方厘米．
【答案】105
【解析】设小圆半径为r ，大圆半径为R ，则()()2
2
2-+=+R r R R r ， 4=R r ，所以大圆面积是小圆的16倍，所以小圆面积为105平方厘米．。