离散型随机变量及其概率分布定义和分布规律
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ch2-12
§2.2离散型随机变量及其概率分布
离散随机变量及分布律
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量
描述X 的概率特性常用概率分布或分布律
即 P( X xk ) pk , k 1,2,
或X P
x1 x2 xk p1 p2 pk
或
X~
x1 x2 xk p1 p2 pk
第 k 次击中目标)
C r1 k 1
p r 1 (1
p)kr
p
帕斯卡
C r1 k 1
pr
(1
p)kr
k r,r 1,
分布
Ch2-21
注
C r1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
k r
利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质
当 | x | 1
xk1
1
k 1
1 x
(k
k 2
1) x k 2
1 (1 x)2
Ch2-13
分布律的性质
pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1
非负性 规范性
Ch2-14
离散随机变量及分布函数
F(x) P(X x) P( (X xk ))
xk x
P( X xk ) pk
xk x
xk x
pk P(X xk ) F(xk ) F(xk1)
其中 xk1 xk .
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
•••••••••
012345678
x
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05
2
4
6
8
Ch2-26
Ch2-27
设 X ~ B(20,0.2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
(2) 二项分布
Ch2-24
n 重伯努利Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的 次数 , P (A) = p ,若
Pn (k) P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
F (3) F (1 0) 0.9744 0.6 0.3744.
Ch2-19
P( X 2) 1 P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1) 1 0.84 0.16
或 P(X 2) 1 P(X 2)
1 P(X 2) P(X 2)
1 F(2 0) 0.16
此式应理解为极限 lim F (x) x2
Ch2-20
例3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标
必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目
标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需
轰击次数 X 的概率分布.
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次，
例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算下述事件的概率：
P(1 X 3), P(X 2) .
解 P(1 X 3) P(X 1) P(X 2) P(X 3) 0.6(0.4 0.42 0.43) 0.3744
或 P(1 X 3) P(1 X 3) P(X 1)
P(X x) 0.6 0.6 0.4,
1 x 2
0.6 0.6 0.4 0.6 0.42, 2 x 3
0.6(1 0.4 0.42 0.43), 3 x 4
1
x4
F( x)
Ch2-17
1
• o• o• o•
•o
o• • • • •
0 1234
x
Ch2-18
用分布律或分布函数来计算事件的概率
P
由图表可见 , 当 k 4 时，
0.22 •
分布ห้องสมุดไป่ตู้得最大值
P20(4) 0.22
• 0
• ••• 1 234
•• • • • 56 7 8 9
•• 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•x 20
0.2 0.15
0.1 0.05
5
10
15
20
Ch2-28
Ch2-29
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
若P(X k) P(X j), j X 可取的一切值
常见的离散型随机变量的分布
(1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
注 其分布律可写成 P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
解
出发地
甲地
P(X k) pk (1 p), k 0,1,2,3
P(X 4) p4,
k4
当 p 0.4
k0 1
2
Ch2-16
3
4
pk 0.6 0.40.6 0.420.6 0.430.6 0.44
] •] ] • ] • • • x0 1 2 3 4
0,
x x0
F(x) 0.6,
0 x 1
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
(k
k 3
1)(k
2) x k 3
2 (1 x)3
C x 2 k3 k 1 k 3
1 (1 x)3
Ch2-22
归纳地
C x r1 kr k 1 k r
1 (1 x)r
令 x 1 p
C r1 k 1
(1
k r
p)kr
1 (1 (1
p))r
1 pr
C r1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
k r
Ch2-23
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
二项分布的取值情况 设
X
~
B(8,
1 3
)
Ch2-25
P8 (k)
P( X
k) C8k ( 13)k (1
1 3
)8k
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .
Ch2-15
例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 令 X 表示
首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概 率分布与 p = 0.4 时的分布函数.
§2.2离散型随机变量及其概率分布
离散随机变量及分布律
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量
描述X 的概率特性常用概率分布或分布律
即 P( X xk ) pk , k 1,2,
或X P
x1 x2 xk p1 p2 pk
或
X~
x1 x2 xk p1 p2 pk
第 k 次击中目标)
C r1 k 1
p r 1 (1
p)kr
p
帕斯卡
C r1 k 1
pr
(1
p)kr
k r,r 1,
分布
Ch2-21
注
C r1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
k r
利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质
当 | x | 1
xk1
1
k 1
1 x
(k
k 2
1) x k 2
1 (1 x)2
Ch2-13
分布律的性质
pk 0, k 1,2,
pk 1
k 1
非负性 规范性
Ch2-14
离散随机变量及分布函数
F(x) P(X x) P( (X xk ))
xk x
P( X xk ) pk
xk x
xk x
pk P(X xk ) F(xk ) F(xk1)
其中 xk1 xk .
P 0.273•
由图表可见 , 当 k 2或3 时， 分布取得最大值
P8(2) P8(3) 0.273 此时的 k 称为最可能成功次数
•••••••••
012345678
x
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05
2
4
6
8
Ch2-26
Ch2-27
设 X ~ B(20,0.2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
(2) 二项分布
Ch2-24
n 重伯努利Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的 次数 , P (A) = p ,若
Pn (k) P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
F (3) F (1 0) 0.9744 0.6 0.3744.
Ch2-19
P( X 2) 1 P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1) 1 0.84 0.16
或 P(X 2) 1 P(X 2)
1 P(X 2) P(X 2)
1 F(2 0) 0.16
此式应理解为极限 lim F (x) x2
Ch2-20
例3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标
必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目
标的概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独
立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需
轰击次数 X 的概率分布.
解 P(X = k) = P(前 k –1次击中 r – 1次，
例2 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算下述事件的概率：
P(1 X 3), P(X 2) .
解 P(1 X 3) P(X 1) P(X 2) P(X 3) 0.6(0.4 0.42 0.43) 0.3744
或 P(1 X 3) P(1 X 3) P(X 1)
P(X x) 0.6 0.6 0.4,
1 x 2
0.6 0.6 0.4 0.6 0.42, 2 x 3
0.6(1 0.4 0.42 0.43), 3 x 4
1
x4
F( x)
Ch2-17
1
• o• o• o•
•o
o• • • • •
0 1234
x
Ch2-18
用分布律或分布函数来计算事件的概率
P
由图表可见 , 当 k 4 时，
0.22 •
分布ห้องสมุดไป่ตู้得最大值
P20(4) 0.22
• 0
• ••• 1 234
•• • • • 56 7 8 9
•• 10
•
•
•
•
•
•
•
•
•x 20
0.2 0.15
0.1 0.05
5
10
15
20
Ch2-28
Ch2-29
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
若P(X k) P(X j), j X 可取的一切值
常见的离散型随机变量的分布
(1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
注 其分布律可写成 P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
解
出发地
甲地
P(X k) pk (1 p), k 0,1,2,3
P(X 4) p4,
k4
当 p 0.4
k0 1
2
Ch2-16
3
4
pk 0.6 0.40.6 0.420.6 0.430.6 0.44
] •] ] • ] • • • x0 1 2 3 4
0,
x x0
F(x) 0.6,
0 x 1
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P(X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
pk1 (1 p)k 1 pk p(n k 1)
(k
k 3
1)(k
2) x k 3
2 (1 x)3
C x 2 k3 k 1 k 3
1 (1 x)3
Ch2-22
归纳地
C x r1 kr k 1 k r
1 (1 x)r
令 x 1 p
C r1 k 1
(1
k r
p)kr
1 (1 (1
p))r
1 pr
C r1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
k r
Ch2-23
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
二项分布的取值情况 设
X
~
B(8,
1 3
)
Ch2-25
P8 (k)
P( X
k) C8k ( 13)k (1
1 3
)8k
,
k 0,1,,8
0 1 2 34 5 6 7 8
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .
Ch2-15
例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 令 X 表示
首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概 率分布与 p = 0.4 时的分布函数.