历年高数复习题

高数试题

一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.设直线1724

:121x y z l -+-==

-，26,:23,

x y l y z -=⎧⎨+=⎩则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）

2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6

π. 2.函数 z = xe 2y 在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, 1)方向的方向导数为[ ].

3.函数22

22

221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在(0, 0)点[ ]. (A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。

4.

积分1

1

0x dx =⎰⎰[ ].

1

111

()

()

()

()

3

4

12

24

A B C D 。 5.设是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分||z e dv Ω

=⎰⎰⎰[ ].

二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）

1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是

2.

设2224,:x y z z ⎧++=⎪Γ⎨=⎪⎩则2

x ds Γ

=⎰Ñ 3. 满足微分方程初值问题20

d (1)d 1 x

x y y e

x y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为y ＝ ．

4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz =

三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．

四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 1上的最大值和最小值。. 五、（9分）某物体的边界由曲面z = x 2 + y 2和平面z = 0, |x | = a ，|y | = a 围

成, 其密度函数为 = x 2 + y 2, 求该物体的质量.

六、（9分）设直线0,:30,

x y b L x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面 上，而平面 与曲面z = x 2 + y 2

相切

于(1, 2, 5)，求a , b 的值。.

七、（9分）计算曲面积分333()()()x y z dydz x y z dzdx x y z dxdy ∑

++++++++⎰⎰

其中为由圆锥面x 2 + y 2 = z 2与上半球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R > 0)围成曲面的外侧.

八、（8分）设函数Q (x , y )在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分

2(,)L

xydx Q x y dy

+⎰与

路径无关，且对任意t ，有

(,1)

(1,)(0,0)

(0,0)

2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰

⎰

，求Q (x , y ).

九、（6分）设当1x >-时，可微函数()f x 满足

1()()()d 01x

f x f x f t t x '+-

=+⎰， (0)1f =. 1. 求()f x '；

2. 证明：当0x ≥时，()x f x e -≥． 答案 一、；；；；.二、1.

24231x y z --==

-；2.1233dz dx dy =+；3. tan(1)4

x y e π

=+-；4. 10(1)(2)3

n

n n n x ∞

+=--∑；

三、1212cos 2sin 2cos sin 39y C x C x x x x =+++.四、max min 11,22f f ==-.五、

6

11245

a , 六、a = 5,

b = 2.

七、59(25

R π-.八、Q (x , y ) = x 2 + 2y – 1.

高数试题

一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数(,)z f x y =在00(,)x y 处可微的充分条件是[ ]

(A)(,)f x y 在点00(,)x y 处连续； (B) (,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数；

(C) 00000

lim[(,)(,)]0x y z f x y x f x y x ρ→∆-∆-∆=

，ρ=

(D) 00000

(,)(,)lim

0x y z f x y x f x y x

ρρ

→∆-∆-∆=.

2. 圆心在原点半径分别为R 和r 的()R r >的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为μ)关于原点的转动惯量为[ ].

(A) 44()R r πμ-； (B) 441()2

R r πμ-；

(C) 441()4R r πμ-； (D) 441

()6

R r πμ-.

3. 微分方程x x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ） (A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）x x e c x b ae y 32)(*++=； （C ）x x ce e b ax y 32)(*++=； (D) x x cxe e b ax y 32)(*++=

4. 设Ω是由球面2222 (0)x y z a a ++=>

所围成的闭区域，则Ω

= [

]

(A) 443a π； (B) 44a π； (C) 4a π； (D) 412

a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）

1. 已知3a =r

，26b =r ，72a b ⨯=r r ，则a b ⋅=r r

2．函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为

3. 已知曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(23)x y z ds Γ

++⎰=

4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 ．

5. 设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分，则4(2)3

z x y dS ∑

++⎰⎰=