热传导方程扩散方程

2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
dQk(x,
u y,z) dSdt,
n
k(x, y, z) 为热传导系数。
3、热量公式: Q cmu
热传导方程的推导：
任取物体 G 内一个由光滑闭曲面 S 所围成的区
域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。
热量 守恒 定律
区域 内各点的温度从时刻 t 1 的温度u(x, y, z, t1) 改变为时刻 t 2 的温度 u(x, y, z,t2)所吸收（或
三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c , , k 都为常数的物体）
u ta 2 x 2 u 2 y 2 u 2 z 2 u 2 f(x ,y,z,t), (1 .5 )
其中 a2 k ,
c
f F,
c
f 称为非齐次项（自由项）。
整个 内温度变化所需要的能量Q
QdQc[u(x,y,z,t2)u(x,y,z,t1)]dV


c( t2udt)dV [ t2 cudV]dt

t1 t
t1
t
(1.1)
（2）通过曲面 S 进入 内的热量 Q 1
由傅里叶热传导定律，从 t 1 到 t 2 这段时间内通过 S
三维无热源热传导方程：
u ta2 x 2u 2 y 2u 2 z 2u 2 0.
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
u ( x , t ) ( x , y , z ) , ( x , y , z ) G ,t 0 : ( 1 . 7 )
一、热传导方程的导出： 模型：给定一空间内物体 G ，设其上的点 ( x, y, z)
在时刻 t 的温度为 u(x, y, z, t)。 问题： 研究温度 u(x, y, z, t) 的运动规律。
分析：（两个物理定律和一个公式）
1、热量守恒定律:
温度变
通过边
化吸收
界流入
的热量
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的热量
热源放 出的热 量
t1 t
t1 x x y y z z
t2[ F(x,y,z,t)dV]dt t1
由 及 t 1 , t 2 的任意性知
c u (k u ) (k u ) (k u ) F (x ,y ,z ,t) .( 1 .4 ) t x x y y z z
§1.1 数学模型的建立
数学模型建立的一般方法：
确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出
该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; 简化整理，得到方程。
2 热传导动方程
第一节 热传导方程的导出和定解条件
所需要的热量为cc(x,y,z), 密度为 (x,y,z),
那么包含点 ( x , y , z )的体积微元d V 的温度从 u(x, y, z, t1) 变为 u(x, y, z,t2)所需要的热量为
d Q c [ u ( x ,y ,z ,t 2 ) u ( x ,y ,z ,t 1 ) ] d V
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u g ( x ,y ,z , t ) , ( x ,y ,z ) , t 0 , ( 1 . 8 )
特别地：g(x,y,z,t)0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
放出）的热量，应等于从时刻 t 1 到时刻 t 2 这
段时间内通过曲面S 流入（或流出） 内的
热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S
流入 内的热量 Q 1 +热源提供的热量 Q 2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q
设物体 G 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C
（3）热源提供的热量Q 2
用 F(x, y,z,t)表示热源强度，即单位时间内从单位 体积内放出的热量，则从 t 1 到 t 2 这段时间内 内热
源所提供的热量为
由Q 热2量守tt1 2 恒[定 律F 得(x ：,y,z,t)d V ]d t
(1 .3 )
[ t2 cudV]dtt2[ ((ku)(ku)(ku))dV]dt
热传导 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
试验定 律或牛
进入 内的热量为
Q1
t2 t1
S
k(x,y,z)udSdt, n
由高斯公式
divAdxdydzAndSx

S
知
Q 1 tt 1 2 [ ( x (k u x ) y (k u y ) z(k u z ) ) d V ] d t.( 1 .2 )
注：
u k n g ( x ,y ,z ,t) , ( x ,y ,z ) , t 0 , ( 1 .9 )
特别地：g(x,y,z,t)0 时，表示物体绝热。
u n
表示 u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方向导数
3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )
u n u g (x ,y ,z ,t) ,(x ,y ,z ) , t 0 , ( 1 .1 0 )
其中：k1 0,
k
gk1 k
u1.
注意第三边界条件的推导：
研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题
把一个温度变化规律为 u(x, y, z, t)的物体放入 空
气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度
为 u1(x, y, z, t)，它与物体表面的温度u(x, y, z, t)并不
相同。这给出了第三边界条件的提法。