第一章实数笔记
大一数学分析知识点笔记
大一数学分析知识点笔记一、实数与数系1. 实数的定义与性质实数由有理数和无理数组成，满足以下性质：- 实数集是一个完备的、有序的数系。
- 实数满足加法和乘法封闭性。
- 实数满足交换、结合和分配律。
2. 有理数与无理数有理数是可以表示为整数之间的比值的数，无理数是不能表示为有理数的比值的数。
3. 数系和数轴数系包括自然数、整数、有理数和实数，而数轴则是一种图示实数的工具。
二、极限与连续性1. 函数极限函数极限是函数在某一点上的趋近值。
常用的极限定义包括：- 函数极限的$\epsilon-\delta$定义。
- 函数极限的无穷小定义。
2. 无穷大与无穷小无穷大是指函数在某一点上无限趋近于正无穷或负无穷，无穷小则是指函数在某一点上无限趋近于零。
3. 连续性与间断点函数在某一点上连续是指函数在该点上既有左极限又有右极限，并且两者相等于函数值。
间断点则是指函数在某一点上不连续的点。
三、导数与微分1. 导数的定义与性质导数是函数在某一点上的变化率或斜率。
常用的导数定义包括：- 函数导数的极限定义。
- 函数导数的差商定义。
导数具有以下性质：- 可导函数一定连续，但连续函数不一定可导。
- 导数可以表示为函数的斜率。
- 函数的和、差、积、商的导数公式。
2. 高阶导数与微分高阶导数是指导数的导数，微分则是函数在某一点上的变化量。
3. 函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲程度，拐点则是指函数曲线变曲率的点。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质不定积分是函数的一个原函数集合，具有以下性质：- 不定积分的线性性质。
- 常用的基本积分公式。
2. 定积分的概念与性质定积分是函数在一定区间上的面积或曲线长度，具有以下性质：- 定积分的可加性与线性性质。
- 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法。
3. 定积分的应用定积分在几何、物理和经济等领域有广泛的应用，包括计算曲线下的面积、求解几何体的体积以及计算函数的平均值等。
八年级上册数学第一章知识点笔记
八年级上册数学第一章知识点笔记一、有理数的认识1.有理数与整数：- 整数和0合称为整数，整数是由自然数、它们的负数和0组成；- 有理数包括整数和分数。
任何一个分数都可以化为一个整数或带分数的形式。
2.有理数的大小比较：- 有理数的大小可以通过大小的顺序进行比较。
小数和分数一样，要先转化为小数，再进行比较。
3.有理数的加减法：- 相同符号的数相加或相减，先把绝对值相加，最后再加上符号；- 不同符号的数相加或相减，先求绝对值的差，最后，用较大数的符号作为结果的符号。
4.有理数的乘除法：- 有理数的乘法规律：同号为正，异号为负；绝对值相乘；- 有理数的除法规律：分子与分母同号为正，异号为负；分子的绝对值除以分母绝对值。
二、分式1.分式的基本性质：- 分式的分母为0时，分式无意义；- 分式的分子和分母都乘以一个非零整数，分式不变。
2.分式的四则运算：- 分式加减：首先通分，化简后计算；- 分式乘除：横线上下分别乘除，然后约分。
三、整式的加、减、乘法1.同类项的加减：- 把同类项的系数加起来，变成一个同类项。
变量和次数不变；- 如果同类项中有一项的系数为0，那么这一项本身与其他同类项的和也是0。
2.整式的乘法：- 两个整式相乘，按变量的指数降幂排列，同类项相加，并化简。
四、整式的带入1.把整式的值代入变量：- 把变量替换为实数，并根据运算法则化简。
2.整式的解析式：- 用字母表示一个表达式，这个表达式称之为解析式，通常用来表示某种简单的变化规律。
五、方程与方程式的解法1.线性方程的解法：- 变形成一个标准的模样，最后把解代回去验证。
2.二元一次方程组的解法：- 用消元法把其中一个变量消去，在用代入法求解。
3.应用题的解题方法：- 理清题意，列方程，解方程，最后验证答案。
六、两点间的直线距离及斜率公式1.两点间的距离公式：- 两点间的距离公式是解析几何中的基本定理之一，公式是根号下(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。
七年级下册数学第一章笔记泸科版
考点讲练
考点一 平方根与立方根
【例1】1.求下列各数的平方根：
(1) 25 ; (2) 6 1 ; (3) ( 10)2
36
4
2.求下列各数的立方根：
(1)
8 125
；（2）0.027；（3）1-
7 8
【归纳拓展】解题时，要注意题目的要求，是求平方
根、立方根还是求算术平方根，要注意所求结果处理.
针对训练
【解析】∵4<6<9∴ 4 6 9,即2 6 3,3 6 1 4, 因此 6 1 的值在3到4之间.故选B.
方法总结
像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号 的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的， 一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利 用平方法，将无理数平方后，与已知的平方数作比较.
实 数
无理数： 无限不循环小数
整数
分数 开方开不尽的数
含有π 的数
有规律但不循环的数
按大小分类：
实数
负实数
0
正实数
负有理数 负无理数 正有理数 正无理数
负实数
正实数
0
2.实数与数轴 (1)实数和数轴上的点是一一对应的关系 (2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左
边的数大
3.在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则 同样适用
D.4个
3. 16 的平方根是 （ C ） A.4 B.2 C.±2 D.±4
例3：若a，b为实数且 a 1
+|b-1|=0，则(ab1)2018
=. 【解析】先根据非负数的性质求出a，b的值，再根 据乘方的定义求出(ab)2016的值.∵ a 1 +|b-1|=0， ∴a+1=0，且b-1 =0，∴a =-1 ，b =1. ∴(ab)2018 = (-1×1)2018= (-1)2018=1 ， 故填1.
数学知识点总结 实数
数学知识点总结实数数学是一门关于数量，结构，空间和变化等概念的科学。
它在我们的生活中随处可见，从日常的购物和金融交易到科学研究和工程设计，数学都扮演着不可或缺的角色。
在这篇文章中，我们将总结一些基础的数学知识点，包括整数，分数，代数，几何和统计学等。
整数整数是自然数（包括正整数和零）与其相反数（负整数）的集合。
整数之间的运算包括加法，减法，乘法和除法。
整数被广泛应用于计算，代数和统计学等领域。
分数分数是指由分子和分母组成的有理数，表示为一个整数除以另一个整数。
分数在日常生活中被广泛应用，例如在食谱和药物剂量中。
在数学中，分数用于表示两个整数之间的比率，以及解决各种问题，如比较大小，加减乘除等。
代数代数是数学的一个重要分支，研究数学结构和运算规则。
代数中的基本概念包括变量，方程，函数和图形等。
代数被广泛应用于科学，工程和经济等领域，例如用于求解未知数的方程，建立数学模型和分析数据等。
几何几何是研究空间，形状，大小和相对位置的数学学科。
在几何中，我们学习关于点，线，面，多边形，圆，角，距离，相似性和对称性等概念。
几何在建筑，设计，地图制作和天文观测等领域有重要应用。
统计学统计学是研究数据收集，分析和解释的科学。
统计学的基本概念包括数据类型，样本和总体，平均值，方差，概率和推断等。
统计学被广泛应用于调查研究，风险评估，市场分析和政策制定等方面。
总结数学是一门重要的学科，它不仅帮助我们理解世界的运作规律，也为我们提供了解决问题的方法和工具。
通过学习数学，我们可以提高逻辑思维能力，培养分析和解决问题的能力，这对我们的个人和职业发展都具有重要意义。
因此，我们应该重视数学学习，不断积累数学知识，提高数学水平，以应对日常生活和工作中的各种挑战。
小学数学全部笔记摘抄(3篇)
第1篇第一章：数的认识1. 自然数：从0开始，一个接一个地数下去的数，如0、1、2、3、4、5……2. 整数：包括正整数、0和负整数，如-3、-2、-1、0、1、2、3……3. 质数：除了1和它本身以外，不再有其他因数的数，如2、3、5、7、11、13……4. 合数：除了1和它本身以外，还有其他因数的数，如4、6、8、9、10……5. 偶数：能被2整除的数，如2、4、6、8、10……6. 奇数：不能被2整除的数，如1、3、5、7、9……第二章：分数和小数的认识1. 分数：表示整体中的一部分，如$\frac{1}{2}$表示整体的一半。
2. 真分数：分子小于分母的分数，如$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{4}$。
3. 假分数：分子大于或等于分母的分数，如$\frac{5}{4}$、$\frac{7}{7}$。
4. 小数：分数的另一种表示形式，如0.5、0.25。
5. 小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分依次读出每个数位上的数字。
6. 小数的写法：整数部分按整数的写法来写，小数点写在个位的右下角，小数部分依次写出每个数位上的数字。
第三章：运算1. 加法：将两个或两个以上的数合并成一个数的运算，如2 + 3 = 5。
2. 减法：已知两个加数的和及其中一个加数，求另一个加数的运算，如5 - 2 = 3。
3. 乘法：表示几个相同加数的和的简便运算，如2 × 3 = 6。
4. 除法：已知两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算，如6 ÷ 2 = 3。
5. 四则混合运算：包含加、减、乘、除的运算，按照一定的顺序进行计算。
6. 运算定律：- 加法交换律：a + b = b + a- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 乘法交换律：a × b = b × a- 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)- 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c第四章：简单几何图形1. 点：组成图形的最小单位，没有大小和形状。
数学分析课程笔记：实数集的基本公理及其一般性质
数学分析课程笔记：实数集的基本公理及其一般性质实数集的基本公理及其一般性质在数学中，实数集是最基本的数学概念之一。
实数集在几乎所有的数学分支中都有广泛的应用，包括微积分、数论、代数和几何等。
在数学分析中，有关实数集的基本公理及其一般性质是非常重要的，因为它们构成了实数集的基石。
以下将对实数集的基本公理及其一般性质进行详细介绍。
实数集的基本公理1. 实数集A是一个有序集，即A中的每个元素都可以与实数轴上唯一对应。
2. 实数集A是一个完备集，即A中每个非空自上有界的子集都有唯一的上确界。
3. 实数集A是一个连通集，即在A中两点之间的连续小线段也全部属于A中。
实数集的一般性质1. 实数的基本大小关系是小于等于。
对于任意的实数a和b，有以下性质：（1）a＜b，则a＋c＜b＋c（当c为正数时成立）。
（2）a＜b，则a×c＜b×c（当c为正数时成立）。
（3）如果a＜b，且b＜c，则a＜c。
2. 实数的基本算术运算有加法、减法、乘法和除法。
对于任意的实数a、b和c，有以下性质：（1）加法和乘法知道满足结合律和分配律。
（2）加法和乘法具有交换律和对称律。
（3）对于整数n（n≥1），有aⁿ＝a×a×…×a（共n个a）。
（4）如果a>0，则a的倒数1／a>0。
3. 实数集上的连续函数的性质。
如果函数f(x)在实数集上连续，则有以下性质：（1）介值定理：如果f(a)＜f(b)，则存在c（a＜c＜b），使得f(c)等于它们之间的任何一个数。
（2）零点定理：如果f(a)和f(b)反号，则存在c（a＜c＜b），使得f(c)=0。
（3）最值定理：如果f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上必定取得最大值和最小值。
《高等数学(微积分学)》笔记
高等数学（微积分学）主讲：王飞燕教授、柳重堪教授、蔡高厅教授宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
（华罗庚，1910—1985）数学处于人类智能的中心领域。
（冯﹒诺依曼，1903—1957）数学是调节理论和实践、思想和经验之间差异的工具。
它架起了一座连通双方的桥梁，并在不断地加固它。
事实上，全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学。
（希尔伯特，1863—1943）前言《高等数学》主要包括：一元和多元函数、极限与连续、导数与微分学、导数应用、不定积分、定积分、无穷级数（包括傅里叶级数）、微分方程、矢量代数、空间解析几何。
教学目标：掌握高等数学基本知识、基本理论，基本计算方法，提高数学素养；培养学生抽象思维和逻辑推理能力，辩证的思想方法；培养学生的空间想象能力；培养学生分析问题和解决问题的能力；为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。
第一章函数一、实数：1、数的扩展：自然数集（N）、整数集（Z，自然数+零+负整数）、有理数集（Q，整数+分数）、实数集（R，有理数+无理数）、复数（实数+虚数）……在高等数学研究中的数基本上都是实数，若用到虚数都会特别的说明。
2、数的几何表示——数轴：数轴的特点：有正负方向、有零点、有刻度。
它的作用是：数轴上的点与实数是一一对应的关系。
3、区间：某一实数集A与数轴上的某一区间对应。
﹛x:a＜x＜b﹜=﹙a ,b﹚——开区间，﹛x:a≤x≤b﹜=[a，b]——闭区间。
4、邻域：假设有两个数，a、δ（δ>0），则称实数集﹛x|a-δ<x<a+δ﹜为点a的δ邻域，记为N（a，δ），a被称为N（a，δ）的中心，δ>0被称为N（a，δ）的半径。
去心邻域：把N（a，δ）的中心点a去掉，称为a的去心邻域，记为N（a，δ）=﹛x|0<|x-a|<δ﹜=N（a，δ）﹨﹛a﹜。
高一数学笔记整理大全
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一、实数的特性：
1. 实数总是大于或等于零，且可以无穷小和无穷大；
2. 在实数的排列中，大的数一定在小的数的右边；
3. 两个实数a、b之间，可以无穷多个实数介于a与b之间；
4. 实数比较：如果a>b，则a−b>0；
5. 实数加法：如果a+b=c，则a=c−b；
6. 实数乘法：如果a×b=c，则a=c÷b。
二、数列：
1. 等差数列：公差不变，每一项减前一项均为常数；
2. 等比数列：公比不变，每一项除以前一项均为常数；
3. 递归数列：每一项由其前一项通过一定的计算关系而来；
4. 首项、公差或公比求和：使用等差数列求和公式和等比数列求和公式。
三、函数：
1. 函数：一般地说，函数表示的是某一种特定的数量的变化关系；
2. 函数的概念：函数是一个或多个变量之间的关系，形式表示为：y=f (x)或y=f (x1,x2，…，xn)；
3. 函数分类：函数可以分为1次函数、2次函数、多次函数、指数函数、对数函数等；
4. 函数图象：绘制函数图象是拟合函数的基础，是理解函数的重要方法。
初一学习笔记摘抄(3篇)
第1篇第一章：数学一、有理数1. 有理数的概念：有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
2. 有理数的分类：- 正有理数：大于零的有理数。
- 负有理数：小于零的有理数。
- 零：既不是正数也不是负数。
3. 有理数的性质：- 加法性质：交换律、结合律。
- 乘法性质：交换律、结合律、分配律。
4. 有理数的运算：- 加法：同号相加，取相同的符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，绝对值相减。
- 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法：同号得正，异号得负；绝对值相乘。
- 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
二、数轴1. 数轴的定义：数轴是一个直线，上面有一个原点，规定了正方向和单位长度。
2. 数轴的应用：- 表示有理数：每个有理数都可以在数轴上找到对应的点。
- 有理数的比较：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
三、实数1. 实数的概念：实数包括有理数和无理数。
2. 实数的性质：- 实数和有理数的关系：实数可以表示为有理数和无理数的和。
- 实数的顺序性：实数可以按照大小顺序排列。
四、代数式1. 代数式的定义：代数式是由数和字母通过加减乘除等运算符号连接而成的式子。
2. 代数式的分类：- 单项式：只有一个项的代数式。
- 多项式：由多个单项式相加或相减组成的代数式。
3. 代数式的运算：- 加法：同类项相加，不同类项保持不变。
- 减法：减去一个多项式等于加上这个多项式的相反数。
- 乘法：单项式乘以多项式，将单项式乘以多项式中的每一项。
- 除法：多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以单项式。
第二章：语文一、汉字1. 汉字的起源：汉字起源于甲骨文，经过演变形成了今天的楷书。
2. 汉字的结构：汉字由笔画组成，笔画分为横、竖、撇、捺、折等。
3. 汉字的书写规范：书写汉字要按照笔画顺序，保持字形的规范。
二、词语1. 词语的定义：词语是由一个或多个汉字组成的，有特定意义的词。
2. 词语的分类：- 实词：有实际意义的词，如名词、动词、形容词等。
高一数学第一章知识点笔记
高一数学第一章知识点笔记一、集合的基本概念集合是由若干个确定的元素所组成的整体。
元素是可以单独列举出来的个体，而集合是由这些个体组成的整体。
1. 集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号{}括起来。
例如：A = {1, 2, 3, 4}（2）描述法：用文字描述集合中的元素的特征。
例如：B = {x | x是整数，0 < x < 5}2. 集合间的关系（1）相等关系：集合A与集合B的元素完全一样时，记作A = B。
（2）包含关系：若集合A中的每个元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，记作A ⊆ B。
（3）真子集关系：若集合A是集合B的子集且A ≠ B，则称集合A是集合B的真子集，记作A ⊂ B。
二、集合的运算1. 交集运算（∩）：给定两个集合A和B，A∩B 表示同时属于A和B的元素所组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则A∩B = {3, 4}。
2. 并集运算（∪）：给定两个集合A和B，A∪B 表示属于A或者属于B的元素所组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则 A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 补集运算（-）：给定一个集合U作为全集，对于集合A，A的补集表示全集中不属于A的元素所组成的集合，记作A'或者A的补。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，则 A' = {5, 6}。
4. 差集运算：给定两个集合A和B，A - B 表示属于A但不属于B的元素所组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则 A - B = {1, 2}。
三、数列与数列的表示方法1. 数列的定义：数列是按一定顺序排列的数的集合。
2. 数列的表示方法：（1）通项公式表示法：通过给出数列的通项公式，可以确定数列中任意一项的值。
数学基础模块上册第一章笔记
数学基础模块上册第一章笔记同学们！今天咱来聊聊数学基础模块上册第一章的笔记哈。
一、基本概念那些事儿。
咱这第一章啊，开篇就讲了好多基础概念呢。
比如说数集，啥是数集呀？简单讲，就是把一些数放在一起组成的集合呗。
像自然数集，就是0、1、2、3……这些我们平常数数用的数组成的集合；还有整数集，那就是包括正整数、0和负整数啦。
这些概念虽然看着简单，但是可别小瞧它们，后面好多知识点都得用到呢。
二、实数的性质和运算。
实数这玩意儿大家应该不陌生吧？咱生活中用的好多数都是实数呢。
实数有一些特别的性质哦，比如说实数的大小比较。
咱可以通过数轴来比较，在数轴上右边的数总是比左边的数大，这个就很好理解啦，就像排队，站在后面的人位置相对更靠后嘛。
再说说实数的运算，加减乘除这些基本运算规则咱初中就学过不少啦。
不过到了大学，咱得更深入地理解它们。
比如说乘法分配律，a×(b + c) = a×b + a×c，这个在很多复杂的计算里都特别有用，能帮咱简化计算过程，少走不少弯路呢。
三、代数式。
代数式这部分也挺重要的。
代数式就是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。
像单项式、多项式这些都是代数式的不同形式。
单项式就是只有一个项的代数式，比如3x，5y²这种；多项式呢，就是有多个项相加组成的，像2x + 3y 4这种。
咱还得学会对代数式进行化简和求值，有时候给你一个代数式，再告诉你字母的值，让你算出这个代数式的值，这就需要咱把字母的值代入，然后按照运算规则去计算啦。
四、方程与不等式。
方程和不等式在咱这第一章里也占了不少篇幅呢。
方程就是含有未知数的等式，咱要通过各种方法求出未知数的值，也就是方程的解。
常见的解方程方法有移项、合并同类项这些。
比如说解方程2x + 3 = 7，咱就可以先把3移到等号右边变成2x = 7 3，然后算出2x = 4，最后得出x = 2。
不等式呢，就是用不等号连接两个式子的式子。
第一章实数知识点
第一章实数知识点一、重要概念 1.数的分类及概念数系表：说明："分类"的原则：1)相称(不重、不漏) 2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
(表为：x≥0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1时，1/a<1;D.积为1。
4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义("三要素")②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确表达绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数-自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。
二、实数的运算1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)2. 运算定律(五个-加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律)3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从"左"到"右"(如5÷×5);C.(有括号时)由"小"到"中"到"大"。
三、应用举例(略)附：典型例题1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下列图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。
八年级数学上人教版《实数》课堂笔记
八年级数学上人教版《实数》课堂笔记
一、实数的基本概念
1.实数：包括有理数和无理数。
有理数包括正有理数、负有理数
和0，无理数不能表示为两个整数的比。
2.实数的分类：正实数、负实数、0。
二、实数的性质
1.实数和数轴上的点一一对应。
2.实数的大小关系：通过数轴上的位置关系来判断。
三、实数的运算
1.实数的加法：同号相加，异号相减，取绝对值较大的数的符号，
并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2.实数的减法：转化为加法进行运算。
3.实数的乘法：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
4.实数的除法：除以一个不等于0的实数，等于乘以这个实数的
倒数。
四、平方根和立方根
1.平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方
根是0；负数没有平方根。
2.立方根：一个数有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的
立方根是负数，0的立方根是0。
五、课堂重点与难点解析
1.重点：掌握实数的概念和分类，理解实数的运算法则和运算律，
会求实数的平方根和立方根。
2.难点：理解无理数的概念，掌握实数的运算顺序和运算律的应
用。
六、实例解析与练习题
（此处可记录课堂上讲解的实例以及布置的练习题）
七、学习感悟与总结
通过本节课的学习，我对实数有了更深入的了解，掌握了实数的概念和分类、运算法则和运算律以及平方根和立方根的求解方法。
同时，我也认识到在数学学习中要注重理解和应用，多做练习来加深对知识的理解和掌握。
高等数学1
3、函数的奇偶性:
设D关于原点对称 若对于 x D, 有 - x Î D， ,
f ( x ) f ( x )
则称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
偶函数
设D关于原点对称 若对于 x D, 有 ,
f ( x ) f ( x )
(6) xy x y ;
x x ( 7 ) ( y 0). y y
一、概念
1、区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b]
有限区间
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D } 称为函数的值域 .
注意：
(1)上述定义中, 法则 f 确定了变量x与变量y之间 的对应关系, 这种对应关系也称为函数关系. (2)函数的两要素:
(
定义域 D( f ) 与对应法则 f.
x
y
D
对应法则f
x0 )
自变量
(
实数知识点笔记
实数知识点笔记什么是实数？实数是数学上最基本的一种数，包括整数、分数和无理数。
实数可以用来测量和表示物理量，也可以进行各种数学运算。
在数轴上，实数可以表示为一个有序的线段。
实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数有理数是可以表示为两个整数的比例的数，包括整数和分数。
有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。
整数是没有小数部分的数，包括正整数、负整数和零。
分数是整数之间的比例，包括正分数和负分数。
无理数无理数是不能表示为两个整数的比例的数，它们的小数部分是无限不循环的。
无理数包括无理代数数和无理超越数。
常见的无理数有根号2、π和自然对数的底数e等。
实数的运算实数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
实数运算满足交换律、结合律和分配律。
加法和减法实数的加法满足交换律和结合律。
对于任意两个实数a和b，它们的和记作a+ b。
实数的减法可以看作是加法的逆运算。
对于任意两个实数a和b，它们的差记作a - b。
乘法和除法实数的乘法满足交换律和结合律。
对于任意两个实数a和b，它们的积记作a * b。
实数的除法可以看作是乘法的逆运算。
对于任意两个非零实数a和b，它们的商记作a / b。
平方和开方实数的平方是指一个实数乘以自身得到的结果。
对于任意一个实数a，它的平方记作a^2。
实数的开方是指一个非负实数的平方根。
对于任意一个非负实数a，它的开方记作√a。
实数的性质实数具有一些重要的性质，包括有序性、稠密性和连续性。
有序性实数可以通过大小进行比较，具有大小关系。
对于任意两个实数a和b，存在以下三种情况：a > b，a = b，a < b。
稠密性实数的大小在数轴上是连续分布的，任意两个实数之间都存在其他无限多个实数。
这种性质称为实数的稠密性。
连续性实数可以通过数轴上的点来表示，数轴上的每一个点都对应一个实数。
这种一一对应的关系使得实数具有连续性。
实数的应用实数在数学和物理中都有广泛的应用。
通用版初一数学实数重点归纳笔记
(每日一练)通用版初一数学实数重点归纳笔记单选题1、√3−1的相反数是（）A．1+√3B．1−√3C．−1+√3D．−1−√3答案：B解析：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，实数的性质求解即可√3−1的相反数是1−√3，故选B小提示：本题考查了实数的性质，相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．2、若实数范围内定义一种运算“﹡”，使a∗b=(a+1)2−ab，则方程(x+2)∗5= 0的解为（）A．-2B．-2，3C．−1+√32,−1−√32D．−1+√52,−1−√52答案：D解析：先由所给的运算得出新的式子，求解即可得出答案.(x+2)5=(x+2+1)2-（x+2）5=x2+x-1=0，用求根公式得x=−1±√12+42×1=-1±√52，所以答案选择D项.小提示：本题考查了根据题意得出新的式子，熟练运用求根公式是解决本题的关键.3、下列实数中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．√3D．13答案：C解析：根据实数的大小比较，负数总是小于零，正数总是大于零，同负绝对值大的反而小，同为正可以进行估算比较大小．解：∵√3≈1.732>13，∴﹣1＜0＜13＜√3，∴最大的数是√3．故选：C．小提示：本题主要考查实数的大小比较，可以根据负数总是小于零，正数总是大于零，同负绝对值大的反而小进行判断．填空题4、若√73的整数部分是a，小数部分是b，则2a−b=__．答案：24−√73．解析：先确定出√73的范围，即可推出a、b的值，把a、b的值代入求出即可．解：∵8<√73<9，∴a=8，b=√73−8，∴2a−b=2×8−(√73−8)=24−√73．所以答案是：24−√73．小提示：考查了估算无理数的大，解此题的关键是确定√73的范围8<√73<9，得出a,b的值．5、若a2=64，则√a3=______．答案：±2解析：根据平方根、立方根的定义解答.解：∵a 2=64，∴a=±8.∴√a 3=±2故答案为±2小提示： 本题考查平方根、立方根的定义，解题关键是一个正数的平方根有两个，他们互为相反数..解答题6、计算：（1）√81−√273×√2564−√1643； （2）√2627−13+√(1−54)2．答案：（1）558；（2）−112． 解析：直接利用立方根的性质及平方根的性质分别化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果（1）原式=9−3×58−14 ， =9−158−28 ， =558（2）原式=√−1273+54−1 ，=−13+14，=−112小提示：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．。
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（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：
设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则 。
实数的运算（做题的基础，分值很大
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
科学记数法
把一个数写做 的形式，其中 ，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。（特别大的数与特别小的数）
实数大小的比较
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
实数大小比较的几种常用方法
倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
平方根、算数平方根和立方根
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“ ”。
算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ ”。
实数运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
科学记数法和近似数
有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
实数笔记
实数的概念及分类
实数的分类
无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如 等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 +8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等
实数的倒数、相反数和绝对值
相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。