《信息论基础A》清华复习资料
信息论基础总复习
2. 编码器 编码器是将消息变成适合于 信道传送的信号的设备。
信源编码器，提高传输效率
编码器
信道编码器，提高传输可靠性
3. 信道 信道是信息传输和存储的媒介。
4. 译码器 译码是编码的逆变换，分为 信道译码和信源译码。
5. 信宿 信宿是消息的接收者。
1.3 离散信源及其数学模型
信源是产生消息的源，根据X的不同情况，信源可分为以下
条件互信息
I(X ;Y|Z ) x y z p (x) ylo zp p (g (x x||z y z ))
I(X ;Y |Z ) H (X |Z ) H (X |Y )Z
I(X;Y)ZI(X;Y)I(X;Z|Y) I(X;Z)I(X;Y|Z)
连续随机变量的互信息
I(X;Y) 0 I (X ;Y ) I (Y; X ) I (X ;Y | Z) I (Y; X | Z) I(X;Z) I(X;Y) I (XY; Z) I (X ; Z) I (Y; Z | X )
说明: R（D）也称率失真函数。
对于离散无记忆信源，R（D）函数可写成
R (D )p m i jpDi n i1n jm 1p(xi)p(yj/xi)lop(p g y (jy/jx )i)
输入 xX
信道模型
输入 y Y
转移概率矩阵
p(y/ x)
图5-1-2 信道模型
5.1.2 信道容量
• 1．如何刻画DMC信道的容量 考虑一个DMC信道，其输入字符集是X={x0， x1，…，xq-1}，输出字符集是Y={y0,y1，…， yQ-1}，转移概率P（yj／xi）. 若给定信道的转 移概率和对应于输入符号的概率分布p（xi）, 则 DMC信道容量C为
• 这个表达式平均错误译码概率的最小值， 是把每一个yj对应的后验概率排除后再连 续求和。
《信息论基础A》(清华)复习资料
信息论基础A 复习资料作者 郝仁第一章 概论● 在认识论层次研究信息时，把只考虑到形式因素的部分称为语法信息， 把只考虑到含义因素的部分称为语义信息；把只考虑到效用因素的部分称为语用信息。
目前，信息论中主要研究语法信息● 归纳起来，香农信息论的研究内容包括： 1) 信息熵、信道容量和信息率失真函数2) 无失真信源编码定理、信道编码定理和保真度准则下的信源编码定理 3) 信源编码、信道编码理论与方法● 一般认为，一般信息论的研究内容除香农信息论的研究内容外，还包括 维纳的微弱信号检测理论：包括噪声理论、信号滤波与预测、统计检测与估计理论、调制理论等。
信息科学以信息为研究对象，信息科学以信息运动规律为研究内容，信 息运动包括获取、传递、存储、处理和施用等环节。
第二章 离散信源及离散熵● 单符号离散信源的数学模型：1212()()()()n n x x x X P x P x P x P X ⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭L L自信息量：()log ()i x i I x P x =-，是无量纲的，一般根据对数的底来定义单位：当对数底为2时，自信息量的单位为比特(bit,binary unit)；对数底为e 时，其单位为奈特(nat,nature unit)；对数底为10时，其单位为哈特(Hart, Hartley)自信息量性质：I(x i )是随机量；I(x i )是非负值；I(x i )是P(x i )的单调递减函数。
● 单符号离散信源的离散熵：1()[()]()()ni i i i H X E I x P x lbP x ===-∑，单位是比特/符号(bit/symbol)。
离散熵的性质和定理：H(X)的非负性；H(X)的上凸性；最大离散熵定理：()H X lbn ≤● 如果除概率分布相同外，直到N 维的各维联合概率分布也都与时间起点 无关，即：111111()()()()()()k l k k l l k k k N l l l N P X P X P X X P X X P X X X P X X X ++++-++-===LL L则称该多符号离散信源为N 维离散平稳信源。
信息论基础复习题目PPT课件
22
则：H(XY)
p(xi y j ) log p(xi y j )
i1 j1
1.43比特/ 信源符号
.
15
N
由p( y j ) p(xi y j )得到Y集中各消息概率 i 1 2 p( y1) p(xi y1) p(x1 y1) p(x2 y1) 0.59 i 1
则该事件携带的信息量为：
I (xi | yj ) log p(xi | yj ) log(1/ 8) 3bit
由结果可知:
事件yj的出现降低了事件xi发生所携带的信息量
原因:
事件yj的出现带来了事件xi的部分的信息，导致对事件xi的
不确定性减小
.
6
例2-4
设一系统的输入符号集X=(x1,x2,x3,x4,x5)，输出符号集 Y=(y1,y2,y3,y4) 输入符号与输出符号间的联合分布为
x 0.98 1 0.02
y1
x 0.2
2
0.8
y2
.
13
解：由题意可知
p(x1 ) 0.5 p(x2 ) 0.5 p( y1 | x1 ) 0.98 p( y2 | x1 ) 0.02 p( y1 | x2 ) 0.2 p( y2 | x2 ) 0.8
2
则：H ( X ) p(xi ) log p(xi ) i 1
.
3
（2）此消息中平均每个符号携带的信息量为：
I2 87.81/ 45 1.95bit / symbol
信源的信息熵:
4
H ( X ) p(ai ) log p(ai ) i 1
3 log 3 1 log 1 1 log 1 1 log 1 8 84 44 48 8
信息论基础试题及答案
信息论基础试题及答案信息论基础试题及答案填空题（每题2分）1、信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的（可靠性）﹑（有效性）﹑保密性和认证性，使信息传输系统达到最优化。
（考点：信息论的研究目的）2、电视屏上约有500×600=3×105个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑，则可组成103?10个不同的画面。
按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约为（106bit/画面）。
（考点：信息量的概念及计算）3、按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为（加性信道）和（乘性信道）。
（考点：信道按噪声统计特性的分类）4、英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。
若r=2，N=1，即对信源S的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用（5）位二元符号编码才行。
（考点：等长码编码位数的计算）5、如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验概率准则）或（最小错误概率准则）。
（考点：错误概率和译码准则的'概念）6、按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷积码）。
（考点：纠错码的分类）7、码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4，2））线性分组码。
（考点：线性分组码的基本概念）8、和离散信道一样，对于固定的连续信道和波形信道都有一个最大的信息传输速率，称之为（信道容量）。
（考点：连续信道和波形信道的信道容量）9、对于一个（n,k）分组码，其最小距离为d，那么，若能纠正t 个随机错误，同时能检测e（e≥t）个随机错误，则要求（d≥t+e+1）。
（考点：线性分组码的纠检错能力概念）判断题（每题2分）1、信源剩余度的大小能很好地反映离散信源输出的符号序列中符号之间依赖关系的强弱，剩余度越大，表示信源的实际熵越小。
《信息论基础》课件
2
信息论与数学中的概率论、统计学、组合数学等 学科密切相关，这些学科为信息论提供了重要的 数学工具和理论基础。
3
信息论与物理学中的量子力学、热力学等学科也 有密切的联系，这些学科为信息论提供了更深层 次的理论基础。
信息论未来发展趋势
信息论将继续深入研究量子信 息论和网络信息论等领域，探 索更高效、更安全的信息传输
和处理技术。
随着人工智能和大数据等技 术的快速发展，信息论将在 数据挖掘、机器学习等领域
发挥更大的作用。
信息论还将继续关注网络安全 、隐私保护等问题，为构建安 全可靠的信息社会提供重要的
理论支持。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
海明码（Hamming Code）： 一种能够纠正一位错误的线性 纠错码。
里德-所罗门码（ReedSolomon Code）：一种广泛 应用于数据存储和通信领域的 强纠错码。
差错控制机制
前向纠错（FEC）
01
在发送端采用纠错编码，使得接收端能够自动纠正传输过程中
的错误。
自动重传请求（ARQ）
02
接收端检测到错误后请求发送端重传数据，直到接收正确为止
常见信道编码技术
线性分组码
将信息序列划分为若干组，对每组进行线性 编码，常见的有汉明码、格雷码等。
循环码
将信息序列进行循环移位后进行编码，常见的有 BCH码、RS码等。
卷积码
将信息序列进行卷积处理后进行编码，常见 的有Convolutional Code等。
2023
PART 04
信息传输与错误控制
。
混合纠错（HEC）
03
结合前向纠错和自动重传请求，以提高数据传输的可靠性和效
(完整word版)信息论期末复习资料
书中：1.信息科学，材料科学，能源科学仪器被称为当代的“三大支柱”。
2.带宽与数据传输速率信道带宽与数据传输速率的关系可以奈奎斯特(Nyquist)准则与香农(Shanon)定律描述。
奈奎斯特准则指出：如果间隔为π/ω(ω=2πf),通过理想通信信道传输窄脉冲信号，则前后码元之间不产生相互窜扰。
因此，对于二进制数据信号的最大数据传输速率Rmax 与通信信道带宽B （B=f,单位Hz)的关系可以写为：Rmax ＝2.f(bps)；对于二进制数据若信道带宽B=f=3000Hz ，则最大数据传输速率为6000bps 。
香农定理则描述了有限带宽、有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽、信噪比之间的关系。
香农定理指出：在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据传输速率Rmax 与信道带宽B 、信噪比S/N 的关系为： Rmax ＝B.log2(1+S/N)3.自信息量的性质：非负性、必然事件信息量为0、不可能事件信息量为无穷、信息量是概率的单调递减函数。
4.当X 和Y 相互独立时，互信息为0.5.信源熵表征信源的平均不确定度，平均自信息量是消除信源不确定度所需要的信息的量度。
6信源熵H(X)与信息率R 和信道容量C 的关系：不论何种信道，只要信息率R 小鱼信道容量C ，总能找到一种编码，能在信道上以任意小的错误概率和任意接近于C 的传输率来传送信息。
反之，若R>C,则传输总要产生失真。
又由无失真信源编码定理可知，要做到几乎无失真信源编码，信息率R 必须大于信源熵H （X ）。
故三者的关系为：H(x)<=R<=C7.保真度准则下的信源编码定理：即译码平均失真度大于允许失真度。
8.香农三个基本编码定理：无失真信源编码定理、信道编码定理和限失真信源编码定理。
三个基本概念：信源熵、信道容量和信息率失真函数。
9.信源编码、信道编码和安全编码信源编码是以提高通信有效性为目的的编码。
通常通过压缩信源的沉余度来实现。
信息论基础讲义
（7，4）汉明码的译码算法
1. 计算伴随式 s Hy ； ˆ 0 ；到4步。 2. 如果s = 0，设置 z 3. 寻找H中唯一与s相同的列，称它为第i 列，并设置 z ˆ 的第i位等于1，其余位 都为0。 ˆ yz ˆ 。（这是接收者对传输 4. 设置 x 码字的估计。） ˆ0 , x ˆ1 , x ˆ2 , x ˆ3）。 5. 输出 x ˆ 的前四个分量（ x （这是解码器对原始信源比特的估 计。）
图0.1 对应BSC(p=0.1)的一些可达到的(R，Pe)点
如果存在一个（n,k)码满足
k/n x, Pe y, 就称图0.1中
的点(x,y)是“可达到”的。
（n,k）码
u y
x
信源 u1 , u2 , , uk 编道
0 1 0 1 111 0 0 1 1 0 110 1 0 1 1 1 010 0 1 0 0 1
101
z可能的16种候选值： 0100000 0010011 1100011 0001010 0000101 0111001 0110110 1010000 0101111 1001001 1000110 1111010 1110101 0011100 1101100 1011111 重量最小的错误图案(0100000)只有一个， 这里重量代表错误图案中1的个数。 传输码字的估计是x＝y＋z＝（0011001）； 而最终对四个信源比特的估计是（0011）。
误比特率
1 3 P (1 p ) p e 4 4 1 p/2 4
注意到，R=3时，前一种“抛硬币”方法的结果为
1/3+p/3, 因此现在的结果要更小些。
信息论基础复习提纲
第一章 绪论1、什么是信息？香农对于信息是如何定义的。
答：信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述(Information is a measure of one's freedom of choice when one selects a message )。
2、简述通信系统模型的组成及各部分的含义。
答：（1）、信源：信源是产生消息的源。
信源产生信息的速率---熵率。
（2）、编码器：编码器是将消息变成适合于信道传送的信号的设备。
包括信源编码器（提高传输效率）、信道编码器（提高传输可靠性）、调制器。
（3）、信道：信道是信息传输和存储的媒介。
（4）、译码器：译码是编码的逆变换，分为信道译码和信源译码。
（5）、信宿：信宿是消息的接收者（人或机器）。
3、简述香农信息论的核心及其特点。
答：（1）、香农信息论的核心：在通信系统中采用适当的编码后能够实现高效率和高可靠性的信息传输，并得出了信源编码定理和信道编码定理。
（2）、特点：①、以概率论、随机过程为基本研究工具。
②、研究的是通信系统的整个过程，而不是单个环节，并以编、译码器为重点。
③、关心的是最优系统的性能和怎样达到这个性能（并不具体设计系统）。
④、要求信源为随机过程，不研究信宿。
第二章 信息的度量2.1 自信息和互信息1、自信息（量）：（1）、定义：一个事件（消息）本身所包含的信息量，它是由事件的不确定性决定的。
某个消息i x 出现的不确定性的大小定义为自信息，用这个消息出现的概率的对数的负值来表示： （2）、性质：①、()i x I是()i x p 的严格递减函数。
当()()21x p x p <时()()21x I x I >概率越小，事件发生的不确定性越大，事件发生以后所包含的自信息量越大。
()()()i i i x p x p x I 1loglog =-=②、极限情况下，当()0=i x p 时()∞→i x I ；当()1=i x p 时，()0→i x I 。
信息论基础第24次课_总复习
本章考点
1. 信息率失真函数的含义。 2. 信息率失真函数的定义域。对应到最大失真度和 最小失真度的信道矩阵。P129. 4.1、4.2、4.10 3. 信息率失真函数的性质：下凸性、连续性、非负 性、单调递减。 4. 保真度准则下的信源编码定理。
第5章 信源编码
异前置码的充要条件：Craft不等式
在信源给定以后，总希望在允许一定失真的情况下，传送
信源所必须的信息率越小越好。从接收端来看，就是在满 足保真度准则 D D 的条件下，寻找再现信源消息必须的 最低平均信息量，即平均互信息的最小值。
当 p ( a i ) 一定时，互信息 I 是关于 p ( b j / a i )
的下凸函数，存在
C max R max I ( X ;Y )
p ( ai ) p ( ai )
第3章 信道容量
具有扩展功能的有噪无损信道 p p 0 0 0 0 0 p p p 0
b1 a1 b2 a1 b3 a1 b4
0 pb7 a3 0
0
其码字平均长度 K 满足：
H(X ) H(X ) 1 K log 2 m log 2 m
(2.4.5)
其码字平均信息率R满足：
H(X ) R H(X )
(2.4.6)
本章考点
1. 各种熵的计算。如：P69. 2.11; 2. 一阶马尔可夫信源的状态极限概率及极限熵。如： P69. 2.16, 2.17 3. 各种熵的性质：
平均互信息：
I ( X ; Y ) p(aib j ) log
i 1 j 1
n m
n
m
p(ai b j ) p(ai )
信息论基础1答案
信息论基础1答案《信息论基础》答案一、填空题(本大题共10小空，每小空1分，共20分)1. 按信源发出符号所对应的随机变量之间的无统计依赖关系，可将离散信源分为有记忆信源和无记忆信源两大类。
2. 一个八进制信源的最大熵为3bit/符号3.有一信源X，其概率分布为：X i X2 X3其信源剩余度为94.64%：若对该信源进行十次扩展，则每十个符号的平均信息量是15bit。
4. 若一连续消息通过放大器，该放大器输出的最大瞬间电压为b,最小瞬时电压为a。
若消息从放大器中输出，则该信源的绝对熵是 _：其能在每个自由度熵的最大熵是log (b-a ) bit/自由度：若放大器的最高频率为F,则单位时间内输出的最大信息量是2Flog (b-a )bit/s.5. 若某一信源X,其平均功率受限为16w,其概率密度函数是高斯分布时，差熵的最大值为2log32 e ；与其熵相等的非高斯分布信源的功率为16w6、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。
7、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵(或H(S)/logr= H _「(S))。
&当R=C或(信道剩余度为0)时，信源与信道达到匹配。
9、根据是否允许失真，信源编码可分为无—真信源编码和限失真信源编码。
10、在下面空格中选择填入数学符号“，‘ ‘ ” 或“”(1)当X和Y相互独立时，H ( XY)=H(X)+H(X/Y)。
(2 )假设信道输入用X表示，信道输出用Y 表示。
在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0,H(Y/X)=0,l(X;Y)<HX)。
二、掷两粒骰子，各面出现的概率都是1/6 , 计算信息量：1. 当点数和为3时，该消息包含的信息量是多少？2. 当点数和为7是，该消息包含的信息量是多少？3. 两个点数中没有一个是1的自信息是多少？解:1.P (“点数和为3” =P( 1,2)+ P( 1,2)=1/36+1/36=1/18则该消息包含的信息量是：l=-logP (“点数和为3”)=log18=4.17bit2. P (“点数和为7” =P( 1,6)+ P(6,1) + P (5,2)+ P (2,5)+ P (3,4)+ P (4,3) =1/366=1/6则该消息包含的信息量是：l=-logP (“点数和为7”)=log6=2.585bit3. P (“两个点数没有一个是1” =1-P “两个点数中至少有一个是1 ”=1-P(1,1or1,jori,1)=1-(1/36+5/36+5/36)=25/36则该消息包含的信息量是：l=-logP (“两个点数中没有一个是1”) =log25/36=0.53bit三、设X、丫是两个相互统计独立的二元随机变量，其取-1或1的概率相等。
信息论基础及答案
《信息论基础》试卷答案一、填空题（共25分，每空1分） 1、连续信源的绝对熵为 无穷大。
（或()()lg lim lg p x p x dx +∞-∞∆→∞--∆⎰）2、离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，编码效率最大可以达到 1 。
3、无记忆信源是指 信源先后发生的符号彼此统计独立 。
4、离散无记忆信源在进行无失真变长编码时，码字长度是变化的。
根据信源符号的统计特性，对概率大的符号用 短 码，对概率小的符号用 长 码，这样平均码长就可以降低，从而提高 有效性(传输速率或编码效率) 。
5、为了提高系统的有效性可以采用 信源编码 ，为了提高系统的可靠性可以采用 信道编码 。
6、八进制信源的最小熵为 0 ，最大熵为 3bit/符号 。
7、若连续信源输出信号的平均功率为1瓦特，则输出信号幅度的概率密度函数为 高斯分布(或()0,1x N 22x -)时，信源具有最大熵，其值为 0.6155hart(或1.625bit 或1lg 22e π)。
8、即时码是指 任一码字都不是其它码字的前缀 。
9、无失真信源编码定理指出平均码长的理论极限值为 信源熵(或H r (S)或()lg H s r)，此时编码效率为 1 ，编码后的信息传输率为 lg r bit/码元 。
10、一个事件发生的概率为0.125，则自信息量为 3bit/符号 。
11、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 信源符号间的相关性 ，二是 信源符号概率分布的不均匀性 。
12、m 阶马尔可夫信源的记忆长度为 m+1 ，信源可以有 q m 个不同的状态。
13、同时扔出一对均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为2”所获得的信息量为 lg36=5.17 比特，当得知“面朝上点数之和为8”所获得的信息量为 lg36/5=2.85 比特。
14.在下面空格中选择填入的数学符号“=，≥，≤，>”或“<” H(XY) = H(Y)+H(X ∣Y) ≤ H(Y)+H(X)二、(5分)已知信源的概率密度函数为()10a x b p x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他，计算信源的相对熵。
信息基础论复习题答案
信息基础论复习题答案一、选择题1. 信息基础论认为，信息是：A. 物质的属性B. 能量的表现形式C. 物质、能量和信息的统一体D. 独立于物质和能量之外的存在答案：C2. 信息的传递需要：A. 物质载体B. 能量C. 时间D. 所有以上选项答案：D3. 信息的基础论中，信息的三个基本特性是：A. 可存储性、可传输性、可处理性B. 可复制性、可共享性、可转换性C. 可识别性、可操作性、可扩展性D. 可测量性、可预测性、可控制性答案：A二、填空题1. 信息基础论认为信息具有_______性，即信息可以在不同的物质载体之间传递。
答案：可传递2. 信息的_______是信息能够被接收者理解和利用的基础。
答案：可理解性3. 在信息基础论中，信息的_______指的是信息在传递过程中保持其内容和结构的完整性。
答案：保真性三、简答题1. 简述信息基础论中信息的定义及其重要性。
答案：信息基础论中，信息被定义为物质、能量和信息的统一体，它不仅包含数据和信号，还包括意义和知识。
信息的重要性体现在它是现代社会沟通、决策和创新的基础，对于提高效率、促进发展具有关键作用。
2. 描述信息基础论中信息的三个基本特性，并解释它们在实际应用中的作用。
答案：信息的三个基本特性包括可存储性、可传输性和可处理性。
可存储性允许信息被保存，为后续使用提供便利；可传输性使得信息能够在不同地点和时间被共享；可处理性则允许信息被分析、整理和转换，以适应不同的应用需求。
四、论述题1. 论述信息基础论对现代信息技术发展的影响。
答案：信息基础论为现代信息技术的发展提供了理论基础。
它强调了信息的可存储性、可传输性和可处理性，这直接推动了存储技术、通信技术和计算机技术的进步。
此外，信息基础论还促进了信息安全、数据挖掘和人工智能等领域的发展，为信息的高效利用和智能处理提供了理论支持。
五、案例分析题1. 请结合一个具体的信息技术应用案例，分析信息基础论在该案例中的应用及其效果。
信息论基础A
信息的定义
信息（Information）作为一个专业名词， 其科学定义来自通信。
通信系统的基本组成
信源
发出信息
信道
传输信息
信宿
接收信息
消息（Message）：
信源发出的语言、文字、公式、 数据、声音、图像等等统成为消息。 每个消息都是具体的，其内容千千万 万，形式多种多样。
消息中包含着信息，但消息却不 等于信息。
数字语音与数字图像技术的出现，是通信领域划时代的革命。 而只要有数字技术，就离不开编码。
直到今天，有线和无线的电话网、有线和无线的电视网仍然 是语音和图像的主要传输途径，因特网则是目前除报刊书籍 外最主要的文字传输媒体。
随着数字技术的发展，三大信息网络在数字通信的平台上融 合为一的趋势日益加速，集语言、文字和图像为一体的，世 界范围的信息实时交互已不是梦想。
国标GB2312规定将6763个常用汉字存储在94行(区)94 列(位)的表中，每个汉字用2字节(16bit)表示：
位 0010 0010 0010 0010 0010 0010 0010 0010 区 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000
1011 0000
百年来通信技术发生了天翻地覆的变化，而编码的课题始终 伴随通信技术，成为研究的热点。
3.信源编码、信道编码和保密编码这 三大类编码是实现高效、可靠、安全 通信的重要保障。
如何更加有效、可靠、安全地传输信息，一直 是人们非常关注的问题。三大类编码是实现高 效、可靠、安全通信的重要保障。
高效：为了用较短的代码表达更多的信息，人 们提出了压缩代码长度的问题，并发明了多种 压缩方法和实施方案，它们被称为信源编码。
信号（Signal）：
信息论基础-练习与思考1
p/2
/p e2
p(e2 ) p(e1) p(e2 / e1) p(e2 ) p(e2 / e2 ) p(e3) p(e2 / e3) 0
p/2
1
p/2
p(e3 ) p(e1) p(e3 / e1) p(e2 ) p(e3 / e2 ) p(e3) p(e3 / e3) p/2
p/2 p/2
间而且不论此前发生过什么符号，均按P(0)=0.4， P(1)=0.6旳概率发出符号。
(1)试问这个信源是否是平稳旳？
(2)试计算
H
(
X
2
),
H
(
X
3
/
X1X
2
)及
lim
N
H
N
(
X
)；
(3)试计算 H(x4)并写出x4信源中可能有旳全部符号。
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作业题6
第二章 信源熵
解答： (1)信源发出符号旳概率分布与时间平移无关，而且 信源发出旳序列之间也是彼此无依赖旳，所以该信源是 平稳旳，而且是离散无记忆信源。
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作业题7
第二章 信源熵
2.22.一阶马尔可夫信源旳状态图如图2.8所示。信源X旳符
号集为{0,1,2}。
(1)求信源平稳后旳概率分布P(0),P(1),P(2)；
(2)求信源旳熵H∞。
/p
p/2
/p
(3)近似以为此信源为无记忆时， 符号旳概率分布为平稳分布，
e1
e2
0
p/2
1
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作业题2
第二章 信源熵
2.2. 同步扔一对均匀旳骰子，当得知“两骰子面 朝上点数之和为2”或“面朝上点数之和为8” 或“骰子面朝上点数是3和4时”，试问这三种 情况分别取得多少信息量？
信息论基础答案2
《信息论基础》答案一、填空题（共15分，每空1分） 1、若一连续消息通过某放大器，该放大器输出的最大瞬时电压为b ，最小瞬时电压为a 。
若消息从放大器中输出，则该信源的绝对熵是 无穷大 ；其能在每个自由度熵的最大熵是 ()log b-a 。
2、高斯白噪声信道是指 信道噪声服从正态分布，且功率谱为常数 。
3、若连续信源的平均功率为5 W ，则最大熵为12log10π ⋅ e ，达到最大值的条件是 高斯信道 。
4、离散信源存在剩余度的原因是 信源有记忆（或输出符号之间存在相关性） 和 不等概 。
5、离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，编码效率最大可以达到 1 。
6、离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，码字长度是变化的。
根据信源符号的统计特性，对概率大的符号用 短 码，对概率小的符号用 长 码，这样平均码长就可以降低，从而提高编码效率。
7、八进制信源的最小熵为 0 ，最大熵为 3 bit 。
8、一个事件发生概率为，则自信息量为 3 bit 。
9、在下面空格中选择填入数字符号“,,,=≥≤>”或“<” ()H XY = ()()+H Y H X Y ≤ ()()+H Y H X二、判断题（正确打√，错误打×）（共5分，每小题1分）1) 离散无记忆等概信源的剩余度为0。
（ √ ）2) 离散无记忆信源N 次扩展源的熵是原信息熵的N 倍 （ √ ） 3) 互信息可正、可负、可为零。
（ √ ）4) 信源的真正功率P 永远不会大于熵功率P ，即P P ≤（ × ）5) 信道容量与信源输出符号的概率分布有关。
（ × ）三、（5分）已知信源的概率密度函数()p x 如下图所示，求信源的相对熵0.5()()()42log 1h x p x p x dxbit =-=⎰自由度四、（15分）设一个离散无记忆信源的概率空间为()120.50.5X a a P x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 它们通过干扰信道，信道输出端的接收信号集为[]12=,Y b b ，已知信道出书概率如下图所示。
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无失真编码定理:(香农第一定理）
如果Ｌ维离散平稳信源的平均符号熵为HL（X１Ｘ2…ＸL),
对信源符号进行m元不等长组编码，一定存在一种无失真编码方法，当Ｌ足够大时,使得每个信源符号所对应码字的平均比特数：
无失真编码定理从理论上阐明了编码效率：
Ｌ→∞时,
则极限熵H∞是一个界限,通常也称为香农界
5)数据处理定理：
一个信息传递并进行数据处理的问题可看成是一个由串联信道进行信息传递的问题
单符号离散信道的信道容量
信息科学以信息为研究对象,信息科学以信息运动规律为研究内容，信
息运动包括获取、传递、存储、处理和施用等环节。
第二章离散信源及离散熵
单符号离散信源的数学模型:
自信息量: ，是无量纲的,一般根据对数的底来定义单位:当对数底为2时,自信息量的单位为比特(bit,biｎａrｙuｎit）；对数底为e时,其单位为奈特(nａt,ｎature unit);对数底为1０时,其单位为哈特(Hart， Ｈａrtley)
二进制香农码的编码步骤如下:
1)将符号元ｘｉ按概率进行降序排列
2)令p(x０)=0,计算第ｊ-１个码字的累加概率：
3)确定第i个码字的码长ki，满足下列不等式:
4)将pａ(ｘｊ)用二进制表示,取小数点后kｉ位作为符号元xi的码字。
哈夫曼(Hｕffman)编码
1)将符号元按概率进行降序排列
2)为概率最小的符号元分配一个码元1，概率次小的符号元分配一个码元０
如果所采用的不等长编码使接收端能从码序列中唯一地分割出对应与每一个符号元的码字,则称该不等长编码为单义可译码。
单义可译码中,如果能在对应与每一个符号元的码字结束时立即译出的称为即时码,如果要等到对应与下一个符号元的码字才能译出的称为延时码。
异前置码：任何一个码字都不是其他码字的前缀
m元长度为kｉ,i=1，2, …,n的异前置码存在的充分必要条件是：
则称该多符号离散信源为N维离散平稳信源。
N维离散平稳信源的数学模型:
二维离散平稳信源的离散熵：
H（X2/Ｘ1)称为条件熵,是条件信息量在联合概率上的数学期望,H(X1X2)称为联合熵，离散熵H(Ｘ１)、Ｈ(X２)称为无条件熵,H2(X1X2)称为平均符号熵
且： ,
对于， ,当N→∞时,平均
符号熵取极限值，称之为极限熵,用H∞表示:
单符号离散信道的平均互信息量:
,条件熵H(Y/X）是信道所给出的平均信息量,通常称为噪声熵
，条件熵H（X/Ｙ）也是信道所给出的平均“信息”量,通常称为损失熵，也称为信道疑义度
平均互信息量的性质和定理：
1)I(Y;X)的对称性
2)I(Y；X)的非负性
3)I(Y;X）的极值性:
4)I(Y;X）的凸函数性当信道固定时,I(Ｙ;Ｘ）是信源概率分布P（X）的上凸函数;当信源固定时，I（Y;Ｘ)是信道转移概率分布Ｐ(Y/X)的下凸函数
为强调m阶马尔科夫信源的长度特征,一般将其极限熵H∞记为Hｍ+１,即:
马尔科夫链的各态历经定理：
第三章离散信源无失真编码
码字的每一个比特携带信息的效率即编无失真前提下提高编码效率;编码的基本原则是大概率符号元编成短码,小概率符号元编成长码
对于L维离散平稳无记忆信源，由于其平均符号熵HＬ(X1X2…ＸL）=H(Ｘ),故对信源符号进行m元不等长组编码,一定存在一种无失真编码方法,当L足够大时，使得每个信源符号所对应码字的平均比特数:
,此时香农界为H（X)。
对离散平稳信源进行无失真编码，每个信源符号所对应码字的平均比特数平稳无记忆信源最多，m阶马尔科夫信源次之,一般平稳信源最少。
3)将概率最小的两个符号元合并成一个新的符号元，用两者概率之和作为该新符号元的概率；
4)重复以上三个步骤，直到最后合并出一个以1为概率的符号元
哈弗曼码有两种排列方式，分前置和后置。采用不同排列方法编出的哈夫曼码，其码字和码长可能完全不相同,但平均码长一定是相等的,因此编码效率不会因排列方法而改变。但放在前面可以使短码得到充分利用
《信息论基础A》(清华)复习资料
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期：
信息论基础A复习资料
作者郝仁
第一章概论
在认识论层次研究信息时，把只考虑到形式因素的部分称为语法信息，
把只考虑到含义因素的部分称为语义信息；把只考虑到效用因素的部分称为语用信息。目前，信息论中主要研究语法信息
第四章
离散信道及信道容量
符号离散信道的数学模型可表示为:
互信息量
在有噪信道的情况下,将信源发出xi而信宿接收到yj所包含的信息量用I(yj；xｉ）来表示并将其称为xi对ｙj的互信息量，则互信息量的定义为：
Ｉ（yj/ｘｉ)称为条件信息量,表示信道给出的“信息”。
互信息量的性质：I（yj;xi）是随机量,Ｉ(yj;xi)可为正值也可为负值,I（yj;xi）具有对称性
如果离散平稳信源发出的符号序列中各符号相互独立，则称该信源为离
散平稳无记忆信源。N维离散平稳无记忆信源(一维离散平稳信源的Ｎ次扩展信源)的数学模型:
,
其离散熵:
信源的平均符号熵:
如果离散平稳信源发出的符号只与前面已经发出的ｍ(＜Ｎ)个符号相关，
则称该信源为m阶马尔科夫信源。可将m阶马尔科夫信源发出的符号序列看成长度为m+1的一段段符号序列，m阶马尔科夫信源的数学模型：
归纳起来，香农信息论的研究内容包括:
1)信息熵、信道容量和信息率失真函数
2)无失真信源编码定理、信道编码定理和保真度准则下的信源编码定理
3)信源编码、信道编码理论与方法
一般认为,一般信息论的研究内容除香农信息论的研究内容外,还包括
维纳的微弱信号检测理论：包括噪声理论、信号滤波与预测、统计检测与估计理论、调制理论等。
自信息量性质:Ｉ(xi）是随机量；Ｉ(ｘi)是非负值;I(xi)是P(xi)的单调递减函数。
单符号离散信源的离散熵:
,单位是比特/符号(ｂit／sｙmboｌ)。
离散熵的性质和定理：H（X）的非负性；H(X)的上凸性;
最大离散熵定理：
如果除概率分布相同外，直到N维的各维联合概率分布也都与时间起点
无关，即：