最优控制课件第三章

由上式可见，协态(t) 和状态 X (t)，在终端时刻成线性关系。
假定：
(t)K(t)X(t)
（4-7）
然后再求 K (t) ，这种方法称为扫描法。
由（4-2）、（4-5）、（4-7）式得
X ( t ) A ( t ) X ( t ) B ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) K ( t ) X ( t )（4-8）
上式对任意 X (t) 均成立，因而有
（4-10）
K ( t ) K ( t ) A ( t ) A T ( t ) K ( t ) K ( t ) B ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) K ( t ) Q ( t ) （4-11）
式（4-11）称为黎卡提（Riccati）矩阵微分方程，K (t)即为该 矩阵微分方程的解。一般来说得不出 K (t) 的解析表达式，但可 利用数值计算得到其数值解。比较（4-6）和（4-7）式可得 K (t) 的边界条件为：
其中，P为半正定对称阵，Q (t)为半正定对称阵，R (t )为正定对 称阵。一般将P，Q (t) ，R (t ) 取为对角阵。
性能指标函数中的每一项：
1eT 2
(tf
)Pe(tf
)
表示对终端误差(例如导弹的脱靶量等)的惩罚
1
tf
eT(t)Q(t)e(t)dt
表示对系统误差的惩罚，定量地刻画了整个控制 过程中实际状态偏离期望状态的状况。
线性二次型指标的最优控制
§4-1 线性二次型问题提法 §4-2 状态调节器问题 §4-3 线性定常系统的状态调节器问题 §4-4 输出调节器问题 §4-5 跟踪问题
1
如果系统是线性的，性能指标为二次型函数，则最优 控制问题为线性二次型问题。
代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求 易于工程实现
保持在零值附近。 7
取哈密顿函数为
H 1 [ X T ( t ) Q ( t ) X ( t ) u T ( t ) R ( t ) u ( t ) ] T ( t )A ( t [ ) X ( t ) B ( t ) u ( t ) 2
则协态方程为
H [Q (t)X (t)A T(t)(t)]
2 t0
1
2Biblioteka Baidu
tf t0
uT(t)R(t)u(t)dt
定量地刻画了整个过程中所消耗的能量，反映 了控制的代价，表示对消耗控制能量的惩罚。 4
线性二次型问题的本质：
用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。
根据不同的出发点，二次型最优控制问题具有各种不同的分类：
（1）根据终点时刻 t f
（线性最优反馈控制规律的确定可归结为Riccati方程的求解）
2
§4-1 二次型问题提法
设线性系统的动态方程为： X (t)A (t)X (t) B (t)u (t) y(t)C(t)X(t)
X (t)为n维状态向量，u (t ) 为m维控制向量，y (t ) 为输出向量。 设 u (t ) 不受限制。定义下列误差向量
将（4-7）式两边分别对t求导，并将（4-4）式代入得
(t)K (t)X (t)K (t)X (t)
Q (t)X (t) A T (t)K (t)X (t)
（4-9）
9
把式（4-8）代入上式并整理得 [ K ( t ) K ( t ) A ( t ) K ( t ) B ( t ) R 1 ( t ) B T ( t ) K ( t ) A T ( t ) K ( t ) Q ( t ) X ( t ) ] 0
x(t)A (t)x(t)B (t)u(t) y(t)C (t)x(t)
e(t)z(t)y(t)
1 )C ( t ) Iz ( t ) 0 y ( t ) x ( t ) e ( t ) 状态调节器
2 ) z ( t ) 0y ( t ) e ( t ) 3 ) z ( t) 0e ( t) z ( t) y ( t)
J 1 2 e T ( tf) P ( tf) e 1 2 t t 0 f[ e T ( t) Q ( t) e ( t) u T ( t) R ( t) u ( t)d ]t
和前一节比较: C(t) I ,z(t) 0，则
y(t)X (t) e(t)
该性能指标的物理含义为：以较小的控制能量为代价，使 X (t)
X
（4-4）
控制方程为
HR(t)u(t)BT(t)(t)0
u
u(t)R 1(t)B T(t)(t)
（4-5）
思路：确定x (t )与 (t) 的关系，带入（4-5）形成状态反馈
横截条件 (tf) X (tf) X (tf)[1 2 X T (tf)P(tX f) ]P(tX f)（4-6）8
e(t)z(t)y(t) 其中，z (t ) 为期望输出向量。
寻求最优控制 u * ( t ) ，使下列性能指标最小：
3
e(t)z(t)y(t)
J 1 2 e T ( tf) P ( tf) e 1 2 t t 0 f[ e T ( t) Q ( t) e ( t) u T ( t) R ( t) u ( t) （d 4] -1）t
有限终点时间的二次型最优控制问题 无限终点时间的二次型最优控制问题
（2）根据终端状态 x t f
自由终端二次型最优控制问题 非自由终端二次型最优控制问题
（3）根据期望输出 z (t )
二次型最优调节器问题（ z(t) zd 定点） 二次型最优跟踪器问题 ( z ( t ) 动点）
5
线性二次型问题的三种重要情形：
K(tf ) P
(4-12)10
求解黎卡提矩阵微分方程时，利用K (t f ) ，从 t f 时刻开始逆
时间求解。在获得 K (t) 之后，可计算最优反馈控制规律：
u * (t) R 1 (t)B T(t)K (t)X (t)
输出调节器 跟踪问题
6
§4-2 状态调节器问题
系统状态方程和性能指标
X (t)A (t)X (t) B (t)u (t)
（4-2）
J 1 2 X T ( tf) P ( tf) X 1 2 t t 0 f[ X T ( t) Q ( t) X ( t) u T ( t) R ( t) u ( t)d ] （t 4-3）