第八章 相量法

第八章相量法
内容提要：复数及其表示； 正弦量的表示； 电路元件及电路定律的相量形式。
本章重点：正弦量的表示； 电路元件及电路定律的相量形式。
本章难点： 正弦量与相量的关系。
第八章相量法
相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便而又有
效的方法。内容包括：复数、正弦量、相量法基础、
电路定律的相量形式
§8.1复数 1.复数的表示（如图所示）
两个复数相等：若 F1 a1 jb1 F2 a2 jb2
则有：a1 a2 b1 b2 ；或 F1 F2 arg(F1) arg(F2 )
§8.2正弦交流电 正弦交流电：随时间按正弦规律变化的电流和电压
称为正弦电流和正弦电压，统称为正弦交流电。用
正弦或余弦函数表示，即有：
i I m sin(t i ) A 或 i I m cos(t i ) A u U m sin(t u )V 或 u U m cos(t u )V 1.正弦量的三要素
0
时称 i1 与 i2 反相。
§8.3相量法基础 在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中 各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦 量；如果电路中有多个激励且都是同频率的正弦量 则根据线性电路的叠加性质，电路全部稳态响应都 将是同一频率的正弦量。处于这种稳定状态的电路 称为正弦稳态电路，又称为正弦交流电路。
F F1F2 F1 F2 [cos(1 2 ) j sin(1 2 )] ----三角形式
F
F1F2
F1 e j1
F2 e j2
F1
F e j(12 ) 2
-----指数形式
F F1F2 F1 1 F2 2 F1 F2 (1 2) ---极坐标形式
任何复数（相量）乘以e j 等于把该复数（相量）
2
I
i
+1 t4
+j
(t=0) t0 o
t3
i Re[ 2Ie jt ]
t0 t1 t2 t3 t4 o
t
t1 t2
3.正弦量的运算 正弦量乘以常数、正弦量的微分、乘积以及同频率 正弦量的代数和，结果仍是一个同频率的正弦量。
①同频率正弦量的代数和 如：i1 2I1 cos(t 1), i2 2I 2 cos(t 2 )，… 则有：i i1 i2
代数形式：F a jb 其中：a Re[F ] -- 复数的实部；
+j
b
F
θ +1
o
a
b I m[F ] ---- 复数的虚部； 三角形式：F F (cos j sin)
相量图表示：（复平面如图示）
指数形式：F F e j
极坐标形式：F F
其中： F 为复数的模， 为幅角， +j
用相量求解; K jI1 j314 1060 3140 (60 90) 3140 150
di1 3140 2 cos(314t 150) A dt
（3）用相量求解为：K 2
I2
j
22 150 0.07120 314 90
时域求解为： i2dt 22
2 cos(314t 5 )dt 22 2 sin(314t 5 )
14.05 j2.34 14.24 170.54
i1 i2 14.24 2 cos(314 t 170 .54) A
(2)时域直接求解：di1 10 2 314sin(314t 60)
dt 3140 2 cos(314t 60 90)
3140 2 cos(314t 150)
F1 F2
[cos(1 2 )
j sin(1 2 )]
三角形式
F1 F2
F1 e j1 F2 e j2
F1 F2
e j(12 )
-------------指数形式
F1 F2
F1 1 F2 2
F1 F2
(1 2 )
-----极坐标形式
共轭复数：F a jb F a jb FF (a jb)(a jb) a2 b2
其关系为：F a2 b2
b
F
a F cos
b F sin
arctg(b )
2.复数的运算： a
θ +1
o
a
F1 a1 jb1 F1 e j1 F1 1 F1 (cos1 j sin1) F2 a2 jb2 F2 e j2 F2 2 F2 (cos2 j sin2 )
e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
i Re[ 2Ie ji e jt ] 的几何意义为，如图所示，
正弦电流i的瞬时值等于其对应的旋转相量 2Ie ji e jt
在实轴上的投影。
把i I m cos(t i ) A 或u U m cos(t u )V 中的I m或U m
为其振关幅系（为最 大2值f） ，2 ), 量的三要素。 T
为角频率（频率f 或周期T
i 或 u 为初相角称为正弦
当 cos(t i ) 1 时有 imax I m 最大值；当cos(t i ) 1 时 有 imin Im 最小值；由此可得：imax imin ivv 2I m 称为正弦量的峰—峰值。
--角频率(角速度），单位为 rad / s （弧度/秒）；
f ---频率，单位Hz （1/S）（赫兹）；
T---周期，单位为S（秒）；
i或 u--初相角，单位rad（弧度或度）180 180
与计时起点有关。
正弦量的微分、积分，同频率的正弦量的代数和 均为同频率的正弦量。
2.有效值 无论是交流电还是直流电通过电阻时都要产生热量，
1.纯电阻电路（VCR的相量形式）
iR R uR -
IR R
+j
+ U R -
IR
U R
i +1
uR RiR U R RIR (U R RI R ) u i 即相位差为零（同相）
2.纯电感电路（VCR的相量形式）
iL L
+
uL -
IL j L
+
U L
U L
-
+j
u
I L
i
+1
uL
L
(
2Ie jt )]
Re[
2( jI )e jt ] Re[
2
Ie
j
(t
2
i
)
]
2I
cos(t
i
2
)
即正弦量的微分（导数）是一个同频率的正弦量，
其值等于原正弦量乘以( j).
也同可理以有表：d示ni 为(;jddti)
dt n
n I
jI n
I( i
I( i
n
2
2 )
)
③正弦量的积分
如i
逆时针旋转一个角度 ，模值不变；e j 称为旋转相
量因子。
c.除法;
F1 a1 jb1 (a1 jb1)(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 j a2b1 a1b2
F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a22 b22
a22 b22
F1 F2
F1 (cos1 j sin1) F2 (cos2 j sin2 )
其最大值相量为：Im 26 2e j60 A 26 260A 同理若有：U 220e V j30 则有;u 220 2 cos(t 30)V
2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie ji e jt 其中复常数 2Ieji 2Ii 称为旋转相量的复振幅，
如 i1 Im1 cos(t i1) A 和 i2 Im2 cos(t i2 ) A 则 i1 与 i2
的相位差12 (t i1) (t i2 ) i1 i2 （初相之差）
当 12 时称
0
i1
时称
与 i2
i1 超前i2
同相；12
;
12
2
0 时称 i1 时称 i1 与
滞后i2 ; 12 i2 正交；12
2
例题：已知，两个同频率正弦电流分别为
i1 10 2 cos(314t
求（1）i1 i2 ? 解：（1）I I1
3
I2
5
)A
i2 22
2 cos(314t
)A 6
（2）di1 ? （3）i2dt ?
dt
1060 22 150 (5 j8.66
，
) (19
.05
j11)
相量法是分析求解正弦交流电路稳态响应的 一种有效工具。
1.相量
复数F F e j F e j(t ) F cos(t ) j F sin(t )
即有 Re[F] F cos(t ) 如i 2I cos(t i )A 可以用复指数函数描述为：
i 2I cos(t i ) Re[ 2Ie j(ti ) ] Re[ 2Ie ji e jt ]
)] Re[
2( jtI)e jt ] Re [
2( I
jC
)e
jt
]
Re [U
se
jt
]
R( 2Ie jt )
2( jtI)e jt
2(
I )e jt
jC
U s e jt
I
U s
U s
R jL j 1 R j(L 1 )
C
C
§8.4电路定律的相量形式
KCL方程： i 0, I 0 （相量形式） KVL方程： u 0, U 0 （相量形式）
6
314
6
0.07 2 cos(314t 120)
4.相量法的应用（求解线性电路在正弦激励下微分
方程特解(稳态解)）
电路如图;已知，us 2Us cos(t u )V
求 I
+ u-s
i
R
L C
由KVL可得电路的微分方程，
Ri L
Re [ R(
di dt 2Ie
1
C
jt
idt us 其相量表示为：
IC
2
1C具有电阻的量纲，当
0时 1 C
，
即电容相开当于开路（隔直流。）
4.受控源
如果(线性)受控源的控制电压或电流是正弦量， 则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。
如图：
+ ik
+ + Ik
+
uk -
ij=guk uj Uk --
U j
Ik g U k
-
例题：电路如图所示，is 为正弦电流源，其有效值
I
1 T
T 0
Im2
cos2 (t
i )dt
1 T
T 0
I
2 m
1
cos[2(t
2
ห้องสมุดไป่ตู้ i
0]
dt
Im 2
0.707Im
即正弦量的有效值等于最大值的 1 倍，或者说
最大值是有效值的 2 倍。
2
由此可得：i Im cos(t i )A 2I cos(t i )A
3.相位差（描述两个同频率正弦量之间的相位差）
复指数函数中的 Ie ji 是以正弦量的有效值为模、 初相角为幅角的一个复常数，这个复常数定义为正 弦量的相量。 记为：I Ie ji I i ------称为有效值相量； Im I me ji I m i ---称为最大值相量或振幅相量。
如 i 26 2 cos(t 60) A
对应的有效值相量为：I 26e j60 A 2660A
I s 5A角频率 10 3 rad / S, R 3, L 1H ,C 1F
2I cos(t i ) 则 idt Re[ 2Ie jt ]dt Re[ 2Ie jt dt]
Re[
2( I )e jt ]
j
2
I
cos(t
i
)
2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原
相表示量为I： i除dt 以jIj.
I
(
i
2
n重积分的相量表示为：
) I
( j
)
n
I
n
( i
n )
diL dt
U L
jLIL
(U L
LI L )U L
超前
IL
为
2
L具有电阻的量纲，当 0时L 0，即电感对直流短路。
3.纯电容电路（VCR的相量形式）
iC C
+ uC
iC
C
duC dt
滞后 为 IC
1
j C
IC +j
-
+ U C -
i
IC jCU C (IC CU C ) U C
U C
u
+1
Re[ 2I1e jt ] Re[ 2I2e jt ]
Re[ 2(I1 I2 )e jt ]
Re[ 2Ie jt ]
I I1 I2
即同频率正弦量的代数和仍为一同频率的正弦量。
②正弦量的微分
如：i
则 2I cos(t i )
di d Re[ dt dt
2Ie
jt
]
Re[
d dt
a.加减法：
F F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
+j
F=F1+F2
F1
F2
F2 F=F1-F2
o
F1 +1
o
+1
-F2
b.乘法：
F F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
我们就用热效应相等的直流电来表示交流电的大小，
这就是交流电的有效值。
I
1 T i 2dt
T0
即周期量的有效值等于其瞬时值的平方
在一个周期内积分的平均值再取平方根。（由
W~
如
T
i 2 Rdt W I
0
i I m cos(t i
2
)
R
A
T或则P有~ 效T1值T0 i2为Rd：t
P
I 2R 即可得出）