第二章、第二节、四、模糊关系

0 0 0 0 0 0
0 .3 0 . 21 0 . 09 0 0 0
0 .7 0 . 49 0 . 21 0 0 0
1 0 .7 0 .3 0 0 0
1 0 .7 0 .3 0 0 0
从这个简单的例子可以看出，代数积运算子比取小算子产 生更平滑的模糊关系表面。从中我们也可以体会到，模糊关 系实际上反映的是模糊系统的输入输出关系。因此，它也是 模糊系统模型的重要表示法之一。 由于模糊关系R实际上是一个模糊子集。因此它的运算完 全服从于模糊子集的法则（如交、并、补等）特别是当论域 A × B 为有限集时，模糊关系R也可以用矩阵来表示，并称 之为模糊矩阵。 定义2－13 设 A = {u1 , u 2 , L , u n } , B = {v1 , v 2 , L , v m } 以及 R ∈ F ( A × B) ，将序偶 (u i , v j )的隶属度
对于以上这种模糊集合的表示形式也可以很方便地用模糊 关系矩阵R来表示
u
1 2 3
v
1 0.8 0.7 0.2
2 0.6 0.6 0.2
3 0.4 0.4 0.2
4 0.2 0.2 0.2
为了进一步深入地分析模糊关系矩阵的内在含义和计算方 法，引入笛卡尔积算子。 定义 2-12 笛卡尔积（ t 算子） L 若 A1、A 2、 、A n 分别是论域U 1 、U 2 、 、U 中的模糊集， L n L 则 A1、A 2、 、A n 的笛卡尔积是在积空间U 1 × U 2 × L × U n 中的一个模糊集，其隶属度函数为 µ 直积（极小算子）： A1× A 2×L× An (u1 , u 2 , L , u n ) 或 代数积： µ A1× A2×L× An (u1 , u 2 ,L, u n ) = µ A1 (u1 ) µ A 2 (u 2 ) L µ An (u n ) (2 − 31) 对于连续情况，关系矩阵可以定义为
R (u i , v j ) ∈ [0 , 1] 记作 ri j 称矩阵 R = (ri j ) n×m 为模糊矩阵。 , 模糊矩阵是模糊数学的主要运算工具。一个模糊关系虽然 可以用模糊集合表达式来表示，但比不上用模糊矩阵表示更 为简单明了，特别是在模糊关系的合成运算中。当论域是离 散的有限域时，模糊矩阵的元素 ri j 是用模糊关系的隶属度 R(u i , v j ) 表示的。关系与矩阵是一一对应的，因此，关系的 运算与矩阵的运算也有一一对应的性质和规律，具体的交、 并等运算同模糊集合的运算相类似。这里不再重复。 2、模糊关系的合成 对于有些系统，只依赖单一的条件、结合推理是不够的。 因此存在多重推理现象，如IFA THEN B, IF B THEN C这样 一类控制规则，其控制输出变量是C，那么，人们不禁要问， A和C之间是否存在某种定量的关系呢？答案是肯定的。寻 求这种关系的方法就是模糊关系的合成。对于普通关系也存 在关系合成计算。如A和B是父子关系，B和C是夫妻关系， 则A和C就会形成一种新的关系，即公媳＝父子o 夫妻。推广
u ⋅v
min(0 ,1)
C × A = ∑ µ A (u )tµ C (v)
0 0.3 0.7 1 1 0 0.3 0.7 0.7 0.7 0 0.3 0.3 0.3 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 µ AP ( C × A ) ( u , v ) = 0 0 0
A × B = 0.8 /(1,1) + 0.6 /(1, 2) + 0.4 /(1, 3) + 0.2 /(1, 4) + 0.7 /( 2,1) + 0.6 /( 2 , 2) + 0.4 /( 2,3) + 0.2 /( 2,4) + 0.2 /(3 ,1) + 0.2 /(3 , 2) + 0.2 /(3 ,3) + 0.2 /(3 , 4)
0.5 0.7 0.1 0
那么，在该家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度应该 如何呢？模糊关系的合成运算就是为了解决诸如此类问题 而提出来的。现在先给出问题的结果再来明确其定义。针 对此例，一个简单的模糊关系合成运算为
0,2 0.8 0.5 0.7 RoS = o 0 .1 0 0.6 0.1 (0.2 ∧ 0.5) ∨ (0.8 ∧ 0.1) = (0.6 ∧ 0.5) ∨ (0.1 ∧ 0.1) 0,2 0,2 = 0,5 0,6
四、模糊关系
1.模糊关系的定义 定义2－11 所谓A，B两集合的直积 A × B = { ( a , b) a ∈ A , b ∈ B } 中的一个模糊关系R，是指以 A × B 为论域的一个模糊子集， 序偶 (a , b) 的隶属度为 µ R (a , b) 。 一般地，若论域为n个集合的直积 A1 × A2 × L × An ，则它所 n 对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函 µ R (a1 , a 2 , L , a n ) 数 。显然当隶属度函数值只取“0”或“1” 时， 模糊关系就退化为普通关系。 例2－6 设有七种物品：苹果、乒乓球、书、篮球、花， x1 , x 2 , L , x7 桃、菱形组成的一个论域U，并设 , x7 } 分别为这 U = { x1 , x 2 , L 些物品的代号，则 。现在就物品两两 之间的相似程度来确定它们的模糊关系。
到模糊概念域，模糊关系也存在关系的合成，其合成的方法是通过模糊 关系矩阵来进行的。先来看一个简单的例子 例2－8 某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，可表示为 R 父 母 子 女 也可以用模糊矩阵R来表示 0.2 0.6 0.8 0.1
0.2 0.8 R= 0.6 0.1
该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为 S 祖父 祖母 父 母 用模糊矩阵S可表示为 S = 0.5 0.1 0.7 0
0.7 1.0 0 0.9 0.4 0.5 0
0 0 1.0 0 0 0 0.1
0.7 0.9 0 1.0 0.4 0.5 0
0.5 0.4 0 0.4 1.0 0.4 0
0.6 0.5 0 0.5 0.4 1.0 0
0 0 0.1 0 0 0 1.0
下面我们来看一下模糊关系与模糊控制的主要环节模糊 推理之间的关系。对于确定的控制系统而言，系统的输入 输出存在一种确定的关系也称普通关系。同样，对于模糊 的控制系统，系统的输入输出也存在某种关系通常称为模 糊关系，而这种模糊关系是通过定义在不同论域上的模糊 变量之间的模糊条件语句来表示的。假设有如下一条模糊 规则 A → B 或 I F A(u) THEN B(v) 其中，条件部模糊集A定义为 µ A (u ) / u ∈ U ，结论部模糊 集B定义为 µ B (v) / v ∈ V 。为了建模糊关系，先来考虑一 下A和B的直积，记为 A × B 。
R m +1 = R n o R Rm o R n = R m+ n ( R U T ) o S = ( R o S ) U (T o S ) R o (T U S ) = ( R o T ) U ( R o S ) ( R I T ) o S = ( R o S ) I (T o S ) R o (T I S ) = ( R o T ) I ( R o S )
例2－7 考虑如下模糊条件语句 如果C是慢的，则A是快的。 其中，C，A分别属于两个不同的论域 U，V。 其隶属度函数分别为
A = 快＝0 / 0 + 0 / 20 + 0.3 / 40 + 0.7 / 60 + 1 / 80 + 1 / 100 ; C = 慢＝1 / 0 + 0.7 / 20 + 0.3 / 40 + 0 / 60 + 0 / 80 + 0 / 100 。
那么它们的直积为
C× A =
∑µ
u ⋅v
A
(u )tµ C (v )
min(1, 0) min(1, 0.3) min(1, 0.7) min(1, 0) min(0.7 , 0) min(0.7 , 0) min(0.7 , 0.3) min(0.7 , 0.7) min(0.3 , 0) min(0.3 , 0) min(0.3 , 0.3) min(0.3 , 0.7) µ min(C× A) (u , v) = min(0 , 0) min(0 , 0.3) min(0 , 0.7) min(0 , 0) min(0 , 0) min(0 , 0) min(0 , 0.3) min(0 , 0.7) min(0 , 0) min(0 , 0.3) min(0 , 0.7) min(0 , 0) min(1,1) min(0,7 ,1) min(0.3 ,1) min(0 ,1) min(0 ,1) min(1,1) 0 min(0.7 ,1) 0 min(0.3 ,1) 0 = min(0 ,1) 0 min(0 ,1) 0 min(0 ,1) 0
假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”， 其余按具体相似程度给出一个0~1之间的数，就可确定出一个 U上的模糊关系R，列表如下 R 苹果x1 乒乓球x2 书x3 篮球x4 花x5 桃x6 菱形x7
苹果x1 乒乓球x2 书x3 篮球x4 花x5 桃x6 菱形x7
1.0 0.7 0 0.7 0.5 0.6 0
, u ∈U , v ∈V , w ∈W R o S = sup( µ R (u , v) ∧ µ S (v , w ) ) V 上确界（Sup)算子 sup − min = max[min(µ R (u , v) , µ S (v , w) )], u ∈ U , v ∈ V , w ∈ W V 与模糊集合的运算定律相似，模糊关系合成算子sup-min存 在如下特征 RoI = I oR = R Ro0 = 0o R = 0
分配律
结合律： R o ( S o T ) = ( R o S ) o T IF S ⊂ T , THEN S o R ⊂ T o R 包含 (R o S )T = S T o R T 逆运算 注意，模糊关系合成运算不满足交换率，即 R o S ≠ S o R 。
= min{µ A1 (u1 ) , µ A 2 (u 2 ) , L, µ An (u n ) } (2 − 30)
R = A× B =
∫
U ×V
µ R (u , v ) /( u , v ) =
∫
U ×V
µ A (u )tµ B ( v ) /( u , v )
为了便于区分起见，我们引入两个记号分别表示笛卡尔积 （ t 算子）两种运算规则，即直积（极小算子）用µ min 表 示，代数积用 µ AP 表示。
(0.2 ∧ 0.7) ∨ (0.8 ∧ 0) ( 0 .6 ∧ 0 .7 ) ∨ ( 0 .1 ∧ 0 )
这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、 0.2；而孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。 定义2－14 模糊关系合成：如果R和S分别为笛卡尔 空间U × V 和 V × W上的模糊关系，并记为 R o S 。其隶属度 函数的计算方法。
A× B =
U 其中， × V 是有序 对 (u , v) 的集合，即 U × V = { (u , v) / u ∈ U , v ∈ V }。
Fra Baidu bibliotek
U ×V
∫ min(µ
A
(u ) , µ B (v) ) /(u , v)
(2 − 29)
例 设U = {1 , 2 , 3 } ; V = {1 , 2 , 3 , 4 } ; µ A (u ) / u = 1 / 1 + 0.7 / 2 + 0.2 / 3 ; µ B (v) / v = 0.8 / 1 + 0.6 / 2 + 0.4 / 3 + 0.2 / 4 ；则由式（2－29）可知