4.2 一次函数的应用(第2课时)教学设计

第四章一次函数

4. 一次函数的应用（第2课时）

一、学生起点分析

学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质．在现实生活中也见识过大量的函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础．但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力．

二、教学任务分析

本节课是北师大版义务教育教科书八年级上册第四章第四节的第2课时，主要是利用一次函数图象解决有关现实问题，与原传统教材相比，新教材更注重借助材料让学生在具体操作中获取一次函数图象的有关信息，从而回答和解决现实生活中的具体问题，也就是说，新教材注重在图象信息的识别与分析中，提高学生的识图能力，进一步培养学生的数形结合能力和数学应用能力，发展形象思维．为此，本节课的教学目标是：

①能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；

②在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系；

③通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维；

④通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力；

⑤引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式．

三、教学过程设计

本节课分为八个教学环节：

第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：反馈练习；第四环节：深入探究；第五环节：反馈练习；第六环节：探究升级；第七环节：课堂小结；第八环节：布置作业．

第一环节复习引入

内容：在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？

在一次函数y kx b

=+中

当0

k>时，y随x的增大而增大，

当0

b>时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限；

当0

b<时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限．

当0

<

k时，y随x的增大而减小，

当0

b>时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、四象限；

当0

b<时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限.

目的：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了k、b的正负对图象的影响．通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫.

效果：学生通过知识回顾，再次明确一次函数图象和性质，为学习本节课在知识上作好准备.

第二环节初步探究

内容：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V(万米3) 与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示，回答下列问题：（1）水库干旱前的蓄水量是多少？

(2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？

(3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？

(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水

库将干涸？

（根据图象回答问题，有困难的可以互相交

流．）

答案：（1）当0x =，1200y =，水库干旱前的蓄水量是1200万米3.

(2)求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t 等于10时所对应的V 的值．当10t =时，V 约为1000万米3．同理可知当t 为23天时，V 约为750万米3

． (3)当蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，也就是当V 等于400万米3时，求所对应的t 的值．当V 等于400万米3时，所对应的t 的值约为40天．

（4）水库干涸也就是V 为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V 为0时，所对应的t 的值约为60天．

目的：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力．

效果：本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激，从而渗透环保教育．

第三环节 反馈练习：

内容：当得知周边地区的干旱情况后，育

才学校的小明意识到节约用水的重要性．当天

在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校

师生的积极响应．从宣传活动开始，假设每天

参加该活动的家庭数增加数量相同，最后全校

师生都参加了活动，并且参加该活动的家庭数

S （户）与宣传时间t （天）的函数关系如图所示． 根据图象回答下列问题：

（1）活动开始当天，全校有多少户家庭参加了该活动？

（2）全校师生共有多少户？该活动持续了几天？

（3）你知道平均每天增加了多少户？

（4）活动第几天时，参加该活动的家庭数达到800户？

（5）写出参加活动的家庭数S 与活动时间t 之间的函数关系式

答案：（1）200户；

（2）全校师生共有1000户，该活动持续了20天；

（3）平均每天增加了40户；

（4）第15天时，参加该活动的家庭数达到800户；

（5）40200S t =+ ．

目的：通过创设情境，让学生进一步认识到一次函数图象的应用，倡导节约用水．同时，通过练习以检验学生对已学内容是否掌握．

效果：通过练习，学生会运用一次函数的图象去分析现实生活中的问题，同时渗透环保意识，珍惜水资源．

第四环节 深入探究

内容：1．看图填空

(1)当0y =时，______x =;

(2)直线对应的函数表达式是________________．

答案：(1)观察图象可知当0y =时，2x =-；

(2)直线过(－2，0)和(0，1)

设表达式为y kx b =+，得

20k b -+=

① 1b =

② 把②代入①得 0.5k =

∴直线对应的函数表达式是0.51y x =+

2．议一议

一元一次方程0.510x +=与一次函数0.51y x =+有什么联系？（请大家根据刚做的练习来进行解答．）

答案： 一元一次方程0.510x +=的解为2x =-，一次函数0.51y x =+包括许多点．因此0.510x +=是0.51y x =+的特殊情况．

当一次函数0.51y x =+的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.510x +=的解．

函数0.51y x =+与x 轴交点的横坐标即为方程0.510x +=的解．