应用随机过程 离散鞅
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代数流. “Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数”是指{Xn }是{Fn}适 应的.
设{Fn，n 0}是F上的上升的 子代数列. 随机过程{Xn， 定义： n 0}称为关于{Fn，n 0}的鞅， 如果{Xn }是{Fn }适应的， E(|Xn |)
并且对任意的n 0，有 <，
当E(Mn 2 ) , n 0时， {Mn 2 , Fn ,n 0}也是下鞅.
证Βιβλιοθήκη Baidu作为作业
一个重要的不等式：条件Jenson不等式
设是R上的凸函数，随机变量M满足：(1) E | M | ; (2) E | (M) | . 则
E[ (M) | Fn ] [ E((M) | Fn )].
如果{Mn , Fn ,n 0}是的鞅(下鞅),是R上的凸函数，且 定理： E (Mn ) , n 0, 则{ (Mn ), Fn ,n 0}是下鞅. 特别地， {| Mn |, Fn ,n 0}是下鞅；
E(Xn+1 | Fn ) Xn .
并且对任意的n 0，有 适应列{Xn，Fn，n 0}称为下鞅，
EXn 且 E(Xn+1 | Fn ) Xn．
下鞅的定义类似，见黑板．
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Fn，n 0}的鞅，需满足： (1)Xn是Fn适应的； (2) E( | Xn | )<; (3) E(Xn+1 | Fn ) Xn .
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Fn，n 0}的鞅，分别
验证上述三个条件即可.
命题：
(1)适应列 {Xn , Fn ,n 0}是下鞅 适应列 {Xn ,Fn ,n 0}是上鞅. 则 {aXn bYn , Fn ,n 0}是下鞅. (3)如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个下鞅,则 {max{Xn ,Yn }, Fn ,n 0}是下鞅.
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，分别
验证上述三个条件即可.
“鞅”概念提出的背景：鞅描述的是“公平”赌博，下鞅 和上鞅分别描述“有利”赌博和“不利”赌博.
接下来我们学习关于 代数的鞅.
首先引入一些概念：设(,F , P)是一个概率空间.
称之为 {Fn , n 0}是F上的一列 子代数， 且Fn Fn1，n 0， 子代数流.
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，需满足：
(1)对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数； (2) E( | Xn | )<;
(3) E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
离散鞅
引入：特殊的随机过程—鞅， 起源于“公平博弈”，近来在金
融、保险和医学应用很大. 离散鞅—离散时间的鞅.
定义： 随机过程{Xn，n 0}称为关于{Yn，n 0}的下鞅，
如果对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数， EXn ，并且
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn， 称{Xn，n 0}为关于{Yn，n 0}的上鞅， 如果对n 0，Xn是
定义知，就平均而言，他在下一次赌博结束时的赌资=现在所 有的赌资，与他过去的输赢无关. 这正表达了鞅所具有的一种
“无后效性”,体现了博弈的公平.
例题： 设{Xi，i 0}是一列零均值独立同分布的r.v.列，且
E | X k | , 令S0 0，Sn k =1 X k . 证明： {Sn }是鞅.
X n是 随机过程{Xn，n 0}称为 {Fn }适应的，如果对任意的n 0，
关于Fn可测的，即对任意的x R， {Xn x} Fn . {Xn，Fn，n 0}称为适应列.
注：解释上述定义中的条件“Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数”. 令Fn (Y0，Y1，...,Yn )，n 0. 易证{Fn，n 0}是一个
n
若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Sn }是下鞅. 若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Sn }是上鞅. 若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Mn =Sn n}是鞅.
我们证明： {Sn }是鞅. 实际上是证明 {Sn }是关于{Fn }的鞅, 注： 这里的Fn ( X1, X 2 ,...X n ). 证明见黑板.
(Y0，Y1，...,Yn )的函数， EXn ，并且
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn，
其中Xn =max{0，Xn }，Xn =max{0，-Xn }.
如果随机过程{Xn，n 0}关于{Yn，n 0}，既是下鞅又是下鞅， 则称之为关于{Yn，n 0}的鞅. 此时
(2)如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个下鞅,a,b是两个常数，
(3， )如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个上鞅,则
{min{Xn ,Yn }, Fn ,n 0}是上鞅.
注：用Xn 表示一个赌徒在第n此赌博后所拥有的赌资. 由鞅的
设{Fn，n 0}是F上的上升的 子代数列. 随机过程{Xn， 定义： n 0}称为关于{Fn，n 0}的鞅， 如果{Xn }是{Fn }适应的， E(|Xn |)
并且对任意的n 0，有 <，
当E(Mn 2 ) , n 0时， {Mn 2 , Fn ,n 0}也是下鞅.
证Βιβλιοθήκη Baidu作为作业
一个重要的不等式：条件Jenson不等式
设是R上的凸函数，随机变量M满足：(1) E | M | ; (2) E | (M) | . 则
E[ (M) | Fn ] [ E((M) | Fn )].
如果{Mn , Fn ,n 0}是的鞅(下鞅),是R上的凸函数，且 定理： E (Mn ) , n 0, 则{ (Mn ), Fn ,n 0}是下鞅. 特别地， {| Mn |, Fn ,n 0}是下鞅；
E(Xn+1 | Fn ) Xn .
并且对任意的n 0，有 适应列{Xn，Fn，n 0}称为下鞅，
EXn 且 E(Xn+1 | Fn ) Xn．
下鞅的定义类似，见黑板．
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Fn，n 0}的鞅，需满足： (1)Xn是Fn适应的； (2) E( | Xn | )<; (3) E(Xn+1 | Fn ) Xn .
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Fn，n 0}的鞅，分别
验证上述三个条件即可.
命题：
(1)适应列 {Xn , Fn ,n 0}是下鞅 适应列 {Xn ,Fn ,n 0}是上鞅. 则 {aXn bYn , Fn ,n 0}是下鞅. (3)如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个下鞅,则 {max{Xn ,Yn }, Fn ,n 0}是下鞅.
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，分别
验证上述三个条件即可.
“鞅”概念提出的背景：鞅描述的是“公平”赌博，下鞅 和上鞅分别描述“有利”赌博和“不利”赌博.
接下来我们学习关于 代数的鞅.
首先引入一些概念：设(,F , P)是一个概率空间.
称之为 {Fn , n 0}是F上的一列 子代数， 且Fn Fn1，n 0， 子代数流.
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，需满足：
(1)对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数； (2) E( | Xn | )<;
(3) E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
离散鞅
引入：特殊的随机过程—鞅， 起源于“公平博弈”，近来在金
融、保险和医学应用很大. 离散鞅—离散时间的鞅.
定义： 随机过程{Xn，n 0}称为关于{Yn，n 0}的下鞅，
如果对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数， EXn ，并且
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn， 称{Xn，n 0}为关于{Yn，n 0}的上鞅， 如果对n 0，Xn是
定义知，就平均而言，他在下一次赌博结束时的赌资=现在所 有的赌资，与他过去的输赢无关. 这正表达了鞅所具有的一种
“无后效性”,体现了博弈的公平.
例题： 设{Xi，i 0}是一列零均值独立同分布的r.v.列，且
E | X k | , 令S0 0，Sn k =1 X k . 证明： {Sn }是鞅.
X n是 随机过程{Xn，n 0}称为 {Fn }适应的，如果对任意的n 0，
关于Fn可测的，即对任意的x R， {Xn x} Fn . {Xn，Fn，n 0}称为适应列.
注：解释上述定义中的条件“Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数”. 令Fn (Y0，Y1，...,Yn )，n 0. 易证{Fn，n 0}是一个
n
若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Sn }是下鞅. 若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Sn }是上鞅. 若Xi，i 0，的均值 0，证明： {Mn =Sn n}是鞅.
我们证明： {Sn }是鞅. 实际上是证明 {Sn }是关于{Fn }的鞅, 注： 这里的Fn ( X1, X 2 ,...X n ). 证明见黑板.
(Y0，Y1，...,Yn )的函数， EXn ，并且
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn，
其中Xn =max{0，Xn }，Xn =max{0，-Xn }.
如果随机过程{Xn，n 0}关于{Yn，n 0}，既是下鞅又是下鞅， 则称之为关于{Yn，n 0}的鞅. 此时
(2)如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个下鞅,a,b是两个常数，
(3， )如果{Xn , Fn ,n 0},{Yn , Fn ,n 0}是两个上鞅,则
{min{Xn ,Yn }, Fn ,n 0}是上鞅.
注：用Xn 表示一个赌徒在第n此赌博后所拥有的赌资. 由鞅的