信号与系统第6章拉氏变换
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此时，有：
F ( s) A(s) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
F ( s) Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
设 F (s) 可以分解为：
为求 Ki ，上式两边同乘以s pi
(s pi ) F (s) (s pi ) K1 (s pi ) K 2 (s pi ) K n Ki s p1 s p2 s pn
F ( w)
if t 0 ，则：
jwt
f (t ) e
dt
0
f (t ) e jwt dt
t t f ( t ) f ( t ) e f ( t ) e 如果将 乘上一个衰减因子 ，令 1 ，则
f1 (t ) 的付里叶变换为：
F1 ( w )
0
f (t )e st dt
t f ( t ) e 可见信号 f (t ) 的拉氏变换是 的付里叶变换
根据付里叶变换的性质，有：
f (t ) e
t
1 2
F1 ( w)e jwt dw
t e 将 放到右边积分号内有：
1 f (t ) 2
1 F ( w ) e e dw 1 2
1、阶跃函数
L[u (t )]
0
e st dt
1 s
2、指数函数
L[e
at
]
0
e at e st dt
1 sa
3、tn (n为正整数)
L[t ]
n 0
t n st n n 1 st t e dt e t e dt 0 s s 0
t lim f ( t ) e 0 ,则 f ( t ) 的拉氏变 如果当 0 时， 有 t
换存在。
对拉氏变换，对应付 里叶变换的频域概念， 有s域的概念，付里叶 变换的频域是一个轴， s域有两个轴，横轴为 轴，纵轴为jw轴。 如图：
jw收
敛 轴
o
0
收 敛 域
6.3 一些常用函数的拉氏变换
t 0
2、包含共轭复数极点
方法同“极点为实数，无重根”的情况， 应注意的地方是： 复数极点总是共轭成对出现的，其对应的
K 值也存在共轭关系。
3、有多重极点
此时将 F (s) 写成： 将 F (s) 分解为： 为求 K1i
k
F ( s)
A(s) (s p1 ) k D(s)
F ( s)
0
f (t ) e st dt
1 f (t ) 2 j
j
j
F ( s ) e st ds
被称为拉氏变换对 后面我们用 L[ f (t )] 表示 f (t ) 的拉氏变换
2、拉氏变换的收敛
对拉氏变换而言，所谓收敛就是
0
f (t ) e ( jw ) t dt 可积
0
f (t ) e
t
e
jwt
dt
0
f (t ) e ( jw ) t dt
如令： s jw ，则上式变成：
F1 (w)
0
f (t )e st dt
重新定义 F1 (w) 为 f (t ) 的拉氏变换并将F1 (w) 重新命名 为：
F ( s)
s 3 s 3 5s 2 9s 7 F ( s ) s 2 F ( s) (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 则展开后应有：
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.7 总结
在这一章，我们简要介绍了拉氏变换，从定义 来看，拉氏变换可以看成是付里叶变换的推广。 拉氏变换的应用领域有萎缩的趋势，但其零极 点分析的原理依然十分重要。 我们还介绍了一些典型信号的拉氏变换的结果， 以及拉氏变换的性质。 我们还介绍了利用部分分式分解求拉氏反变换 的方法。
FB ( s )
f (t ) e st dt
被称为双边拉氏变换 后面我们用 LB [ f (t )] 表示 f (t ) 的双边拉氏变换
1、双边拉氏变换的收敛问题
对信号 f ( t ) ，
FB ( s )
f (t ) e dt
e
jwt
st
0
f (t ) e dt
FB ( s )
0
e e dt
t st
0
e st dt
1 1 1 s s
对前一项，收敛域 1 ，对后一项， 0 总的收敛域为 0 1
2、双边拉氏变换同付里叶变换的 关系
在双边拉氏变换中，如果令=0；则双 边拉氏变换就是付里叶变换。 对单边拉氏变换中，如果令=0，同时 有f(t)=0,t<0，则单边拉氏变换也是付里 叶变换。 可以将付里叶变换看成是拉氏变换的特 例
n st
n n 1 st t e dt s 0
所以；
n L[t ] L[t n 1 ] 有： s 1 2 n! L[t ] 2 L[t 2 ] 3 L[t n ] n 1 s ， s ， s
n
4、冲激函数
L [ ( t )]
0
( t ) e st dt 1
可见，冲激函数的拉氏变换为常数
6.4 拉氏变换的基本性质
1、线性
函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和
L[ K 1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K 1 L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )]
即
L[ K 1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K 1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
将 s pi 代入上式
Ki (s pi ) F (s) |s pi
由
F ( s)
K1 K1 K1 s p1 s p2 s pn
可知：
f (t ) K1e p1t K 2e p2t K n e pnt
举例：
F ( s) 10(s 2)(s 5) K3 K1 K 2 F ( s ) s(s 1)(s 3) 则展开后应有： s s 1 s 3
st
0
f (t ) e st dt
0
f (t ) e
t
dt
0
0
f (t ) e t e jwt dt
t
可以分别考察
f (t ) e
dt 及 0
f (t ) e t dt 的收敛性
t f ( t ) u ( t ) e u (t) 举例：信号
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
由于技术的发展，拉氏变换的用处不象 以前那么大了，但其建立的系统函数及 零极点分析的概念依然具有重要的作用， 在连续、线性、时不变系统的分析中， 仍然是不可缺少的强有力工具。
6.2 拉氏变换
1、拉氏变换的定义
从付里叶变换出发， 对信号 f (t ) ， 假设该信号是因果的， 即 f (t ) 0
2、微分
3、积分
若 L[ f (t )] F (s) ，则
L[
t
F (s) f 1 (0) f ( )d ] s s
其中：
f
( 1)
(0) f ( )d ，为常数
0
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t )] F (s) ，则
L[ f (t t0 )u(t t0 )] e st0 F (s)
1
继续微分：
1 d 2 [( s p1 ) k F (s)] K13 2 ds2 s p
1
1 d i 1[( s p1 ) k F (s)] 一般形式： K1i (i 1)! dsi 1 s p
i 1,2,, k
1
举例： F (s)
F ( s)
s2 s(s 1)3
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
t
jwt
F1 ( w)e st dw
而： s jw ，若选定 ，即令 为常数，有 时 F ( s) F1 ( w) ，上式改写为：
dw
ds j
Fra Baidu bibliotek
，同
1 f (t ) 2 j
j
j
F ( s ) e st ds
对信号 f ( t ) ，
F (s)
K1k K11 K12 E ( s) ( s p1 ) k ( s p1 ) k 1 ( s p1 )1 D( s)
k ( s p ) 1 ，上式两边同乘以
(s p1 ) F (s) K11 K12 (s p1 ) K1k (s p1 )
K13 K 2 K11 K12 3 2 (s 1) (s 1) s 1 s
s2 s
3 F ( s ) F ( s )( s 1 ) 令 1
dF1 ( s) K 2 K11 F1 ( s) s 1 3 ， 12 ds s 1 K 2 sF ( s) s 0 2
p1 z1
p2 z2
p n 1 z m 1
p n 为极点 z m 为零点
* * p p p p j 如果 i 则称 为二阶极点。
K 阶极点，和 K 阶零点的概念以此类推。
考虑以下几种情况： 极点为实数，无重根，即所有极点均为 一阶极点 包含共轭复数极点 有多重极点
1、极点为实数，无重根
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
如果 A(s) 的阶次高于 B(s) ，可以先用长除法，后用上面 的方法： 举例：
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
5、S域平移
若： L[ f (t )] F (s) ，则
L[ f (t )e at ] F (s a)
6、尺度变换
若： L[ f (t )] F (s) ，则
1 s L[ f (at)] F ( ) a a a0
6.5 拉氏逆变换
部分分式分解
F ( s ) 具有以下一般形式：
A ( s ) a m s m a m 1 s m 1 a1 s a 0 F (s) B(s) bn s n bn 1 s n 1 b1 s b0
系数 a i bi 都是实数， m n 为正整数。 为便于分解，将上式写成：
A ( s ) a m ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) F (s) B ( s ) bn ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
F ( s) A(s) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
F ( s) Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
设 F (s) 可以分解为：
为求 Ki ，上式两边同乘以s pi
(s pi ) F (s) (s pi ) K1 (s pi ) K 2 (s pi ) K n Ki s p1 s p2 s pn
F ( w)
if t 0 ，则：
jwt
f (t ) e
dt
0
f (t ) e jwt dt
t t f ( t ) f ( t ) e f ( t ) e 如果将 乘上一个衰减因子 ，令 1 ，则
f1 (t ) 的付里叶变换为：
F1 ( w )
0
f (t )e st dt
t f ( t ) e 可见信号 f (t ) 的拉氏变换是 的付里叶变换
根据付里叶变换的性质，有：
f (t ) e
t
1 2
F1 ( w)e jwt dw
t e 将 放到右边积分号内有：
1 f (t ) 2
1 F ( w ) e e dw 1 2
1、阶跃函数
L[u (t )]
0
e st dt
1 s
2、指数函数
L[e
at
]
0
e at e st dt
1 sa
3、tn (n为正整数)
L[t ]
n 0
t n st n n 1 st t e dt e t e dt 0 s s 0
t lim f ( t ) e 0 ,则 f ( t ) 的拉氏变 如果当 0 时， 有 t
换存在。
对拉氏变换，对应付 里叶变换的频域概念， 有s域的概念，付里叶 变换的频域是一个轴， s域有两个轴，横轴为 轴，纵轴为jw轴。 如图：
jw收
敛 轴
o
0
收 敛 域
6.3 一些常用函数的拉氏变换
t 0
2、包含共轭复数极点
方法同“极点为实数，无重根”的情况， 应注意的地方是： 复数极点总是共轭成对出现的，其对应的
K 值也存在共轭关系。
3、有多重极点
此时将 F (s) 写成： 将 F (s) 分解为： 为求 K1i
k
F ( s)
A(s) (s p1 ) k D(s)
F ( s)
0
f (t ) e st dt
1 f (t ) 2 j
j
j
F ( s ) e st ds
被称为拉氏变换对 后面我们用 L[ f (t )] 表示 f (t ) 的拉氏变换
2、拉氏变换的收敛
对拉氏变换而言，所谓收敛就是
0
f (t ) e ( jw ) t dt 可积
0
f (t ) e
t
e
jwt
dt
0
f (t ) e ( jw ) t dt
如令： s jw ，则上式变成：
F1 (w)
0
f (t )e st dt
重新定义 F1 (w) 为 f (t ) 的拉氏变换并将F1 (w) 重新命名 为：
F ( s)
s 3 s 3 5s 2 9s 7 F ( s ) s 2 F ( s) (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) 则展开后应有：
F ( s) s 2 2 1 s 1 s 2 f (t ) ' (t ) 2 (t ) 2e t e 2t
6.7 总结
在这一章，我们简要介绍了拉氏变换，从定义 来看，拉氏变换可以看成是付里叶变换的推广。 拉氏变换的应用领域有萎缩的趋势，但其零极 点分析的原理依然十分重要。 我们还介绍了一些典型信号的拉氏变换的结果， 以及拉氏变换的性质。 我们还介绍了利用部分分式分解求拉氏反变换 的方法。
FB ( s )
f (t ) e st dt
被称为双边拉氏变换 后面我们用 LB [ f (t )] 表示 f (t ) 的双边拉氏变换
1、双边拉氏变换的收敛问题
对信号 f ( t ) ，
FB ( s )
f (t ) e dt
e
jwt
st
0
f (t ) e dt
FB ( s )
0
e e dt
t st
0
e st dt
1 1 1 s s
对前一项，收敛域 1 ，对后一项， 0 总的收敛域为 0 1
2、双边拉氏变换同付里叶变换的 关系
在双边拉氏变换中，如果令=0；则双 边拉氏变换就是付里叶变换。 对单边拉氏变换中，如果令=0，同时 有f(t)=0,t<0，则单边拉氏变换也是付里 叶变换。 可以将付里叶变换看成是拉氏变换的特 例
n st
n n 1 st t e dt s 0
所以；
n L[t ] L[t n 1 ] 有： s 1 2 n! L[t ] 2 L[t 2 ] 3 L[t n ] n 1 s ， s ， s
n
4、冲激函数
L [ ( t )]
0
( t ) e st dt 1
可见，冲激函数的拉氏变换为常数
6.4 拉氏变换的基本性质
1、线性
函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和
L[ K 1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K 1 L[ f1 (t )] K 2 L[ f 2 (t )]
即
L[ K 1 f1 (t ) K 2 f 2 (t )] K 1 F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
将 s pi 代入上式
Ki (s pi ) F (s) |s pi
由
F ( s)
K1 K1 K1 s p1 s p2 s pn
可知：
f (t ) K1e p1t K 2e p2t K n e pnt
举例：
F ( s) 10(s 2)(s 5) K3 K1 K 2 F ( s ) s(s 1)(s 3) 则展开后应有： s s 1 s 3
st
0
f (t ) e st dt
0
f (t ) e
t
dt
0
0
f (t ) e t e jwt dt
t
可以分别考察
f (t ) e
dt 及 0
f (t ) e t dt 的收敛性
t f ( t ) u ( t ) e u (t) 举例：信号
6.1 引言
19世纪末，英国工程师赫维赛德采用了一种算 子解决电子工程计算中的问题。但由于当时缺 乏数学证明遭到一些数学家的指责。 而另外一些人如卡尔逊、布罗姆维奇等坚信这 一方法的正确性。 后来，法国数学家拉普拉斯从数学上重新给予 该算法严格的数学定义和证明，称之为拉普拉 斯变换或拉氏变换
由于技术的发展，拉氏变换的用处不象 以前那么大了，但其建立的系统函数及 零极点分析的概念依然具有重要的作用， 在连续、线性、时不变系统的分析中， 仍然是不可缺少的强有力工具。
6.2 拉氏变换
1、拉氏变换的定义
从付里叶变换出发， 对信号 f (t ) ， 假设该信号是因果的， 即 f (t ) 0
2、微分
3、积分
若 L[ f (t )] F (s) ，则
L[
t
F (s) f 1 (0) f ( )d ] s s
其中：
f
( 1)
(0) f ( )d ，为常数
0
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t )] F (s) ，则
L[ f (t t0 )u(t t0 )] e st0 F (s)
1
继续微分：
1 d 2 [( s p1 ) k F (s)] K13 2 ds2 s p
1
1 d i 1[( s p1 ) k F (s)] 一般形式： K1i (i 1)! dsi 1 s p
i 1,2,, k
1
举例： F (s)
F ( s)
s2 s(s 1)3
k 1
E (s)(s p1 ) k D(s)
上式两边对 s 求微分：
d [( s p1 ) k F ( s)] E ( s)(s p1 ) k k 2 K12 (k 1) K1k ( s p1 ) d [ ] / ds 有： ds D( s )
d[( s p1 ) k F (s)] 显然 K12 ds s p
t
jwt
F1 ( w)e st dw
而： s jw ，若选定 ，即令 为常数，有 时 F ( s) F1 ( w) ，上式改写为：
dw
ds j
Fra Baidu bibliotek
，同
1 f (t ) 2 j
j
j
F ( s ) e st ds
对信号 f ( t ) ，
F (s)
K1k K11 K12 E ( s) ( s p1 ) k ( s p1 ) k 1 ( s p1 )1 D( s)
k ( s p ) 1 ，上式两边同乘以
(s p1 ) F (s) K11 K12 (s p1 ) K1k (s p1 )
K13 K 2 K11 K12 3 2 (s 1) (s 1) s 1 s
s2 s
3 F ( s ) F ( s )( s 1 ) 令 1
dF1 ( s) K 2 K11 F1 ( s) s 1 3 ， 12 ds s 1 K 2 sF ( s) s 0 2
p1 z1
p2 z2
p n 1 z m 1
p n 为极点 z m 为零点
* * p p p p j 如果 i 则称 为二阶极点。
K 阶极点，和 K 阶零点的概念以此类推。
考虑以下几种情况： 极点为实数，无重根，即所有极点均为 一阶极点 包含共轭复数极点 有多重极点
1、极点为实数，无重根
K1 sF ( s) |s 0 100 / 3
， K 2 (s 1) F (s) |s 1 20 ， K3 (s 3) F (s) |s 3 10 / 3
t 0
f (t ) 100 / 3 20e t 10 / 3e 3t
如果 A(s) 的阶次高于 B(s) ，可以先用长除法，后用上面 的方法： 举例：
1 d 2 F1 (s) ， K13 2 ds2 s1 2
于是 F (s)
3 2 2 2 (s 1)3 (s 1) 2 s 1 s
于是
3 f (t ) t 2e t 2tet 2e t 2 t 0 2
6.6 双边拉氏变换
对信号 f ( t ) ，
5、S域平移
若： L[ f (t )] F (s) ，则
L[ f (t )e at ] F (s a)
6、尺度变换
若： L[ f (t )] F (s) ，则
1 s L[ f (at)] F ( ) a a a0
6.5 拉氏逆变换
部分分式分解
F ( s ) 具有以下一般形式：
A ( s ) a m s m a m 1 s m 1 a1 s a 0 F (s) B(s) bn s n bn 1 s n 1 b1 s b0
系数 a i bi 都是实数， m n 为正整数。 为便于分解，将上式写成：
A ( s ) a m ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) F (s) B ( s ) bn ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )