概率论与数理统计第7章

第7章参数估计

•参数的点估计;

•估计量的优良性准则

•区间估计

1

数理统计问题：如何选取样本, 如何根据样本来对

总体的种种统计特征作出判断。

参数估计问题：知道随机变量（总体）的分布类型，但确切的形式不知道，根据样本来估计总体的参数，这类问题称为参数估计（paramentric estimation）。

参数估计的类型——点估计、区间估计

2

参数θ的估计量

设总体的分布函数为F(x ,θ)（θ未知），X 1，X 2，…，X n 为样本，构造一个统计量 来估计 参数θ，则称 为参数θ的一个估计量。 12(,,,)n X X X θθ=12(,,,)n X X X θ将样本观测值 代入 ， 得到的值 称为参数θ的一个估计值。

12,,,n x x x 12(,,,)n x x x θ12(,,,)n X X X θ 3

点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量 12(,,,)n X X X θ 来作为参数θ的估计量，则称为 参数θ的点估计。

区间估计（interval estimation ） ：如果构造两个 统计量 而用 来作为参数θ可能取值范围的估计，称为 参数θ的区间估计。

),,,(ˆ),,,,(ˆ212211n n X X X X X X θθ)ˆ,ˆ(21θθ 4

第1节 参数的点估计

•数字特征法

•矩估计法

•最大似然法

5 数字特征法

样本的数字特征法：以样本的数字特征作为相应总体 数字特征的估计量。

以样本均值 作为总体均值 的点估计量 X μ点估计值

点估计值

以样本方差 作为总体方差 的点估计量

2S 2σ∑===n

i i X n X 11ˆμ∑===n

i i x n x 1

1

ˆμ∑=--==n i i X X n S 1

2

22)

(11ˆσ∑=--==n i i x x n s 12

22)(11ˆσ 6

例1 一批钢件的20个样品的屈服点（t/cm 2）为

4.98

5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.35

5.61 4.88 5.27 5.38 5.48 5.27 5.23

4.96

5.15 4.77 5.35 5.38 5.54

试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。

解 由数字特征法，得屈服点的均值及方差的估计值为

21

.5201ˆ20

1

===∑=i i x x μ049

.0)21.5(191

ˆ20

1

222=-==∑=i i x s σ7 定义 设 为随机变量，若 存在，则称 为 的 阶原点矩，记作 ；若

存在，则称 为 的 阶 中心矩，记作 X ()k E X EX -()k E X X k ()k E X ()k k a

E X =X k ()k E X EX -()k

k b E X EX =-样本的 阶原点矩，记作 k 1

1()

n

k

k i i B X X n ==-∑样本的 阶中心矩，记作 k 1

1n

k

k i

i A X n ==∑矩估计法

8

参数的矩估计

矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即

若总体X 的分布函数中含有m 个参数θ1， θ2， …， θm ， 总体的k 阶矩V k 或U k 存在，k=1,2,…,m,则

11

11,()n

n

k k

k k k i k i i n a A X b B X X n n ======-∑∑121

1(,,,)(1,2,,)

n k

k m i i a X k m n θθθ===∑121

1(,,,)()(1,2,,)

n

k k m i i b X X k m n θθθ==-=∑9

参数的矩法估计

得m 个方程构成方程组，解得的 即为参数 12,,,m θθθ的矩估计量，代入样本观测值，即得参数 的矩估计值。

矩估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即

121

1(,,,)(1,2,,)

n k

k m i i a X k m n θθθ===∑121

1(,,,)()(1,2,,)

n

k k m i i b X X k m n θθθ==-=∑m θθθˆ,,ˆ,ˆ21 10

例2 设某总体X 的数学期望为EX=μ，方差DX=σ2，X 1， X 2，…，X n 为样本，试求μ和σ2的矩估计量。 解 总体的一阶二阶阶原点矩为 1a μ

=()222

2

2()a E X DX EX σμ==+=+样本的一阶二阶原点矩为 1A X =2

21

1n i

i A X n ==∑由矩法估计，应有 X μ=222

1

1

n

i i X n σμ==+∑所以 211()n

i i X X n ==

-∑X =μˆ∑=-=n

i i X X n 122

21ˆσ11

结论：不管总体X 服从何种分布，总体期望和方差 的矩估计量分别为样本均值、样本的二阶中心矩，即

估计值为 ∑===n

i i

X n X 1

1ˆμ2

1

22)(1ˆn

n

i i S X X n =-=∑=σ∑===n

i i x n x 11ˆμ∑=-=

n i i x x n 1

2

2)(1ˆσ12